Enrique Cantera del Río Introducción a la Mecánica Analítica 1

Transcripción

1 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía Tíulo el Tabajo Iouó a la Meáa Aalía. Nobe Eue Caea el Río Flaó C/Pae Beo Me-6--E 78 Vallaol Esaña Coeo eleóo beaob@gal.o Resue Iouó a la Meáa Aalía aa eos usos e aeas eío-éas.

2 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía INTRODUCCIÓN A A MECÁNICA ANAÍTICA Eue Caea el Río INTRODUCCION : PRINCIPIO DE OS TRABAJOS VIRTUAES -IGADURAS -VARIACIONES VIRTUAES -PANTEAMIENTO FORMA DE PROBEMA VARIACIONA PARA A MECANICA DE UNA PARTÍCUA 7 -COORDENADAS GENERAIZADAS 8 -SISTEMAS DE PARTÍCUAS Y DENSIDAD AGRANGIANA 9 6-AGRANGIANA Y REATIVIDAD 7-NOTAS FINAES Aée I : Fueas e lgaua o abajo o ulo 7 Aée II : agagaa e ua aíula e u ao Eleoagéo Aée III : Haloao oeo e ua aíula e u ao gaaoo e Swashl. Aée IV : Euaó e Be Relaa Geeal: Peesó el ehelo uaua e u ao e lu Aée V : El o e Fea. 7 REFERENCIAS 8

3 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía INTRODUCCION : PRINCIPIO DE OS TRABAJOS VIRTUAES E la hsoa e la ísa uo e los eos obleas ue se aboao ue el aálss e los sseas e eulbo eáo uo e los eos os ue el o e los abajos uales. Ese o es el esulao e uhas obuoes a lo lago el eo. Ialee se aló e oa ua a obleas e esáa oeao o Asóeles 8- AC asao o Seus98-6 Galleo 6-6. Jua Beoull o la oa as osee o elía al o aleeo e 77. Fue D Alebe ue aló el o as allá e la esáa eeo su uso e asos áos. U ssea eáo esá e eulbo esáo uao las ueas eeas las e lgaua el ssea esá balaeaas e al oa ue las sas aes el ssea esá e eoso. U so aual e el esuo e esos sseas es ea oa la osó e ua e las aes e oo se ooa el ssea. Segú el o e los abajos uales ualue eueño eslaaeo oable o las esoes geoéas o lgauas el ssea heho sobe ua ae o el ojuo el ssea es al ue el abajo oal heho o las ueas ue aúa e el ssea e eulbo es ulo. S agaos el ssea oo u ojuo e uos aeaos o ueas eoes el o e los abajos uales es oe uea al ojuo e aíulas el ssea es la uea sobe aa aíula δ ualue eslaaeo e la aíula oable o las esoes geoéas. A δ abé se le llaa eslaaeo ual. E el aso e eulbo eáo e sólos elásos oeos las ueas e lgauas eeas eaoes elásas eas el o e los abajos uales e ue el abajo e las ueas eeas as el abajo e las ueas elásas eas es ulo aa ualue eslaaeo ual el ssea oable o las esoes geoéas. Esa aleaa el o e los abajos uales es u ulaa e el álulo e esuuas e geeía aueua. Noe el leo ue lo ue se aula es la sua e a T P T b h los abajos uales ue eala aa uea e el esao e eulbo o el abajo ual e aa ua e ellas. Iageos u ssea eáo e eulbo oo el e la gua. a asa eo esá esaaa e ua uea la uea esá aaa a os uos jos ab. a asa eo oua la ía alua osble ese u eslaaeo ual ue seguía ua aeoa elía o sua e saas osae a los oos ab. E el uo e eulbo la oó e alua ía a ue la agee a la else es hooal h o ao eeula al eso P. Alao el o e los abajos uales eeos T T P T T

4 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía e esa eesó euos ue las esoes oesa sus ooees hooales. U eslaaeo ual abé osble es haa aba e la eal alao a la óula aeo eeos ue la sua e las ooees eales e las esoes es gual al eso. Po ahoa eeos las sas olusoes ue la ísa esá a eaa e la ª le e Newo F T T P Peo el aálss e los oeos uales oooa u ejo ooeo e las ueas e lgaua ue las lees e Newo. E ueso aso la ea hooal h es agee a la aeoa elía ual e oos a b la ea es la eeula oesoee. a else ee la oea e ue la ea e e os aes guales el águlo oao o las eas T T. S la else uese u esejo u ao ue aese el oo a o la ea T llegaía ua e elejao e el uo oesoee e la else al oo b o la ea T : águlo e ea gual a águlo e eleó. De ese esulao euos eaaee ue el óulo e las ueas e esó es el so T T -IGADURAS Iagaos ua aíula ua bola oéose s oaeo e oao ouo o ua suee ja lgeaee oulaa eeaa o ua eesó = abaa e o a la ue llaaeos lgaua. Coseaos la eesó sguee. F El heho e la esea e ua esó geoéa al oeo e la aíula suoe ue ebe habe ea ooee e la uea ue see la aíula uo oge es la esea e ha esó geoéa o lgaua. El síbolo eesea la uea asoaa a la lgaua F el eso e ueas eeas = la aa e oeo e la bola. E la eesó aeo s aos e o o la ª e e Newo eoes el oeo el aéess es ulo see o ao la guala se ule alee. El éo oesoe a u eslaaeo e la aíula e su aeoa e u sae e eo. U sle abo e ebo e la euaó aeo os a F Reoao la uea oal e el oao ee os sólos oeos e uaee e ese aso ue las ueas e lgaua seá oales a la

5 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía suee e lgaua o ao el ouo esala * se aula a ue es u eo oeo e la lgaua =. Po ao la euaó aeo es eualee a esa oa F e ese aso el oeo el aéess o es ulo e geeal. Peo la eesó aeo esea ea ala e geeala aeáa oeos oe F oe δ es u ao eoal aoal o u alo ue oeos osea a eueño oo ueaos ue ea *δ= eo o lo eás abao s elaó ísa ausal o el oeo e la aíula eal e oo ue la eesó uea F. o las ooes señalaas aa δ. Vaos a osea ahoa la sguee egal A F F F. Dao u ao eoal δ oeos e o hae ese álulo s ooeos el oeo eal e la aíula o eo e la aoaó e las suas e Rea aa las egales. E ese aso seá úl osea u ealo e eo osae e oo el ealo eoal aa el aso al líe e las suas e Rea. El ao δ se uee oeb ealee a a e u ao e eoes η uos eoes so eeulaes a la uea e oao ee la bola la suee e el uo e el sae. Ese ao ebe abé aea alguos oeeos e aálss aeáo oo eeos. Poeos e δ así oe ulaos el alo aa osegu u alo a eueño oo ueaos e el aso al líe e las suas e Rea.

6 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 6 -VARIACIONES VIRTUAES Hasa ahoa solo se ha heho u esaollo absao alao al áo el oo e auaó e ua eesó ue es ea e base a la ª e e Newo o eo e la + ouó e u ao eoal ue ea uas ooes basae alas e oo ue es eeee el oeo e la aíula. Veeos ahoa ue oeos eea ese ao eoal oo ua aaó ual e la osó e la aíula eal a ea ue esa se uee e su aeoa. E el bujo eos el ao δ eeseao oo lehas ueaas eeao oo aaó ee la osó e la aíula eal la aeoa ual e líea soua ue se a geeao. El eslaaeo sobe la aeoa ual* sobe la aeoa eal se elaoa así * * * la eeea η se ebe a la aeoa e la aíula: a úla eesó es u eeo ual ee la eloa e la aeoa eal la aeoa ual e la aíula e ahí la oaó δ. Po ao oeos aaea la eáa e la aeoa ual e la aíula a a e la aeoa eal el ao eoal η e esa oa * * S oseaos ue la esó geoéa e la lgaua se uee esb oo = lo ual es ua alaó al aso e ue la suee sea ól o leble oeos esb e al oa ue la elaó es ála aa ualue eslaaeo ue eue la lgaua e el sae. Segú lo ue eos sueo el eslaaeo eal el ual * ebe ul la elaó aeo:

7 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 7 * * oeos oe el esulao aeo e éos el eslaaeo ual e eloa e esa oa Noe el leo la eoe slu e ese esulao la óula. aa los eslaaeos uales las ueas e lgaua No ebe eañaos eso a ue el oge e las ueas e lgaua so las esoes geoéas e has lgauas. Voleo a la euaó. s la uea esá asoaa a u ao oseao se uee ou ua aaó ual e la eegía oeal U: U A F U e el aée II se aa la ulaó e la eegía oeal a eeaó e aaó ual e la aeoa os a a e sla la ea egal ulao la egaó o aes S se oe al ao eoal η ue la aaó ual e osó se aule e los uos eeos : δ= δ= el ohee se aula abé. Poeos hae esa eleó a ue el eo ulo ea alee la oó e oogoala ue ebe ul el ao eoal η. Po oa ae la eaa eoal el eslaaeo ual oesoe o el eslaaeo ual e eloa oeos ou eaaee el eslaaeo ual el ulso eáo e la eegía éa E así: E la eeea [] el leo uee ooba ue la eea ee esas eesoes es u ullao e agage.. E

8 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 8 Noe el leo ue el aso e la euaó aeo e ue se ha ouo la aaó ual el oeo eáo euee ue la asa sea ua osae eeee e la eloa lo ual eja e se eo a alas eloaes segú la elaa. Po ao e el oo láso o elasa el esulao eesao es A U E U E U E E U la úla elaó esula e ulla o - la eesó aeo. Ese esulao ee oseueas aeáas esas ue se eá e la sguee seó aaea ua oó e eeo aa la egal e eo eseo e los oeos osbles e la aíula. E alabas e Halo: De oos los aos osbles a lo lago e los uales se uee oe ua aíula e u uo a oo eo e u ealo eseao e eo el ao ue seá eoo es auél ue a la egal e eo e la eea ee las eegías éa oeal el ssea. -PANTEAMIENTO FORMA DE PROBEMA VARIACIONA PARA A MECANICA DE UNA PARTÍCUA El laeaeo aeo se oesoe o u oblea aeáo be eo asoao al álulo e aaoes. U ejelo es el álulo e geoésas e ua suee oo uas e ía saa ee os uos. El aoaeo e las aeoas uales es alable abé e el líe e ue las ueas e lgaua ea a. De heho la eesó F-a se aula see aa ua aíula s F es la uea oal esé soea a lgauas o o. Po ao la oó e eeo e la egal ebe aeese e ualue aso. E el aso e lgaua o ula F-a ua se haía ulo eso hae ue el ao η se elgese e oa ue ease las lgauas. Peo e el aso e ueas e lgaua ulas el ao η es oalee abao. E ese oeo se uee laea el oblea e halla la uó =U-E o agagaa ue hae eeo el alo e la egal eoal ea. o eleae seá la eeea uoal es e eee el eo e la osó e la eloa e la aíula oo es el aso e la eea ee la eegía oeal la eegía éa: A oeos eesa la aaó e la eesó aeo al ou u ao e eslaaeos uales δ así: {= }

9 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 9 } { } { A A oe se ha ulao las eaas aales e los agueos ue se e oaos o el eo a ue el ao e eslaaeos uales es eeee e. a segua egal el suaoo se uee esaolla o aes: g g g g esueo o el esulao aeo e el aso e ua aaó ula } { A Igual ue aes asuos ue el eslaaeo ual se aula aa los eeos e egaó. Po oa ae ao ue el ao e eslaaeos δ se uee eleg abaaee aa ue la aaó aeo se aule aa ualue eleó e δ=δ δ δ los aoes oesoees e la egal ebe aulase see. o ue esula e euaoes eeales eoaas e Eule-agage ua aa aa ooeaa aesaa eeee. Paa ua aíula la uó agagaa es = / - U las eesoes aeoes oue eaaee a la ª e e Newo aa ua aíula e u ao oseao. -COORDENADAS GENERAIZADAS E el aso e aua ua lgaua geoéa o ejelo = ha ue eesa el agagao e ooeaas geealaas. Así e o a a e la euaó e la lgaua se uee elala ooeaa e el agagao uea oo ua uó lo ue aía luga a os euaoes e Eule-agage e luga e oo e el aso aeo. El aálss aeáo aeo se uee eou e el aso e es lgauas

10 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía eo eso euee ula el ío úeo osble e aables eeees aa eesa e oo ue los aloes δ el egao uea oa aloes abaos. El aso euale a la búsuea e u eeo ooao o lgauas sobe la egal eoal ea asoaa al agagao. o oae es ue el agagao esé eesao o la ía aa e aables eeees. El esaollo heho basao e el o e D Alebe aa las ueas e lgaua e u ssea eáo aee ela has ueas segú la eesó. o la. as aelae. S ebago e-oaos la oaó oesoee a las ueas e lgaua s eesaos el agagao e uó e las ooeaas eeees el ssea. Es e s luos e el agagao las esoes el o = oesoees. Eso suoá ua euó e el úeo e aables ulaas e el agagao. as aables esulaes uee se ooeaas aesaas olaes águlos saas ualue ojuo e ooeaas eeees eaá las euaoes e Eule-agage. Veaos ua eosaó sella e eso aa el aso e las aables aas eesea eaas eseo el eo. Suoeos ue eeos os ojuos e aables eeees osbles aa esea el esao el ssea sus elaoes e asoaó oesoees las aables aas so eaas eoales Suueso ue las euaoes e Eule-agage se ule aa las ooeaas eeos ue abé se ule aa Po ao el agagao las euaoes e Eule-agage se uee eesa o la sa oa aeáa e ualue ssea e ooeaas eeees. Noe el leo ue ese es u euso aa ualue e Físa e la Teoía Geeal e la Relaa.

11 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía -SISTEMAS DE PARTÍCUAS Y DENSIDAD AGRANGIANA El esaollo heho hasa ahoa solaee osea ua aíula e u ao oseao. Poeos ala el esaollo aa el aso e u ssea e aíulas e esa oa F e F. oe el íe uea las aíulas el ssea. E ese aso ha es os e ueas : las ueas eeas al ssea las ueas eas al ssea las ueas e lgaua el ssea. E la eesó aeo las ueas e lgaua so las ooees e las ueas eeas e eas asoaas a esoes geoéas las ueas F eeas e eas elue las aas ueas e lgaua. Noe el leo la ga slu ee. el o e los abajos uales ue se euso e la ouó. E base a la slu ee el o e los abajos uales aa u ssea e eulbo el abajo e las ueas e lgaua e u ssea áo el o e D Alebe osula ue el ojuo e ueas e lgaua e u ssea áo se ooa aálogaee al ojuo e ueas e u ssea eáo e eulbo. Eso suoe ala el ejelo ue eos aejao a ue la ue uee habe ueas e lgaua uales ue s haga algú abajo e eeaos eslaaeos uales eo ese ebe se oesao o el eso e los abajos uales. El Aée I aala u aso e ese o. Vaos a e el eeo e las ueas eas e os asos eseales. -Fueas eas e u sólo ígo: E ese aso las ueas eas o eala gú abajo oo uee ese e eáa áa el sólo ígo []. De heho las ueas eas e u sólo ígo oesoe a la lgaua geoéa ue ee al sólo ígo : las saas ee os uos el sólo ebe aeese osaes e ualue suaó áa. Po ao e la eesó. oeos asa las ueas eas al lao eeho o las ueas e lgaua llegaos álee a la sguee agagaa e A E U oe U e es la eegía oeal oesoee al suueso ao oseao asoao a las ueas eeas íaee el ao gaaoo. -Fueas eas e u sólo eláso oíuo: E ese aso la saa ee os uos el sólo eláso o se aee osae e geeal oeos asoa ua eegía oeal elása U a las ueas elásas Δ eas. Po eo e u ejelo eeos ue la agagaa e u ssea e aíulas se uee ala E U e

12 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía al aso e sseas ouos. E la seó e obleas e Esao eo aea aío [] se eseó u aálss el oeo oulaoo e u sólo eláso. Poeos ea laea la agagaa e u sólo eláso haeo u aso al líe a a e la agagaa e sseas seos oo el eseao e el bujo oao o asas uuales baas elásas oseaas s asa. a age eesea u ojuo e baas elásas seaaas o asas eséas. Paos el ssea e eoso o las asas eu-esaaas ua saa Δ oo uesa la age. Poseoee se esa las baas haa u lao se eja lbe el ssea. Deoao ξ al ao eal e eslaaeos e las asas eseo e la osó e ue la asa esaba e eoso alee la agagaa el ssea e aíulas es k k U E la sua e la asa e las aíulas ebe oesoe a la asa oal el ssea: M aa segeo e baa ee ua osae elása k ue a aaeó e [] S S S M YS k oe ρ eesea la esa e asa o ua e olue S la suee asesal e la baa elása. Susueo esos aloes : k S Y e el líe uao ee a o: Y o lo ue la oó e eeo e la egal e aó es Y A a eesó el egao ebe el obe e Desa agagaa sbolaa o aa obee las euaoes eeales e la uó ue hae eea la egal aeo ebeos ala e ueo el éoo e aaoes. E ese aso el oblea es halla el eeo e esa uó egal A

13 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía oe los síbolos eesea las eaas aales oesoees e la uó a la ue se ala. a oaó e A asoaa a ua aaó ual abaa δξ seá A Paa aoa oo el egao o δξ egaos o aes los éos ue eee e las eaas e δξ. Aálogaee al aso e ua aíula se uee oua δ e las eaas : Co las ooes habuales e aulaó el eslaaeo ual e los eeos el oo e egaó la aaó e la egal uea Que oue a las euaoes e Eule-agage e la sguee oa: aa el aso e ueso oblea o esa agagaa oue oo esulao la euaó e oas ua e alaas las euaoes e Eule-agage. 6-AGRANGIANA Y REATIVIDAD E la euaó. e la seó aaoes uales se ha ulao aa el oeo eáo la eesó lása = oao oo ua osae. Coo a se señaló e la eoía eseal e la elaa el ulso eáo e ua aíula es A Y

14 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía oeos esaolla. o esa eesó El alo es ua osae o eea. E sua el alo e la agagaa seía S ueeos ue esa uó oa o el aso láso Eegía éa eos Eegía oeal aa bajas eloaes << eoes es ál ooba ue el alo e la osae ebe se =. S ebago la osae e eala o aoa uho a ue las ooes e eeo eee e las eaas e la agagaa. Poeos abé oa = osea ue la agagaa lása es U U S se ala las ooes e eeo a la agagaa elasa eoaos eaaee la e e Newo aa ua aíula elasa e u ao oseao: U a eaa e el eo el ulso eáo es gual al gaee e la eegía oeal. Ua suaó u eesae oue e el aso e ua aíula lbe o soea a gua uea eea. E ese aso la oó e eeo aa la egal e el eo e la agagaa es esa l es e la oó e eeo e la egal euale a la oó e saa ía o áa ee os uos e el esao e Mkowsk. Es oae oa abé ue e ese aso la egal eoal e la agagaa es u alo aae ee sseas e ooeaas eales

15 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía a ue el eleeo e líea e el esao e Mkowsk abé lo es. Mas aú segú la elaa geeal el eleeo e líea es aae eseo e ualue ssea e ooeaas sea eal o o. Po ao la aeo egal eoal e la agagaa abé se uee ala al aso e ua aíula ue se uee e u ao gaaoo eso segú la Relaa Geeal. Reuee el leo ue e el oeo e la elaa geeal la gaea o es ua uea so ua oaó e la geoeía el esaoeo ooaa o las asas ue ea el ao gaaoo. E el abajo Esao eo aea aío[] se ho ua ouó a la éa e Shwashl se obuo el eleeo e líea e ooeaas eséas aa ua ao gaaoo esaoao o seía eséa: l se a agagaa oesoee e ese aso es l / / se / aa el aso el oeo e u laea oeos suoelo lao oa el águlo e lau osae Φ=π/ su eloa e abo Φ/ =. Es e el lao e la óba seá el lao euaoal - e ooeaas eséas o lo ue slaos a ooeaas olaes laas: / / Ua e alaas las euaoes e Eule-agage a esa eesó se uee obee las euaoes el oeo e u laea segú la elaa geeal asga ua ea a eeos eos eeealee ales oo la esaó e u ao e lu al asa ea el sol la eesó el ehelo e Meuo. El Aée II esea el esulao e las euaoes e Eule-agage e ese aso. El leo uee ooba ue segú las óulas aa el ulso eáo la eegía e la elaa eseal el agagao e ua aíula abé se uee oe e ese oo E

16 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 6 7-NOTAS FINAES E la ouó el ssea eáo e eulbo se aaea o ue la asa esá e el luga as bajo osble. Esa ea o es usaal uee se eua e u laeaeo geeal ue lue el o e los abajos uales. E u laeaeo geeal oeos osea u ssea eáo oao o eleeos ígos uos o ueas e oao aeaos o la gaea. Poeos suoe ue esas ueas e oao sgue la ª e e Newo : las ueas e oao aaee o aes e aó-eaó guales e seo oueso. Co esa esó eeos ue ualue oeo ual e el ssea a a se al ue el abajo asoao a las ueas e oao a a se ulo. El oao se uee asla a u uo el eslaaeo ual e ese uo suoe el eslaaeo e las ueas e oao. El abajo ual oesoee se aula o se ueas e aó-eaó guales ouesas. Po ao el esulao eo e los abajos uales oesoe o el asoao a la gaea. Coo sabeos el abajo asoao o la gaea oesoe a la oaó e la eegía oeal el ssea o ao eeos Mgh Mg h oe M es la asa el ssea g la esa e la gaea h es la alua el eo e asas el ssea. Segú ese esulao el eulbo e u ssea oao o eleeos ígos aeao o la gaea ueas e oao ee aaeao o u alo eeo e la alua el eo e asas. Noalee ese eeo oesoe a u ío e la alua el eo e asas o ao u ío e la eegía oeal. Iage el leo el ssea íso ulao e la ouó oaa o ua bola o asa esaaa e ua uea s asa. S aos e ua suaó al esable e ue aeeos la bola e ua osó eleaa la solaos a su suee llegaá el oeo e ue el ssea llegue a u esao esable. E el oeso habá ua éa e eegía ue oeos e o el abo e eegía oeal e la bola E a ue oseaos la uea s asa. El e o e la eoáa os e ue la eegía ebe osease ue la eegía eáa aaeeee ea se ha asoao e alo : Q = - E oa oa e eegía. Aeás el seguo o e la eoáa os e ue el abo e esao ha so al ue aa la eaó e eoía S e las ooes aas o la lgaua e ua uea e logu osae : S = Q/T seo T la eeaua el ssea. Po ao el esao al el ssea oesoe al e eo eegía oeal osble oable o las lgauas e aueo o la susó ea. E el aso e ue ueso ssea sea ua uea o asa logu ja oeos e ue se ala el so o el esao al e la uea seá auel ue esea u ío e la eegía oeal.

17 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 7 Aée I : Fueas e lgaua o abajo o ulo El bujo eesea u ssea eáo e oeo oao o os oleas os ueas es asas. a olea sueo es ja T es la uea oesoee el eje e ha olea. Habualee ese oblea se aa e usos básos e ísa se a ue se osea las oleas las ueas s asa. E ese seo el oblea se aboó e la seó e obleas e []. Ahoa ueeos laea el oblea ulao el o e D Alebe e oo ue oseaeos ue las ueas e lgaua el ssea oa u ojuo e eoes eulbao al ual se uee ala el o e los abajos uales las lees ooas el eulbo e ueas. E ueso aso las ueas e lgaua so las esoes e las ueas eeos esas esoes eala abajos uales o ulos eo la sua e esos abajos ebe osease ula segú el o e D Alebe. E e luga las esoes geoéas el oeo el ssea so esas: -Polea sueo ja T T T -T S T S -Cuea sueo e logu osae -Cuea eo e logu osae T El o e los abajos uales euee osea oas las aíulas el ssea las ueas ue aúa sobe ellas. E ese aso oeos eu el úeo e uos oseao solo los uos e eseó e las ueas o los líes e los os subsseas S S. E esos subsseas se ea eulbos aales e las ueas e lgaua S S : : T T T T T T Paa esos os subsseas e eulbo oeos ala el o e los abajos uales S : T T T S : T T elao T e S T e S alao las esoes geoéas eeos S : T T T T S T T T T T :

18 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 8 Co esos esulaos oeos ala la ª e e Newo al ssea obee ese ssea e euaoes a g T a g T a g T T T T T a a a a 6 euaoes 6 ógas ue esuele el oblea. Noe el leo ue la oó e eulbo e las ueas e lgaua el o e D Alebe abé ee esb el eulbo e oeos aa los subsseas : : T T T S T T T S eso ebe se oable o las olusoes aeoes. Ao seguo laeaos el agagao el ssea aa esole el oblea segú la eáa aalía gh gh gh e las esoes geoéas eesaas e éos e eloaes aluas eeos e ua esó: h h h h oe h es ua osae. Elao h e el agagao eeos gh gh h h h g las euaoes e Eule-agage esula g a a h g a a h El leo uee ooba ue el ssea e euaoes obeo aeoee o eo el o e D Alebe oue a ese so esulao. E ese ejelo eos las euaoes e Eule-agage alaas a u aso e ue las ueas e lgaua oue u abajo o ulo ualee auue ulo e ojuo. a jusaó ísa e las ooes e eulbo alaas a los os subsseas es ue se osea las ueas oleas e hos subsseas s asa e lo oao había ue osea su aeleaó segú la ª e e Newo. Al ula oalee el agagao ue heos ulao heos oelao

19 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 9 líaee las ueas eas esoes el ssea oo ueas e lgaua es e ueas asoaas o oleo a las esoes geoéas. De lo oao las eegías éas oeales e ueas oleas ebeía aaee e u agagao asoao a u ssea ouo. El laeaeo e la eáa aalía eseao eee e la eaa el o e D Alebe aa el oblea oeo ue se aboe o ue oeos eesa o la eesó A aa las ueas e lgaua e el ssea. Hasa ahoa heos so aas oas e ue se uee ea la eesó aeo: -Que las ueas e lgaua sea eeulaes a las esoes geoéas oo e el aso e la bola ue se uee sobe la suee. -Que ealee o esa ueas e lgaua = -Que el abajo ual heho o las ueas e lgaua e ua ae el ssea se oese o el heho e oa ae el ssea el balae oal sea ulo. Poeos e as asos. a gua ajua eesea N T ua uea sobe ua olea ue uee ga eseo e su eje eje ue esá e eoso uae el go e T ha olea. S la olea ga e oa aeleaa la R alaó el o el oeo agula al ssea oblga a osea ua aaó e la esó e la uea ue esá e oao o la olea. Heos seleoao u eleeo e uea eae u eueño águlo aao ese el eje e la olea. Vaos a osea las ueas sobe los eleeos e uea oo ueas e lgaua e ese oo eeos T T N R e ese aso N es la uea e oao oal ee el eleeo e uea la suee e la olea R es la uea e oaeo ee la uea la suee e la olea. S ueeos ala la eáa aalía a ese ssea ueso oblea es e e ue ooes se uee ea la euaó A. S oseaos ue el oaeo aúa eeaee s eslaeo ee la uea la olea oeos suoe ua uea e asa eseable oa el balae e ueas = lo ual os llea a A eaaee. S o oa ae uese R= la olea uese ja eoes se aula abé o la oó e asa eseable e la uea óulo e la esó osae a lo lago e la uea. S ebago e el aso e ue R o sea ula haa eslaeo elao ee la uea la suee e la olea s esos objeos o a a la sa eloa eoes la uea o asee oleaee la eegía a la olea ha ua éa e eegía o oaeo e oa e alo. E ese aso A o seá ula el o e D Alebe la eáa aalía o es eaee alable. S ebago la saó e eegía e oa e alo aea oo a los os e oseaó e ulso eáo oeo agula ue oaía sgue seo ua buea aoaó e obleas sellos. El oblea láso e la bola la aea aboao e la se. obleas e [] esá e ese aso.

20 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía Aée II : agagaa e ua aíula e u ao eleoagéo. E el esaollo heho se ha oseao ue la aíula esá aeaa o ueas oseaas e oo ue la agagaa eee e la eegía oeal oesoee. S ebago eso uee se ua esó eesaa oeos laea el oblea aa u aso geeal. E ese aso la eesó U F sgue seo ála eo a o eeaos ue U sea ua uó ue eee e las ooeaas e osó U so ue e geeal eeeá abé el eo la eloa e la aíula : U. De esa aea sgueo el so esaollo obeeos la sa agagaa las sas euaoes e Eule-agage eo ahoa ha ue osea las eaas e U eseo e la eloa el eo. E ese aso la uea oesoee F esá elaoaa o la uó U eae las euaoes e Eule-agage e esa oa F U T U U E el aso e ua aíula soea a u ao eleoagéo eeo la uea oesoee es la uea e oe eseao la esó e aaó o aeleaó e la aíula F E B os aos eléo E agéo B el ao eeo esá elaoaos o los oeales eléo φ agéo A o las elaoes A E B A A a úla euaó oesoe a la oó gauge e oe. Susueo las os eas euaoes aeoes e la uea e oe eeos A F A alao las sguees elaoes álas aeáaee A A A A A A A A A A oo se euesa e el abajo ouó a la eáa e luos

21 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía oeos ela el ohee aeo asoao al eo A la uea e oe uea así A F A ao ue el oeal esala φ el eoal A asoaos al ao eeo eee e la eloa e la aíula oeos asga la uó U oo U U F U A o ao la agagaa oesoee e el aso elasa seá A oao la eesó eualee aa el agagao e ua aíula lbe e elaa eeos E A A E es eee ue el oeal esala el eoal aaee e oa séa a la eegía el ulso eáo e el agagao. S suoeos ue la eesó e la aó : se aee aae ee sseas e ooeaas eales eoes los oeales eleoagéos se ebe asoa ee os sseas e ooeaas eales e la sa oa ue lo hae la eegía el ulso eáo. S el uaeo eegíaulso e el esao e Mkowsk es E/ eoes el uaeo oeal eleoagéo seá A A A φ/. El leo uee ooba el aáe aae ee sseas eales el eleeo e aó E E alao las óulas e asoaó aa los eoes esao-eo e ulso-eegía []. El eoea e Noehe se basa e el aáe aae e la egal e aó eseo e asoaoes e ooeaas.

22 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía Aée III : Haloao oeo e ua aíula e u ao gaaoo e Swashl. a asoaó e egee es u oeeo aeáo ue geea ua uó a a e oa aa. a aaeísas e esa asoaó es ue s la uó ogal eee e uos aáeos : la uó asoaa eee e las eaas oesoees e la uó ogal F E o o las ooes aeáas aeuaas la uea uó aee la sa oaó ue la ogal uee esula as úl e alguos asos. Poeos ala eso a la agagaa oueo la uea uó H ue seá la asoaó e egee e la agagaa eo solo eseo e las eaas eoales e las ooeaas geealaas aeáaee: H Poeos eosa ue la uó eaa e el eo e la uó H o Haloao se aee osae aa el aso e ua aíula e u ao oseao. Po sla oaos el aso e ua sola ooeaa geealaa: = H H oe se ha alao la eó e las euaoes e Eule-agage aa la ooeaa. a eosaó se uee hae aa ualue úeo e ooeaas. Paa el aso e ue el agagao o eea elíaee el eo la eaa aal oesoee se aula el esulao es ue la uó H o aa o el eo. S el ssea ue esuaos esá aslao e éos eegéos la osae H oe o la eegía el ssea. Poeos ala eso al aso e la agagaa elasa Esa uó ee os aaeísas: o eee elíaee el eo e la ooeaa agula θ. a euaó Eule-agage oesoee a la o eeea o θ es

23 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía A Coo el agagao o eee elíaee el eo eeos a osae A es oesoe al oeo agula la osae H oesoe o la eegía aloes ue ha e se osaes e u ssea aslao. Poeos hae ua aoaó al aso láso o las ooes e eloaes uho eoes ue la eloa e la lu ao u sueo al ao e Swashl / : H A H H H

24 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía Aée IV : Euaó e Be Relaa Geeal: Peesó el ehelo uaua e u ao e lu. Peesó el ehelo e Meuo Co los esulaos el Aée aeo oeos eoa la esó elasa e la euaó e Be ue se o e []. Eeaos o hae la só A/H eseja el esulao ela e la euaó e H. Co la susuó u=/ ua eaó aoal se llega a ua euaó sla a la e Be eo o u éo aoal ue la hae o leal u u u A es el oeoagula Es ál eoa soluoes e oa e óbas ulaes aulao la eaa segua. Esas soluoes ulaes solo so osbles aa > /. Dao ue ese aeoas ulaes e la euaó eeal oeos aboa el aso e aeoas elías oo eéas eaas a ueeas o aos u sueoes al e Swashl eae ua aoaó leal el éo uaáo eoo a u ao eo aoao u u u u u u u u u u oe se ha eseao el éo uaáo e Δu. Susueo eso e la euaó eeal eeos: u u u 6 u u u u u alee ebe oesoe o el se-laus eu e la else [9] a ue e u age e π aaes es < e los π aaes esaes es > ea el leo la oa al al. Po oa ae aa objeos o asa e eoso o ula el éo osae aoal es eseable ee al éo láso e oo ue la euaó eeal lealaa es u 6 u Euaó aáloga a la e Be e oo ue la soluó geeal seá u K os 6 o K θ osaes e egaó. a soluó os hae e el eóeo e eesó el ehelo e las óbas elías a ue aa ue la ase el oseo llegue a π la uó u se ea el águlo θ ebe se ao e π aoao la aí uaaa eeos

25 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 6 6 ue oesoe al eslaaeo agula el ehelo e u laea e el eo asoao al eoo e su óba. Duae uho eo se suo e ese eeo e el laea Meuo se eeao aas ausas osbles e ese eóeo oo la luea e oos laeas el aaño el oo laea la ala e seía el ao gaaoo el Sol. S ebago esas obuoes o jusao las eas eeeales hasa ue se luó el esulao auí eseao obeo o Ese hae a as años juo o el eso e has obuoes. Noa sobe el alo e la aoaó el álulo e la eesó el ehelo Poeos hae ua esaó el ao as ajusao a ua aeoa elía ao la uó F sguee F F a euaó e la aeoa elía [] se uee oe así a a os os os... oe ε es la eea e la else a el se-eje ao a- ε es el selaus eu. Haeo la egal eeos a... a a esulao ue aa eueñas eeaes esá eo el oe e agu el selaus eu aa Cuaua e la lu a su aso o las eaías el Sol E [] se eoe u álulo seláso aa la esaó e u ao e lu al asa ea e u ao gaaoo o seía eséa. El leo uee e ue se aa e ua alo u eueño. El leo uee oa ue la aa H/A ulaa aes aa eu la esó elasa e la euaó e Be es eeee e la asa e la aíula. S ulaos esa elaó aa u ao e lu aaeao geoéaee o l

26 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 6 obeeos la oesoee esó e la euaó e Be aa u ao e lu u u u oaao o el esulao aa el aso aeo se aa e la sa euaó eo aa u objeo o asa e eoso ula lo ue es ua aaeísa e la lu e elaa. Mullao o u/θ la eesó aeo oeos ega álee u u u os. a euaó aeo ee la aeoa e u ao e lu e las eaías e u ao gaaoo o seía eal sla al el sol. Poeos aga ue la aeoa seá sla a ua hébola u abea. El bujo a ua age e las aeoas el ao e lu o s el eeo e la gaea ulao el so ssea e ooeaas ue e []. El eo oesoe a u oo e la hébola esá ouao o el Sol. Poeos e ue las asíoas esá eaas a u águlo e ±π/ eseo al eje hooal oge e águlos. Voleo a la euaó egaa oeos asga oo e el bujo ue aa θ= es u/θ= u eeo e u. S e ese uo eeo el alo es u = u =/ = easo eeos u u u u u haeo el abo ρ=u/u a = Gu / oeos llega a esa eesó a a eeos ue oeos aoeha el heho e ue las asíoas esá eaas al águlo eo eoeao aoao la eesó aeo así a a egao e el oo [] aa ρ eeos aa ua asíoa a o lo ue o seía la esaó olea ese la ea ee es: easo esula se el oble ue el álulo seláso e []

27 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 7 Noas aoales a aoaó leal e la euaó e Be u 6 u u ee eu la esea e aeoas ulaes aa la lu = a ua saa = /.Po oa ae es osble abé hae ua aoaó oao ua aeoa elía lása oo eeea e e e u íulo. E ese aso eeos ue susu e la euaó aeo u =/ o u os a lo ue geea u euaó o leal u 6 u a a os os El leo uee ooba abé ue la euaó aa la aeoa e u ao e lu se uee eoa abé a a el eeo e la sguee uó egal Eso es eualee al o e Fea: la aeoa e u ao e lu ee os uos e el ao gaaoo es auella ue ee asoao u eo ooeao ío e el ssea e ooeaas asoao al ao gaaoo.

28 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 8 Aée V : El o e Fea sobe la aeoa e u ao luoso. Segú el o e Fea la aeoa e u ao e lu ue asa o os uos eeaos e u eo aaeao o u íe e eaó es auella ue a el eo ue aa la lu e eoelo. S la eloa e la lu e el eo es el íe e eaoes =/ oe es la eloa e la lu e el aío. Noe el leo ue suoeos ue la eloa e la lu e u uo es la sa o eeea e la oeaó e la aeoa el ao e lu e ese uo. El eo ue ee la lu e u aeo abao ee os uos es l l oe l es u eleeo e líea e la aeoa oseaa los uos. Coo el leo sabe ualue ua e es esoes uee eesease eae es uoes e u úo aáeo ue llaaeos u : [u u u]. S esos el ao osae / ue o luá e el oeso e busa el ío e la egal aeo la eesó aeo se asoa e u u u u la oó e eo ío oesoe al sguee oblea aaoal u u u u u / / / es eee la slu o el aso eáo oe e e el aáeo u eíaos el aáeo eo. S ebago oeos ala el so oalso ula las euaoes e Eule-agage l u u l u u lueo los esulaos aa las ooees eeos ulao el álgeba eoal T l oe T es el eo uao agee a la aeoa. a aeo es la euaó e las aeoas e los aos e lu e u eo e íe e eaó..

29 Eue Caea el Río Iouó a la Meáa Aalía 9 REFERENCIAS [] Esaoeoaea aío. E esa sa web o ese so auo. [] Aálss eleeal el oeo bajo ueas eales e o Newoao.E esa sa web o ese so auo. [] a Teoía e la Relaa. Aao Maíe h://eoa-e-la-elaa.blogso.o.es/9//-obas-laeaaselasas.hl [] Iouó a la eáa e agage Halo. Teeo Soloe C. h:// []Aues e eáa lása. Feao O.Mo h://es.sb.o/o/9/aues-e-meaa-clasa [6]El o e los abajos uales. José Mª Ro Maíe h:// a/po+el+tabajo+vual. [7] agage. a elegaa aeáa. Veao Pao Rego. Eoal Nola-. ISBN: [8]Tasoaa e egee h://es.wkea.og/wk/tasoaa_e_egee [9] h://es.wkea.og/wk/else [] h:// [] Ceáa Dáa el Sólo Rígo. E esa sa web o ese so auo.