TEMA 3. SISTEMAS DE ECUACIONES.

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1 TEMA 3. SISTEMAS DE ECUACIONES. INTRODUCCIÓN Llamaremos sistema de ecuaciones a un conjunto de ecuaciones que deben verificarse para un determinado para un determinado valor de las incógnitas. 2 5xy z 7 x y 1 Diremos que el sistema de ecuaciones es lineal cuando en las ecuaciones no aparezca ninguna incógnita elevada a exponentes (p. ej. x 2, y 3, ) ni ningún producto de incógnitas (x y, x 2 y, ). Resolver un sistema de ecuaciones consiste en hallar los valores de las incógnitas que satisfagan todas las ecuaciones. y 5 y 5 tiene por solución x = 2, y = 10. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. RESOLUCIÓN MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones. 2. La sustituimos en la otra ecuación. 4. Con la solución del paso anterior, hallamos la otra incógnita. y 5 x 2y 3 1. y = 5 2. x 2( 5 ) = x x = -3 x + 6x = x = 7 x = 1 4. y = = 5 3 = 2 y = 2 MÉTODO DE IGUALACIÓN 1. Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones. 2. Igualamos las dos expresiones obtenidas. 1

2 4. Con el valor obtenido, hallamos la otra incógnita. y 5 y 0 1. y = 5, y = 2. 5 = 3. 5 = 5x x = 1 4. y = 2 1 = 2 MÉTODO DE REDUCCIÓN 1. Hemos de conseguir que al sumar o restar ambas ecuaciones se anule una incógnita. Para ello, multiplicaremos si es necesario, alguna ecuación por un número. 2. Sumamos o restamos. 4. Con el valor obtenido, hallamos la otra incógnita. 2y 3 x y 1 1. Multiplicamos la segunda ecuación por (2), y queda: 2y 3 2y 2 2. Al sumar queda 5x = 5 3. x = 1 4. Sustituyendo en la segunda ecuación 1 + y = 1 y = 0 CLASIFICACIÓN tipo: Si cuando resolvemos un sistema de ecuaciones nos aparece una expresión del 1. 0x = 3, ó 0y = 4 (cualquier número distinto de cero), el sistema no se puede resolver, porque cualquier valor de la incógnita que se multiplique por cero, siempre dará 0. Lo llamaremos SISTEMA INCOMPATIBLE (S.I.) x y 3 x = y 3 y+2 = y 3 3 y y = y = -8 S. I. y 2 x x = 0, 0y = 0. El sistema tiene infinitas soluciones. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (S.C.I.) x y 3 En este sistema, (x= 1, y = 1), (x = 0, y = 2), son soluciones. 6y 9 2

3 Después de lo visto, podemos establecer la siguiente clasificación de los sistemas de ecuaciones: Clasificación de los sistemas Compatibles (tienen solución) Incompatibles (no tienen solución) S.I. Compatibles Determinados (tienen una única solución) S.C.D. Compatibles Indeterminados (tienen infinitas soluciones) S.C.I. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE 3 EC. CON 3 INCÓGNITAS Hemos de transformar el sistema en otro que tan sólo tenga dos incógnitas. Para ello, despejamos una de las incógnitas de una ecuación y la sustituimos en las restantes. Por ejemplo: 2y 6z 11 x y 2z 3 4x 2y z 9 x = 3 y + 2z 9 3y + 6z 2y + 6z = 11-5y + 12z = y + 8z 2z + z = 9-6y + 9z = -3 Y ahora resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por alguno de los métodos vistos anteriormente. EJERCICIOS 1) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: y 1 5y 0 a) d) y 1 4y 0 g) x 5y 7 5y 11 b) x y 3 2y 16 e) x y 5 5y 10 h) 5y 17 4y 4 c) x y 5 x y 1 f) x 2y 12 y 9 3

4 i) 2y z 4 x y 3z 2 y z 1 j) 3y 15 3y 15 2) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: a. x y 1 xy 2y 2 c. y 3 2 xy y 0 e. y x 1 y x 7 b. y x y 2 d. x 2 x y 1 2 y 11 3) Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67. 4) Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20. A cómo está el kilo de peras y de manzanas? 5) Para pagar un artículo que costaba 3, he utilizado nueve monedas, unas de 20 cts. y otras de 50 cts. cuántas monedas de cada clase he utilizado? 6) Una empresa ha envasado 3000 litros de aceite en 1200 botellas de dos y cinco litros. cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 7) En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,5 y de tortilla a 2. En una mañana se vendieron 52 bocadillos y se recaudó 149. cuántos bocadillos de cada clase vendieron? 8) En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5, cuántos aciertos y errores he cometido? 9) Tenemos 53 céntimos repartidos en 16 monedas de 2 céntimos y de 5 céntimos, cuántas monedas de cada clase tengo? 10) Tenemos 76 céntimos en veinte monedas de 2 y 5 céntimos, cuántas monedas de cada clase tenemos? 11) Encuentra dos números sabiendo que la mitad de su suma es cinco y el doble de su diferencia es 8. 12) En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. Cuántos luchadores había de cada clase? (recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8) 4

5 13) En una granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de 2 y 5 itros, cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 14) Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. Cuántas cuestiones respondió correctamente? 15) Un individuo invirtió pts. Repartidas en tres empresas y obtuvo pts. De beneficios. Calcular la inversión realizada en cada empresa sabiendo que en la empresa A hizo el doble de inversión que en la B y C juntas y que los beneficios de las empresas fueron del 5% en la empresa A, del 10% en la empresa B y del 20% en la C. 16) Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a pts. Calcular cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale pts, cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble que el número de viajeros que paga el billete entero. 17) Los sueldos del padre, la madre y un hijo, sumados dan pts. La madre gana el doble del hijo, y el padre gana 2/3 de lo que gana la madre. Se trata de calcular cuánto gana cada uno. 18) Juan y Pedro invierten pts. Cada uno. Juan coloca una cantidad A al 4% de interés, una cantidad B al 5% y el resto al 6%. Pedro invierte la misma cantidad A al 5%, B al 6% y el resto al 4%. Determinar B sabiendo que Juan obtiene unos intereses de pts y Pedro de pts. 5