PROBLEMA 1. PROBLEMA DE DINÁMICA

Transcripción

1 ROBLEMA. ROBLEMA DE DIÁMICA Tres bloques A, B y C de 30, 0 y 0 kg respectivamente, se encuentran juntos sobre una superficie horizontal con un coeficiente de rozamiento de 0 4. a) Qué fuerza,, hay que aplicar al bloque A para que el conjunto adquiera una aceleración constante de 3 m/s? b) Calcula la fuerza, AB, que el bloque A ejerce sobre el B, y la BC, que el bloque B ejerce sobre el bloque C. c) Calcula la fuerza, BA, que el bloque B ejerce sobre el A, y la CB, que el bloque C ejerce sobre el bloque B. SOLUCIÓ: a) Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica, y teniendo en cuanta que las fuerzas que actúan a favor del movimiento se toman con signo positivo y las que se oponen al movimiento de toman con signo negativo: a Σ Σm m A RA + m B RB + m C RC RA µ.m A.g RB µ.m B.g RC µ.m AC g '6 78'4 39' 3 45' b) Separamos el bloque A y resolvemos sólo con el B y C: Σ AB RB RC AB 78'4 39' a 3 Σm m B + m C os quedamos sólo con el bloque C: AB 07'6 Σ BC RC BC 39' a 3 m m 0 C BC 69'

2 c) Aplicando el tercer principio de la dinámica, acción y reacción, la fuerza que el bloque B ejerce sobre el bloque A será simultánea, de igual módulo y sentido opuesto a la que el bloque A ejerce sobre el B: BA AB 07 6 or la misma razón: CB BC 69 Comprobemos los resultados, aplicando la ecuación fundamental sólo al bloque B, si las fuerzas son correctas el bloque se moverá con una aceleración de 3 m/s. Sobre el bloque B actúan tres fuerzas: La que el bloque A hace sobre él, AB, que le hace moverse, la que el bloque C hace sobre él, CB, que lo frena, y la fuerza de rozamiento, RB, que también lo frena. a Σ Σm AB m CB B RB 07'6 69' 78'4 3 m/s 0 ROBLEMA. UERZA CETRÍETA Se hace girar, en una circunferencia vertical, un cuerpo de kg, atado a una cuerda de 45 m. a) Calcular la velocidad mínima de éste en el punto superior () para que la cuerda esté tensa. b) Cuál será la tensión de la cuerda en los puntos:,, 3, 4 y 5. SOLUCIÓ: a) Arriba (), la velocidad mínima coincide con la tensión mínima ( T 0 ), la única fuerza que apunta hacia el centro es el peso, en rojo en el dibujo, y éste es la fuerza centrípeta: v m.g m v g.r R v 9'8.'45 4'9 m / s b) Aplicando el principio de conservación de la energía, ya que no hay pérdidas por rozamiento, calculamos la velocidad en el punto () para poner hallar la fuerza centrípeta. Con ésta y la componente normal del peso calculamos la tensión: unto : h R R.sen sen m (altura de respecto a )

3 m.v + m.g.h m.v v v +.g.h v 4'9 +.9'8.0'77 6' 7 m / s La fuerza centrípeta es la suma de la tensión y la componente normal del peso (medimos ángulos respecto al radio): T + mg.cos c > T cos > T 7 v m R 6' 7 '45 c unto 3: h 3 45 m, v m/s, c T 3 + mg.cos c3 > T cos > T 58 8 unto 4: h m, v m/s, c T 4 + mg.cos c4 > T cos > T unto 5: h m, v m/s, c5 98 T 5 + mg.cos c5 > T cos > T '08 unto : T + mg c > T > T 0 (condición que impusimos al principio para calcular v ) odemos encontrar una fórmula para realizar los cálculos para cualquier ángulo? Midiendo los ángulos respecto a OX (ver dibujo): h R( sen) v c c gr + gh mg(3.sen) mg.sen T c c 3mg( sen) La solución es: T 3.m.g.( sen ) ara el punto (): T ( sen 35) 7 ara un punto situado en 30º: T (-sen 30) 9 4

4 ROBLEMA 3. RELATIVIDAD DEL OBSERVADOR Una masa de 0 kg cuelga del techo de un vagón suspendida de una cuerda que forma un ángulo 60º con la vertical. Dentro del vagón se encuentra un observador O' y fuera, en reposo sobre la superficie terrestre, un observador O. a) Dibuja el diagrama de fuerzas que corresponde a cada observador. b) Calcula la aceleración con que se mueve el vagón, y la tensión de la cuerda. a) El observador O ve al objeto en reposo respecto a él, por lo que piensa que no tiene aceleración y en consecuencia la suma de las fuerza que actúan sobre éste se anulan, por lo que se imagina una fuerza, (llamada fuerza de inercia), que compensa a la tensión y al peso de forma que: T El observador O, que está fuera del vagón ve la realidad y es que el objeto se mueve hacia la derecha con una aceleración, a, que es la misma con la que se mueve el vagón a la que el objeto está unido. Sólo ve lo que hay, el y la T. Sabe que esta aceleración es causada la componente horizontal de la tensión de la cuerda. b) El cuerpo ni baja ni sube, por lo que la fuerza hacia abajo () se compensa con la fuerza hacia arriba (T y ): mg 0.9'8 T y T.cos mg T 96 cos cos 60 El objeto tiene una aceleración horizontal (a), causada por una fuerza horizontal que es (T x ): Tx T.sen 96.sen 60 a 6'97 m m m 0

5 ROBLEMA 4. OCOS DATOS, MUCHO RAZOAMIETO Sobre un plano inclinado 30º se tiene un cuerpo. Calcular la aceleración que hay que dar al plano inclinado, y en qué sentido, para que el cuerpo no descienda. Las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son su peso,, y la normal del plano,. La resultante de éstas es, que debe ser horizontal para que el cuerpo adquiera una aceleración horizontal hacia la derecha y no descienda (ni ascienda) por el plano. Al plano debemos imprimirle la misma aceleración (módulo, dirección y sentido) para que se mueva solidariamente con el cuerpo. Si descomponemos, la componente y debe ser igual y opuesta al peso,, para que se anulen entre sí, y la componente x será la fuerza,, que actúa sobre el cuerpo y le produce la aceleración horizontal, a, que es la que buscamos. x tg mg.tg y mg.tg a g.tg 9'8.tg 30 5'658 m/s m m ROBLEMA 5. UO DE ROZAMIETO Sobre un sólido en reposo de masa 5 kg se aplica una fuerza,, de 00 formando un ángulo de 30º con la horizontal, sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico es μ 0. a) Calcule la velocidad que habrá adquirido cuando se haya recorrido 0 m bajo la acción de esta fuerza. b) Si en un momento determinado cesa la fuerza, Qué recorrido realizará el cuerpo hasta pararse de nuevo. Las fuerzas reales aplicadas al sólido son: la fuerza, el peso, la fuerza de rozamiento R y la normal. La componente vertical de la resultante se debe anular (el cuerpo se mueve por el plano horizontal) R + y + 0 fuerzas hacia arriba igual a fuerzas hacia abajo +.sen+ m.g 00.sen '8 99 y a

6 La componente horizontal de la resultante provoca una aceleración a, hacia la derecha. Recordando que las fuerzas que vayan a favor del movimiento se ponen positivas y las que se oponen al movimiento se ponen negativas: a Σ.cos μ. 00.cos 30 0'.99 m m m 5 x R 3'36 m/s Con la aceleración ya podemos calcular la velocidad: v.a.e.3'36.0 6'34 m b) Si cesa la fuerza, las fuerzas reales aplicadas al sólido son: el peso, la fuerza de rozamiento R y la normal. La componente vertical de la resultante se debe anular: + 0 m.g 5.9'8 49 La fuerza de rozamiento (que siempre es negativa) es ahora la única fuerza horizontal: R μ. 0'.49 9'8 Σ R 9'8 a '96 m/s m m 5 El espacio que recorre hasta detenerse es: v vo 0 6'34 v vo +.a.e e 68'6 m.a.( '96) ROBLEMA 6. RESOLVER OR BALACES DE EERGÍA Colocamos un cuerpo de 4 kg sobre un plano inclinado 5º que tiene m de longitud, después de descender por éste recorre 5 m por un plano horizontal hasta que se encuentra con un muelle cuya constante elástica es 000 /m al que comprime. a) Calcular cuánto se comprime el muelle si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y los planos es 0. b) Si vuelve a ser despedido por el muelle qué distancia recorrerá por el plano inclinado hasta detenerse? c) Repetir el problema suponiendo que por el plano horizontal recorre 8 metros antes de encontrarse con el muelle. a) Balance de energía: R La energía final es igual a la energía inicial menos la que pierde por el camino. La energía potencial elástica es igual a la energía potencial gravitatoria inicial menos el trabajo de rozamiento. μ.mg.cos 0'.4.9'8.cos 5 7'8 ; μ.mg 8'6 R R

7 Balance de energía: Epg WR WR Epe m.g.h R.e R.(e + x) k.x 4.9'8.(.sen5) 7 '8. 8'6.(5 + x).000.x x 0'34 m Si no estamos atentos nos comemos la x en el W R y ponemos R.5 en vez de R.(5+x) b) Balance de energía: La energía potencial elástica menos el trabajo de rozamiento es igual a la energía potencial gravitatoria. Epe WR WR Epg k.x R.(e + x) R.e m.g.h.000.0'34 8'6.5'34 7 '8.e 4.9'8.(e.sen5) e 0'5 m c) Si recorre 8 m por el plano horizontal antes de encontrarse con el muelle, repetimos las operaciones del apartado a y obtenemos que comprimirá al muelle: x 0 6 m Si repetimos las operaciones del apartado b nos sale e negativo, lo que nos indica que al ser lanzado por el muelle el cuerpo se detiene antes de alcanzar al plano inclinado. Cuánto recorre por el plano horizontal, al despegarse del muelle, hasta detenerse? Epe WR 0 k.x R.(e + x) '6 8'6.(e + 0'6) 0 e 3'65 m ROBLEMA 7. CAMO GRAVITATORIO Tenemos tres masas puntuales m 300 kg, m 00 kg y m 3 00 kg, situadas en los puntos: (0,0), (0,80) y 3 ( 0,0) expresados en metros. Calcular el campo gravitatorio, g, creado por éstas en el punto 0 (0,40). El campo creado por una serie de masas puntuales en un punto es igual a la suma de los campos creados por cada una de ellas en dicho punto. g Σg i Campo creado por m : G.m 6' Módulo: g '005.0 kg r 44'7 40 Ángulo: arctg 63'43º 0 g ( 63 43º) (4 47.0, ) /kg 0 3

8 Campo creado por m : G.m 6' g 8'33.0 r arctg 90º 0 g (90º) (0, ) /kg Campo creado por m 3 : kg G.m3 6' g 3 3'33.0 kg r3 44' arctg 6'56º 0 g ( 6 56º) ( 49.0, 98.0 ) /kg El campo total es igual a la suma de los tres campos calculados: g ( 98.0, ) ( 50 3º) /kg Si en el punto 0 colocamos una masa de 000 kg cuál sería la fuerza inicial a la que estaría sometida? (no se considera el campo gravitatorio terrestre). m.g , en la dirección 50 3º