UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. OPCIÓN A (Junio 2.007)

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1 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLI- CADAS A LAS CIEN- CIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: hora y minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, eplique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A (Junio.7) EJERCICIO Sean las matrices A, X y e Y. z a) ( punto) Determine la matriz inversa de A. b) ( puntos) Halle los valores de, y, z para los que se cumple A X Y. EJERCICIO Para la función f : R R definida de la forma f() , determine: a) (.5 puntos) Su monotonía y sus etremos relativos. b) (.5 puntos) Su curvatura y su punto de infleión. EJERCICIO Parte I La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se etraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que, al menos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos: a) ( punto) Si se etraen las cartas con reemplazamiento. b) ( punto) Si se etraen las cartas sin reemplazamiento. Parte II En una muestra aleatoria de 5 individuos se ha obtenido una edad media de 7.4 años. Se sabe que la desviación típica de la población Normal de la que procede esa muestra es de años. a) ( punto) Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media de la población. b) ( punto) Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza, al 9%, tenga de amplitud a lo sumo.5?

2 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLI- CADAS A LAS CIEN- CIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: hora y minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, eplique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B (Junio.7) EJERCICIO Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes inecuaciones: y 4; y + 7; y + ; ; y. a) ( puntos) Represente el recinto y calcule sus vértices. b) ( punto) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los valores máimo y mínimo la función F(, y) 4 + y. EJERCICIO a) ( puntos) Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f() a b en el punto (, 5) sea la recta y +. b) ( punto) Para que g() e + L(+), calcule g (). EJERCICIO Parte I En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara se etrae una bola de la urna y si sale cruz se etraen, sin reemplazamiento, dos bolas de la urna. a) ( punto) Calcule la probabilidad de que se hayan etraído dos bolas rojas. b) ( punto) Halle la probabilidad de que no se haya etraído ninguna bola roja. Parte II En una granja avícola se ha tomado una muestra aleatoria de polluelos de pato, entre los cuales se encontraron hembras. a) (.5 puntos) Halle un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la proporción de hembras entre estos polluelos. b) (.5 puntos) Razone, a la vista del intervalo encontrado, si a ese nivel de confianza puede admitirse que la verdadera proporción de hembras de pato en esa granja es.5.

3 Prof. R. Mohigefer - Selectividad Junio 7. Soluciones Página Soluciones OPCIÓN A (Junio.7) EJERCICIO Sean las matrices A, X y e Y z. a) ( punto) Determine la matriz inversa de A. Para que eista A, debe ser A. Como A (como se ve inmediatamente por Sarrus), eiste la inversa de A. A T Adj(A T ) A ) Adj( T A A b) ( puntos) Halle los valores de, y, z para los que se cumple A X Y. A X Y y z + z y y y La ecuación central ya nos ha proporcionado el valor de y. Sustituyendo en la primera y tercera: + z 4 + z z z + Luego las soluciones son:, y, z. EJERCICIO Para la función f : R R definida de la forma f() , determine: a) (.5 puntos) Su monotonía y sus etremos relativos. Se tiene que: f () Para determinar la monotonía, dividimos el dominio de f en intervalos mediante: Puntos de discontinuidad de f : No tiene (es polinómica). Puntos de discontinuidad de f : No tiene (también es polinómica). Soluciones de la ecuación f () : (Simplificando entre 4): ± 9 7 ± ± Ponemos en un cuadro los intervalos resultantes, separando los puntos que hemos obtenido; tomamos un punto cualquiera de cada uno de esos intervalos, lo sustituimos en la ecuación anteriormente obtenida de f y, según el signo resultante, averiguamos la monotonía de f: En hay un máimo relativo, porque a su izquierda la función es creciente y a su derecha, decreciente. Su imagen es: f() Las coordenadas del máimo relativo son: (. 8). (, ) (, 5) 5 (5, + ) f + + f Má Mín

4 En 5 hay un mínimo relativo. Como f(5) Sus coordenadas son: (5, ). b) (.5 puntos) Su curvatura y su punto de infleión. Se tiene que: f () Para determinar la curvatura, dividimos el dominio de f en intervalos mediante: Puntos de discontinuidad de f : No tiene (es polinómica). Puntos de discontinuidad de f : No tiene (también es polinómica). Soluciones de la ecuación f () : /48 7/ Ponemos en un cuadro los intervalos resultantes, separando el punto que hemos obtenido; tomamos un punto cualquiera de cada uno de esos intervalos, lo sustituimos en la ecuación anteriormente obtenida de f y, según el signo resultante, averiguamos la curvatura de f: (, 7/) 7/ (7/, + ) f + f P.I. En 7/ hay un punto de infleión, puesto que la función es cóncava a su izquierda y convea a su derecha. Como f(7/) 8 (7/) 84 (7/) + 4 (7/) 54, sus coordenadas son (7/, 54). EJERCICIO Parte I La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se etraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que, al menos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos: a) ( punto) Si se etraen las cartas con reemplazamiento. Los resultados de las dos etracciones constituyen sucesos independientes, puesto que, como la primera carta se restituye a la baraja, no influye en el resultado de la segunda etracción. Por tanto: P( al menos una carta es de espadas ) P( ninguna de las dos es de espadas ) P( la ª carta no es de espadas y la ª carta no es espadas ) P( la ª carta no es de espadas la ª carta no es espadas ) P( la ª carta no es de espadas ) P( la ª carta no es espadas ) porque hay cartas que no son de espadas de un total de 4 cartas. b) ( punto) Si se etraen las cartas sin reemplazamiento. En este caso, los sucesos son dependientes. Si llamamos A la ª carta no es de espadas, B la ª carta no es de espadas : P( al menos una carta es de espadas ) P( ninguna de las dos es de espadas ) 9 P(A B ) P(A) P(B/A) Porque en la primera etracción hay cartas que no son de espadas de un total de 4. Pero en la segunda, ya hay una carta menos que no es de espadas (luego quedan 9) de Prof. R. Mohigefer - Selectividad Junio 7. Soluciones Página

5 un total de 9 cartas, porque damos por hecho que la primera carta etraída no ha sido de espadas. Parte II En una muestra aleatoria de 5 individuos se ha obtenido una edad media de 7.4 años. Se sabe que la desviación típica de la población Normal de la que procede esa muestra es de años. a) ( punto) Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media de la población. El intervalo de confianza para la media poblacional es: σ σ zα, + zα n n El nivel de confianza es α,95 α,5 α/,5 α/,975 Buscando en las tablas de la normal el valor tal que P(z Z α/ ) α/,975, resulta que Z α/,9. Por tanto, el intervalo pedido es: 7.4.9, (7.55, 7.45) 5 5 b) ( punto) Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza, al 9%, tenga de amplitud a lo sumo.5? σ La amplitud del intervalo de confianza es zα, que nos piden que sea, como n máimo,,5. El nivel de confianza es α,9 α, α/,5 α/,95 Buscando en las tablas de la normal el valor tal que P(z Z α/ ) α/,95, resulta que Z α/,45. Entonces: σ,58 zα,5,45,5 n n,5 n n, 7,85 Este valor no es posible como tamaño muestral. A medida que n es mayor, la amplitud del intervalo es menor (en la fórmula de la amplitud del intervalo, n está en el denominador: si n es mayor, dividimos entre un número mayor, por lo que el resultado es más pequeño). Por tanto, el mínimo valor necesario es n 74. Prof. R. Mohigefer - Selectividad Junio 7. Soluciones Página

6 OPCIÓN B (Junio.7) EJERCICIO Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes inecuaciones: y 4; y + 7; y + ; ; y. a) ( puntos) Represente el recinto y calcule sus vértices. Dibujamos paso a paso la región factible. y 4 y + 4: Representamos la recta y + 4 y el área correspondiente es la que queda por debajo (porque es la que contiene los puntos cuya coordenada y es inferior a la de los puntos que están sobre la recta. y + 7 y + 7. Representamos y + 7 y elegimos el área que queda sobre la recta (y debe valer más que en los puntos de la recta). y + + y Son, también, los puntos que quedan bajo la recta (y debe valer menos que en los puntos de la recta). son los puntos que están a la derecha del eje OY. y son los que están más arriba del eje OX. La zona común a todas las regiones es la que queda en el dibujo final. Los vértices que delimitan la región están señalados: A, B, C y D. Vamos a calcular sus respectivas coordenadas. Para ello, resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las dos rectas de las que son intersección cada uno de ellos. y + 7 A: Sustituyendo la ª ec. en la ª: y / A(7/, ) y + B: + y / B(/, ) y + C: Sustituyendo la ª en la ª: y Sustituyendo en la ª ec: y +4 7 C(, 7) y + 7 D: y + 4 y +4 5 D(, 5) b) ( punto) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los valores máimo y mínimo la función F(, y) 4 + y. Tanto el máimo como el mínimo estarán sobre vértices de la región factible o en todos los puntos de un segmento entre dos vértices. Para averiguarlo, hallamos el valor de la función objetivo en los cuatro vértices. F(A) F(7/, ) 4 7/ + (valor mínimo) Prof. R. Mohigefer - Selectividad Junio 7. Soluciones Página 4

7 F(B) F(/, ) 4 / + 5 (valor máimo) F(C) F(, 7) (valor máimo) F(D) F(, 5) (valor mínimo) Vemos, pues, que el máimo se alcanza en todos los puntos del segmento que une B con C, y vale 5. El mínimo, en todos los puntos del segmento AD y vale. Teníamos otra opción que, al menos en este caso, es más trabajosa. En primer lugar, dibujamos la recta 4 + y (la función objetivo igualada a ). Lo hemos hecho en el último gráfico, en color rojo. Desplazándola de forma paralela (o sea, dibujando la recta 4 + y c) hacia arriba vemos que el máimo valor tocando puntos de la región factible se alcanzaría al tocar B y C, porque la recta roja es paralela a este segmento (en el gráfico puede resultar dudoso, pero es que ambas rectas tienen pendiente ). El máimo valor se alcanza subiendo la función objetivo lo más posible sin salirse de la región factible, porque el coeficiente de y en aquélla, que es, es positivo; de lo contrario, sería la recta más baja posible). El mínimo valor lo encontraremos al tocar A y D. Llegados a este punto, hemos de calcular las imágenes para ver cuánto es el valor máimo y cuánto el mínimo, por lo que, además de este razonamiento y de dibujar la recta roja mediante una tabla de valores, nos vemos obligados a repetir lo que hicimos antes. Por eso dijimos que es más trabajoso. EJERCICIO a) ( puntos) Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f() a b en el punto (, 5) sea la recta y +. Nos dicen el punto de tangencia (, 5) y la ecuación de la recta tangente. De ella deducimos que la pendiente de la recta tangente en dicho punto debe valer. O sea, que f (). Como f () a f () a a /. Por otra parte, el punto (, 5) pertenece tanto a la gráfica de f como a la de la recta tangente (en efecto, puede comprobarse que la recta y + pasa por dicho punto, sin más que sustituir y ver que se obtiene y 5). Por tanto, f () 5 7 b 5 5 b b. 5 5 b) ( punto) Para que g() e + L(+), calcule g (). g () e + g () e EJERCICIO Parte I En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara se etrae una bola de la urna y si sale cruz se etraen, sin reemplazamiento, dos bolas de la urna. a) ( punto) Calcule la probabilidad de que se hayan etraído dos bolas rojas. Son tres eperimentos aleatorios sucesivos. Construimos un árbol con sus correspondientes probabilidades. Tenemos en cuenta que si sale cara no se etrae una segunda bola. Si sale cruz, dos bolas sin reemplazar equivalen a etraer una y luego otra sin devolver la primera a la urna. Al etraer la segunda bola ya no hay en la urna, sino 5. Teniendo en cuenta el color de la primera, quedan más o menos del color en que nos fijamos. Con estas premisas establecemos las probabilidades de cada rama. Prof. R. Mohigefer - Selectividad Junio 7. Soluciones Página 5

8 Observamos que sólo la última rama es la que da lugar a dos bolas rojas. Por tanto, la probabilidad que nos piden es la de dicha rama, que es el producto de todas las probabilidades desde la raíz del árbol hasta llegar al final de dicho ramal: p( bolas rojas ) 5 Moneda ª bola ª bola 4 B C + 4 R B R B R B R b) ( punto) Halle la probabilidad de que no se haya etraído ninguna bola roja. Será la suma de los ramales donde no sale ninguna roja; esto es, el primero (B), el tercero (BB) y ya está, porque el segundo (R), el cuarto (BR), el quinto (RB) y el seto (RR) contienen alguna roja. Por tanto: P( ninguna roja ) Estos problemas pueden resolverse sin árbol. Pero el uso de éste es un procedimiento estándar que nos suele conducir a la solución sin demasiados problemas. Parte II En una granja avícola se ha tomado una muestra aleatoria de polluelos de pato, entre los cuales se encontraron hembras. a) (.5 puntos) Halle un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la proporción de hembras entre estos polluelos. Lo que hay que saberse es que el intervalo de confianza de nivel α para la proporción poblacional, siendo pˆ la proporción muestral, es: pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) pˆ z pˆ α, + zα n n Por el enunciado, sabemos que pˆ / /5, y que n. Además se tiene que pˆ,4. El nivel de confianza es α,98 α, α/, α/,99 Buscando en las tablas de la normal el valor tal que P(z Z α/ ) α/,99, resulta que Z α/,. Por tanto, el intervalo pedido es: ,. +. (.59,.8) b) (.5 puntos) Razone, a la vista del intervalo encontrado, si a ese nivel de confianza puede admitirse que la verdadera proporción de hembras de pato en esa granja es.5. La probabilidad de que el valor verdadero de p esté en el intervalo anterior es del 98%. Como.5 no pertenece al intervalo, concluiremos que no es admisible que sea el valor verdadero de la proporción de hembras, con el nivel de confianza mencionado. Prof. R. Mohigefer - Selectividad Junio 7. Soluciones Página

9 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLI- CADAS A LAS CIEN- CIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: hora y minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, eplique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A (Septiembre.7) EJERCICIO De un problema de programación lineal se deducen las siguientes restrcciones: + y 4 + y, y,,, y a) ( puntos) Represente gráficamente la región factible del problema y calcule sus vértices. b) (.5 puntos) Maimice en esa región factible la función objetivo F(, y) + y. c) (.5 puntos) Pertenece el punto (, ) a la región factible? EJERCICIO si Sea la función f : R R, definida por f ( ). + m + 5 si > a) ( punto) Calcule m para que la función sea continua en. b) ( punto) Para ese valor de m, es derivable la función en? c) ( punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en. EJERCICIO Parte I En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica P(A B)., P(A C B C )., P(A/B).5. a) (.75 puntos) Calcule P(B). b) (.75 puntos) Calcule P(A B). c) (.5 puntos) Son A y B independientes? Parte II Se sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley Normal de media y desviación típica 4.8. a) ( punto) Si se toma una muestra aleatoria de individuos, cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra sea superior a 5 puntos? b) ( punto) Qué porcentaje de muestras de tamaño 5 tiene una media muestral comprendida entre 4 y?

10 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLI- CADAS A LAS CIEN- CIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: hora y minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, eplique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B (Septiembre.7) EJERCICIO 9 a) (.5 puntos) Halle la matriz A que verifica A. 5 8 b) (.5 puntos) Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones siguientes: y + z ; + y z ; 8y + 5z. EJERCICIO a) ( puntos) Sea la función definida para todo número real por f() a + b. Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (, ) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es. b) ( punto) Si en la función anterior a y b 4, determine sus intervalos de monotonía y sus etremos. EJERCICIO Parte I Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se etrae, al azar, una bola de una de las urnas. a) ( punto) Calcule la probabilidad de que la bola etraída sea roja. b) ( punto) Si la bola etraída resulta ser azul, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? Parte II Se sabe que (45., 5.) es un intervalo de confianza, al 95%, para la media de una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 5. a) (.5 puntos) Cuál es el error cometido? b) (.5 puntos) Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral mínimo necesario para que el error no sea superior a.8.

11 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLI- CADAS A LAS CIEN- CIAS SOCIALES II CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN OPCIÓN A Ejercicio : puntos a) Hasta punto por la región, hasta punto por los vértices. b) Hasta.5 puntos. c) Hasta.5 puntos. Ejercicio : puntos Ejercicio : a) Hasta punto. b) Hasta punto. c).5 por el punto de tangencia,.5 puntos por la pendiente;.5 por la recta. Parte I: puntos a) Hasta.75 puntos. b) Hasta.75 puntos. c) Hasta.5 puntos. Parte II: puntos a) Hasta punto. b) Hasta punto. Ejercicio : puntos OPCIÓN B Ejercicio : puntos Ejercicio : a).5 puntos por el planteamiento. punto por la resolución. b).5 puntos por clasificar. punto por resolver. a) Hasta punto por el planteamiento de las ecuaciones. Hasta punto por el cálculo de a y b. b) Hasta punto. Parte I: puntos a) Hasta punto. b) Hasta punto. Parte II: puntos a) Hasta.5 puntos. b) Planteamiento.5 puntos. Resolución punto.

12 OPCIÓN A (Septiembre.7) EJERCICIO De un problema de programación lineal se deducen las siguientes restrcciones: + y 4 + y, y,,, y a) ( puntos) Represente gráficamente la región factible del problema y calcule sus vértices y y. Es el área sobre la recta y, porque los puntos del área tienen que tener la y mayor que los que están sobre la recta. y, es el área bajo la recta y. + y y. Es el área sobre la recta y., y nos limita al primer cuadrante. Por tanto, el área es la del gráfico adjunto. Hemos dibujado también, en azul y pasando por el origen, la función + y, para después maimizar la función objetivo. Las coordenadas de los vértices son: y A: A(, ) 4 + y 4 + B: y B(, ) 4 + y 4 + C: y 9 y 9 8 C(9, 8) y D: 4 D(, ) y b) (.5 puntos) Maimice en esa región factible la función objetivo F(, y) + y. Como el coeficiente de y en la función objetivo es positivo, es la recta del tipo + y c lo más alta posible. Y estas rectas son paralelas a + y, dibujada en azul en el gráfico. Vemos que es la que contiene a D. Por tanto, el máimo se alcanza en D(, ) y vale: F(D) F(, ) + Otra opción sería calcular el valor de F en los cuatro vértices y tomar el vértice que produjese el mayor resultado. c) (.5 puntos) Pertenece el punto (, ) a la región factible? La coordenada del punto nos dice que está a la derecha de C. Por tanto, si queda por encima de la recta y (ya que está claro que queda debajo de y ) pertenecerá a la región factible. Prof. R. Mohigefer - Selectividad Septiembre 7. Soluciones Página

13 El punto de dicha recta correspondiente a la coordenada es: y. Como nuestro punto (, ) está por debajo de (, ), que está en la recta, dicho punto está fuera de la región factible. EJERCICIO si Sea la función f : R R, definida por f ( ). + m + 5 si > a) ( punto) Calcule m para que la función sea continua en. En (, ), es decir, cuando <, f coincide con y, que es continua. Luego f también lo es. (Nótese que el ha sido ecluido de este intervalo, porque debe estudiarse aparte, ya que es un punto de coneión entre definiciones de f. En (, + ), o sea, para >, f es continua por ser polinómica. En, en primer lugar, f() + m m. Para ser continua, deben coincidir los límites laterales: lim f ( ) lim lim f ( ) lim( + m + 5) + m Luego: + m 4 m. b) ( punto) Para ese valor de m, es derivable la función en? ln si < f () 4 si > donde se han aplicado directamente las fórmulas de derivación en los correspondientes intervalos abiertos donde está definida f. Hemos derivado, además, porque sabíamos que f es continua; de no haber sido así, no podríamos haber derivado en los puntos donde f no lo fuera. Falta saber si f (). Será de esta forma si los límites laterales de f eisten y dan el mismo resultado (en ). f ( ) lim f '( ) lim ln ln f ( + ) lim f '( ) lim( 4) Como no coinciden, la función no es derivable en, por lo que la epresión final de su derivada es la anterior. c) ( punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en. está en la zona en que <. Por tanto, f() y f () ln. Entonces: f() f () ln ln Como la ecuación de la tangente en el punto (a, f(a)) es: y f(a) f (a)( a) la ecuación pedida es: y ln() ( ) y ln() EJERCICIO Parte I En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica P(A B)., P(A C B C )., P(A/B).5. a) (.75 puntos) Calcule P(B). P( A B). P(A B) P(A/B) P(B) P(B). P( A/ B).5 b) (.75 puntos) Calcule P(A B). Prof. R. Mohigefer - Selectividad Septiembre 7. Soluciones Página

14 No podemos usar la fórmula P(A B) P(A) + P(B) P(A B) porque desconocemos P(A). Pero, según las leyes de Morgan: P[(A B) C ] P(A C B C ). P(A B) P[(A B) C ]..4 c) (.5 puntos) Son A y B independientes? Calculemos P(A). Como P(A B) P(A) + P(B) P(A B) P(A) P(A B) P(B) + P(A B) Como P(A) P(A/B).5, los sucesos A y B no son independientes. Parte II Se sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley Normal de media y desviación típica 4.8. a) ( punto) Si se toma una muestra aleatoria de individuos, cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra sea superior a 5 puntos? σ 4.8 Nos piden P( >5). Sabemos que N μ; N ; N(;.). Tipificamos la normal, puesto que sabemos que si X N(μ;σ) z X N(;): n μ σ 5 P( >5) P > P(z >.8).. Según la probabilidad del suceso contrario: P(z.8) Como la gráfica de la función de densidad de la N(; ) es simétrica respecto al eje OY (ver gráfico): P(z >.8) Usando, nuevamente, la probabilidad del suceso contrario: [ P(z.8)] P(z.8).797 valor que hemos encontrado en las tablas de la N(;). b) ( punto) Qué porcentaje de muestras de tamaño 5 tiene una media muestral comprendida entre 4 y? σ Consiste en multiplicar por el valor P(4 ). En este caso, N μ; n 4.8 N ; N(;.9). Tipificando: 5 4 P(4 ) P z P(.8 z ) P(z ) P(z<.8).9.9 Por la simetría de la Normal y, en el paso siguiente, por la probabilidad del suceso contrario:.5 P(z >.8).5 [ P(z.8)] Prof. R. Mohigefer - Selectividad Septiembre 7. Soluciones Página

15 OPCIÓN B (Septiembre.7) EJERCICIO 9 a) (.5 puntos) Halle la matriz A que verifica A Si llamamos B, la ecuación anterior es B A. Suponiendo que B 5 8 tiene inversa, multiplicando los dos miembros de la igualdad por B a la izquierda: B B A B 9 I A B 9 A B donde I es la matriz unidad de orden. Como B + B. Calculémosla: 5 B T Adj(B T 5 ) B 5 5/ / 5 / / Por tanto, A B 9 5/ / 9 8 / / b) (.5 puntos) Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones siguientes: y + z ; + y z ; 8y + 5z. y + z + y z Es un sistema homogéneo, puesto que los términos independientes 8y + 5z son todos. La matriz de los coeficientes es: A, cuyo determinante 8 5 vale: A Al ser distinto de, es un sistema homogéneo incompatible, cuya única solución es (, y, z). EJERCICIO a) ( puntos) Sea la función definida para todo número real por f() a + b. Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (, ) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es. Pasa por (, ) f() a + b. () La pendiente de la tangente en dicho punto es f (). Como f () a + b a + b. () Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones () y (). Despejando b en () y sustituyendo en (): a + ( a) a + a a 4 a Sustituyendo en (): b a + b. b) ( punto) Si en la función anterior a y b 4, determine sus intervalos de monotonía y sus etremos. Prof. R. Mohigefer - Selectividad Septiembre 7. Soluciones Página 4

16 f() 4 f () 4. Discontinuidades de f : No tiene (es polinómica). Discontinuidades de f : No tiene (también es polinómica). f () 4 4 ±. Dividimos en intervalos el dominio de la función (que es R) mediante los puntos obtenidos, para formar el cuadro de monotonía: 8 Coordenadas del máimo relativo: f( ) + 8 (, ) es Má. rel. 8 Coordenadas del mínimo relativo: f () 8 (, ) es mín. rel. EJERCICIO Parte I Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se etrae, al azar, una bola de una de las urnas. a) ( punto) Calcule la probabilidad de que la bola etraída sea roja. Urna (, ) (, ) (, + ) f + + f Má mín A B Bola Az R Az R N Dos eperimentos aleatorios sucesivos: la elección de la urna y la etracción de la bola de la urna elegida. Este tipo de situaciones se resuelve bien mediante un árbol. Lo hemos construido en el gráfico adjunto. La probabilidad de obtener bola roja es la suma de las probabilidades de los dos ramales que finalizan en bola roja. Y la probabilidad de cada ramal es el producto de las probabilidades de todas las ramas desde la raíz hasta la finalización de dicho ramal. Por tanto: P( B Az) P(B/Az) P( Az) P( obtener R ) b) ( punto) Si la bola etraída resulta ser azul, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? Parte II Se sabe que (45., 5.) es un intervalo de confianza, al 95%, para la media de una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 5. a) (.5 puntos) Cuál es el error cometido? La amplitud del intervalo de confianza es el doble del error. Por tanto E.95 7 Prof. R. Mohigefer - Selectividad Septiembre 7. Soluciones Página 5

17 b) (.5 puntos) Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral mínimo necesario para que el error no sea superior a.8. σ zα / σ E zα n n E El nivel de confianza es del 95% α,95 α,5 α/,5 α/,975 Buscando en las tablas de la normal el valor tal que P(z Z α/ ) α/,975, resulta que Z α/,9. Por tanto:.9 5 n.78.8 σ No podemos tener un tamaño muestral con decimales. Como E zα, y en esta n epresión n está en el denominador, cuanto mayor es n más pequeño es E (porque dividimos entre un número mayor, luego el resultado de la división es más pequeño). Entonces, para que el error sea menor o igual que.8 tomamos el valor entero más próimo al obtenido, por eceso. Así: n 7 Prof. R. Mohigefer - Selectividad Septiembre 7. Soluciones Página

18 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(;) k Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z, con distribución N(;), esté por debajo del valor k.