CARACTERIZACIÓN DEL FLUJO A TRAVÉS DE MEDIOS POROSOS USANDO EL MÉTODO DE LATTICE-BOLTZMANN

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1 CARACTERIZACIÓN DEL FLUJO A TRAVÉS DE MEDIOS POROSOS USANDO EL MÉTODO DE LATTICE-BOLTZMANN CHARACTERIZATION OF THE FLOW THROUGH POROUS MEDIA USING THE LATTICE-BOLTZMANN METHOD F. Etcheverry, D. Müller, and M. Cachle Grupo de Medos Porosos - Facultad de Ingenería- Unversdad Naconal de Buenos Ares ( * )CONICET Paseo Colón (1063) Buenos Ares - Argentna e-mal: mcachl@f.uba.ar Se realzaron smulacones del flujo a través de medos porosos 2D utlzando el método de Lattce-Boltzmann. Se estudó la relacón que exste entre la porosdad y la permeabldad, que son parámetros mportantes para caracterzar un medo poroso. Se ha demostrado que el de Lattce-Boltzmann es un método adecuado para resolver la ecuacón de Naver-Stokes ncompresble. Dado el carácter local del método, es adecuado para condcones de contorno de geometría compleja. Los medos porosos usados en estas smulacones están consttudos por obstáculos de tamaño unforme. Se encontró que el parámetro relevante que controla la permeabldad, en estas condcones es la dstanca meda entre obstáculos, lo que resulta un aporte orgnal al tema. Palabras Claves: Lattce Boltzmann, Medos Porosos, smulacón numérca, permeabldad. The flow through porous meda was smulated n 2D usng the Lattce-Boltzmann method.. The relaton between porosty and permeablty, whch are mportant parameters to characterze porous meda has been studed. The Lattce-Boltzmann method has been establshed to be a sutable procedure for solvng ncompressble Naver-Stokes equaton n porous meda gven ts local character. The meda used n ths work were bult as a random dstrbuton of crcular obstacles wth unform dameter. It has been found that a relevant parameter that controls the permeablty s the mean dstance between obstacles, whch s an orgnal contrbuton to ths subject. Key Word: Lattce Boltzmann, porous meda, numercal smulaton, permeablty I. INTRODUCCIÓN La relacón entre permeabldad y porosdad es de gran mportanca para los estudos que nvolucran el transporte de fludos a través de medos porosos. Estos fenómenos nvolucran problemas de acuíferos, recuperacón de petróleo, transporte de contamnantes en suelos, etc. Cuando un fludo atravesa un medo poroso, la dferenca de presón entre sus extremos y el caudal que lo atravesa están relaconados a través de la llamada Ley de Darcy, quen la enuncó en 1856 (1) : Ap Q k (1) L Donde Q es el caudal, la vscosdad, p es la dferenca de presón, L es la longtud, A el área transversal y k la permeabldad, que representa la conductvdad del medo poroso. Se encontró que esta relacón resulta válda para una gran varedad de medos porosos naturales y artfcales. Para números de Reynolds sufcentemente bajos, la permeabldad depende sólo de parámetros geométrcos. Su relacón con la porosdad (cocente entre el volumen lbre y el volumen total), aunque de gran mportanca, sgue sendo un problema aberto, salvo para algunas confguracones smplfcadas (2-5). El método de smulacón numérca utlzado, llamado Lattce-Boltzmann (6,7) es una técnca de smulacón de fludos en donde se adopta un enfoque dstnto de los métodos usuales de resolucón de la ecuacón de Naver-Stokes. Éste se basa en la descrpcón mcroscópca y estadístca del fludo por lo que se presta fáclmente para su mplementacón en fludos complejos, reaccones químcas o geometrías complcadas. La descrpcón del fludo se realza a través de funcones de densdad local f. El espaco se dscretza y, en orden mcroscópco, el fludo se mueve en las Autor a quén debe drgrse la correspondenca.

2 dreccones dadas por los prmeros vecnos de cada nodo de la red dscreta. La evolucón temporal se modelza como una sucesón de una etapa de colsón, local, que es seguda por otra de traslacón del fludo en las dreccones de la red, e : 1 eq f f ( x, f ( x, (2) Donde =1,,8, f f ( x e, t ) f ( x,, es la varacón en la dreccón e en el ntervalo de tempo, es el tempo de relajacón de f haca la dstrbucón en el equlbro f eq, que, en la aproxmacón BGK (6,7) se escrbe como: eq f t 1 3e u e u u u (3) 2 2 Donde t son parámetros propos de la red y u y son la velocdad y densdad macroscópcas respectvamente. La densdad se escrbe como: 8 0 (4) Y la presón p es: 2 1 p c s (5) 3 con c s la velocdad del sondo en la red. Las ventajas de este método son prncpalmente dos. En prmer lugar, no es necesaro conocer las ecuacones macroscópcas que controlan el fenómeno, puesto que solo se controlan las nteraccones báscas entre las partículas. En el caso de la evolucón de una sola espece, como es el nuestro, consste solamente en la aplcacón del operador de colsón con lo que (2) resuelve la ecuacón de Naver-Stokes ncompresble (6-9). En segundo lugar, la característca evolucón local del método de Lattce-Boltzmann permte que las condcones de frontera con las paredes puedan tratarse smplemente como un caso partcular de colsón, permtendo contornos de forma arbtrara y, en nuestro caso partcular, un número arbtraro de obstáculos dstrbudos al azar. El objetvo del presente trabajo es caracterzar numércamente la relacón que exste entre la permeabldad y la porosdad en condcones geométrcas smples: se trabajó en 2 dmensones, con un canal rectangular y medos porosos consttudos por obstáculos crculares de rado unforme. f utlzar el msmo perfl a la entrada y a la salda, se tenen condcones peródcas en los contornos derecho e zquerdo, sguendo el trabajo de Zou y He (10). Con el objeto de que la convergenca sea más rápda, esta condcón ncal de velocdad tambén se usa en todo punto nteror. En las paredes superor e nferor, la condcón de contorno fue la de pared rígda, al gual que en los obstáculos nterores. Para ambos se utlzó la condcón de bounce-back (11) en la que se nverte el sentdo de la velocdad en la colsón con los obstáculos, lo que genera velocdad nula en los entornos de los msmos. Fgura 1. dos medos porosos utlzados, con 1000 (superor) y 3000 obstáculos. Los medos porosos utlzados constan de obstáculos de forma crcular del msmo dámetro, ubcados al azar en el terco central de la matrz, de 500x500 nodos, con el objeto de que el flujo pueda regularzarse antes de entrar y luego de pasar por el medo poroso. En la fgura 1 se muestran dos de los medos porosos empleados. Se mpuso como condcón adconal que la dstanca entre cualquer par de centros fuera gual o mayor a 3 rados, lo que garantza que no se formen agregados n aparezcan zonas de estancamento, que no partcpan del flujo global. Se estudaron algunos medos porosos construdos con los obstáculos colocados en un arreglo regular, con el objeto de estudar la nfluenca de la dstrbucón de las dstancas entre los msmos. II. IMPLEMENTACIÓN Y DESARROLLO Las smulacones se realzaron utlzando un códgo de Lattce-Boltzmann, en aproxmacón BGK empleando la red D2Q9, en dos dmensones y 9 vecnos. La regón de ntegracón tene un tamaño de 1500 nodos de ancho por 500 de alto. Como condcón de contorno tanto a la entrada (pared zquerda) como a la salda (pared derecha) se fjó un perfl de velocdades de Poseulle. Además de

3 Fgura 2: Relacón entre p y Q para medos porosos de dámetros 4 y 10 nodos. En nuestro caso, la porosdad resulta: ND 1 (6) donde N es el número de obstáculos, de dámetro D y es el área total de la regón central ocupada por el medo poroso. Se trabajó con medos porosos con obstáculos crculares desde 4 hasta 20 nodos de dámetro. La cantdad de obstáculos se varó entre 20 y 4500 (en la zona central, de 500x500 nodos) y con porosdades de entre 0.95 y Se determnó el rango de caudales para el cual se cumple la relacón (1). En la fgura 2 se muestra el resultado de este estudo para la permeabldad reducda, k/k 0 donde k 0 es la permeabldad de una celda lbre de obstáculos ( = 1). En todos los casos, se mdó la dferenca de presón entre los extremos del medo poroso, calculada según la relacón (5) y suponendo un espesor untaro para el cálculo del área transversal A. El estudo de la permeabldad en funcón de las característcas del medo poroso, se realzó con dos metodologías dferentes. Por un lado, se estudó la varacón de la permeabldad cuando se mantene constante el dámetro de los obstáculos y se varía su número. El resultado de este estudo se muestra en la fgura 3. Fgura 3: Permeabldad reducda en funcón de la porosdad. Por otro lado, se estudó la varacón de la permeabldad cuando se varía el número y dámetro de los obstáculos pero se mantene constante la porosdad. En este caso, se utlzaron los medos porosos formados por las sguentes combnacones de dámetro y número de obstáculos: Sere 1: = 0.95 N D Sere 2: = 0.9 N D Tabla 1) Combnacones de cantdad (N) y dámetro de obstáculos (D) con porosdad constante. Para este análss el parámetro relevante es la dstanca meda entre obstáculos, d. En la fgura 4 se muestra la dependenca de la permeabldad reducda con d para las dos seres de la tabla 1. Fgura 4: Permeabldad reducda en funcón de la dstanca meda, d, entre obstáculos para las seres 1 y 2 de la tabla 1. III RESULTADOS Y DISCUSIÓN Se mplementó el método de Lattce-Boltzmann conocdo como BGK en dos dmensones, (D2Q9) para una sola espece que fluye a través de un medo poroso (12). Se fjó un perfl de velocdad parabólco en los extremos del recnto como condcón de contorno, dado que se estuda la relacón entre el caudal y la dferenca de presón. En esta etapa del trabajo, las smulacones se llevaron a cabo en recntos de 1500 nodos de ancho por 500 de alto como compromso entre precsón y tempo de cálculo. Los medos porosos utlzados fueron obtendos como dstrbucones al azar de obstáculos crculares de dámetro déntco, ubcado en el terco central del recnto, con el objeto de regularzar el flujo a ambos lados del msmo. En prmer lugar, se estudó la dependenca entre la dferenca de presón y el caudal. Se encontró que, según se muestra en la fgura 2, están relaconados lnealmente para caudales sufcentemente bajos, tal como sugere la ley de Darcy (1). S se mantene fjo el dámetro de los obstáculos, se encontró que, razonablemente y en concordanca con lo que sucede en condcones smlares, la permeabldad aumenta con la porosdad tal como se muestra en la fgura 3. En esta fgura, como en las sguentes, se

4 decdó grafcar la permeabldad reducda con el objeto de smplfcar ulterores comparacones con otras confguracones. Sn embargo, s se fja la porosdad y se varía el número de obstáculos (y su dámetro) se observa que la permeabldad tambén varía, lo que ndca que, en este caso, la porosdad no es el parámetro determnante. Al mantener fja la porosdad, el aumento del dámetro de los obstáculos mplca una dsmnucón de su número, lo que genera que la dstanca meda entre ellos aumente. Por esta razón, el parámetro pertnente es la dstanca meda entre obstáculos. Basado en el resultado anteror, y dado que en el análss mostrado en la fgura 3 tambén, al varar la cantdad de obstáculos se varía la dstanca meda entre ellos, se decdó grafcar conjuntamente ambos estudos, en funcón de la dstanca d, que se muestra en la fgura 5. En la msma, se observa que los resultados forman aproxmadamente una curva unversal. La relacón (1) dce que, salvo una constante C que depende del dspostvo y del fludo, se cumple que Q k C (6) p Donde Q es el caudal que crcula por el medo poroso, resultado de la suma de los caudales ndvduales Q que crculan por los nterstcos porales, multplcado por algún factor de forma, para cada uno de ellos: Q (7) Se tene entonces que, aproxmando Q d 3, que es el resultado que se obtene para un canal de ancho d.: Q 3 (8) Q d Lo que muestra que la porosdad depende de la dstrbucón de las dstancas entre obstáculos. La relacón (8) no mplca necesaramente que la porosdad del medo va a depender con la potenca 3 de la dstanca entre obstáculos, pues están nvolucrados los factores, que ncluyen a la tortuosdad, entre otros. Sn embargo, se espera que la porosdad dependa prncpalmente de la dstrbucón de las dstancas. La permeabldad, en la fgura 5 varía aproxmadamente como d , lo que consttuye un argumento a favor de la relacón (8). Como argumento complementaro, se construyeron medos porosos regulares hexagonales, para los cuales las dstancas entre obstáculos son todas guales. En estos medos porosos, de acuerdo a lo expuesto, se debería encontrar que la permeabldad es menor que en aquellos dstrbudos al azar, dado que la relacón (8) mplca que las d mayores que el valor medo contrbuyen de manera más sgnfcatva que los valores menores. Efectvamente, se encontró que la permeabldad de los medos porosos regulares son aproxmadamente 1.5 veces mayores que los dstrbudos al azar. Fgura 5: Permeabldad reducda en funcón de la dstanca meda d. Este estudo, de carácter prelmnar, muestra la dependenca de la permeabldad en funcón de la dstanca entre obstáculos usando una confguracón geométrca smplfcada. Como contnuacón nteresante resta analzar el comportamento de la permeabldad en funcón de la dstrbucón de las dstancas entre obstáculos, no solo en funcón de las dstancas medas, así como explorar dstntas geometrías para los obstáculos. Un estudo complementaro al presente consstría en estudar seres más largas de porosdad constante, pero para ello es necesaro trabajar con regones de mayor tamaño, lo que mplca recursos mayores de hardware. Fnalmente, será nteresante reproducr estos resultados a nvel expermental. Referencas 1 Bear J. Dynamcs of fluds n porous meda, Elsever New York, Dards O., McCloskey J.; Phys. Rev. E. 57(4), , Santos L. et al; J. Petr. Sc. and Eng., 35, , Kohrng G., J. Stat Phys., 63, , Kohrng G., Physca A, 186, , Van Doormaal M., Phaorah J., Int. J. Numer. Meth. Fluds, 59, 75-89, Rothman D., Zalesk S., Lattce Gas automata: smple models of complex hydrodynamcs, Cambrdge Unversty Press, Rvet J.P., Boon J.P.; Lattce gas hydrodynamcs, Cambrdge Unversty Press, UK, Martínez D., Matthaeus, Chen S., Montgomery D., Phys. Fluds, 6(3), , 1994.

5 9 Chen S., Doolen G., Annu. Rev. Flud Mech., 30, , Zou Q., He X. Phys. Fluds, 9 (6) (1997) 11 Maer R.S., Bernard R. S., Grunau D. W., Phys. Fluds, 8 (7), , Latt, J.