Prof. Álvarez, Sonia

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1 CUADERNILLO DE ACTIVIDADES Prof. Álvarez, Sonia Apellido y Nombres: Curso:

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3 PROGRAMA DE MATEMÁTICA(º Año) Unidad Nº : Función Lineal Función lineal. Gráfica Ecuación eplícita, implícita y segmentaria. Rectas paralelas y perpendiculares. Reconstrucción de la ecuación Intersección de rectas Unidad N : Epresiones Algebraicas Racionales Fracción algebraica: concepto. Fracciones equivalentes. Operaciones con fracciones algebraicas. Ecuaciones. Unidad Nº : Función Cuadrática Función cuadrática: gráfica y generalidades. Ecuación polinómica. Gráfica Ecuación canónica y factorizada Ecuación de º grado. Unidad Nº : Funciones y Ecuaciones Logarítmicas y Eponenciales Función eponencial y logarítmica: características y gráfica. Logaritmo: definición, propiedades. Eponencial: definición y propiedades. Ecuaciones eponenciales y logarítmicas. Unidad Nº : Números Complejos Número imaginario y complejo: definición, propiedades y operaciones.

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7 UNIDAD Nº : FUNCIÓN LINEAL. Sea f ( ) : a) Determina f () y f () b) Encuentra la pre imagen de y de c) Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados d) Pertenece a esta recta el punto ( ;9)? Por qué? e) Grafícala a partir de la ordenada al origen y la pendiente.. Indica la pendiente, ordenada al origen y raíz de las siguientes funciones afines: a) y c) y b) y d) y 0. Grafica las siguientes funciones por pendiente y ordenada al origen: a) y b) y c) y d) y. Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta de ecuación f ( )? Por qué? a) p (; ) b) q ( ; ) c) r ; 0 d) 0;. Escribe la ecuación de la recta R sabiendo que: a) a y p ; 7 R b) b y p ; R c) p ; y ; q pertenecen a R 7 d) pasa por p ; y q ; e) es paralela a y y pasa por ; f) es perpendicular a y y pasa por ;. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (;) y es perpendicular a la recta determinada por los puntos (;8) y (;) 7

8 7. Halla la ecuación de la recta que tiene ordenada al origen 8 y es paralela a la recta que pasa por los puntos (;8) y (-;) 8. Determina analíticamente si los siguientes puntos están alineados: a ;, b ; 9, c ; 9. Grafica las siguientes rectas utilizando los parámetros de la ecuación: a) y y b) y c) 0. Epresa las siguientes ecuaciones de rectas en todas las formas posibles: a) y y b) y c) d) y e) y 0 f) y 0. Encuentra la ecuación de las siguientes rectas y grafícalas: a) A corta al eje X en y 0 y es paralela a la recta b) B es perpendicular a la recta y 0 y pasa por el punto ;. Encuentra la ecuación de cada una de las rectas graficadas: La gráfica que representa la función lineal y = + es: 8

9 9. Determina analíticamente si las siguientes rectas son secantes, paralelas o coincidentes: a) 0 0 y y b) y y c) 0 y y d) 0 y y. Encuentra analíticamente la intersección entre las siguientes rectas: a) : : y R y R b) : 0 : y T y R c) 0 : 0 9 : y R y R. Halla la intersección entre las rectas H y F sabiendo que H contiene a los puntos ; 0 y ; y que F es perpendicular a H y contiene al punto 9 ; 7. El gráfico que determina p, como solución del sistema: y + = es: y =

10 p p p p Problemas de aplicación: a) El grado Fahrenheit es la unidad de medida de la temperatura en los países anglosajones, se llama así porque el físico alemán Daniel Fahrenheit construyó en 7 el termómetro de mercurio (en lugar del de alcohol) y lo graduó con la escala que lleva su nombre. La escala para convertir una temperatura en grados Celsius (usada en Argentina y la mayoría de los países) a grados Fahrenheit está dada por 9 una función afín, a saber: F C º. Teniendo en cuenta esto: a) A cuántos ºF hierve el alcohol si se sabe que lo hace a 78ºC? a) A cuántos ºC equivalen 8ºF? a) Cuáles son las temperaturas de fusión y de ebullición del agua en ºF? b) Un empresario que fabrica cierto producto tiene un costo mensual fijo (alquiler del local, mantenimiento de máquinas, etc) de $00 mensuales y además $ por cada kg de producto fabricado: b) Cuál es la función que representa el costo mensual total de la empresa? b) Cuál será el costo total mensual si se fabrican.00 kg del producto? b) Qué significan la pendiente y la ordenada al origen en este caso? c) La demanda de un artículo determinado se relaciona con el precio de éste mediante una función lineal. Si, por ejemplo, la función demanda en el mercado de los lápices está dada por la ecuación q 00 p, donde q representa la cantidad demandada y p, el precio de venta: c) Cuántos lápices se comprarán si el precio de venta es $, $, $0? c) Cómo es la pendiente? Qué significa esto? c) Representa gráficamente la función demanda de lápices. d) El departamento de ventas de una empresa informa que durante el primer bimestre las ventas realizadas estuvieron en el orden de los $.000 y que en el segundo, las mismas ascendieron a $.000. Sabiendo que las ventas se relacionan con el tiempo mediante una función afín, se pide: d) Graficar la función utilizando los datos. d) Dar la ecuación de la función d) Calcular el monto de venta esperado en el º bimestre. 0

11 EJERCICIOS DE REPASO. Escribe la pendiente, ordenada al origen y raíz de las siguientes rectas: a) y b) y 0 y c) 7 d) y 0. Completa la tabla: Ec. eplícita Ec. implícita Ec. segmentaria y y 0 7 y. Grafica las siguientes funciones teniendo en cuenta los datos de la ecuación: y a) 7 b) y. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto ; a la recta determinada por los puntos ; y ;. y es perpendicular. Encuentra analíticamente la intersección de las rectas del ejercicio anterior.

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15 UNIDAD Nº : EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ) Simplifica las siguientes epresiones algebraicas: a) 9 9 b) c) d) 8 e) 7 f) 9 ) Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones: a) 9 b) c) : d) 8 : e) : 9 f) : g) : 8 h) : i) : ) Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones: a) 0 b) c) d) 8

16 e) 9 9 f) g) h) i) j) 9 ) Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) : b) c) d) : e) 8. f) 0 g) 9 7 h) : i) j) 8 : 8 ) Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 0 b)

17 MATEMÁTICA AÑO c) 0 d) e) 0 f) g) h) i) j) k) l) EJERCICIOS DE REPASO: Resuelve: a) b) ( 8)( + ) ( +)( ) = + + = ++ c) = d) e) : = : = f) ( + + g) : ( + + ) = + ). ( + ) = + + h) ( + ) : ( + ) = + + 7

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21 MATEMÁTICA AÑO UNIDAD Nº : FUNCIÓN CUADRÁTICA. Haz un gráfico aproimado de una función cuadrática y a b c que: sabiendo a) a 0 b 0 c 0 b) a 0 b 0 c 0 c) a 0 b 0 c 0 d) a 0 b 0 c 0 e) a 0 b 0 c 0. Grafica las siguientes funciones, calculando e indicando en cada caso: raíces, vértice, eje de simetría y ordenada al origen. a) y b) y c) y 8 d) y e) y f) y 7. En qué forma está epresada cada función cuadrática? Qué significan los distintos parámetros en cada una? Pasa cada ecuación a las demás formas conocidas. a) y b) y c) y d) 9 y e) y f) y g) y h) y i) y. Calcula el discriminante de la función f ( ) a b c y marca con una cruz donde corresponda:

22 MATEMÁTICA AÑO a b c Δ Raíces reales distintas Raíces reales iguales Sin raíces reales 0. Escribe las siguientes funciones en la forma más conveniente, de acuerdo a los datos: a) El vértice es ; y pasa por el punto 0 ; b) Corta al eje X en ;0 y ;0 c) La suma de las raíces es y pasa por el punto ;, su producto es y a d) Las raíces son, y la ordenada al origen es. e) Las raíces suman, el producto de ellas es y b. Escribe la forma polinómica de las siguientes funciones, teniendo en cuenta los datos del gráfico:

23 MATEMÁTICA AÑO y ECUACIÓN CUADRÁTICA 7. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) b) 0 c) d) 0 e) f) 0, 0, 0, 0 g) 0, 8 h) 8. Plantea y resuelve los siguientes problemas: a) Cuál es el número, distinto de cero, que sumado a su cuadrado es igual a su cuádruple? b) Cuál es el número tal que la suma entre dicho número y el cuadrado de su consecutivo sea?

24 MATEMÁTICA AÑO c) Calcula la edad de Lorena sabiendo que el cuadrado de su edad menos las tres cuartas partes del cuadrado de la edad que tendrá el año siguiente es igual a la edad que tenía el año pasado más años. d) Mariano tiene CDs más que Diego y si multiplicamos ambas cantidades obtenemos.8. Cuántos CDs tiene cada uno? e) Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden cm y cm y su hipotenusa es de cm f) Calcula la medida de cada lado de un rectángulo si su superficie es de 8 cm, su ancho es 7cm y su largo, cm. g) Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función I( z).000z z, donde z es la cantidad de zapatos que fabrica en el mes. Realiza el gráfico aproimado de la función y responde: a) Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? b) Cuáles son los ingresos si se fabrican pares de zapatos? Y 7 pares? c) A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas? h) El costo total de producir q paquetes de yerba está dado por la siguiente función: C q q. Cuántos paquetes de yerba deberán fabricarse a los efectos de minimizar el costo total? i) Una empresa dedicada a la venta de productos por catálogo considera que las utilidades que se obtengan dependen de que eistan más vendedores por zona, ya que así se incrementaría el nivel de ventas. La función de beneficios es: B 00.00, donde es el número de vendedores asignados por zona. Cuántos vendedores harán máimo el beneficio? Cuál es la utilidad máima esperada? 9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en forma analítica y gráfica: a) f() = + g() = + b) h() = 8 + j() =

25 MATEMÁTICA AÑO c) t() = + u() = + 0. Calculen las dimensiones de un rectángulo, cuyo perímetro es de 0 cm, para que su área sea máima.. La suma del cuadrado de un número entero y el cuadrado del duplo del consecutivo es. Cuál es el número?. Calcular la diagonal de un rectángulo sabiendo que la base es igual a las tres cuartas partes de la altura y que el área es 8.. Calcular el perímetro de un rectángulo cuya área es 8, sabiendo que la diferencia entre la base y la altura es.. Calcular la altura de un triángulo de 70.7 de área, sabiendo que la medida de su altura es igual a las dos terceras partes de la medida de la base.. El área y el perímetro de un rectángulo son respectivamente 89 y 7. Calcular la longitud de su diagonal.. Calculen el o los valores de k para los cuales las siguientes funciones tienen dos raíces reales iguales. a) f() = + k + k b) f() = + (k ). k 7. Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función I(z) = 000z z, donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes. Realicen el gráfico aproimado de la función y respondan. a) Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? b) Cuáles son los ingresos si se fabrican pares de zapatos? y 7 pares? c) A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas? 8. Si la diferencia entre dos números es, cuáles deben ser los números para obtener el menor producto? Cuál es ese producto?

26 MATEMÁTICA AÑO 9. En una isla se introdujeron iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los recursos de la isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de iguanas a los t años de haberlos dejado en la isla está dado por: I(t) = t + t + (t > 0) Calculen: a) La cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó. b) En qué momento la población de iguanas se etingue? 0. Reconstruye la ecuación de º grado en cada caso: a) b) c)

27 MATEMÁTICA AÑO EJERCICIOS DE REPASO. Grafica las funciones indicando raíces, vértice, ordenada al origen y eje de simetría: a) y b) y. Epresa cada función en todas las formas posibles: a) y b) y c) y. Escribe la ecuación polinómica de una parábola cuyo vértice es ; sabiendo que el punto ;0 pertenece a ella. 0 y. Escribe la ecuación canónica de una parábola sabiendo que la suma de sus raíces es 8 y el producto, y que corta al eje de las ordenadas en el punto 0;. Escribe la ecuación polinómica de una parábola sabiendo que el punto ;0 pertenece a ella y que sus raíces son.. Completa el cuadro: Q Polinomio Polinomio factorizado Raíces 8 P.. -,,0 7

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31 MATEMÁTICA AÑO UNIDAD N : FUNCIONES Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES ) Calcular los siguientes logaritmos aplicando la definición: a) log = b) log = c) log = 7 d) log 0,00 = e) log = f) 8 log 8 = ) Resolver aplicando las propiedades: a) log (8. ) = b) log 7 = c) log. = d) log (. 0,) = 00 ) Sabiendo que log A =, log B = y logc = ; calcular los siguientes logaritmos: a) log(a. B ) = b) log B C = c) log (B. C) = A ) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log( ) = b) log ( ) = 0 c) log ) Grafica las siguientes funciones: a) y = log b) y = log d) y = log ( ) e) y = log( + ) c) y = log ( ) = f) y = log + g) y = log h) y = i) y = ( ) j) y = e k) y = l) y = ( )+ m) y = n) y = ( ) + ) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log( ) = b) log ( + ) = 0

32 MATEMÁTICA AÑO c) log ( ) = d). log + = 0 e) 0. log. log + = 0 g).log = h).log 7.log 8 0 i).log log0 0 j) log log 0 k) log log l) log 9. 0 log 9 9 m) ln ln 8 n) log log 0 ñ) log.log 0 o) log.log 0 p) log.log 0 7) Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales: a). 0 c). 8 0 e) g). 0 b). 0 d) f) 0 h). 9 i) + = 0 j) 7 k) 0 0 m).. 0 l) e e 0 n).. 0 8) Otras ecuaciones: a) 9. 0 b). 0 : 0. c) 0 0 d). 0 0 e) e. e e e 0

33 MATEMÁTICA AÑO f) l) 8 g) 9 0 m) log h) log 7 9 i) log 0 j) 0 k) log log log 8 9) Indicar en cada caso la respuesta correcta del valor de "": a) + = 9 i) ii) 0 iii) iv) b) = 8 i) ii) iii) iv) c) = (0,) + i) ii) 0 iii) iv) d) ( )(+) = i) (, ) ii) (,) iii) (, ) iv) (0, ) e) log + = i) 0 ii) iii) iv) f). log ( + 7) = i) 7 ii) iii) 9 iv) 9 g) log ( + ) log ( ) = i) ii) iii) 7 iv) h) log + log = + log i) ii) iii) iv)

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37 MATEMÁTICA AÑO UNIDAD Nº : NÚMEROS COMPLEJOS. Representa gráficamente los siguientes complejos: a) z = + i b) z = i c) z = (; 0) d) z = (0; ) e) z = i f) z = i. Halla el valor de las siguientes raíces: a) = b) 8 = c) = d) =. Halla los valores reales de e y que verifiquen las siguientes igualdades: a) ( ; y + ) = ( ; ) b) ( + ; y + ) = (0 ; ) c) ( ) + ( y)i = + i d) ( )i y + = i e) + (y + )i = 8 + ( + y)i f) + yi = ( + ) + i. Halla el módulo y el conjugado de cada número complejo: a) z = + i b) z = i c) z = i d) z = i e) z = i f) z = + i. Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones: a) ( 9; 8) + (8; ) = b) ( ; ) ( ; ) = c) ( 8 + 9i) + ( i) = d) ( 7i) ( + i) e) ( + i) + ( + i) ( i) = f) ( i) ( i) + ( i) = 7

38 MATEMÁTICA AÑO. Calcula las siguientes potencias: a) i = b) i = c) i = d) i 8 = e) ( i) = f) ( + i) = g) ( i 9 ) = h) ( + i ) = 7. Resuelve las siguientes multiplicaciones: a) (8 + i). ( + i) = b) ( i). ( i) = c) (; ). ( ; ) = d) ( + i). ( + i) = e) ( i). ( + i) = f) ( + i). ( i) = 8. Resuelve las siguientes divisiones: a) +i i = +i b) = i +i c) = +i 0i d) = + i 9. Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) ( i).(+i) +i = b) +i i + ( i) i = c) (i0 i ) i = d) ( i +i ) = e) ( +i) ( i) ( +i) = f) ( i) ( + i) ( ) + i = g) ( +i) ( i) ( i ) = h) ( i) (+i) i + +i i (8i ) +i = 0. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) = 0 b) + + = 0 8

39 MATEMÁTICA AÑO c) ( + ) = 9 d) z + i = + zi + i e) z i + = zi f) (y + )i y = i g) + i + y = i yi + h) i ( y) + yi = i) i + yi = i + y j) z + iz + = 0 9

40 MATEMÁTICA AÑO EJERCICIOS DE REPASO. Epresa z = + i en forma cartesiana, grafícalo, escribe su conjugado y calcula su módulo. Resuelve: a) ( i) ( + i) ( + i) ( + i) = b) ( i) ( i)+( +i) = c) [( ) + i ( i)] ( i) = d) ( +i ) (+i) = ( i) (+i). Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + = 0 b) z i = zi c) yi + y = i 0