Portal educativo. Visítanos desde

Transcripción

1 Portal educativo. Visítanos desde

2

3 1) Sea A = { 1 ; }. Construya el conjunto P(A) x A. ) a) Dé un ejemplo de conjuntos A ; B ; C y D tales que : A C y B D. Observe que A x B C x D. b) Suponiendo que A x B C x D se sigue de esto necesariamente que A C y B D?. Explique. 3) Sean A = { x N / 1 x 5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R A x B mediante (x,y) R x + y 5. i) Definir R por extensión. ii) Representar A x B y R. iii) Determinar R -1.

4 5) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia. R = { ( -1,-3) ; (-,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -, -1, 0 } S = { (,) ; (,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,) ; (0,0) } en B = { x N 0 / x 3 } 6) Sea A un conjunto de libros. Sea R 1 una relación binaria definida en A /(a,b) R 1 el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b. Es R 1 reflexiva? simétrica? antisimétrica? transitiva?.

5 8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos, tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. Es R reflexiva? simétrica? antisimétrica? transitiva? ; es una relación de equivalencia? es una relación de orden? 9) Descubrir la falla del razonamiento en la siguiente argumentación, que pretende probar que la reflexividad es una consecuencia de la simetría y de la transitividad : x R y x R y y R x x R x

6 11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, }, donde A = {1,, 3, 4} B = {1, 3} C = {3} Clasificar en M la relación. 1) Analizar si (N, ) y (N, ) son láttices. 13) Representar gráficamente las siguientes relaciones : a) f : R R / f(x) = -5 x b) g : Z pares Z / g(x) = c) h : N N / h(x) = x x

7 14) Sean las relaciones f i : R R con i = 1,, dadas por las fórmulas : f 1 (x) = - 3 x + 4 x 1 si x 0 f (x) = - x + 4 x 3 f 4 (x)= 3 si x 0 3 f 3 (x) = log ( x - 3 ) x 1 si x 0 f 6 (x) = f 5 (x) = x 3 x 1 ln x si x 0 si 0 x 1 si x 1 a) Determine en cada caso el Dominio y la Imagen para que la relación resulte una función b) Represente gráficamente cada una de las f i c) Clasifique cada una de las f i d) En los casos que sea posible, determine y represente gráficamente f -1

8 Se escribe P(A) se lee partes de A y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjunto vacío Sea A { a, b, c } { } = {a} {b} {c} a b c A b c a a b a c b c {a,b} {a,c} {b,c} El número de elementos que conforman P(A) es n donde n = A a b c {a, b, c} entonces el conjuntos de partes de A es: P(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c} } A se lee cardinal del conjunto A y es igual a la cantidad de elementos que tiene el conjunto A

9 Dado un conjunto A = { a, b } y un conjunto B = { 1, } El producto cartesiano A x B se forma con todos los pares ordenados posibles conformados por elementos del conjunto A en el primer lugar del par ordenado y elementos del conjunto B en el segundo lugar del par ordenado A B a 1 b A x B = { (a, 1), (a, ), (b, 1), (b, ) } También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados B 1 (a, ) (a, 1) (b, ) (b, 1) A x B a b A En el eje de abscisas (x) el conjunto A En el eje de ordenadas (y) el conjunto B y los pares ordenados en las intersecciones de las perpendiculares a cada uno de los ejes, que pasan por los elementos involucrados

10 P(A) = { ; {1}; {}; {1,} } Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con los elementos del conjunto A, es un elemento de P(A) P(A) xa = { (,1); (,); ({1},1); ({1},); ({},1); ({},); ({1,},1); ({1,},) } observa que en cada par ordenado, el 1 er elemento P(A) y el do elemento A ) a) Si A = { a } B = { } C = { a, b } D = { 1, } 1 C D A a 1 b B C x D = { (a,1); (a,); (b,1); (b,) } ubicamos ahora A C y B D A x B = { (a,) } en ejes cartesianos el único par ordenado de AxB; (a,) CxD B 1 A x B (a, ) (a, 1) (b, ) (b, 1) C x D entonces A x B C x D a b A

11 Si a A (a, b) A x B, b B si el elemento a pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (a, b) pertenece al producto cartesiano A x B para todo elemento b que pertenece al conjunto B Si a es elemento del conjunto A, entonces el elemento a con cualquier otro elemento del conjunto B forma un par ordenado del producto cartesiano A x B Por la consigna del ejercicio A x B C x D, entonces... si (a, b) A x B entonces (a, b) C x D luego a C, luego A C Análogamente puede hallarse que B D si b B (a, b) A x B, a A por la consigna del ejercicio A x B C x D, entonces... si (a, b) A x B entonces (a, b) C x D luego b D, luego B D

12 Dado un producto cartesiano A x B, si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) los pares ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad, existe una relación R incluida en el producto cartesiano A xb si y solo si para todo par ordenado (x, y) que pertenece a la relación R se verifica que el elemento x pertenece al conjunto A y que el elemento y pertenece al conjunto B A B 1 Sean A = { 1, } y B = {, 3 } 3 En A x B = { (1, ); (1, 3); (, ); (, 3) } Definimos R A x B : (x,y) R y = x De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden verificar (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede suceder que ningún par ordenado verifique la condición Analizamos en el par (1, ) x = 1 y = = 1 entonces (1, ) R en el par (1, 3) x = 1 y = entonces (1, 3) R en el par (, ) x = y = entonces (, ) R en el par (, 3) x = y = 3 3 entonces (, 3) R R = { (1, ) } A x B (x,y) R : x A Y B Y = x

13 R = { (x, y) / x A y B y = x } Observe que la definición por comprensión considera: los elementos que componen la relación pares ordenados (x, y) a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementos x A ; cómo se vinculan los elementos de cada par ordenado y B y = x La relación se representa en ejes cartesianos, en diagrama de Venn y en tablas B 3 R A x B (1, 3) (, 3) (1, ) (, ) A x B A R B 1 3 A B 3 1 x A Ejes cartesianos Diagramas de Venn Tabla de R

14 Se define R A x B mediante (x,y) R x + y = 4 5 (1, 3) R = 5 = 5 (1, 4) R = 6 5 (1, 5) R + 3 = 5 = 5 (, 3) R + 4 = 6 5 (, 4) R + 5 = 7 5 (, 4) R = = 7 5 (3, 3) R (3, 4) R = 8 5 (3, 5) R B (1,5) (1,4) (1,3) por extensión A = {1,, 3, 4, 5 } = 7 5 (4, 3) R = 8 5 (4, 4) R = 9 5 (4, 5) R = 8 5 (5, 3) R = 9 5 (5, 4) R = 10 5 (5, 5) R (,5) (,4) (,3) A R = { (1, 3), (1, 4), (, 3) } (3,5) (3,4) (3,3) (4,5) (4,4) (4,3) A x B (5,5) (5,4) (5,3) R R B en Diagrama de Venn R -1 se conforma con los pares ordenados de R, pero cambiando el orden de los elementos en cada par Si (x,y) R entonces (y,x) R -1 R -1 = { (3, 1); (4, 1); (3, ) } R -1 = { (y, x) BxA y + x 5 } A En Gráfico cartesiano

15 Sean los conjuntos A; B y C Y entre ellos se establecen relaciones R: A B y S: B C A R B S C a 1 b v w Definimos la composición de R y S, que se escribe S R Como una relación que va de A en C (a, w) S R (a, ) R y (, w) S S R = { (a, w) } Puede suceder: Entonces: a b A R S R 1 B S C v w S R = { (b, w); (b, v) }

16 y la relación R A x B ; S B x C, definidas por : C = { ;3 ;8 ;10} A x B = { (1,1); (1,4); (1,6); (1,16); (,1); (,4); (,6); (,16); (3,1); (3,4); (3,6); (3,16); (4,1); (4,4); (4,6); (4,16); (5,1); (5,4); (5,6); (5,16) } de analizar cuales son los pares ordenados que verifican la condición y = x surge que (x,y) R y = x ; R A x B A B R = { (1,1); (,4); (4,16) } 1 (y,z) S z = y/ ; S B x C B C 10 B x C = { (1,); (1,3); (1,8); (1,10); (4,); (4,3); (4,8); (4,10); (6,); (6,3); (6,8); (6,10); (16,); (16,3); (16,8); (16,10) } analizando los pares ordenados que verifican la condición z = y / surge que S = { (4,); (6,3); (16,8) }

17 A R B El dominio de la relación S es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación Dm S = { 4, 6, 16 } Im R = {, 3, 8 } El dominio de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación Dm R = { 1,, 4 } Im R = { 1, 4, 16 } S = { (y,z) B x C / z = y/ } B S 3 C 8 10

18 Sean R: A B A R 1 y B S: B C S R = S[R] B S C Que se lee S cerito R ó R compuesta con S De manera que (x,z) S R (x,y) R (y,z) S Se conforma con los elementos de A y de C (1, 1) R pero 1 B no se relaciona con ningún elemento de C (,4) R y (4,) S entonces (,) S R 3 A no se relaciona con ningún elemento de B Dm S R = {, 4 } (4,16) R y (16,8) S entonces (4,8) S R 5 A no se relaciona con ningún elemento de B Im S R = {, 8 } A 1 R B 1 S C S R = { (,); (4,8) }

19 Cuando decimos que una Relación R está definida en A, decimos que : Los pares ordenados (x, y) de la relación están conformados por elementos x A y elementos y A si consideramos los elementos de A relacionándose consigo mismo, (o no) puede suceder que : Cada elemento del conjunto A se relaciona consigo mismo A a b Si algún(os) elemento(s) de A se relaciona(n) consigo mismo. A a b Si ningún elemento de A se relaciona consigo mismo A a b Es Reflexiva Es No reflexiva Es Arreflexiva x : x A (x, x) R x / x A (x, x) R x : x A (x, x) R para todo elemento x se verifica que si x pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (x, x) pertenece a la Relación R existe(n) x tal que x pertenece al conjunto A y el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R para todo elemento x se verifica que si x pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R

20 A Si para cada par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, el par simétrico también pertenece a la relación x y A : (x, y) R (y, x) R a c b Es No simétrica Si algún(os) par(es) de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene(n) par(es) simétrico(s) que también pertenece(n) a la relación, pero otro(s) no x y A / (x, y) R (y, x) R Es Asimétrica Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene par simétrico que también pertenece a la relación x y A : (x, y) R (y, x) R Es Antisimétrica Si en cada par de elementos de A, (x,y) que admite simétrico, sucede que x = y x y A : (x, y) R (y, x) R x = y A A A a a a c c c b b b

21 A a Si para todos los elementos x, y, z que verifican que (x,y) R y (y,z) R entonces el par ordenado (x, z) R c b Es transitiva x,y,z A : (x,y) R (y,z) R (x,z) R A Si algunos de los elementos x, y, z verifican que (x,y) R y (y,z) R pero el par ordenado (x, z) R (otros no) d a b Es No transitiva c x y z A / (x,y) R (y,z) R (x,z) R Si todos los elementos x, y, z verifican que si (x,y) R y (y,z) R entonces el par ordenado (x, z) R A d a b Es Atransitiva x y z A : (x,y) R (y,z) R (x,z) R c

22 Si R es una relación es reflexiva, simétrica y transitiva Es Relación de Equivalencia Si R es una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva Es Relación de Orden amplio Si R es una relación es arreflexiva, asimétrica y transitiva Es Relación de Orden estricto Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde... a, b / (a, b) R (b, a) R Es Relación de Orden parcial Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde... a b (a, b) R (b, a) R Es Relación de Orden total dicho de otra manera, hay pares ordenados de elementos que no se relacionan entre sí de ninguna forma en caso contrario... dicho de otra manera, todos los elementos diferentes se relacionan entre sí al menos de una forma

23 A Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn En el diagrama de Venn y en la definición por extensión se aprecia que hay elementos que se relacionan consigo mismo - Pero otros elementos como el 3 no se relacionan consigo mismo, vemos que el par ordenado (-3, -3) R entonces x A / (x, x) R la relación es No Reflexiva En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (-1, -3) R pero (-3,-1) R ; pero también hay pares ordenados que tienen simétrico, como: (-1,-1) R y (0, 0) R. Escribir x, y A / (x, y) R (y, x) R la relación es No simétrica Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo Entonces se aplica que en cada par de elementos de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica ( -1, -1 ) R ( -1, -3 ) R ( -1, -3 ) R ( -, 0 ) R ( 0, 0 ) R ( -, 0 ) R ( -1, -1 ) R ( -1, -1 ) R ( -1, -1 ) R ( 0, 0 ) R ( 0, 0 ) R ( 0, 0 ) R No es Relación de Equivalencia Es transitiva 5 b Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación

24 Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn A 3 1 Podemos escribir 0 En el diagrama de Venn y en la definición por extensión se aprecia que todos los elementos del conjunto A se relacionan consigo mismo x: x A (x, x) R la relación es Reflexiva En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (3, ) R ; pero (, 3) R pero también hay pares ordenados que tienen simétrico, como: (1, 1) R y (0, 0) R. Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación x, y A / (x, y) R (y, x) R la relación es No simétrica Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo Entonces se aplica que en cada par de elementos de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica ( 3, 3 ) R ( 3, ) R ( 3, ) R pero... ( 3, ) R (, 1 ) R ( 3, 1 ) R Es No transitiva No es Relación de Equivalencia

25 Asumimos que A es un conjunto de libros que en precio y cantidad de hojas es tan amplio como sea posible Por ejemplo... R 1 = { (1, ); (1,4); (1,5); (3,1); (3,); (3,4); (3,5); (5,4) } Libro 1 $ hojas Libro $ hojas Libro 3 $ hojas Libro 4 $ 7 80 hojas Libro 5 $ 1 70 hojas Esta relación no tiene pares reflexivos, porque ningún libro cuesta mas que lo que él mismo cuesta ni tiene menos hojas que las que tiene. Es Arreflexiva La relación no tiene pares simétricos, porque si el libro 1 cuesta mas y tiene menos hojas que el libro, no puede suceder que el libro cueste mas y tenga menos hojas que el libro 1. Si (1,) R (, 1) R. Es Asimétrica Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación Por ejemplo... (1, 5) R (5,4) R (1,4) R ( a, b ) R ( b, c ) R ( a, c ) R y en general, si un libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b (a, b) R entonces necesariamente el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro c (a, c) R Es Relación de Orden Estricto Es transitiva y el libro b cuesta mas y tiene menos hojas que el libro c (b, c) R

26 Los elementos que conforman los pares ordenados son sucesiones de ceros y unos, por ejemplo : 00; 01; 010; 000; 100; 1010; ; ; etc... R es un conjunto infinito... porque son infinitas las sucesiones de ceros y unos Sabido es que cada cadena tendrá exactamente la cantidad de ceros que ella misma tiene x: x A (x, x) R si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y (x, y) R la cadena y tendrá igual cantidad de ceros que la cadena x entonces la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena z (x, y) R (y, z) R (y, x) R así, afirmamos que : la relación es Reflexiva la relación es Simétrica si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y (x, z) R Por tanto R es Relación de Equivalencia y la cadena y tiene igual cantidad de ceros que la cadena z la relación es Transitiva Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación

27 La relación R está conformada por pares ordenados de números enteros positivos (naturales) tal que la diferencia entre ellos sea un entero positivo impar En primer lugar corresponde descartar los pares ordenados que estén conformados por el mismo elemento, por ejemplo (, ); (3, 3); (4, 4) En cualquiera de esos casos x x = 0 y 0 NO es entero positivo impar x: x A (x, x) R luego, la relación es Arreflexiva Si tomo dos números enteros positivos, puedo efectuar x y con resultado positivo, solamente si x > y, en ese caso, al efectuar b a el resultado será negativo x y A : (x, y) R luego, la relación es Asimétrica Supongamos tres enteros positivos x, y, z; de manera que x > y > z Si x es par e y es impar x z será entero positivo par Si x es impar e y es par x z entero positivo par (y, x) R x y será entro positivo impar, (x,y) R (y,z) R x y será entro positivo impar, (x,y) R (y,z) R pero (x,z) R luego, la relación es Atransitiva si z es par pero (x,z) R si z es impar Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación y z entero positivo impar y z entero positivo impar

28 si x R y x R y y R x x R x ( x, y ) R (y,x) R (x,x) R de otra manera Si una relación es simétrica y transitiva... es reflexiva ( x, y ) R x R y y R x x R x el par ordenado ( x, y ) pertenece a la relación R A a y x porque la relación debe ser simétrica (por hipótesis) y también transitiva por hipótesis Supongamos una relación definida en A Igualmente, ahora decimos que si ( y, x ) R y R x x R y y R y Hasta aquí, la reflexividad parece ser una consecuencia de la simetría y de la transitividad Pero si algún elemento del conjunto A no se relaciona con ningún otro, no se establecen la simetría ni la transitividad (por ejemplo el elemento a) Luego este elemento no tiene porqué relacionarse consigo mismo Observa que la relación definida en A es simétrica y transitiva, pero No Reflexiva Reflexiva Simétrica Transitiva

29 Dado un conjunto A cualquiera no vacío, es posible establecer una partición de A A 1 A 1 4 A A Conformando con los elementos de A subconjuntos A i ; A j ;.... Así tenemos por ejemplo A 1 = { 1; 4 } A = { ; 3 } A 3 = { 5 } Donde: 1) A 1 ; A ; A 3 ) A 1 A = A 1 A 3 = A A 3 = P = {A 1 ; A ; A 3 } es partición de A 3) A 1 A A 3 = A Todos los subconjuntos son distintos de l conjunto vacío (tienen algún elemento) A i La intersección entre todos los subconjuntos tomados de a dos, es vacía. A i A j = La unión de todos los subconjuntos es igual al conjunto particionado... A j A j.. = A

30 A 1 = {x Z : x} y A = { x Z : x } con P = { A 1 ; A } A 1 está conformado por todos los números enteros que son divisibles por A está conformado por todos los números enteros que no son divisibles por A 1 = { enteros pares} A = { enteros impares} 1) A 1 y A ) A 1 A = 3) A 1 A = A si un entero es par, no es impar; y viceversa P = { A 1 ; A } es partición de Z (números enteros ) b) Evaluar si Q = { N; Z - } es partición de Z los enteros pares con los impares; conforman la totalidad de los elementos del conjunto de números enteros 1) N y Z - ) N Z - = 3) N Z - Z Son subconjuntos de Q N (naturales) Z - (enteros negativos) porque en N están todos los enteros positivos (Z + ) y en (Z - ) los enteros negativos pero... 0 N y 0 Z - Q = { N; Z - } NO es partición de Z (no verifica la tercera condición)

31 11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, }, donde A = {1,, 3, 4} B = {1, 3} C = {3} escribimos por extensión la relación definida en M A B 1 C 3 4 todo conjunto está incluido en sí mismo el conjunto vacío está en todos los conjuntos R = { (A,A); (B,B); (C,C); (,); (,C); (,B); (,A);(C,B); (C,A); (B,A) } La Relación en diagrama de Venn será : cada elemento se relaciona consigo mismo Es Reflexiva si A B y B A; A B No Simétrica M A C B Pero al ser reflexiva, cada par reflexivo, tiene simétrico, entonces... Si C B ; y B A C A Antisimétrica Transitiva Es una Relación de Orden Amplio en la relación de inclusión siempre está presente la transitividad...

32 Un conjunto ordenado es láttice si cualesquiera dos elementos en el conjunto tienen Sea A = { a, b, c, d, e, f, g } b e c g a Relación de orden d f Cota Superior Mínima Cota Inferior Máxima y se define en él la relación R y única y única R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (a,b); (a,c); (a,d); (a,e); (a,f); (a,g); (b,e); (b,g); (c,e); (c,f); (c,g); (d,f); (d,g); (e,g); (f,g); (g,g)} Un conjunto es ordenado si sus Reflexiva Antisimétrica Transitiva elementos se vinculan mediante una relación de orden Construimos un gráfico donde la reflexividad se muestra con para significar que cada elemento se relaciona consigo mismo unimos con un segmento los elementos que se relacionan entre sí, por ser antisimétrica. ej (a,b); (a,d); (c,e) R pero (b,a); (d,a); (e,c) R y aceptamos la transitividad en el sentido del recorrido de los elementos que se vinculan a través de los segmentos por ejemplo : (a,b) R (b,e) R (a,e) R (a,c) R (c,f) R (a,f) R (a,f) R (f,g) R (a,g) R

33 en el que se define una relación de orden R (reflexiva, antisimétrica y transitiva) R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (g,g); (a,b); (a,c); (a,d); (b,e); (a,e); (c,e); (d,f); (a,f); (c,f); (e,g); (a,g); (b,g); (c,g); (f,g); (d,g)} para (a,b) c. s. mím. = b c. i. Máx. = a Tomando dos elementos cualesquiera, por ejemplo para (c,d) c. s. mím. = f c. i. Máx. = a para (b,c) c. s. mím. = e para (b,g) c. s. mím. = g c. i. Máx. = a c. i. Máx. = b para (e,f) c. s. mím. = g para (d,e) c. s. mím. = g c. i. Máx. = c c. i. Máx. = a se aprecia que, efectivamente para dos elementos cualesquiera de A, existen c.s.mín y c.i. Máx. y son únicas b e a c g d f siempre que el gráfico resulta una retícula cerrada, como en este caso, el conjunto con la relación en él definida es Láttice (retícula)

34 Si analizáramos la misma relación pero en un conjunto B = { a, b, c, d } Por extensión será: R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (a,b); (a,c); (a,d) } De manera que los pares reflexivos se representan Los pares antisimétricos se representan uniendo con una línea (que se entiende siempre en un solo sentido hacia abajo-) Si analizamos la relación por extensión veremos que se trata de una relación transitiva Pero... Si bien los pares (a,b); (a,c); (a,d) tienen c.s.mín y c.i. Máx. únicas Los pares (b,c); (b,d) por ejemplo, NO tienen c.s.mín única (elementos que no están en la misma línea y la retícula no se cierra) Entonces en este caso Tampoco son Láttice retículas como NO hay Láttice Observa que las retículas están abiertas Ello se debe a que hay pares de elementos que no tienen única c.s.min y/ó c.i.máx e b a d c f b c a c a b d d

35 N = { 1,, 3, 4, 5,..... } 1 el conjunto N está conformado por ( N, ) significa que N es un conjunto ordenado según la relación cada elemento se relaciona consigo mismo, es reflexivo La relación es antisimétrica. (1,) R; (,3) R; (1,3) R;..... y transitiva es apreciable que entre los elementos 3 y 4 (por ser relación de orden) entre los elementos y 5 la cota superior mínima es 5 la cota inferior máxima es y así sucesvamente, para cualquier par de valores (m, n) si tomamos un par de valores donde m = n Se verifica entonces que ( N, ) es láttice la cota superior mínima es 4 la cota inferior máxima es 3 habrá cota superior mínima = n y cota inferior máxima = m coinciden las c.s.mín = c.i.máx = m = n 1 b

36 Analizaremos para algunos elementos de N y trataremos de generalizar las situaciones que encontremos, basándonos en propiedades conocidas cada natural es divisible pos sí mismo, entonces es reflexiva 1 divide a cualquier natural, entonces comenzamos con el y el 3 vinculamos al y 3 los naturales que son múltiplos precisamente de y que son el 4; 6 y 9 e irán apareciendo números primos a medida que avanzamos (divisibles solamente por sí mismos y por la unidad) y continuamos buscando múltiplos de 4; 6 y 9 el 1 y el 18 por ejemplo y la retícula puede seguir creciendo, por tratarse de un conjunto infinito; por ejemplo el 3 y el 5 dividen a 15 Es claro que, tomados dos elementos cualesquiera siempre hay una cota inferior máxima única ( 1 ) 1 4

37 Pero lo que parece no estar claro es si hay cota superior mínima (única) la retícula parece no cerrarse cuando los valores crecen (parte inferior del grafo) 15 5 Pero tenga presente que cada vez que aparezcan en la retícula dos vértices (elementos) que parezcan no cerrarse ; sin dudas habrá algún 18 1 número natural que resulta divisible por ambos, por ejemplo el producto de ambos 36 Finalmente, tomados dos elementos cualesquiera de N { m, n } Puede suceder que m = n ó bien que m n Si m = n coinciden las cota sup. Mím y cota inf. Máx. que es el mismo m =n Si m n existe siempre mínimo común múltiplo y máximo común divisor de m y n; que son respectivamente las cota sup. Mím y cota inf. Máx. de {m, n} Luego ( N, ) es Láttice Si analizamos (N 0, ) entonces ( N 0, ) NO es Láttice Es fácil advertir que 0 no divide a 0 Luego ésta no es una relación reflexiva y por ello no es de orden

38 Dados dos conjuntos A = { 1,, 3 } B = {, 3,4 } definimos en el producto cartesiano A x B una Relación R : (a, b) b = a + 1 Una relación R A x B es función... Si verifica dos condiciones: Existencia y Unicidad Existencia verifica si para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B Simbólicamente a A : b B / (a, b) f para todo elemento a que pertenece al conjunto A se verifica que existe un elemento b que pertenece al conjunto B tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f Unicidad, si cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B A a 13b 13c 14 i 14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi B Simbólicamente (a, b) f (a, c) f b = c Si el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a f entonces b es igual a c Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B

39 En situaciones como también se verifica que para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B (existencia) cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B (unicidad) Situaciones como... A 1 no verifica la condición de existencia el elemento A pero no tiene un correspondiente en B En el caso... no verifica la condición de unicidad el elemento 1 A se relaciona con dos elementos diferentes de la imagen (B ) NO es función 3 B Es función 1 3 A A 4 B NO es función 1 3 B 4 13a b 13c 14 i 14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi 13 14

40 Una función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes del dominio tienen imágenes diferentes x 1 x A : x 1 x f(x 1 ) f(x ) En este caso tenemos función inyectiva Porque cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B Una función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto B (codominio) son Imagen de la función, es decir que todos los elementos del conjunto B admiten al menos un antecedente en el dominio y B, x A / y = f(x) En este caso tenemos función sobreyectiva 1 3 A Porque todos los elementos del conjunto B tienen un antecedente con el que se relacionan en el conjunto A Si una función es inyectiva y sobreyectiva... es BIYECTIVA B 4 13a 3 13b 13c 14 i 14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi 13 14

41 se verifica que 1 pero f(1) = f() = función NO inyectiva asimismo el elemento 3 del conjunto B no admite antecedente en el conjunto A Si... se verifica que 1 pero f(1) = f() = función NO inyectiva pero todos los elementos del conjunto B admiten antecedente en A A B A función sobreyectiva función NO sobreyectiva A función NO sobreyectiva 1 3 cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B B 4 3 B pero no todos los elementos del conjunto B admiten antecedente en A 4 13a 13b 13c 14 i 14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi función inyectiva

42 Representación Gráfica de Funciones Cuál es el dominio donde está definida la función... Dm Y = f(x) Im y cuál es la imagen que se corresponde con el dominio de la función y se estudia la ley de variación de la función definida por y = f(x)... 13b 13a 13c x el dominio de la función son los valores que puede tomar x i en f(x) y recuerde siempre que: si un valor del conjunto de salida A no tiene imagen, la expresión no es función (Existencia) esto se hace asignándo valores x i en la expresión y = f(x); encontrando el resultado y i que le corresponde a f(x i ) La imagen de la función son los valores que se corresponden con cada valor del dominio de la función Si dos elementos diferentes del codominio (conjunto B) son imagen del mismo elemento de A, la expresión no es función (Unicidad) 14 i 14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi

43 N R y Sea f : N N / f(x) = x + 1 Sea la función f que va de Naturales en Naturales tal que f de x es igual a x y confeccionamos una tabla, asignándole valores a x para hallar x x + 1 y valores de y x R N si en el eje de abscisas (x) el dominio N En el eje de ordenadas (y) la imagen N Si la misma ley de variación (y = x + 1) estuviera definida de R R el dominio ahora será Reales y la imagen también Reales si si si La función ahora es f : R R / f(x) = x a 13b 13c 14 i 14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x (reales), la función está definida para todo x debemos unir todos los puntos obtenidos 13 14

44 13 a) Para representar f: R R / f(x) = - 5 x Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores x - 5 x Y Funciones Clasificación Rep. Gráfica (-1) (-) 10 Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales, trazamos con línea llena una recta que une los puntos identificados 13 b 13 c

45 13 b) Para representar g: Z pares Z / g(x) = 1 x reconocemos el dominio y la imagen de la relación Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos donde x e y sean números enteros Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores Y la relación queda representada por puntos porque va de Enteros pares en Enteros. (no corresponde el trazado de linea llena) x 1 x Y ½ 1 - ½ (-) ½ 4-4 ½ (-4) - 6 ½ ½ (-6) ½ 0 0 Funciones Clasificación Rep. Gráfica 13 c

46 Primero reconocemos cual es el dominio y cual es la imagen de la relación Significa que serán pares ordenados de la relación aquellos en los que x N y resulta de aplicar x en h(x), que también h(x) N x x + 3 Y definida de N en N En este caso tanto el dominio como la imagen son el conjunto de los números naturales (N) Funciones Clasificación Rep. Gráfica Trazamos un par de ejes coordenados Y confeccionamos una tabla de valores para g(x) Y la función queda representada por puntos porque va de Naturales en Naturales

47 consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real entonces Dm = { x / x R } Dm = [ - ; ] de la misma manera, los valores que tome y para los diferentes valores de x, van a estar contenidos en la recta de los reales entonces Im = { x / x R } Im = [ - ; ] Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores x - 3 x + 4 Y (-1) Por ser una función inyectiva y sobreyectiva Es función biyectiva Cada valor del dominio (x) tiene un valor diferente en la imagen (y) Inyectiva Todos los elementos de la imagen (eje y) admiten un antecedente en el dominio (eje x) es una función que va de Reales en Reales 14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi Funciones Rep. Gráfica Clasificación Sobreyectiva

48 14 ii) Para analizar el dominio de la expresión y = x + 4x - 3 consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real entonces Dm = { x / x R } Dm = [ - ; ] Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola Trazamos un par de ejes coordenados y para confeccionar la tabla de valores buscamos los valores de x que hacen 0 la función (raíces) 4 4 4( 1)( 3) ( 1) x x Funciones Clasificación x - x + 4x - 3 Rep. Gráfica Y con estos valores empezamos -1 -(-1) + 4 (-1) la representación gráfica 5-5 El vértice de la parábola estará en un punto equidistante Tomamos valores a la izquierda y finalmente trazamos la curva uniendo y a la derecha de los ya todos los puntos ( R R ) hallados 14 iii 14 iv 14 v 14 vi

49 tiene el dominio en Reales Dm = { x / x R } De observar el gráfico, vemos que la relación no tiene valores de y mayores que 1 Im = { x / x R x 1 } en el gráfico y en la tabla se nota que hay valores diferentes del dominio (x) que tienen la misma imagen (y); por ejemplo f(0) = = - 3 f(4) = = - 3 No Inyectiva Igualmente es posible ver que, de los elementos del conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los menores o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la función Funciones Clasificación Rep. Gráfica con solo un par de valores del dominio que admita la misma imagen, es suficiente para que la función sea No Inyectiva No Sobreyectiva

50 14 iii) Antes de analizar la expresión y = log (x - 3) Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir mediante : log a b c a c 3 b ejemplo : log Las calculadoras en general, con la tecla Log x entregan valores de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base 10 NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la base en la tecla de la calculadora falta la base? y con la tecla Ln x entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en base e ) Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e debe... plantear la siguiente expresión : Ejemplo : calcula log 8 = log 8 log 8 log log a x log x log a 0, , con la calculadora (que resuelve solo logaritmos decimales), podemos resolver un logaritmo que no es decimal 14 iv 14 v 14 vi

51 14 iii) Ahora representamos gráficamente log (x - 3) Vamos a confeccionar una tabla de valores x [log(x-3)]/log Y 0/0, ,5 0,301030/0, ,5 0,60060/0, , /0, ,5 1,0410/0, ,75 0,301030/0, ,65 0,5879/0, ,6 1,55-1/0, ,3 investigamos qué pasa a la izquierda de la asíntota, por ejemplo para x = 0 x 3 toma valores negativos y la función no está definida en esos valores ( x < 1.5 ) recuerda que : log( x 3) log( x 3) log trazamos entonces en x = 1,5 la asíntota de la función porque no existe ningún valor al se cual pueda elevar y obtener como resultado un negativo trazamos la curva con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota) Funciones Clasificación Rep. Gráfica siempre que x 3 > 0 habrá algún valor para f(x) si x = 1,5 x 3 = 0 Sabemos que el log 0

52 x toma solamente valores mayores que 1,5 entonces: Dm = { x / x R x 1,5 } En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y tienen antecedente en x Im = { x / x R } Cada valor del dominio (eje x) tiene un valor diferente en la imagen (eje y) Funciones Clasificación Rep. Gráfica Función Inyectiva Todos los elementos del codominio (eje y) son imagen de la función -admiten un antecedente en el dominio (eje x)- Función Sobreyectiva Por ser una función inyectiva y sobreyectiva Es función biyectiva Recuerda que siempre es conveniente empezar a representar una función logarítmica localizando la asíntota

53 14 iv) Si f(x) = x x 1 si x 0 si x 0 si x 0 En primer lugar reconocemos que x no puede tomar valores menores que - En consecuencia Dm = {x/x R x } Dn = [- ; ) Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con tres relaciones diferentes Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO Funciones Clasificación Rep. Gráfica si x > 0 la ley de variación es x - 1 si x = 0 la función vale 3 si x 0 la función vale x La representación gráfica se realiza como para cualquier otra relación Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio 14 v 14 vi

54 Para x > 0 f(x) = x - 1 x y = x - 1 Y Si x se acerca mucho a 0, pero sin ser igual a 0, toma por ejemplo valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a - 1 debemos entender que si x se acerca a 0 con valores mayores que 0, y se acerca a 1, pero sin ser y = -1 Funciones Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (-1) para valores muy próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser y = 1 en x = 0 Clasificación Rep. Gráfica Unimos con una recta todos los valores hallados por tratarsae de una ley de variación lineal y comprobamos que hay al menos tres puntos alineados En x = 0 la función vale 3

55 x 1 si x 0 Si x se acerca mucho a 0, pero sin Para x < 0 f(x) = x ser igual si a 0, x toma 0 por ejemplo 3 xvalores 1 si como -0,1; x -0,01; 0-0,001, etc x y = x Y si x fuera igual a 0 entonces y sería -1 (-1) igual a 1 (con esta ley de variación) - (-) debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0, y se acerca a 1, pero sin ser y = 1 Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (1) para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser y = 1 en x = 0 Funciones Clasificación Rep. Gráfica Unimos los tres puntos hallados con uina curva de parábola cúbica solo para valores comprendidos en el intervalo [-; 0) y tenemos así la representación gráfica de la función f : Dm Im / f(x) =

56 Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y que admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de 7 a Im = { x / x R x -7 } Im = [-7; ) Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo para x= 1 ó x = - 1; y = 0 La función es No inyectiva Funciones Clasificación Rep. Gráfica Como la función está definida de Dm R y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im R La función es No sobreyectiva

57 14 v) Si f(x) = x 1 ln x si si si x 0 x x En primer lugar reconocemos que x puede tomar valores que van de - a + En consecuencia Dm = {x/x R } Dn = (- ; + ) Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con tres relaciones diferentes Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO Funciones Clasificación Rep. Gráfica si x < 0 la ley de variación es x si 0 x 1 la función vale 1 si x > 0 la ley de variación es lnx La representación gráfica se realiza como para cualquier otra función Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio 14 vi

58 Para x > 0 f(x) = ln x x ln x y 4 ln 4 1,39 8 ln 8,08 Si x fuera igual a 1 entonces y sería igual a 0 debemos entender que si x se acerca a 1 con valores mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0 Funciones Clasificación Rep. Gráfica representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x = 1 (por derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1 Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación logarítmica luego, estudiamos qué sucede con los valores de x comprendidos entre 0 y 1; intervalo [0; 1] - para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función vale 1 si x = 0 y = 1 si x = 1 y = 1

59 Confeccionamos tabla de valores x x y / - - 1/4 Si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1 debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0 ; y se acerca a 1, pero sin ser y = 1 Funciones Clasificación Rep. Gráfica representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser necesariamente y = 1 en x = 0 Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación exponencial ( x ) Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un estudio anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente vale 1 y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar valor la función en ese punto, ya no tiene sentido mantenerlo

60 Dm = { x / x R } Dm = (-; ) Pero se ve también que, solamente los valores de y > 0 admiten algún antecedente en el eje x Im = { y / y R y > 0 } Im = (0; ) Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y = 1 La función es No inyectiva Funciones Clasificación Rep. Gráfica Como la función está definida de Dm R y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im R La función es No sobreyectiva

61 14 vi) Si f(x) = x 3 En primer lugar reconocemos que x no puede tomar el valor - 3 Luego confeccionamos tabla de valores, para x próximos a 3 por derecha Trazamos un par de ejes coordenados en ese caso tendríamos / 0; así podemos decir que para x = - 3 no existe un valor finito de la función trazamos una asíntota en x = -3 y estudiamos qué sucede a la izquierda de x= 3 Funciones Clasificación x x 3 - /(-+3) - 1 /(-1+3) 1 y 0 /(0+3) /3 1 /(1+3) 1/ /(+3) /5 -,5 /(-,5+3) 4 -,6 /(-,6+3) 5 x x 3 y - 4 /(-4+3) /(-5+3) /(-6+3) -/3-7 /(-7+3) -1/ - 8 /(-8+3) - /5-3,5 /(-3,5+3) - 4-3,6 /(-3,6+3) - 5 Rep. Gráfica x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la función no puede cortar la línea de trazos punteada Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado

62 Cualquier valor del eje x -3 tiene un correspondiente en el eje y Dm = { x / x R x - 3 } Dm = (-; -3) (-3; ) los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x; son todos, menos el 0 Im = { y / y R y 0 } Im = (-; 0) (0; ) No Existen valores diferentes del dominio que tengan la misma imagen Funciones Clasificación Rep. Gráfica todos los valores del dominio tienen imágenes diferentes La función es inyectiva Como la función está definida de Dm R y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R {0} La función es No sobreyectiva

63 14 d) De todas la funciones analizadas solo son biyectivas f : R R / f(x) = 3x + 4 y f : R > 1,5 R / f(x) = log (x 3) y precisamente, por ser biyectivas admiten función inversa para hallar la inversa de la función, f : R R / f(x) = 3x + 4 transformamos el dominio en imagen y viceversa en la ley de variación hacemos pasajes de términos, para despejar x f -1 : R R / f 1 x ( x ) 4 3 Funciones Clasificación Rep. Gráfica y = 3x + 4 y - 4 = 3x 3x = 4 - y y luego despejo x 4 x 3 x multiplico todo por (-1) y permuto los miembros (para ordenar) 4 y 3 y efectúo ahora un cambio de variables (x por y) La ley de variación así obtenida, es la ley de variación de la función inversa

64 Representamos gráficamente f 1 4 : R R / f ( x ) 3 en el mismo gráfico que hemos representado 1 x f : R R / f ( x ) 3x 4 confeccionamos una tabla de valores Funciones Rep. Gráfica Clasificación 4 x x 3 f -1 (x) ( ) ( 8) 3 4 trazamos la recta, que también va de R R tenga siempre presente que los puntos de una función cualquiera que admite inversa; y su inversa son equidistantes respecto de la bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante

65 para hallar la inversa de la función, f : Dm R / f(x) = log (x-3) recordemos que ya hemos hallado Dm = { x / x R x > 1,5 } entonces transformamos el dominio en imagen y viceversa f : R > 1,5 R / f(x) = log (x-3) f -1 : R R luego despejamos la incógnita x de > 1,5 la ley de variación de f= log (x-3) / f x 1 3 ( x ) recuerde que: log a b = c a c = b Funciones Clasificación Rep. Gráfica y = log (x 3) y = x - 3 permuto los miembros (para ordenar) x 3 y luego despejo x x 3 y efectúo ahora un cambio de variables (x por y) y x y 3 y x 3 La ley de variación así obtenida, es la ley de variación de la función inversa

66 Representamos gráficamente X en el mismo gráfico que hemos representado x 3 f -1 (x) f : R 1. 5 R / f ( x ) log( x 3) confeccionamos una tabla de valores 0 3 unimos los puntos con ,5 3,5 9,5 1,75 1,53 1,5001 f : R R 1, 5/ f ( x ) borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo trazo continuo porque f -1 va de R R también aquí f -1 es equidistante de f respecto de la bisectriz del primer cuadrante recuerde que f tiene asíntota en x = 1,5 x Funciones Rep. Gráfica Clasificación y finalmente podemos trazar la asíntota de f- 1 que es y = 1,5 porque aunque tomemos valores muy pequeños de x, f -1 será siempre 1,5

67 Es hora de descansar!!! Momento propicio para establecer nuevas relaciones... Pero recordá, puede descansar solamente el que antes trabajó (estudió) Debe trabajar el hombre para ganarse su pan, pues la miseria en su afán de perseguir de mil modos. Llama a la puerta de todos y entra en la del haragán. Martín Fierro (José Hernández)