o o α = + α = + α = α =

Transcripción

1 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 1 TEMA 7 TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO 1 a) Pasa a radianes los siguientes ángulos: 10 y 70 b) Pasa a grados los ángulos: 7π rad 6 y,5 rad o π 7π a) 10 = 10 rad = rad o 7π 7π 180 o b) rad = = π o π 7π 70 = 70 rad = rad o 180 o, 5 rad =, 5 = 00 '7" π EJERCICIO : Completa la tabla: o π 1π 10 = 10 rad = rad o π 11π 0 = 0 rad = rad Por tanto: 4π 4π 180 rad = π o 180 1, 5 rad = 1, 5 π o = 40 o = 85 56' 7" o CÁLCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO : Sabiendo que α es un ángulo agudo y que el cos α = 1/5, calcula sen α y tg α α = + α = + α = α = Como cos sen 1 sen 1 sen sen α 6 1 Luego, tg α = = : = 6 tg α = 6 cos α 5 5 sen α = EJERCICIO 4 : Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo que α es un ángulo agudo: sen α cos α 0,5 tg α 0,6 6 5 Si cos α = 0,5 (0,5) + sen α = 1 sen α = 0,975 0,97 Luego, sen α 0,97 y tg α =,88. 0,5

2 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO Si tg α = 0,6 sen α = 0,6 cos α (0,6 cos α) + cos α = 1 0,6 cos α + cos α = 1 1,6 cos α = 1 cos α 0,74 cos α 0,86 Luego, sen α = 0,6 0,86 0,5 y la tabla queda: sen α 0,97 0,5 cos α 0,5 0,86 tg α,88 0,6 4 EJERCICIO 5 : Calcula sen α y cos α de un ángulo agudo, α, sabiendo que la tg α =. 4 sen α 4 4 Si tg α = = sen α = cos α cos α 4 16 sen α + cos α = 1 cos α cos α = cos α + cos α = cos α = 1 cos α = cos α = Luego, sen α = sen α = 5 5 EJERCICIO 6 : Sabiendo que 0 < α < 90, completa la siguiente tabla usando las relaciones fundamentales: sen α 0,8 cos α tg α 0,75 sen α Si tg α = 0,75 = 0,75 sen α = 0,75 cos α cos α ( ) sen α + cos α = 1 0,75 cos α + cos α = 1 0,565 cos α + cos α = 1 α = α = α = 1,565 cos 1 cos 0,64 cos 0,8 Luego, sen α = 0,75 0,8 = 0,6. Si sen α = 0,8 sen α + cos α = 1 (0,8) + cos α = 1 0,64 + cos α = 1 cos α = 0,6 cos α = 0,6 0,8 Luego, tg α = = 1,. ) 0,6 Completamos la tabla: sen α 0,6 0,8 cos α 0,8 0,6 tg α 0,75 1, ) EJERCICIO 7 : De un ángulo agudo, α, conocemos que sen α =. Halla cos α y tg α. 5

3 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 9 sen α + cos α = 1 + cos α = 1 + cos α = cos α = 1 cos α = cos α = sen α 4 tg α = = : = tg α = cos α EJERCICIO 8 : Completa la tabla sin usar calculadora (0 α 90 ): α 90 sen α 0 cos α / tg α α sen α 0 1 / 1/ cos α 1 0 1/ / tg α 0 NO EXISTE / EJERCICIO 9 : Sin hacer uso de la calculadora, halla el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo α, sabiendo que 0 α 90 : sen α 1 cos α 1/ tg α / α 45 sen α / 1/ 1 / cos α 1/ / 0 / tg α / NO EXISTE 1 α EJERCICIO 10 : Sin usar calculadora, completa la siguiente tabla (0 α 90 ): α 60 sen α / cos α 1 tg α NO EXISTE

4 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 4 α sen α 1 / 0 / cos α 0 1/ 1 / tg α NO EXISTE 0 1 EJERCICIO 11 : Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo α, sin usar calculadora (0 < α 90 ): sen α / cos α / tg α 0 α 0 sen α / 0 1/ / cos α 1/ 1 / / tg α 0 / 1 α EJERCICIO 1 : Completa la tabla sin usar calculadora (0 α 90 ): α 0 sen α 1/ cos α 0 tg α 1 α sen α 0 1/ / 1 cos α 1 / / 0 tg α 0 / 1 NO EXISTE EJERCICIO 1 : Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente:

5 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 5 Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras: x + 1, = 1, x + 1,44 = 1,69 x = 0,5 x = 0,5 m Calculamos las razones trigonométricas de α y β: 0,5 1, 0,5 sen α = 0,8 cos α = 0,9 tg α = 0,4 1, 1, 1, 1, 0,5 1, sen β = 0,9 cos β = 0,8 tg β =,4 1, 1, 0,5 EJERCICIO 14 : a) Comprueba, usando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm es rectángulo. b) Calcula las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos. a) 10 = = = 100 Se cumple el teorema Pitágoras. Por tanto, es rectángulo. b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β: sen α = = 0,6 cos α = = 0,8 tg α = = 0, sen β = = 0,8 cos β = = 0,6 tg β = = 1, ) EJERCICIO 15 : Halla las razones trigonométricas de los ángulos sabiendo que es rectángulo. α y β del triángulo ABC Sea x la longitud de la hipotenusa; por el teorema de Pitágoras: 1, ,8 = x x = 466,56 x = 1,6 cm Calculamos las razones trigonométricas de α y β: 1,96 17,8 1,96 sen α = = 0,6 cos α = = 0,8 tg α = = 0,75 1,6 1,6 17,8 17,8 1,96 17,8 sen β = = 0,8 cos β = = 0,6 tg β = = 1, ) 1,6 1,6 1,96 EJERCICIO 16 : a) Calcula x e y en el triángulo: b) Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos α y β. a) Calculamos y aplicando el teorema de Pitágoras: 5 = + y 5 = 9 + y 16 = y y = 4 cm

6 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 6 Calculamos x sabiendo que la longitud de los catetos del triángulo BDC miden cm y 1 4 = 8 cm: x = + 8 x = x = 7 x 8,54 cm b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β: 4 4 sen α = = 0,8 cos α = = 0,6 tg α = = 1, ) sen β = 0,5 cos β = 0,94 tg β = 0,75 8,54 8,54 8 EJERCICIO 17 : Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo en el que uno de sus catetos mide,5 cm y la hipotenusa, 6,5 cm. Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor aplicando el teorema de Pitágoras: x +,5 = 6,5 x + 6,5 = 4,5 x = 6 Luego x = 6 cm es la longitud del otro cateto. Calculamos las razones trigonométricas de α: 6,5 sen α = 0,9 cos α = 0,8 6,5 6,5 Calculamos las razones trigonométricas de β:,5 6 sen β = 0,8 cos β = 0,9 6,5 6,5 6 tg α =,4,5,5 tg β = 0,4 6 EJERCICIO 18 : De un ángulo α sabemos que la tag α = /4 y 180º < α < 70º. Calcula sen α y cos α. sen α Como tg α = = sen α = cos α 4 cos α 4 4 sen sen α = cos α 4 α + cos α = cos α + cos α = cos α = cos α = cos α = por estar α en el tercer cuadrante Asi, sen α = = sen α =

7 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 7 EJERCICIO 19 : Si cos α = y 70 < α < 60, calcula sen α y tg α. En el cuarto cuadrante, sen α < 0 y tg α < 0. 7 α + α = + α = α = α = 9 sen cos 1 sen 1 sen 1 sen sen α tg α = = : = = tg α = cos α EJERCICIO 0 : Sabiendo que cos α = 5 y que α es un ángulo del tercer cuadrante, calcula sen α 5 y tg α Como cos α = + sen α = 1 + sen α = sen α = sen α = (elegimos el signo por estar α en el 5 5 tercer cuadrante). sen α 5 5 Así, tg α = = : = tg α = cos α 5 5 EJERCICIO 1 : Si sen α = 5 y 90 < α < 180, Cuánto valen cos α y tg α? α = + α = + α = cos α = 1 cos α = cos α = 9 9 donde elegimos el signo por ser 90 < α < 180. Si sen cos 1 cos 1 sen α Así, tg α = = : = tg α = cos α EJERCICIO : Calcula sen α y cos α sabiendo que la tg α = 5 y α º cuadrante. Como tg α = 5 sen α = 5 cos α sen α + cos α = 1 5 cos α + cos α = cos α = 1 cos α = cos α = =, por estar α en el º cuadrante. 6 0 Así, sen α = 5 =. 6 6 La solución es: cos α = 6 0 y sen α = 6 6

8 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 8 EJERCICIO : 15 Sabiendo que sen α = y que 90 < α < 180, calcula el valor de cos α y tg α α. 17 En el º cuadrante, cos α < 0 y tg α < sen α = 15 + α = 5 α = cos 1 cos 1 cos α = cos α = sen α + cos α = 1 Luego: tg sen α α = = : = tg α = cos α EJERCICIO 4 : De un ángulo agudo, α, a sabemos que tg α =. Calcula sen α y cos α α. 4 5 sen α 5 5 tg α = = sen α = cos α 4 cos α 4 4 sen α + cos α = cos α + cos α = 1 cos α + cos α = 1 cos α = cos α = α = α = 0,6 41 cos 41 cos 41 α = 5 sen 0,6 0,78 4 EJERCICIO 5 : 7 Sabiendo que cos α = y que 180 < α < 70, calcula sen α y tg α. 4 sen α + cos α = sen α + = 1 sen α = sen α = cos α = En el tercer cuadrante, sen α < 0 y tg α > 0. sen α Luego: tg α = = : = = tg α = cos α EJERCICIO 6 : Calcula sen α y tg α de un ángulo agudo, α, sabiendo que cos α = 0,6. sen α + cos α = 1 sen α + 0,6 = 1 sen α = 1 0,6 sen α = 0,64 sen α = 0,8 sen α 0,8 ) ) Luego: tg α = = = 1, tg α = 1, cos α 0,6 EJERCICIO 7 : 1 Si sen α = y α 4 cuadrante, calcula cos α y tg α α. 1 En el cuarto cuadrante, el cos α es positivo, y la tangente, negativa. 1 sen α = sen α + cos α = cos α = 1 cos α = 1 cos α = 5 cos α = 1

9 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 9 Luego: tg sen α α = = : = tg α = cos α CAMBIO DE CUADRANTES EJERCICIO 8 : Expresa, con valores comprendidos entre 0 y 60, el ángulo de 10. Calcula sus razones trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica y relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante. 10 = , luego calcular las razones trigonométricas de 10 equivale a calcular las razones trigonométricas de 0. sen 10 = sen 0 = sen 0 cos 10 = cos 0 = cos 0 Así: 1 sen 10 = ; cos 10 = ; tg10 = EJERCICIO 9 : Representa en la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas del ángulo de 5, y calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 5 con uno del primer cuadrante. sen 5 = sen 45 sen5 = Observamos que: cos 5 = cos 45 cos5 = tg 5 = tg 45 tg5 = 1 EJERCICIO 0 : Representa en la circunferencia goniométrica sen 150, cos 150 y tg 150. Calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 150 con un ángulo del primer cuadrante.

10 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 10 1 sen 150 = sen 0 sen150 = En la circunferencia goniométrica observamos: cos 150 = cos 0 cos150 = tg 150 = tg 0 tg150 = EJERCICIO 1 : Calcula las razones trigonométricas de 40 dibujando previamente este ángulo en la circunferencia goniométrica. sen 40 = sen 60 sen 40 = En el dibujo se observa que: 1 cos 40 = cos 60 cos 40 = sen 40 1 Luego: tg 40 = = : = tg 40 = cos 40 EJERCICIO : Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 15 y calcula sus razones trigonométricas relacionándolo con uno del primer cuadrante. sen 15 = sen 45 sen 15 = Se observa en la circunferencia goniométrica que: Luego, tg 15 = 1. cos 15 = cos 45 cos 15 = EJERCICIO : Relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante, calcula las razones trigonométricas de pertenece al er cuadrante y = 10.

11 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 11 Luego, las razones trigonométricas de 10 van a estar relacionadas con las razones trigonométricas de 1 sen 10 = sen 0 sen 10 = 0 : cos 10 = cos 0 cos 10 = tg 10 = tg 0 tg 10 = EJERCICIO 4 : Sabiendo que cos 58 = 0,5, sen 58 = 0,85 y tg 58 = 1,6, calcula las razones trigonométricas de 1. 1 pertenece al º cuadrante y = 180. sen 1 = sen 58 sen 1 = 0,85 Relacionamos las razones trigonométricas de 1 y 58 : cos 1 = cos 58 cos 1 = 0,5 tg 1 = tg 58 tg 1 = 1,6 EJERCICIO 5 : Halla las razones trigonométricas de 15 estableciendo una relación entre dicho ángulo y uno del primer cuadrante. Se sabe que 15 es un ángulo del 4º cuadrante, y además, = 60. Relacionamos, pues, las razones trigonométricas de 15 con las razones trigonométricas de 45 : sen 15 = sen 45 sen 15 = cos 15 = cos 45 cos 15 = tg 15 = tg 45 tg 15 = 1 EJERCICIO 6 : Calcula las razones trigonométricas de 7 a partir de las razones trigonométricas de 47 : sen 47 = 0,7; cos 47 = 0,68; tg 47 = 1,07 7 es un ángulo correspondiente al er cuadrante. Además, = 7, luego: sen 7 = sen 47 sen 7 = 0,7 cos 7 = cos 47 cos 7 = 0,68 tg 7 = tg 47 tg 7 = 1,07 EJERCICIO 7 : Calcula el valor del sen 10, cos 10 y tg 10, relacionándolos con un ángulo del primer cuadrante. Observamos que 10 º cuadrante y que = 10.

12 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 1 Luego: sen 10 = sen 60 sen 10 = 1 cos 10 = cos 60 cos 10 = PROBLEMAS tg 10 = tg 60 tg 10 = EJERCICIO 8 : El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura. Sea x la longitud de la sombra del árbol. Como datos tenemos un ángulo y el cateto opuesto a ese ángulo; nos piden el cateto contiguo, luego la tangente es la razón trigonométrica a usar: tg 40 = x 17,86 m x = tg 40 0,84 La sombra del árbol mide 17,86 m. EJERCICIO 9 : Carlos sube por una rampa de 5 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que hay entre la rampa y el suelo. Llamamos h a la altura de la casa y α al ángulo que hay entre la rampa y el suelo. Calculamos α: α = 180 α = 0 h Calculamos h: cos 70 = h = 5 cos ,4 5 h = 11,9 m es la altura de la casa de Carlos. EJERCICIO 40 : Un tronco de 6, m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55. a) A qué altura de la pared se encuentra apoyado? b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared. h altura que alcanza el tronco apoyado en la pared. x distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared. La hipotenusa del triángulo que se forma mide 6, m, y un ángulo agudo, 55. Así:

13 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 1 h a ) sen 55 = h = 6, sen 55 6, 0,8 = 5,08 m 6, El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo. x b ) cos 55 = x = 6, cos 55 6, 0,57 =,5 m 6, La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de,5 m. EJERCICIO 41 : Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 0. Llamamos h a la altura de la antena. Como datos tenemos un ángulo y el cateto contiguo; nos piden el cateto opuesto al ángulo, luego la h tangente será la razón trigonométrica a usar: tg 0 = h = 18 tg 0 = 18 = 6 10,9 m 18 La altura de la antena es de 10,9 m. EJERCICIO 4 : Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado, este forma con el suelo un ángulo de 60. A qué distancia de la casa cae el cable? Llamamos h a la altura de la casa; como conocemos la longitud del cable, que es la hipotenusa, y tenemos que hallar el cateto opuesto al ángulo que nos dan, debemos usar el seno como razón trigonométrica: h 9 sen 60 = h = 9 sen 60 = = 7,79 m La altura de la casa es de 7,79 m. 9 Sea x = distancia entre el pie de la casa y el cable sujeto al suelo por un extremo. En este caso, el coseno x 1 es la razón trigonométrica que debemos usar: cos 60 = x = 9 cos 60 = 9 = 4,5 m 9 El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa. EJERCICIO 4 : Desde el tejado de un edificio de 150 m de altura, se divisa el tejado de otro edificio cercano bajo un ángulo de 45. La distancia entre ambos en línea recta es de 0,1 km. Calcula la altura del otro edificio. Hacemos una representación del problema: 0,1 km = 10 m x tg 45 = x = 10 tg 45 x = 10 m 10 Luego, la altura del otro edificio será x = , es decir, 60 m.

14 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 14 EJERCICIO 44 : Un globo, sujeto al suelo por una cuerda, se encuentra a una altura de 7,5 m; entre la altura y la cuerda se forma un ángulo de 54. Calcula la longitud de la cuerda y el ángulo que esta forma con el suelo. Llamamos: x longitud de la cuerda α ángulo entre la cuerda y el suelo La razón trigonométrica a usar con los datos del problema es el coseno: 7,5 7,5 7,5 cos 54 = x 1,71 x = cos 54 0,59 La cuerda tiene una longitud de 1,71 m. Calculamos α α = 180 α = 6 EJERCICIO 45 : Dos torres de 198 m y 0 m de altura están unidas en sus puntos más altos por un puente bajo el cual hay un río. Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el ángulo que hay entre el puente y la torre más alta es de 75. Hagamos un dibujo que represente el problema: Llamamos x longitud del puente y anchura del río Observamos que tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos el cateto contiguo al ángulo de 75 : = 5 m cos 75 = x = 19, m x cos 75 0,6 y sen 75 = y = x sen 75 19, 0,97 18,65 m x La longitud del puente es de 19, m, y la anchura del río, 18,65 m. EJERCICIO 46 : Una escalera de 5 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 46. Calcula la distancia entre la base de la escalera y la pared. Qué ángulo forma la escalera con el suelo? Llamamos: x distancia entre la base de la escalera y la pared α ángulo entre la escalera y el suelo Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y nos piden calcular el cateto opuesto a ese ángulo; usamos x el seno como razón trigonométrica: sen 46 = x = 5 sen ,7 =,6 5 La distancia entre la base de la escalera y la pared es de,6 m. Calculamos α α = 180 α = 44 es la inclinación que hay entre la escalera y el suelo.

15 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 15 EJERCICIO 47 : El lado de un rectángulo mide 4 m y la diagonal forma con dicho lado un ángulo de. Calcula la longitud de la diagonal y el área del rectángulo. Llamamos: d longitud de la diagonal x longitud del otro lado Nos dan un ángulo y el lado contiguo a este ángulo. Para calcular d y x, usamos el coseno y la tangente, cos = d = 4,76 m d cos 0,84 respectivamente: x tg = x = 4 tg 4 0,65 =,6 m 4 La longitud de la diagonal es de 4,76 m. Calculamos el área: A = 4,6 = 10,4 El área del rectángulo es 10,4 m. EJERCICIO 48 : Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa: Trazando la altura desde la casa al lado AB, conseguimos dos triángulos rectángulos: CHA y CHB. h tg 45 = h = x tg 45 x Del dibujo deducimos: h tg 4 = h = ( 8 x) tg 4 8 x x tg 45 = 8 x tg 4 x = 8 x 0,9 x = 7, 0,9x 1,9 x = 7, ( ) ( ) x =,79 km, luego h =,79 km De este modo hemos calculado el valor de los catetos en ambos triángulos rectángulos. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtendremos la hipotenusa en cada caso: b h x ( ) = + = = ( ),79,79 5,6 km a = h + 8 x =,79 + 4,1 5,66 km La ambulancia A está a 5,6 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km. EJERCICIO 49 : Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 5 ; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 5. Calcula la altura del árbol y la anchura de río.

16 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 16 Hacemos una representación del problema y llamamos: h altura del árbol x anchura del río h tg 5 = h = x tg 5 x h tg 5 = h = ( x + 5 ) tg 5 x + 5 x tg 5 = x + 5 tg 5 0,7x = x + 5 0,47 0,7x = 0,47x +,5 ( ) ( ) 0,x =,5 x 10, m h = 10, 0,7 = 7,15 m La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10, m. EJERCICIO 50 : La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40. Calcula el perímetro y el área del triángulo. Trazamos la altura sobre la base para conseguir dos triángulos rectángulos. Para calcular el perímetro y el área, necesitamos conocer el valor de la altura, h, y del otro lado, x. En cada triángulo conocemos el ángulo de 0 y el cateto opuesto a este ángulo que mide 64 cm. = sen 0 = x = = 94,1 cm x sen 0 0,4 h 94,1 0,94 88,47 cm h h cos 0 = cos 0 = h = 94,1 cos 0 x 94, ,47 Luego: Perímetro = ,1 = 5,4 cm Área = = 81,04 cm EJERCICIO 51 : El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68. La granja A está a 0 m de ese punto, y la granja B, a 45 m. A qué distancia en línea recta está la granja A de la granja B? Llamamos x a la distancia en línea recta entre la granja A y la B. Por no ser rectángulo el triángulo ABC, trazamos la altura h que lo divide en dos triángulos rectángulos: AHC y AHB. En el triángulo AHC conocemos C = 68 y AC = 0, podemos calcular h e y :

17 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 17 y cos 68 = 0 y = 0 cos 68 = 0 0,7 = 85,1 m h sen 68 = 0 h = 0 sen 68 = 0 0,9 = 1,9 m En el triángulo AHB, ahora conocemos h = 1,9 m y 45 y = 45 85,1 = 49,9 m. Podemos calcular x usando el teorema de Pitágoras: ( 45 ) ( 1,9 ) ( 49,9) x = h + y x = + x = 45 75, ,01 = 16818, 410,1 m La distancia entre ambas granjas es de 410,1 m. EJERCICIO 5 : Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50 ; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 5. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago. Hacemos una representación. Llamamos: h altura de la estatua x radio del lago h tg 50 = h = x tg 50 x h tg 5 = h = ( x + 45 ) tg 5 x + 45 ( ) ( ) x tg 50 = x + 45 tg 5 x 1,19 = x ,7 1,19 x = 0,7x + 1,5 0,49x = 1,5 x = 64,9 dm Luego h = 64,9 1,19 = 76,51 dm = 7,65 m ACIRCULO = π x,14 64,9 1978,6 dm 19,78 m Calculamos la superficie del lago circular: ( ) La superficie del lago es de 19,78 m. ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA EJERCICIO 5 : 1 Si tg α = y α es un ángulo que está en el primer cuadrante, calcula (sin hallarα): o o o o a) tg 180 α b) tg α c) tg 60 α d) tg 60 + α ( ) ( ) ( ) ( ) o 1 o ( 180 α ) = tg α = tg( 180 α ) o 1 o ( 60 α ) = tg α = tg( 60 α ) a) tg c) tg b) + = tg α = d) + = tgα = EJERCICIO 54 : Si sen α = 0,5 y 0 < α < 90 halla (sin calcular α): o o ( 180 α) b) cos ( 180 α) a) sen + 1 1

18 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 18 o ( 180 α ) = senα 0 5 o ( α) = cos α a) sen =, b) cos Necesitamos saber cuánto vale cos α: sen α + cos α = 1 0, 5 + cos α = 1 o o 0, 15 + cos α = 1 cos α = 0, 8775 cos α = 0,94 (es positivo, pues 0 < α < 90 ) o ( α) = cosα = 0 94 Por tanto: cos, SIMPLIFICACIONES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 55 : Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas: sen x.(1 + cosx) cosx a) b) 1 - cosx tagx.(1 - senx) Soluciones: sen x.(1+ cos x) (1- cos x).(1+ cos x) (1- cosx).(1+ cosx).(1+ cos x) a) = = 1- cos x 1- cos x 1- cos x = (1+ cos x) b) cosx tagx.(1- senx) = cosx senx.(1- senx) cosx cos x 1- sen x (1 + senx)(1- senx) 1+ senx = = = = senx.(1- senx) senx.(1- senx) senx.(1- senx) senx EJERCICIO 56 : Demostrar la siguiente igualdad trigonométrica: sec x ctg x 1 + = cosec x - sec x ctg x - 1 cos x - sen x Soluciones: 1 cos x 1 sec x ctg x cos x sen x cos x + = + = cosec x - sec x ctg x cos x cos x - sen x - -1 sen x cos x sen x sen x.cos x sen x cos x sen x + cos x 1 = + = = cos x - sen x cos x - sen x cos x - sen x cos x - sen x + cos x sen x cos x - sen x sen x = ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 57 : Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x = 0 b) sen (x + Π/4) = / c).tag x. cotag x 1 = 0 d) sen x 5 sen x + = 0 e) cos x sen x = 0 f) cosx = tagx x1 = 0º+60º k a) sen x = 0 k Z x = 180º+60º k b) sen (x + Π/4) = x = 0º + 180ºk k Z x + 45º = 60º+60º k x = 15º+60º k k Z x + 45º = 10º+60º k x = 75º+60º k

19 Tema 7 Trigonometría Matemáticas 4º ESO 19 c) tagx cotag x -1 = 0 tagx - -1 = 0 tag x tag x = 0 tagx tag x = 1± ± 5 = 4 = 1,5-1 tag x = 1,5 x = 56º 18º ºk tag x = -1 x = 15º + 180º k d) sen 5 ±1 x 5senx + = 0 sen x = 6 sen x = 1 x = 90º + 180ºk 41º º k sen x = / x = 18º11 +60º k e) cos x sen x = 0 1 sen x sen x = sen x = 0 sen x = ¼ sen x = ± 1/ x = 0º+60º k sen x = 1/ x = 150º+60º k sen x = -1/ x = 10º+60º k x = 0º+60º k O resumido: x = 0º+180º k x = 150º+180º k f) cosx = tag x cosx = senx cos x = sen x (1 sen x) = sen x cos x sen x = sen x sen x + sen x = 0 sen x = Sen x = 1/ x = 0º+60º k x = 150º+60º k Sen x = - No tiene solución. ± = ± 5 4 = 1/ -

20 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 1 TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO 1 : Halla el punto medio del segmento de extremos P, 1 y Q4,. Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos: 4 1 M, 1, EJERCICIO : Halla el simétrico, A, del punto A1, 0 respecto de B, 8. Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es B. 1 x x 5 Por tanto: A5, 16 y 16 0 y 8 EJERCICIO : Determinar si los puntos A(,1), B(5,) y C(1,0) están alineados. AB (5,) AC (1,0) (,1) (,1) (,1) (-,-1) 1 1 Cierto Están alineados EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que los puntos A1, 1, B0, y C,k estén alineados. AB (0,) - (1,1) (-1,) 1 ) k 1 k 1 AC (, k) - (1,1) (1,k -1) 1 k 1 ECUACIONES DE RECTAS EJERCICIO 5 : a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 1, 0 y, 6. 1 b Halla la ecuación de la recta, s, paralela a y x que pasa por el punto 4, 4. c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores a Pendiente 1 Ecuación: y 0 x 1 y x x y 0 1 b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: m. 1 Ecuación: y 4 x 4 y 8 x 4 x y 4 0 c Es la solución del sistema siguiente: x y 0 y x x y 4 0 x x 4 0 x 6x x 10 x y Punto:,

21 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO EJERCICIO 6 : a Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por, y tiene como vector dirección d1, 1 b Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por 5, y es paralelo al eje X. c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. 1 a) Pendiente 1 Ecuación: y 1 x 1 y x y x 1 b y y x 1 c Es la solución de este sistema: x 1 y x Punto:, EJERCICIO 7 : a Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por 0, 0 y es paralela al vector d, 6. b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por, 4 y es perpendicular a x y 5 0. c Obtén el punto de intersección de las dos rectas anteriores. 6 a Pendiente Ecuación: y x b Pendiente de x y 5 0 y x 5 m Pendiente de la perpendicular 1 m 1 Ecuación de s: y 4 1x y 4 x x y 1 0 y x x x 1 0 x 1 y c Es la solución del siguiente sistema: x y 1 0 Punto: 1, EJERCICIO 8 : 1 a Obtén la ecuación de la recta, r, que pasa por, 1 y tiene pendiente. b Escribe la ecuación de la recta, s, perpendicular a x y que pasa por, 4. c Halla el punto de intersección de las rectas r y s. a y 1 x y x x y 1 0 b Pendiente de x y x 1 1 y x m 1 1 Pendiente de la perpendicular m 1 Ecuación: y 4 x y 4 x 6 y x 10 c Es la solución del siguiente sistema: x y 1 0 x x x 6x y x 10 7x 1 x y 1 Punto:, 1 EJERCICIO 9 : a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 0, 5 y 1,. b Obtén la ecuación de la recta, s, paralela a x y que pasa por el punto 1, 1. c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. 5 a Pendiente Ecuación: y 5 x y 5 x x y 5 0.

22 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: x y y x m Ecuación: y 1 x 1 y 1 x y x x y 5 0x x 5 0 x y 1 c Es la solución del sistema siguiente: y x Punto:, 1 EJERCICIO 10 : 1 a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (, 1) y es paralela a y x. b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, y es perpendicular a x y. 1 1 a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: y x m 1 x Ecuación: y 1 x y x y x y b Pendiente de x y y x m Pendiente de la perpendicular m 1 Ecuación: y x y 4 x x y 4 0 EJERCICIO 11 : Dados los puntos A, 1 y B, 4, halla las ecuaciones de las dos rectas siguientes: a) r: pasa por A y es paralela a AB b) s: pasa por B y es paralela a AB AB 1, 5 5 Recta r : m. Ecuación: y 1 5x y 1 5x 10 5x y Recta s : m m Ecuación: y 4 x 5y 0 x x 5y 0 5 EJERCICIO 1 : a Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto 5, 1. b Halla la ecuación general de la recta perpendicular a x y 1 que pasa por el punto 0, 1. a y 1 b Pendiente de x y 1 y x 1 m 1 1 Pendiente de la perpendicular m 1 Ecuación: y 1 x y x x y 0 EJERCICIO 1 : a Halla la ecuación de la recta, r, paralela a x y 4 0, que pasa por 1,. b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y 1 0 que pasa por,. a Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente: x 4 4 x y 4 0 y x m Ecuación de r : y x 1 y 6 x x y 8 0 b La recta y 1 0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y. Su ecuación será x.

23 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EJERCICIO 14 : Calcula la distancia que hay entre los puntos A8, 10 y B, 14. dist A, B EJERCICIO 15 : Halla la distancia entre los puntos P6, y Q0, 6. dist P Q, ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 16 : Halla la ecuación de la circunferencia de centro 4, y radio 5. x y La ecuación es: 4 5. EJERCICIO 17 : Escribe la ecuación de la circunferencia de centro, 4 y radio 4. x y La ecuación es: 4 4 REGIONES EN EL PLANO EJERCICIO 18 : Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones corresponden a este recinto? b) x 0 c) x y 9 a) x y 5 x y 5 x y 5 x y 9 x y 9 x 0 c Las dos curvas dadas corresponden a dos semicircunferencias de centro 0, 0 y radios y 5, respectivamente. Los puntos señalados corresponderán a semicircunferencias de radio entre y x y 9 5, esto es: x y 5 x 0 EJERCICIO 19 : Indica cual de los siguientes recintos corresponde a este sistema de inecuaciones: x 4 y 4 x y 9

24 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 5 Le corresponde el recinto c). x y x son rectas paralelas al eje Y que pasan, por ejemplo, por, 0 y, 0 respectivamente. y 4 e y 4 son rectas paralelas al eje X que pasan, por ejemplo, por 0, 4 y 0, 4. x y 9 es una circunferencia de centro 0, 0 y radio ; los puntos que cumplen x y 9 pertenecen a la circunferencia o están fuera de ella. EJERCICIO 0 : Representa gráficamente el siguiente recinto: x y 16 y x 0 0 x x y 16 es la inecuación que describe la circunferencia de centro 0, 0 y radio 4, y el interior de dicha circunferencia. y x 0 y x bisectriz del 1 er y er cuadrante. Para saber que parte del plano corresponde a la inecuación y x > 0 tomamos, por ejemplo, el punto, 1 y lo sustituimos en y x 1 < 0. Por tanto, el semiplano en el que no esta el punto, 1 es el que corresponde a la inecuación y x > 0. x 0, x son rectas paralelas al eje Y. La representación gráfica correspondiente será: EJERCICIO 1 : Describe, mediante un sistema de inecuaciones, el siguiente recinto: Hallamos las ecuaciones de las rectas AB, BC, CD y DA. AB es la recta que pasa por A( 4, 0) y tiene pendiente m. La ecuación será: y x 4 y x 1 0 Tomamos un punto cualquiera del recinto, por ejemplo 1,, y lo sustituimos en la ecuación anterior: < 0. Por tanto, el semiplano buscado es x y 1 0. BC es paralela al eje X y pasa por 0, y El semiplano buscado es y.

25 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 6 CD es la recta que pasa por D(4, 0) y tiene pendiente m. La ecuación será: y x 4 y x 1 x y 1 0 Sustituimos el punto 1, < 0 El semiplano buscado es x y 1 0. DA es el eje X y 0. El semiplano será y 0. x y 1 0 El recinto, pues, es la solución del sistema: x y y REPASO EJERCICIO : x 1 1 y Cuál de las rectas r: y 5x 1, s: y x y t : es paralela a la 5 5 recta x 5y 4 0? Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Pendiente de r m 5 Pendiente de s m 5 x 1 1 y Pendiente de t : x 1 1 y y 1 x y x 1 y x m La pendiente de x 5y 4 0 es m. Luego s es la recta paralela a x 5y EJERCICIO : Dada la recta ax by 0, indica qué relación debe haber entre a y b para que el punto P, 6 pertenezca a la recta. El punto P, 6 pertenecerá a la recta ax by 0 si se cumple: a b 6 0 a 6b 0 a b 0 a b Luego, P, 6 pertenecerá a dicha recta si a es el triple de b. EJERCICIO 4 : Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a x y 9 0 es la ecuación de una circunferencia. b) La recta de ecuación ax c 0 es una recta paralela al eje Y a, c. c Si m 1 y m son las pendientes de dos rectas paralelas se cumple que m 1 m 0. a d) La pendiente de una recta perpendicular a r: ax by c 0 es. b a FALSO. La ecuación de una circunferencia de centro Ca, b y radio r es:x a y b r En este caso: x 0 y 9, pero r no puede ser negativo; luego la ecuación dada no es la ecuación de una circunferencia.

26 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 7 b VERDADERO. c c ax c 0 x constante recta paralela al eje Y que pasa por, 0 a a c VERDADERO. Por ser paralelas las rectas m 1 m m 1 m 0 d FALSO. a a c La pendiente de r es m y x la pendiente de la recta perpendicular b b b 1 b a r es m. m a EJERCICIO 5 : Qué relación habrá entre a y b para que las rectas r : ax y 6 y s: bx y 5 sean paralelas? Y para que sean perpendiculares? r y s son paralelas si la pendiente de ambas coincide. a a Pendiente de r y 6 ax y x mr Pendiente de s y bx 5 ms b a mr ms b a b Por tanto, r y s serán paralelas cuando a sea el triple de b. 1 a 1 Para que r y s sean perpendiculares mr ab m b EJERCICIO 6 : Halla el valor de m para que las rectas r : y x 0 y s: mx y 1 0 no se corten. Para que r y s no se corten, el valor de m buscado será aquel que haga que r y s sean paralelas, es decir, tengan la misma pendiente. Pendiente de r y x m r 1 m 1 m Pediente de s y 1 mx y x ms m mr ms 1 m EJERCICIO 7 : Dadas las rectas r : ax c 0 y s: a x c 0: a Son paralelas? b Qué condición se ha de cumplir para que sean coincidentes? c Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y s que pase por el punto,. a Sí. Son rectas de la forma x k, es decir, rectas paralelas al eje Y. c c b Para que sean coincidentes. a a c Una recta perpendicular a r y s es de la forma y k', recta paralela al eje X. Como tiene que pasar por el punto,, entonces la recta buscada es y. s

27 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 8 EJERCICIO 8 : En el triángulo de vértices A(1, 1, B, y C1, 4 halla: a La ecuación de la altura h 1 que parte de B. b La ecuación de la altura h que parte de C. c El ortocentro del triángulo punto de intersección de las alturas. a La altura h 1 es perpendicular al lado AC. 5 5 Pendiente de AC m 1 Pendiente de h1 m 1 5 La recta h1 pasa por B y su pendiente es ; luego su ecuación es: 5 y x 5y 10 x 6 5y x b La altura h es perpendicular al lado AB. 1 Pendiente de AB m 4 Pendiente de h m 4 La recta h pasa por C y su pendiente es 4; su ecuación es: y 4 4x 1 y 4 4x 4 y 4x 0 c Par calcular el ortocentro, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de h 1 y h : 5y x 4 0 y 4x 0 y 4x 4 5 4x x 4 0 0x x 4 0 x 4 x y 4x 4 El ortocentro es el punto, EJERCICIO 9 : Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax y 0 y s: bx 9y 5 0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P1,. Pendiente de r: ax y a a y x mr Pendiente de s: bx 5 9y b 5 b y x ms Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir: a b mr ms 9 a b b a Calculamos a sabiendo que P1, pertenece a la recta r : a 1 0 a 6 0 a 4 Por tanto, a 4 y b 4 1.

28 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 9 EJERCICIO 0 : Las rectas r : x y 4 0, s: x 4y 11 0 y t: x y 1 0 forman un triángulo ABC. Calcula los vértices y el ortocentro del triángulo. Calculamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas: x y 4 0 x y 4 0 x 4y 11 0 x 4y 11 0 x x 9 x Luego A, 5. x y 4 0 x y 4 0 x y 1 0 x y 1 0 x x x 1 Por tanto B1, 1. y 15 0 y 5 y 0 y 1 x 4y 11 0 x 4y 11 0 x y 1 0 x y 1 0 6y 1 0 y x x x 1 Luego C1,. Para calcular el ortocentro del triángulo hallamos las ecuaciones de dos alturas y resolvemos el sistema formado por ellas: Altura h 1 que parte de A es perpendicular a BC Pendiente de BC : m1 pendiente de h1 : m 1 Ecuación de h1 : y 5 x y 15 x 6 y x 9 0 Altura h que parte de B es perpendicular a AC 4 Pendiente de A C : m pendiente de h : m Ecuación de h : y 1 x 1 y 4x 4 y 4x 1 0 Resolvemos el sistema: y x 9 0 y x 9 0 y 4x 1 0 y 4x x 8 0 x y 9 0 y 0 y El ortocentro es,. 9 EJERCICIO 1 : r x y AB A Halla: a El punto de intersección de r con la perpendicular a r trazada desde A. b El punto B. La recta : 1 0 es la mediatriz del segmento del que conocemos,.

29 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 10 a Pendiente de r : y x 1 m 1 Pendiente de la perpendicular a r : m 1 Ecuación de la perpendicular: y 1 x 5 x Punto de corte: x y 1 0 x 5 x 1 0 x y 5 x y 5 x 5 y Por tanto, P(,. b El punto Bx, y) es el simétrico de A respecto de P : x x 1 y y 4 B 1, 4 EJERCICIO : Comprueba que el cuadrilátero de vértices A,, B6, 0, C4, 4 y D(0, 0 es un trapecio rectángulo y halla su área. Para ver que es un trapecio rectángulo, comprobamos que un lado DA es perpendicular a otros dos CD y AB : DA es la bisectriz del primer cuadrante m 1 AB y CD tienen pendiente 1 Luego DA es perpendicular a AB y CD el trapecio es rectángulo. Calculamos el área hallando las siguientes distancias: dist A, B dist C, D , 18 altura del trapecio dist D A AB CD DA Área 1 u

30 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 11 EJERCICIO : Calcula el área del triángulo de vértices A1, 4, B(, y C, 0. Área del triángulo AB CD Llamamos h a la altura que parte del vértice C. AB La altura h es perpendicular al lado AB: 6 Pendiente de AB : m ecuación de AB : y x x y Pendiente de h : m La recta h pasa por C 1 y su pendiente es. 1 h : y x y x x y 0 Buscamos el punto de intersección, D, de la recta h con el lado AB : x y 7 0 9x y 1 0 x y 0 x y x 19 0 x y 0 y y Por tanto, D, CD Área 1 u 0 0 EJERCICIO 4 : Calcula los puntos de corte de la circunferencia x y 5 con la recta y x 1 0. Los puntos de corte son las soluciones del sistema que forman sus ecuaciones: x y 5 x 1 x 5 x 1 x x 5 x x 4 0 y x 1 0 y 1 x

31 Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO 1 y 1 x x x 0 x 1 y 1 x 1 1 Los puntos de corte son, 1 y 1,. EJERCICIO 5 : Dos de los vértices del triángulo ABC son A(1, 7 y B5,. a Calcula las coordenadas de C sabiendo que la recta x 0 es la mediatriz del segmento BC. b Calcula la ecuación de la altura h que parte de C. a La mediatriz del segmento BC es perpendicular a dicho segmento. Si la recta mediatriz es x, la recta perpendicular a ella que pasa por B5, es y. Por tanto, el punto medio del segmento BC es,. a 5 a 5 6 a 1 b b 4 b Llamamos C a, b : C1, b La altura h que parte de C es perpendicular al segmento AB. 5 Pendiente de AB : m 4 4 Pendiente de h : m 5 4 La recta h que pasa por C 1, y tiene de pendiente es : 5 4 y x 1 5y 10 4x 4 4x 5y 6 0 5

32 ANEXO 1: EJERCICIOS SOBRE EL TEMA CAMBIO Y RELACIONES Porcentajes: 75E09. La gráfica muestra la matrícula de ingreso de estudiantes en una universidad. Si al año siguiente se da de baja 1% de los estudiantes en cada carrera, cuántos estudiantes de ingeniería permanecerán en la carrera en el segundo año escolar? A),80 B) 08,000 C),70 D) 55,987 76E10. La producción de 5000 muebles para el hogar en la empresa Muebles Tapizados, S.A, durante el segundo trimestre del año, se presenta en el siguiente gráfico. Dados los datos de la gráfica, cuántos muebles en el sector otros se produjeron en la citada empresa? A) 50 B) 400 C) 500 D) 4650

33 85E1. El costo de producción de pantalones en una fábrica se muestra en la siguiente gráfica: Si el costo de producción de una chamarra es 75% mayor que el de un pantalón, cuántas chamarras se pueden producir con el costo de 14 pantalones? A) 8 B) 10 C) 1 D) 14 Razones y proporciones: 7E09. Un auto compacto usa gasolina que cuesta $1.5 por litro, cada litro da un rendimiento de 9 kilómetros. Para un recorrido de 99 kilómetros, cuánto dinero se debe invertir en gasolina? A) $11.5 B) $1.75 C) $86.40 D) $ E09. La relación entre precio y consumo de gasolina se expresa en la gráfica: Cuánto se paga por litros?

34 A) $ B) $ C) $ D) $ E09. Carlos y José son vendedores de una tienda de libros. En la siguiente tabla se muestra el sueldo que obtiene cada uno de ellos dependiendo del número de libros que vendan. Para este periodo de pago cada uno debe obtener un sueldo de $ Cuántos libros debe vender Carlos (C) y cuántos José (J) para que obtengan el sueldo deseado? A) C = 10 y J = 0 B) C = 0 y J = 55 C) C = 55 y J = 0 D) C = 60 y J = 0 7E08. Para una muestra cultural, se tiene un terreno de forma rectangular que mide 70 m de largo, la repartición del espacio será proporcional entre los participantes de tres categorías diferentes. Las categorías y número de participantes en cada una son: De cuántos metros de largo será el espacio asignado para la categoría de cerámica? A) 45 B) 60 C) 68 D) 90 71E1. Un vehículo recorre un camino en tres etapas: primero dentro de una ciudad, luego por una autopista y al final por terracería. La siguiente gráfica muestra cuál fue el consumo de combustible durante cada etapa del recorrido. Cuál es el rendimiento por litro en la etapa de terracería? A). B) 7.5 C) 8.0 D) 14.7

35 70E1. Un automóvil recorre 18 km con 5 L de gasolina. Cuántos kilómetros recorrerá con 1 litros? A) 7.69 B) 6.11 C) D) 69. Lenguaje algebraico: 64E08. Cuál es la expresión algebraica que corresponde al siguiente enunciado? El cociente de la suma de dos números al cuadrado entre la diferencia de dichos números. 8E08. Para encontrar el valor de un artículo deportivo se debe multiplicar el valor del artículo por su mismo valor disminuido en ocho, y esto dará como resultado 48. Encuentre el valor del artículo. A) 1 B) 16 C) 18 D) 56 64E09. Cuál enunciado corresponde a la siguiente expresión algebraica? A) La mitad del triple de un número más el doble de otro número B) La mitad de un número al cuadrado más la tercera parte de otro número C) La mitad de un número más otro número al cubo D) El doble de un número más la mitad del triple de otro número 64E10. Cuál es el enunciado que describe a la siguiente expresión algebraica? A) La diferencia del cubo de un número y el doble del cuadrado de otro B) La diferencia del triple de un número y el cuadrado del doble de otro C) El producto del triple de un número y el cuadrado del doble de otro D) El producto del cubo de un número y el doble del cuadrado de otro

36 66E1. Identifique la expresión algebraica que corresponde al enunciado: "la diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte del cuadrado de otro número". 80E1. La señora Márquez escribió su testamento dividiendo sus bienes de la siguiente manera: dos tercios a su único hijo y los restantes $0,000 a la caridad. Cuál es la ecuación que representa la cantidad a la que asciende su herencia? Sustitución de fórmulas: 7E10. El importe del consumo de electricidad es directamente proporcional al número de kilowats-hora consumida y se representa mediante la siguiente relación I = KV donde I es el importe en pesos, V es el número de kilowats-hora consumidos y K es la constante de proporcionalidad en Qué importe en pesos se debe pagar por el consumo de 50 kilowats-hora, si K=? A) 8 B) 47 C) 5 D) E11. Cuál es el enunciado que corresponde a la expresión (a + b)²? A) El cuadrado de dos números B) La suma y el cuadrado de dos números C) El cuadrado de la suma de dos números D) La suma del cuadrado de dos números 70E11. La cantidad de miligramos de bacterias (B) en un individuo infectado con el microorganismo de influenza después de días (D) de contagio, es k veces el cuadrado de los días transcurridos. Considerando la constante de proporcionalidad k =, cuántos miligramos de bacterias tendrá el individuo a los 1 días de su contagio? A) 48 B) 7 C) 88 D) E1. Cuál expresión algebraica describe correctamente el enunciado: el cuadrado de la suma de dos números entre la diferencia de sus cuadrados? Determinación de gráficos: 67E08. Cuál es la gráfica que representa la función?

37 70E08. Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la ecuación 67E09. Cuál gráfica corresponde a la siguiente ecuación? y = x 1

38 70E09. Cuál es la gráfica que representa correctamente los valores numéricos de la ecuación y = x + 1x? 70E10. Identifique la gráfica de la siguiente función:

39 A) B) C) D) 67E10. Cuál gráfica corresponde a la siguiente representación algebraica? 67E11. Identifique la gráfica que representa a la expresión algebraica de la función f(x)=x²-x-15.

40 67E1. Identifique la gráfica de la función dada por la siguiente expresión: f(x)=x² x 1 69E1. Qué gráfica corresponde con la ecuación y + 1= (x - 1)²? Probabilidad: 77E08. Pedro y Juan juegan con un dado. Primero lanza Pedro y obtiene un cuatro. Qué probabilidad tiene Juan de obtener un mayor puntaje que Pedro?

41 78E08. Adrián participa en un juego de azar que consiste en lanzar dos dados. Si la suma de las caras superiores es 6 o 7 gana $500, cuál es la probabilidad de que gane? 79E08. Al revisar el maestro de Matemáticas la tarea a un grupo de alumnos formado por 0 hombres y 0 mujeres, encontró que sólo 5 hombres y 18 mujeres la habían entregado. Si el maestro escoge al azar un alumno, cuál es la probabilidad de que sea mujer y que haya entregado la tarea? 77E09. Gustavo lanza un dado 50 veces y registra el número que se obtiene. En la tabla se muestra el número de veces que se obtuvo las diferentes caras del dado. Con base en los datos, determine la probabilidad de obtener un 4. A) 0.08 B) 0.0 C) 0.40 D) E09. Una urna contiene 51 esferas numeradas del 1 al 51. Luis apuesta a Antonio que en la primera esfera sale un número impar o el número. Cuál es la probabilidad de que Luis gane la apuesta? 79E09. Leonardo lanza una moneda en tanto que Juan lanza un dado. Cuál es la probabilidad de que en sus respectivos lanzamientos obtengan exactamente un águila y un seis? 78E10. En una rifa se otorgan los siguientes premios. 8 boletos para una función de cine, 5 discos, gorras y 4 boletos para un concierto. Dentro de una urna se colocan papeles indicando la clave de cada premio. Miguel extrae un papel, cuál es la probabilidad de que Miguel obtenga un boleto para la función de cine o el concierto? 79E10. En una feria un joven juega en las ruletas que se muestran a continuación.

42 Si compra un boleto y le dan un dardo para cada ruleta, cuál es la probabilidad de que le atine a un número par y al color rojo? ANEXO : EJERCICIOS SOBRE EL TEMA PERCEPCIÓN ESPACIAL ESPACIO Y FORMA: 1E08. Observe el siguiente plano. Desde qué punto es posible tomar la siguiente fotografía? A) 1 B) C) D) 4

43 11E08. Observe la siguiente serie de figuras. Cuál es la figura que completa la serie? A) B) C) D 114E08. El cubo que se muestra en la figura 1 ha sufrido algunos cambios en sus vértices como se muestra en la figura. Cuál es el número de caras que tiene el cubo con los cambios efectuados? A) 6 B) 9 C) 1 D) E08. Cuál es la opción que presenta el conjunto de cuerpos geométricos que conforman la figura que se presenta a continuación?

44 10E08. Observe el siguiente hexágono. Cuál figura se observará, si se girara el hexágono 90 en el sentido de las manecillas del reloj y se hace un doblez en las diagonales AC y BD? 11E08. Cuál es la figura que completa la siguiente imagen?

45 1E08. La siguiente figura muestra la plantilla con la que es posible armar una figura tridimensional. Cuál es la figura que se puede armar con ella? 14E08. A cuál figura tridimensional corresponden las siguientes vistas, frontal, inferior y lateral, respectivamente? 16E08. Elija la figura que puede formarse con los tres fragmentos presentados.

46 17E08. Cuál es la vista de la figura, si se observa desde arriba? 18E08. Una persona está frente a una estructura de metal como se muestra en la figura. Si dicha figura se rota 90 en sentido contrario a las manecillas del reloj, cuál será la vista de la figura que tendrá esta persona después del movimiento? 19E08. Una persona se encuentra detrás de un edificio frente al segmento CG, como se muestra en la figura.

47 Realiza dos movimientos paralelos al edificio; primero hacia B y luego hasta la mitad del segmento AB, quedando frente al edificio. Cuál es la vista que tiene después de realizar estos dos desplazamientos? 10E08. La siguiente figura muestra una construcción de cubos colocada frente a un espejo, el cual está situado al fondo. Cuál es la imagen de la construcción de cubos que se ve refleja en el espejo? 11E09. La siguiente figura gira con respecto a los ejes que se muestran, qué figura continúa en la serie?

48 114E09. En un cubo se realizaron cortes en cuatro aristas, como se representa en la figura. Cuál es el número de caras después de realizar los cortes? A) 6 B) 7 C) 9 D) E09. La siguiente figura representa una fábrica. En dicha construcción se observan prismas rectangulares, cilindros completos y conos truncados A),, B),, 0 C),, D),, 0 10E09. En una hoja de papel se perfora una forma irregular y se puntea por la diagonal, como se muestra en la figura.

49 Si se dobla la hoja por la línea punteada de tal manera que A quede encima de D, qué figura se obtiene? 11E09. La figura muestra la mitad de un cuerpo simétrico con respecto a la línea punteada. Cuál es la figura que representa la otra mitad? 1E09. Observe el siguiente plano: Desde cuál de los puntos señalados es posible tomar la siguiente fotografía?

50 A) 1 B) C) D) 4 1E09. Observe la plantilla que se muestra a continuación. Cuál de los siguientes cuerpos tridimensionales se obtiene con ella? 14E09. Las siguientes figuras representan las vistas superior, inferior, frontal y lateral, respectivamente, de un cuerpo tridimensional. A qué figura corresponden?

51 16E09. Las siguientes figuras son cortes horizontales de un cuerpo a distintas alturas: A cuál de los siguientes cuerpos corresponden? 17E09. Una persona en un helicóptero pasa por encima del edificio que se muestra en la figura. Cuál es la vista superior del edificio que la persona observa? 18E09. Qué posición final representa la figura si se realiza una rotación de 180 con respecto al lado frontal?

52 19E09. Una persona camina por la calle y se encuentra con una escultura extraña. La observa desde el punto 0 y para apreciarla mejor se desplaza hacia el punto 1 y de ahí al punto. Cuál es la vista que tiene el observador desde el punto? 10E09. Una persona observa un espejo que se encuentra frente a un edificio y corresponde al plano y-z, como se observa en la figura. Cuál de las figuras representa la imagen observada a través del espejo?

53 11E10. La figura gira 90 en el eje vertical y el eje horizontal alternadamente. Cuál de las opciones representa la siguiente posición de la figura? 114E10. Un marco de madera de forma cuadrada y sin relieves se corta por las líneas punteadas como lo indica la siguiente figura. Cuál es el número de caras de cada pedazo de marco después de efectuar los cortes? A) B) 4 C) 6 D) 8 115E10. Qué opción muestra los poliedros que conforman el siguiente cuerpo?

54 10E10. La siguiente figura corresponde a un trozo de cartulina y en ella se realiza un doblez tomando como eje una recta que pase por los puntos D y B, de tal manera que el triángulo DBC quede sobre el triángulo ABD. Qué figura se observará posteriormente? 11E10. Observe la figura que se presenta a continuación. Cuál de las opciones completa la figura?

55 1E10. Observe el siguiente plano: Desde cuál de los puntos señalados es posible tomar la siguiente fotografía? A) 1 B) C) D) 4 1E10. Cuál es el cuerpo tridimensional que se forma con la siguiente plantilla?

56 14E10. Los planos que se muestran a continuación constituyen las vistas frontal, superior y laterales de una figura tridimensional. A cuál de las siguientes corresponden? 16E10. Seleccione la figura que se puede construir utilizando los fragmentos presentados. 17E10. Cuál de las siguientes figuras corresponde al edificio visto desde un helicóptero en el momento en que está volando arriba de él? 18E10. Cuál es la posición de la figura al aplicar una rotación de 90 sobre el eje AB?

57 19E10. En la siguiente figura se muestra la posición inicial de un observador (A) y la vista del plano que observa de la figura. Si el observador se desplaza en línea recta como indican las flechas de A a B y de B a C, alrededor del objeto, cuál será la nueva vista que tendrá este observador del objeto? 10E10. La siguiente figura muestra un dodecaedro transparente, construido con varillas y recargado en una base sobre una de sus caras.

58 Si un espejo se encuentra colocado de manera paralela a dicha base con la parte que refleja hacia el cuerpo, cuál de las siguientes opciones muestra lo que se refleja en el espejo?