Introducción a la interpolación polinomial
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- Gustavo Villanueva Soler
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1 Introducción a la interpolación polinomial Egor Maximenko Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Física y Matemáticas, México, D.F. 3 de enero de 2015
2 Ejemplo ( 2, 6) (0,4) (1, 3) Se busca el polinomio P de grado mínimo posible que tome valores dados en puntos dados: P( 2) = 6, P(0) = 4, P(1) = 3, (3, 11) P(3) = 11.
3 Ejemplo ( 2, 6) (0,4) (1, 3) Se busca el polinomio P de grado mínimo posible que tome valores dados en puntos dados: P( 2) = 6, P(0) = 4, P(1) = 3, (3, 11) P(3) = 11. En este ejemplo, la respuesta es el siguiente polinomio de grado 3: P(x) = 4 5x 3x 2 + x 3.
4 Las abscisas deben ser diferentes ( 2,3) (1,2) Los siguientes tres puntos no se pueden interpolar: ( 2, 1), ( 2, 3), (1, 2) En otras palabras, no hay ningún polinomio P con ( 2, 1) P( 2) = 1, P( 2) = 3, P(1) = 2, Porque las primeras dos condiciones son contradictorias.
5 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 1) = 3, P(1) = 1.
6 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 1) = 3, P(1) = 1. Polinomios constantes: ninguno.
7 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 1) = 3, P(1) = 1. Polinomios constantes: ninguno. Polinomios de grado 1: un único, P(x) = 1 2x.
8 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 1) = 3, P(1) = 1. Polinomios constantes: ninguno. Polinomios de grado 1: un único, P(x) = 1 2x. Polinomios de grado 2: muchos.
9 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 1) = 3, P(1) = 1. Polinomios constantes: ninguno. Polinomios de grado 1: un único, P(x) = 1 2x. Polinomios de grado 2: muchos.
10 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 1) = 3, P(1) = 1. Polinomios constantes: ninguno. Polinomios de grado 1: un único, P(x) = 1 2x. Polinomios de grado 2: muchos.
11 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 1) = 3, P(1) = 1. Polinomios constantes: ninguno. Polinomios de grado 1: un único, P(x) = 1 2x. Polinomios de grado 2: muchos. El grado mínimo posible: 1.
12 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 2) = 2, P(1) = 2.
13 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 2) = 2, P(1) = 2. Polinomio de grado 0: P(x) = 2.
14 Relación entre el grado y el número de puntos Consideremos polinomios P tales que P( 2) = 2, P(1) = 2. Polinomio de grado 0: P(x) = 2. El grado mínimo posible: 0.
15 Relación entre el grado y el número de puntos Para tres puntos existe un polinomio de grado 2
16 Relación entre el grado y el número de puntos Para tres puntos existe un polinomio de grado 2 o menor que 2.
17 Relación entre el grado y el número de puntos Para dos puntos, existe un polinomio de grado 1 (una recta). Para tres puntos, existe un polinomio de grado 2 (una parábola o recta). En general, para n puntos, sería natural buscar un polinomio de grado n 1.
18 Problema de interpolación polinomial Dados n números diferentes x 1,..., x n y n números y 1,..., y n, hallar un polinomio P de grado n tal que P(x j ) = y j ( j = 1,..., n).
19 Problema de interpolación polinomial Dados n números diferentes x 1,..., x n y n números y 1,..., y n, hallar un polinomio P de grado n tal que P(x j ) = y j ( j = 1,..., n). Los datos iniciales son n, las abscisas y las ordenadas: n, x 1,..., x n, y 1,..., y n. Las abscisas x 1,..., x n deben ser diferentes a pares. Se buscan los coeficientes del polinomio: P(x) = c }{{} 0 + c 1 x + c }{{} 2 x c }{{} n 1 x n 1. }{{}????
20 Reducción del problema de interpolación polinomial a un sistema de ecuaciones lineales Hay varios métodos para construir el polinomio interpolante. Ahora vamos a conocer el método más ingenuo. No es eficiente, pero sirve para comprender mejor el problema.
21 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2.
22 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Estamos buscando los coeficientes c 0, c 1, c 2 del polinomio P: P(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2.
23 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Estamos buscando los coeficientes c 0, c 1, c 2 del polinomio P: P(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2. Evaluamos P en las abscisas dadas e igualamos a las ordenadas dadas:
24 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Estamos buscando los coeficientes c 0, c 1, c 2 del polinomio P: P(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2. Evaluamos P en las abscisas dadas e igualamos a las ordenadas dadas: c 0 + ( 4)c 1 + ( 4) 2 c 2 = 30;
25 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Estamos buscando los coeficientes c 0, c 1, c 2 del polinomio P: P(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2. Evaluamos P en las abscisas dadas e igualamos a las ordenadas dadas: c 0 + ( 4)c 1 + ( 4) 2 c 2 = 30; c 0 + ( 1)c 1 + ( 1) 2 c 2 = 6;
26 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Estamos buscando los coeficientes c 0, c 1, c 2 del polinomio P: P(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2. Evaluamos P en las abscisas dadas e igualamos a las ordenadas dadas: c 0 + ( 4)c 1 + ( 4) 2 c 2 = 30; c 0 + ( 1)c 1 + ( 1) 2 c 2 = 6; c 0 + 3c c 2 = 2.
27 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Estamos buscando los coeficientes c 0, c 1, c 2 del polinomio P: P(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2. Evaluamos P en las abscisas dadas e igualamos a las ordenadas dadas: c 0 + ( 4)c 1 + ( 4) 2 c 2 = 30; c 0 + ( 1)c 1 + ( 1) 2 c 2 = 6; c 0 + 3c c 2 = 2. Es un sistema de tres ecuaciones lineales para tres incógnitas c 0, c 1, c 2.
28 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Continuación del ejemplo Escribamos el sistema en la forma matricial y resolvamos con el método de Gauss Jordan:
29 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Continuación del ejemplo Escribamos el sistema en la forma matricial y resolvamos con el método de Gauss Jordan: R 2 += R 1 R = R
30 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Continuación del ejemplo Escribamos el sistema en la forma matricial y resolvamos con el método de Gauss Jordan: R 2 += R 1 R = R R 2 = 1/3
31 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Continuación del ejemplo Escribamos el sistema en la forma matricial y resolvamos con el método de Gauss Jordan: R 2 += R 1 R = R R 1 += 4R 2 R 3 += 7R R 2 = 1/3
32 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Continuación del ejemplo Escribamos el sistema en la forma matricial y resolvamos con el método de Gauss Jordan: R 2 += R 1 R = R R 1 += 4R 2 R 3 += 7R R 2 = 1/3 R 3 = 1/28
33 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Continuación del ejemplo Escribamos el sistema en la forma matricial y resolvamos con el método de Gauss Jordan: R 2 += R 1 R = R R 1 += 4R 2 R 3 += 7R 2 R 1 += 4R 3 R 2 += 5R R 2 = 1/3 R 3 = 1/28
34 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Continuación del ejemplo Escribamos el sistema en la forma matricial y resolvamos con el método de Gauss Jordan: R 2 += R 1 R = R R 1 += 4R 2 R 3 += 7R 2 R 1 += 4R 3 R 2 += 5R R 2 = 1/3 R 3 = 1/28 El sistema tiene una única solución: c 0 = 2, c 1 = 3, c 2 = 1.
35 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Terminación del ejemplo Hemos encontrado los coeficientes del polinomio: c 0 = 2, c 1 = 3, c 2 = 1. La respuesta del problema es el polinomio P(x) = 2 3x + x 2.
36 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Terminación del ejemplo Hemos encontrado los coeficientes del polinomio: c 0 = 2, c 1 = 3, c 2 = 1. La respuesta del problema es el polinomio P(x) = 2 3x + x 2. Comprobemos que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Aplicamos la división sintética (el algoritmo de Horner Ruffini): 1 3 2
37 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Terminación del ejemplo Hemos encontrado los coeficientes del polinomio: c 0 = 2, c 1 = 3, c 2 = 1. La respuesta del problema es el polinomio P(x) = 2 3x + x 2. Comprobemos que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Aplicamos la división sintética (el algoritmo de Horner Ruffini):
38 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Terminación del ejemplo Hemos encontrado los coeficientes del polinomio: c 0 = 2, c 1 = 3, c 2 = 1. La respuesta del problema es el polinomio P(x) = 2 3x + x 2. Comprobemos que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Aplicamos la división sintética (el algoritmo de Horner Ruffini):
39 Reducción a un sistema de ecuaciones lineales Terminación del ejemplo Hemos encontrado los coeficientes del polinomio: c 0 = 2, c 1 = 3, c 2 = 1. La respuesta del problema es el polinomio P(x) = 2 3x + x 2. Comprobemos que P( 4) = 30, P( 1) = 6, P(3) = 2. Aplicamos la división sintética (el algoritmo de Horner Ruffini):
40 Observación acerca de la matriz del sistema La matriz del sistema de ecuaciones tenía una forma muy especial: 1 4 ( 4) ( 1)
41 Observación acerca de la matriz del sistema La matriz del sistema de ecuaciones tenía una forma muy especial: 1 x 1 x x 2 x x 3 x 2 3.
42 Observación acerca de la matriz del sistema La matriz del sistema de ecuaciones tenía una forma muy especial: V (x 1, x 2, x 3 ) = 1 x 1 x x 2 x x 3 x 2 3. Es la matriz de Vandermonde asociada a los puntos x 1, x 2, x 3.
43 Ejercicio 1 Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 2) = 5, P(3) = 5, P(4) = 19. Se recomienda empezar con un sistema de ecuaciones para los coeficientes c 0, c 1, c 2 del polinomio P. Al final hacer una comprobación.
44 Ejercicio 1 Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 2) = 5, P(3) = 5, P(4) = 19. Se recomienda empezar con un sistema de ecuaciones para los coeficientes c 0, c 1, c 2 del polinomio P. Al final hacer una comprobación. Sistema de ecuaciones: c 0 c 1 c 2 =
45 Ejercicio 1 Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 2) = 5, P(3) = 5, P(4) = 19. Se recomienda empezar con un sistema de ecuaciones para los coeficientes c 0, c 1, c 2 del polinomio P. Al final hacer una comprobación. Sistema de ecuaciones: c 0 c 1 c 2 = Respuesta: P(x) = 13 2x 2.
46 Ejercicio 2 Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 2) = 17, P(0) = 3, P(5) = 3.
47 Ejercicio 2 Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 2) = 17, P(0) = 3, P(5) = 3. Sistema de ecuaciones: c 0 c 1 c 2 =
48 Ejercicio 2 Hallar un polinomio P de grado 2 tal que P( 2) = 17, P(0) = 3, P(5) = 3. Sistema de ecuaciones: c 0 c 1 c 2 = Respuesta: P(x) = 3 5x + x 2.
49 Resumen y temas para futuro Conocimos el problema de interpolación polinomial. Relacionamos el número de puntos con el grado del polinomio. Redujimos el problema a un sistema de ecuaciones lineales. Temas para futuro: Existencia y unicidad del polinomio interpolante. Fórmula expĺıcita (de Lagrange) para el polinomio interpolante. Algoritmos eficientes de Neville y de Newton. Aplicaciones de la interpolación polinomial.
Interpolación. Esta función se denomina función interpolante. con. Dado un conjunto de datos. Queremos determinar una función.
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