INTERPRETACIÓN DE DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN UTILIZANDO DISTINTOS REGISTROS DE REPRESENTACIÓN

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1 CB 41 INTERPRETACIÓN DE DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN UTILIZANDO DISTINTOS REGISTROS DE REPRESENTACIÓN Graciela ECHEVARRÍA, Karina OLGUÍN, Juan RENAUDO, Cristina COSCI, Gladys MAY Facultad de Ingeniería y Ciencias Económico Sociales - Universidad Nacional de San Luis - Argentina gecheva@fices.unsl.edu.ar rkolguin@fices.unsl.edu.ar Nivel Educativo: Educación Superior. Palabras Clave: Función, dominio, recorrido, cambio de registro. RESUMEN En el presente trabajo analizaremos las respuestas dadas por 35 alumnos de primer año de la carrera de Ingeniería Industrial sobre el concepto de dominio de una función, tomamos este tema en particular convencidos de que es un concepto de difícil abordaje por parte de los alumnos en este periodo de aprendizaje, dado que es a nuestro entender un concepto complejo debido a que se expresa en una multiplicidad de registros y genera diferentes niveles de abstracción. El estudio se basó en analizar tres ejercicios, en el primero se les solicitó que dada la función definida por partes, ellos debían dibujarla y encontrar el dominio y recorrido, el segundo ejercicio radicó en que se le daba la expresión algebraica, ellos debían encontrar cuál era la gráfica pertinente y de ese modo encontrar el dominio y recorrido y el último ejercicio consistió en hallar la composición de funciones, de las cuales se da la expresión algebraica de las mismas, enfrentándose de esta manera a la necesidad de aplicar el concepto de dominio de una función INTRODUCCIÓN El concepto de función, siendo considerado como uno de los puntos centrales en los currículos escolares, es sin embargo, un concepto complejo debido a que se expresa en una multiplicidad de registros y genera diferentes niveles de abstracción y de significados. El aprendizaje de este concepto es uno de los objetivos fundamentales en la enseñanza del Cálculo y su importancia se debe a que es imprescindible para la comprensión de conceptos tales como continuidad, límite o derivada de funciones. Son numerosas las investigaciones en el campo de la Didáctica de la Matemática que dan cuenta de esta problemática (García y Llinares, 1995, Leinhardt, Zaslavsky y Stein, 1990; Ruiz Higueras, 1998), por lo que consideramos que merece una atención especial, ya sea desde la problemática específica del proceso de enseñanza y aprendizaje, como también desde el análisis teórico que servirá como apoyo para detectar elementos que puedan servir al docente para evaluar el conocimiento acerca del tema. En consecuencia, el trabajo que presentamos a continuación muestra los resultados y conclusiones de una investigación llevada a cabo con alumnos de la Facultad de Ingeniería de 294

2 la Universidad Nacional de San Luis, la cual nos hemos apoyado en el análisis teórico realizado en una etapa previa, cuyas conclusiones han sido publicadas (Gatica y Tauber, 2000). El Análisis Matemático es una de las primeras asignaturas básicas con que se encuentra el ingresante a la Universidad en las carreras de ingeniería, ya que sus contenidos pueden considerarse como pilares en su formación. En esta etapa se brinda al alumno los conocimientos básicos que le servirán de herramientas al llegar a las materias propias de su especialidad. En la enseñanza elemental del Análisis Matemático se otorga gran importancia a los tratamientos de cálculo: composición de funciones, determinación del dominio de funciones, cálculo de derivadas, cálculo de integrales, etc. También se ha comprobado que la enseñanza tradicional tiende a centrarse en una práctica algorítmica y algebraica y a evaluar sobre las competencias adquiridas en este dominio (Artigue, 1995). De esta manera, los distintos temas que se desarrollan, dependen de las definiciones matemáticas de los objetos, perdiéndose el valor que tienen las conversiones entre registros para el aprendizaje, debido a que no se exploran de manera consistente las actividades que favorecerían su articulación con otros medios de expresión y representación matemática que utilicen el uso simultáneo de varios registros de representación semiótica. Siguiendo a Duval (1998), esta articulación es condición necesaria para una buena apropiación de los objetos matemáticos. Esta situación, genera una serie de problemas en asignaturas de la especialidad, en donde el uso que se le da a los conceptos cumple con objetivos muy diferentes. Diversas investigaciones han detectado importantes dificultades en los estudiantes en el campo conceptual del Análisis. Tal como asegura Hitt (1998), los alumnos de una carrera de Ingeniería, después de llevar un curso de Cálculo, no logran resolver problemas no rutinarios. Este autor sugiere que los métodos tradicionales de enseñanza del cálculo son insuficientes en la preparación de buenos estudiantes para aplicar el cálculo de manera creativa. Las matemáticas que se enseñan en la carrera de Ingeniería, exigen una comprensión profunda de los conceptos de Análisis, en particular del concepto de "función", el cual es fundamental para el desarrollo de esta asignatura. El objetivo principal en su enseñanza es que los estudiantes universitarios sean capaces de distinguir entre sus diferentes usos y los puedan aplicar en materias de su especialidad. No obstante, su aprendizaje representa grandes dificultades a los estudiantes. Tal como expresa Hitt (1996, pp. 246): La aprehensión del concepto de función no parece una tarea fácil, la gran cantidad de investigaciones realizadas con estudiantes para detectar obstáculos en el aprendizaje del concepto confirman la dificultad de aprensión del concepto luego agrega tienen una fuerte tendencia en pensar en funciones continuas y, en muchos casos les falta habilidad para construirlas De la misma manera, el análisis efectuado por Gatica y Tauber (2000), evidencia el alto nivel de complejidad de esta noción. Esta problemática ha sido abordada por numerosas investigaciones en matemática educativa a nivel secundario (Leinhardt, Zaslavsky y Stein, 1990; Ruiz, 1998, García y Llinares, 1995; Hitt, 1996; Hoyos, 1998; De la Rosa, 2000), pero son escasos los estudios realizados sobre cómo manejan este concepto los estudiantes que ingresan a la universidad. En cuanto a la determinación del dominio de funciones, los alumnos presentan serias dificultades. Esto es debido a que en este concepto se encuentran involucrados otros temas 295

3 tales como intervalos, desigualdades y en general determinación de indefiniciones como por ejemplo, denominadores iguales a cero o raíces negativas de índice par (Meneses, 2000; p. 130). Esta misma autora se pregunta si los alumnos comprenden cuando se les dice: Qué hacer cuando no se especifica el dominio de una función?.. en adelante cuando no especifiquemos el dominio de una función dada por una fórmula, se supondrá que éste consiste en todos los números a los que la fórmula les asigna como valor un número real... Con nuestro trabajo pretendemos aportar información y tratar de dar respuesta a las preguntas: Qué tipo de representaciones utilizan los estudiantes para determinar el dominio de una función? Como determinan el dominio de una función? MARCO TEÓRICO El presente trabajo considera como referencia el enfoque cognitivo basado en los registros de representación semiótica (Duval, 1998) y su importancia en el aprendizaje del concepto de dominio y recorrido de una función Este autor nos señala la importancia en matemáticas de la palabra representación; esto es debido a que los objetos matemáticos no son directamente accesibles de la percepción. La importancia que da Duval a las representaciones, lo lleva a la creación de los registros de representación, entendiendo al registro como un medio de expresión o de representación. Un registro se caracteriza por su sistema semiótico, es decir, por sus signos propios y la manera que estos se organizan. Duval nos presenta además la posibilidad de representar un concepto en varios registros de representación. También expresa que la adquisición de los conceptos matemáticos es una aprehensión conceptual y el aprendizaje de estos conceptos solo se logra a través de las representaciones semióticas; en otras palabras para lograr una aprehensión conceptual de un objeto matemático es necesario que existan conversiones con al menos dos registros de representación. En otras palabras, para la comprensión de un objeto es necesaria la coordinación de los diferentes registros de representación del concepto, bastando con la coordinación de al menos dos registros de representación. Esta coordinación no es natural, se presenta como un paso difícil de realizar lo que ocasiona que en general no se realice en la enseñanza. Se puede observar en todos los niveles un encierro de los registros de representación entre la mayoría de los alumnos, ya que, estos no reconocen el mismo objeto a través de representaciones que son dadas en sistemas semióticos diferentes. Cuando se enseña un concepto en un solo registro (mono-registro) no se obtienen resultados óptimos en el aprendizaje, Duval señala que el mono registro conduce a un trabajo a ciegas, sin posibilidad de control del "sentido" de lo que se hace. Para la enseñanza de dominio y recorrido, los diferentes registros de representación que un alumno puede utilizar para resolver un problema son: a) Registro de lenguaje natural: el que corresponde al enunciado verbal del problema b) Registro Gráfico: el que corresponde a la representación de las curvas c) Registro algebraico: el que corresponde a la escritura simbólica algebraica (resolución analítica del problema) Objetivo Nuestro objetivo es analizar el rol que juegan los registros de representación en las 296

4 respuestas sobre dominio de una función de los estudiantes, ya que distinguir y coordinar distintos registros es una actividad necesaria para la comprensión en general de los conceptos matemáticos. METODOLOGÍA El instrumento de medición consistió en la presentación de tres situaciones problemáticas, el cual fue aplicado a 35 alumnos de la carrera de Ingeniería Industrial que cursaban la asignatura Análisis Matemático I correspondiente al primer cuatrimestre de primer año. Actividad 1: a) Graficar la función b) Hallar dominio y recorrido Dada la función f ( x) 3x = 2 x + 2 x 1 x < 1 El objetivo de la parte a) de esta actividad es analizar si los alumnos tienen dificultades al realizar la conversión entre el registro algebraico y el registro gráfico. La importancia de esta actividad radica en que los alumnos a partir de ella deben determinar el dominio y recorrido. El criterio de corrección de esta consigna es ver como grafican. Se considera: Bien: si grafica correctamente la función. Regular si grafica al menos una parte de la función bien y otra mal. Mal: Si está todo mal. No contesta: Si no contesta la consigna. Del total de respuestas analizadas los resultados fueron los siguientes Hubo 4 respuestas bien, 11 regulares, 15 mal y 5 no respondieron. Se puede visualizar los resultados en el siguiente gráfico 14% 11% 44% 31% Bien Regular Mal NC Se pudo observar la dificultad que presentan los alumnos al graficar la función definida por tramos, (el 44 % resolvió mal la actividad) no tienen en cuenta las restricciones, entonces no saben hasta donde deben graficar la función. En general, les resulta dificultoso las restricciones de la funciones, grafican toda la parábola y toda la recta en todo su dominio. 297

5 Otra observación importante es que los alumnos grafican a partir del 0 ignoran los valores comprendidos en el intervalo (0,1). Otra observación la función lineal f ( x) 3x esta respuesta la dieron solo 3 alumnos. = la grafican como una recta constante en y = 3, A continuación se escanean algunas de las situaciones planteadas referidas a la parte de gráfica de la función Alumno: 1 En ( x) = x f Considera el coeficiente de x negativo. Alumno: 3 Si ( x) = x f está definida para los x < 1, el alumno grafica a partir de los x 0. Lo que nos hace suponer en este caso, que x < 1 comienza a partir de cero., como si estuviese trabajando en el conjunto de los números positivos. Alumno: 9 Grafica las funciones en todo su dominio, no tiene en cuenta las restricciones. Grafica como si fuesen dos funciones. El objetivo del apartado b) de esta actividad es analizar si tienen dificultades para encontrar el dominio y recorrido de una función. Las observaciones en general son las siguientes: Los alumnos fallaron fundamentalmente en la escritura. Además escriben el dominio y recorrido de acuerdo a lo que ellos graficaron. Escriben el dominio teniendo en cuenta la restricción de la función x > 1 y x 1 298

6 Alumno: 3 Si bien es cierto que al expresar el dominio como unión de dos intervalos daría el resultado esperado, la forma de expresarlo de ninguna manera es la correcta. En el segundo renglón hace una interpretación errónea de lo escrito en el primero, y en cuanto a la escritura del recorrido no lo hace simbólicamente en forma correcta y también lo escribe mal. Alumno: 31 La notación simbólica tanto de dominio como el recorrido está mal indicado y vemos que consideran que el dominio es la parte superior de la restricción de la función y el recorrido lo consideran como la parte inferior de la restricción. Actividad 2: a) Sea la función f ( x) = ln ( x +1) esta función:. Indicar cuales de las siguientes gráficas corresponden a a) y b) y 4 c) y x x x b) Dar el dominio y recorrido de la función f(x) En la parte a) se les pedía a los alumnos que relacione la función f ( x) = ln ( x + 1) con su respectiva gráfica. La respuesta correcta pertenece al grafico c. De un total de 35 alumnos, 24 alumnos respondieron correctamente, lo que se puede observar es que los alumnos para responder se ayudaron con la construcción de una tabla de valores, en vez de asociar la grafica con el dominio dado. Identificar la función 9% 14% 9% 68% Grafica a Grafica c Grafica b No contesta 299

7 En la parte b) de la consigna, se les pedía dar el dominio y recorrido de la función. La mayoría de las respuestas son regulares, los mismos alumnos que contestaron correctamente el punto anterior, no determinan correctamente el dominio y el recorrido. Se les considera regular, porque al menos determinaron bien el dominio o el recorrido Dominio Rango bien mal NC Se puede observar que el dominio de la función resulta más dificultoso que calcular el recorrido. Algunos errores en la escritura del dominio y recorrido fueron: se escanean a continuación algunas situaciones: Alumno: 9 Mal la escritura. Alumno: 15 El dominio de la función no corresponde pero la notación está bien expresada en el registro simbólico. En el rango, su escritura esta mal, porque los reales ya es un conjunto y el mismo no puede ser mayor a cero. Alumno: 2 No hace una lectura correcta de la gráfica dado que consigna como dominio de la misma, los x -1. No interpreta la función logarítmico Alumno: 16 Mas allá de estar mal el dominio, lo que realmente preocupa es que el recorrido lo escribe como si lo leyese sobre el eje x 300

8 Alumno: 35 Escribe como recorrido el dominio de la función, pero lo expresa como intervalo, no hace lectura del rango. Alumno: 26 Alumno: 21 En la parte superior la notación de dominio es inadecuada y errónea. En la parte inferior si bien comete error al escribir el intervalo ( 1 < x < + ) dado que hubiera bastado con escribir ( x > 1) demuestra que tiene idea del dominio de la función. En el caso del recorrido en ambas notaciones demuestra la falta de interpretación del registro gráfico. No interpreta la consigna, y aparentemente hace un análisis de las tres gráficas, pero sin relación alguna con la pregunta. Con la parte a) de este ejercicio el docente no puede dar por sentado que el alumno ha comprendido el tema de dominio y recorrido de una función, necesariamente hace falta la consigna b) para saber si el tema fue entendido. Actividad 3: Dadas las funciones ( ) 2 x f x = x + 1 y g ( x) = e. Encontrar si es factible ( g) Justificar. f. Se considera: Bien: Si denotan correctamente dominio y recorrido de ambas funciones, verificando la condición de composición y concluyendo con la escritura correcta de la función compuesta. Regular: Aquellos que habiendo consignado correctamente dominio y recorrido de ambas funciones no verifican la condición de composición. Mal: Si sacan mal dominio y recorrido y no escriben la función compuesta. No contesta: Si no contesta la consigna. Del análisis de los resultados se observa que contestan mal ya que realizan directamente la composición sin verificar la condición Rg D f Dentro de la categoría de los que realizan mal se encuentran aquellos que sacan mal el dominio y recorrido de la función Bien Regular Mal NC 301

9 CONCLUSIONES Se pudo observar que los alumnos tuvieron gran dificultad en el primer ejercicio, en el que la función estaba definida por partes y se les solicitaba hallar el dominio, también se evidenciaron errores cuando dada la gráfica tenían que vincular ésta con la expresión algebraica. En la segunda actividad un error observado con frecuencia fue el considerar el dominio de la función logaritmo como los reales positivos sin tener en cuenta el argumento de esta función en particular, lo que evidencia una automatización en las respuestas. En lo que respecta a la actividad de composición pudimos observar que los alumnos al momento de aplicar concretamente el concepto de dominio y recorrido de una función no tienen en cuenta que ese concepto adquirido previamente debe ser aplicado a una situación problemática específica, en este caso en particular se evidencia en el hecho que realizan la composición sin que previamente determinen el dominio y recorrido de las funciones involucradas. Este acercamiento nos confirma una vez más la importancia que reviste para el alumno una apropiación correcta del concepto de dominio y recorrido de una función. BIBLIOGRAFÍA Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos. En P. Gómez (Ed.). Ingeniería didáctica en educación matemática: Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, (pp ). México: Grupo Editorial Iberoamérica. Carrión V. y Arrieta J. (1998). La modelación de fenómenos como proceso de matematización para la formación, tratamiento y conversión de representaciones en diferentes sistemas semióticos. En F. Hitt (Ed.), Investigaciones en Matemática Educativa II (p ). México: Departamento de Matemática Educativa. Cinvestav-IPN. Contreras, A. y Sánchez, C. (1995). Un estudio sobre las concepciones de los alumnos de C.O.U. en torno a la noción de límite de una función. VII Jornadas Andaluzas de Educación Matemática "Thales", (pp ). España: Córdoba. Contreras, A. (2000). La enseñanza del Análisis Matemático en el Bachillerato y primer curso de Universidad. Una perspectiva desde la teoría de los obstáculos epistemológicos y los actos de comprensión. Actas del IV Simposio de la SEIEM. España: Huelva. De la Rosa, A. (2000). El concepto de función en secundaria: Conocer el grado de visualización de función lineal en el alumno. En F. Hitt y A. Hernández (Eds.), Experimentaciones en Educación Matemática en los Niveles Medio Superior y Universitario. (pp ). México: Departamento de Matemática Educativa. Cinvestav. Duval, R. (1993). Registres de reprësentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Science Cognitives 5 (p ). 302

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