Solución del ejercicio 3 de aplicación

Transcripción

1 Solución del ejercicio 3 de aplicación Planteamiento Con los datos tenemos que generar un triángulo oblicuángulo que nos permita determinar los valores restantes. Nuevamente hay que entender en enunciado y transformarlo en información que nos sirva para generar nuestro triángulo deseado. Diagrama esquemático Opcionalmente podemos generar un esquema que nos permita entender el problema: Satélite Puebla Distrito Federal km Suponiendo que ambas ciudades están a la misma altura porque desconocemos ese dato. Triángulo oblicuángulo Con la información anterior generemos nuestro triángulo: A α c b B β = 60 γ = 75 a = 340 C Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 1

2 Tenemos el lado A, pero no el ángulo opuesto α, lo cual no es un inconveniente puesto que lo calculamos por la Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo: α = α = 45 Sustituimos los datos conocidos en la fórmula de la Ley de Senos: a Sen α = 340 Sen 45 = Trabajamos primero para el lado b: Despejando tenemos que b = Ahora vamos a calcular el lado c: 340 Sen 45 = b Sen β = b Sen 60 = Sen 60 = Finalmente despejando tenemos que c = c Sen γ b Sen 60 c Sen 75 c Sen 75 Esto significa que la distancia entre la ciudad de Puebla y el satélite es de km, y la del Distrito Federal y el satélite es de km. Con eso queda resuelto el problema empleando la Ley de Senos. Se le propone verificar los despejes para practicar dichas operaciones. Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 2

3 Más ejemplos de la utilización de la Ley de Senos La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuángulos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado. En ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c, entonces. Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría, pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante. Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluido (AAL) Dado ABC con A = 30, B = 20 y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes. El tercer ángulo del triángulo es C = 180 A B = = 130 Por la ley de los senos, Por las propiedades de las proporciones Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 3

4 Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluido (ALA) Dado A = 42, B = 75 y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes. El tercer ángulo del triángulo es: C = 180 A B = = 63 Por la ley de los senos, Por las propiedades de las proporciones y Ejemplo 4. En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42, y <C = 76. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes Solución: Si observamos, podemos ver que nuestro triángulo tiene dos ángulos y un solo lado, por lo cual podemos aplicar la ley de senos, sin embargo, podemos realizar un análisis sencillo para hallar el otro ángulo desconocido, tomando en cuenta que; la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo deben sumar 180. Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 4

5 Colocando, los datos que tenemos en nuestro triángulo. Por lo que el ángulo en A, es de 62 grados. Ahora tenemos que encontrar el valor de las longitudes de a y c, para ello recurriremos a la fórmula: Si observamos, nos interesa encontrar el valor del lado a y c, y ya tenemos a nuestra disposición cuanto equivalen los ángulos opuestos a esos lados, por lo cual, puedo tomar la igualdad que yo desee. Supongamos que necesito encontrar el lado a entonces, hacemos: Por lo que sustituyendo procedemos a despejar. Listo, hemos encontrado el valor del lado a. Ahora encontremos el lado restante. Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 5

6 despejando a c realizando la operación: por lo que el lado restante c mide cm. Problema resuelto. Ejemplo 5. En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42, y <C = 76. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes En este ejemplo a diferencia del anterior, no disponemos de dos ángulos, solamente de dos lados, por lo cual no podemos sumar los ángulos internos, e iniciar el proceso como se hizo anteriormente. Pero el problema nos proporciona un lado p = 12cm, y el ángulo opuesto a éste de 76, por lo que podemos obtener otro ángulo, mediante la fórmula de senos. podemos elegir que ángulo deseamos encontrar, para este ejemplo, usaremos la igualdad: Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 6

7 despejando a Sen M Sustituyendo nuestros valores en la fórmula, obtenemos: sacando la inversa del seno, para encontrar el ángulo, tenemos: Ahora, como sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180, encontremos el ángulo faltante. Por lo que el ángulo restante, es de El siguiente lado que nos falta por encontrar, lo volveremos hacer con la ley de senos. Despejando a n. Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 7

8 Sustituyendo nuestros valores en la fórmula: Por lo que el valor de n = cm. y con eso se da por resuelto el problema. Casos especiales Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir. (1) No existe tal triángulo. (2) Dos triángulos diferentes existen. (3) Exactamente un triángulo existe. Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A. (La altitud h del vértice B al lado la definición de los senos es igual a b sin A.) (1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a b., por (2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b. (3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe. Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 8

9 Ejemplo 1: No existe solución Dado a = 15, b = 25 y A = 80. Encuentre los otros ángulos y el lado. h = b sin A = 25 sin Dese cuenta que a < h. Así parece que no hay solución. Verifique esto usando la ley de los senos. Esto contrae el hecho de que 1 sin B 1. Por lo tanto, no existe el triángulo. Ejemplo 2: Dos soluciones existen Dado a = 6. b = 7 y A = 30. Encuentre los otros ángulos y el lado. h = b sin A = 7 sin 30 = 3.5 h < a < b por lo tanto, hay dos triángulos posibles. Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 9

10 Por la ley de lo senos, Hay dos ángulos entre 0 y 180 cuyo seno es aproximadamente , y Si B Si B C C Ejemplo 3: Una solución existe Dado a = 22, b =12 y A = 40. Encuentre los otros ángulos y el lado. a > b Por la ley de lo senos, Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 10

11 B es agudo. C Por la ley de lo senos, Si se nos dan dos lados y un ángulo incluido de un triángulo o si se nos dan 3 lados de un triángulo, no podemos usar la ley de los senos porque no podemos establecer ninguna proporción donde información suficiente sea conocida. En estos dos casos debemos usar la ley de los cosenos. Matemáticas II. Ing. Jonathan Quiroga Tinoco. 11