Práctica 4. Contraste de hipótesis

Transcripción

1 Práctica 4. Contraste de hipótesis Estadística Facultad de Física Objetivos Ajuste a una distribución discreta uniforme Test χ 2 Comparación de muestras Ajuste a una distribución normal 1 Introducción Lo que distingue a una teoría científica es que ésta, a diferencia de la que no lo es, puede ser refutada: puede existir un conjunto de circunstancias que si son observadas demuestran que la teoría está equivocada. A continuación se ofrece una visión simplificada del método científico. Hacemos observaciones en la naturaleza y a través de un proceso creativo generamos una hipótesis de cómo funciona cierto aspecto de la naturaleza. Basándonos en esa hipótesis diseñamos un experimento que consiste en que un conjunto observaciones deben tener lugar, bajo ciertas condiciones, si la hipótesis es cierta. En el caso de que estas observaciones no ocurran nos enfrentamos a varias posibilidades: nuestras hipótesis necesitan ser revisadas, el experimento se llevó a cabo de forma incorrecta, o nos hemos equivocado en el análisis de los resultados del experimento. En esta práctica vamos a desarrollar varios ejemplos y a proponer ejercicios encaminados a determinar si algunas aseveraciones son ciertas. 2 Ajuste a una distribución discreta uniforme En el experimento aleatorio de lanzar un dado el espacio muestral S es el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cuando se juega a lanzar dados se supone que las probabilidades de obtener cada uno de los posibles resultados es idéntica e igual a 1/6 (sucesos equiprobables). Este sería un dado ideal. Pequeñas irregularidades en la construcción pueden dar lugar a un dado en el que las probabilidades sean un poco diferentes. A veces sucesos que parecen equiprobables no lo son. Por ejemplo si se estudia una ruleta en particular durante el tiempo suficiente, se comprueba que no todos los números son equiprobables. Esto es debido a pequeñas imperfecciones en la propia ruleta. Por esta causa los casinos no permiten la entrada a los jugadores que anotan sistemáticamente los resultados de sus ruletas ya que éstos jugarían con ventaja si conocieran bien su comportamiento.

2 2 AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME 2 Volviendo al ejemplo del lanzamiento de un dado, es normal que los fanáticos del parchís usen sus dados preferidos a los que suponen una mayor probabilidad de obtener 5 ó 6. Otras personas confeccionan dados trucados para aumentar las probabilidades de obtener algún resultado en especial. La forma usual de trucar un dado es cargarlo de forma que el centro de masas se encuentre desplazado del centro geométrico del dado. Al lanzarlo es más probable obtener el número que se encuentra en la cara más alejada del lastre. Supongamos que queremos comprobar si un dado está trucado o no. Para ello efectuamos un experimento consistente en lanzarlo 600 veces. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: x i n i Se obtienen frecuencias absolutas entorno a 100 (600/6) como era de esperar. Para un dado no trucado se espera una distribución de frecuencias más o menos uniforme (Hipótesis nula). Lo primero que se nos ocurre es representar un histograma para la distribución de frecuencias, x = 1:6 n = [ ] bar(n) % variable x % frecuencias absolutas % representa el histograma Vemos que la distribución es más o menos uniforme. Calculemos las frecuencias relativas, f=n/600 % dividimos por el numero total de datos f= bar(f) % representa el histograma Las frecuencias relativas tienen valores cercanos a 1/6= Se puede ahora comparar la frecuencia esperada con la observada y llevar a cabo un test χ 2 de Pearson del tipo, k χ 2 k 1 = (o i e i ) 2 i=1 donde o i son las frecuencias observadas (n en nuestro caso) y e i son las esperadas (constante en el caso de una distribución uniforme). Es decir e i χ 2 k 1 = 1 k (o i e) 2 e i=1 Si programaramos en un lenguaje de los empleados habitualmente (basic, fortran, etc) deberíamos utilizar un bucle que recorriera todos los casos, calculara el valor y los fuera sumando para obtener χ 2. Con matlab estas operaciones se hacen de una vez para toda la matriz que contiene los casos (programación en paralelo) de la siguiente manera,

3 3 CONTRASTE DE MEDIAS 3 e=sum(n)/6; % frecuencia absoluta esperada e= dum=n-e; % frecuencias observadas - esperadas dum=dum.*dum; %.* multiplica cada elemento de dum por si mismo chi=sum(dum); % chi cuadrado es la sumatoria chi=chi/e % divida por la frecuencia esperada chi= 5.54 Ahora si miramos en las tablas para ver χ 2 para 6-1=5 grados de libertad obtenemos χ 2 5 =9.236 para (1-α)=90%. matlab puede calcular estos valores y ahorrarnos mirar la tabla, chi2inv(0.90,5) % inversa de la funcion de distribucion ans= % acumulada chi cuadrado Este valor es superior al encontrado en el test (5.54) o lo que es lo mismo nuestro valor está dentro del área de aceptación de la hipótesis nula, luego ésta se acepta: la distribución observada es compatible con una distribución uniforme. 3 Contraste de medias Veamos un ejemplo de un contraste de medias poblacionales, llevado a cabo a partir de los datos muestrales. Consideremos de nuevo el fichero retirot.dat. Recordemos que la primera columna nos indica el año y las otras doce las temperaturas medias mensuales para cada año. Vamos a comparar las temperaturas medias correspondientes a los meses de enero y diciembre. Para ello, leemos el fichero y almacenamos las variables: load retirot.dat; enero=retirot(:,2); dic=retirot(:,13); % Cargamos el fichero % Vector con las temperaturas medias de enero % desde 1940 hasta 1990 % Vector con las temperaturas medias de diciembre % desde 1940 hasta 1990 Como son dos muestras suficientemente grandes la distribución muestral de la diferencia de medias (x 1 x 2 ) es normal. Supongamos dos muestras aleatorias, que son extraídas de poblaciones con medias desconocidas µ 1 y µ 2 y con tamaño n 1 y n 2 respectivamente. Para comprobar la hipótesis H o :µ 1 = µ 2 se calcula el estadístico z, z = x 1 x 2 s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 donde x 1 y x 2, s 1 y s 2 y n 1 y n 2 son las son las medias, las desviaciones estándar y los tamaños de las muestras. En nuestro caso, los parámetros muestrales son:

4 4 AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL 4 x s n enero diciembre valores que calculamos utilizando los comandos mean para la media, std para la desviación estándar y length para el tamaño. Con help comando se obtiene información sobre un comando en particular. Haciendo los números obtenemos z = que debemos comparar con la distribución normal tipificada. Como se trata de un test bilateral, para un nivel de significación α = 0.05 (teniendo en cuenta que 1 (α/2) = 0.975), el valor crítico del estadístico es: p=norminv(0.975) % inversa de la funcion de distribucion acumulada p= % 1.96 Como z = < 1.96, se acepta la hipótesis nula de igualdad de medias. Podemos también calcular el nivel de significación crítico α 0 (máximo valor de α para aceptar H 0 ) como: normcdf(1.8692,0,1) % funcion de distribucion acumulada ans= % Este valor corresponde a 1 α 0 /2, y por lo tanto α 0 = Ajuste a una distribución normal Al digitalizar 300 imágenes se ha obtenido la siguiente distribución de frecuencias absolutas del tamano en kbytes del fichero correspondiente. x i n i Al representar el histograma de esta distribución de frecuencias, parece que la distribución poblacional obedece a una normal. Vamos a comprobarlo procediendo del siguiente modo: a) estimaremos los parametros del modelo (µ, σ) y b) contrastaremos la bondad del ajuste. x=[37:2:55] % construimos la variable x x = n=[ ] % idem para las frecuencias n = % variable frecuencias absolutas

5 4 AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL 5 sum(x.*n)/ % media muestral sqrt((sum(((x-46).^ 2).*n))/299) % cuasivarianza muestral Calculamos ahora las frecuencias acumuladas teóricas correspondientes a una normal de media 46 y desviación estándar 3.89: N(46,3.89) con un comando de matlab ya conocido: normcdf(x,46,3.89) % distribucion normal acumulada Estas frecuencias corresponden a las marcas de clase, y no nos sirven. Por eso definimos un nuevo vector x para los extremos de los intervalos de clase: x=[38:2:56] % nueva variable x x = normcdf(x,46,3.89) % distribucion normal acumulada Estas frecuencias del vector ans son acumuladas. Para calcular las frecuencias teóricas de cada clase restamos cada valor del anterior. Para ello definimos un nuevo vector cuyo primer elemento es cero, y los demás elementos son los del vector ans desplazados un lugar hacia la derecha, y eliminando el último: p=ans-[0,ans(:,1:9)] % frecuencias de clase p = Tenemos entonces que P(54 < x < 56) = , P(56 < x) = , luego la probabilidad de obtener valores de la variable mayores que 54 es P(54 < x) = ( ) = pe=[p,0.005] % frecuencias relativas estimadas pe = % incluyendo el ultimo termino ne=pe.*300 % frecuencias absolutas estimadas ne = % multiplicando por el total

6 4 AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL sum(ne) % la suma coincide con la suma % de las frecuencias observadas Para que no haya ninguna frecuencia estimada menor que 5, agrupamos las dos últimas clases y calculamos el estadístico, ne= [ne(:,1:9),5.89] % ( = ) ne = sum(((n-ne).^2)./ne) % chi-cuadrado Tenemos que comparar este valor con la abcisa que deja a la derecha un área de 0.05 de una distribución Chi2 de parámetro n= k-1-2 = 7, donde k-1 es el número de clases menos uno, al que se resta el número de parámetros estimados que en este caso son dos : µ y σ. chi2inv(0.95,7) Por tanto, se acepta el ajuste para un α=0.05. Vamos a calcular el α crítico (área que deja a la derecha la abcisa ) chi2cdf(3.1883,7) ans