IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Comunidad de Madrid. Año 09. Junio. Opción A

Transcripción

1 IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Comunidad de Madrid. Año 9. Junio. Opción A Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro k. b) esuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) esuélvase el sistema para k O. a) Discusión: Sean C la matri de coeficientes A la matri ampliada, tenemos k k C k C k k Para k (C) (A) nº de incógnitas (a que C es submatri de A con (A) ), luego sistema compatible determinado. Para k, se estudian los rangos de C de A 9 ) ( A, pues -, esto es, son linealmente dependientes. (C) como C submatri de A, (C). (C) (A) < número de incógnitas, sistema compatible indeterminado. b) esolver para k, k Para k se ha visto que el sistema es compatible indeterminado, se escribe el sistema desde la última matri de la discusión del sistema: La solución en paramétricas: -,,,

2 Para k La solución única es:,, Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por a) Determínense los etremos relativos de f. b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f el eje OX. a) Etremos relativos: La función es polinómica luego está definida para todo valor real. f '( ) f (),, Si A(, ) f "( ) f ( ) 8 > () A(, ) Mínimo relativo. Si B(,); f () - < ( ) B(, ) Máimo relativo. Si B(,); f () 8 > () B(, ) Mínimo relativo. b) Ecuación de la recta tangente a en el punto de tangencia. Sabemos que la ecuación de la recta tangente viene dada por, siendo la pendiente de la recta tangente (Interpretación Geométrica de la derivada). luego la recta tangente es.

3 c) Cálculo del área. Hallamos los puntos de corte de integración: con el eje OX, los cuales determinan los límites de Si Área Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Se consideran tres sucesos A, B, C de un eperimento aleatorio tales que:

4 p(a) ; p(b) ; p(c) ; p ; p ; p p a) Calcúlese p b) Calcúlese p. La notación representa al suceso complementario de A a) Queremos hallar p con los datos dados. Sabemos que para tres sucesos compatibles dos a dos, se verifica: p(a) p(b) p(c)- -p -p p para despejar la probabilidad pedida debemos calcular previamente ) p. Como p(b) análogamente, p p. Por tanto p - ; esto es, los sucesos B C son independientes. b) Para hallar la probabilidad pedida utiliamos las Lees de Morgan, sabemos que p( ) p( ) - p( ) p( ) -. Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Se supone que el gasto mensual dedicado al ocio por una familia de un determinado país se puede aproimar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a euros. Se ha elegido una muestra aleatoria simple de 8 familias, obteniéndose un gasto medio de euros. a) Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimación del gasto medio por familia mediante la media de la muestra es menor que euros con un grado de confiana del 9%? aónese la respuesta. b) Cuál es el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para poder asegurarlo? a) Cálculo del error de la estimación: Como α,9 se tiene que P( α / α / ),9 P( α / α / ) P( α / ) ( P( α / )),9

5 P( α / ),9,97 α /,96 El error máimo admisible para la media viene dado por: E Por tanto E,96,98, luego no se puede asegurar que el valor del error de la estimación del gasto medio por familia mediante la media de la muestra sea menor que pues el error máimo admisible es E,98>. b) Tamaño de la muestra. Como α,9 se tiene que P( α / α / ),9 α /,96; queremos tener un error máimo admisible de E, despejando de la fórmula del error para la media tenemos que el tamaño de la muestra: n,96 n 6,. Se deben de tomar 6 familias para cometer un error menor de euros con un nivel de confiana del 9%.