Optimización Clásica. Yolanda Hinojosa

Transcripción

1 Optimización Clásica Yolanda Hinojosa

2 Contenido Optimización no lineal sin restricciones. Condiciones necesarias y suficientes de óptimo Optimización no lineal con restricciones de igualdad. Condiciones necesarias de óptimo Análisis de sensibilidad. Interpretación de los multiplicadores de Lagrange Aplicaciones

3 Ejemplo En una planta industrial funcionan dos procesos productivos entre los que es preciso repartir un único input. Sean x e y las cantidades de dicho input asignadas a cada uno de ambos procesos. Se estima que el beneficio total obtenido por la planta viene dado por la función B(x,y) = 200 (x 5) 2 (y 5) 2 u.m. 1. Qué cantidad de input, repartido entre x e y maximiza el beneficio?. Hállese dicho beneficio. 2. Si se impone que el consumo de input debe ser exactamente de 6 unidades, Qué cantidades de x e y necesitaremos ahora para maximizar el beneficio? 3. Estúdiese el apartado anterior en el caso general de que nos impongan un consumo de k unidades. Hágase la interpretación económica de los resultados. 4. Si en el caso k=6, le ofrecen a la planta adquirir una unidad nueva de input por 7 u. m. Debe la planta adquirirla o no?

4 Extremos de funciones de varias variables Objetivo: Encontrar de entre todas las soluciones factibles aquellas para las que la función objetivo es óptima (óptimos) Máximo 10 Curvas de nivel

5 Extremos de funciones de varias variables Condición necesaria de 1 er orden de óptimo local: Sea f : D R n R diferenciable en x int(d). Si x es un óptimo local de f entonces f(x ) = 0.

6 Extremos de funciones de varias variables Condición necesaria de 1 er orden de óptimo local: Sea f : D R n R diferenciable en x int(d). Si x es un óptimo local de f entonces f(x ) = 0. A los puntos que anulan el gradiente se les llama puntos críticos o estacionarios. Los puntos críticos pueden ser máximos, mínimos o puntos de silla. x es un punto de silla de f si es un punto crítico y B(x, r) D x 1, x 2 B(x, r) tales que f(x 1 ) > f(x ) y f(x 2 ) < f(x ). Ejemplo: (0,0) es un punto de silla de la función f(x, y) = x 2 y 2 Punto de Silla Curvas de nivel

7 Condiciones de Optimalidad Global 1 Dada f : S R n R una función convexa definida en un conjunto convexo S R n se verifica que: Si x S es un mínimo local de f, entonces x es un mínimo global. El conjunto de todos los mínimos de f es un conjunto convexo. (Si f es cóncava se obtiene un resultado análogo para máximos).

8 Condiciones de Optimalidad Global 1 Dada f : S R n R una función convexa definida en un conjunto convexo S R n se verifica que: Si x S es un mínimo local de f, entonces x es un mínimo global. El conjunto de todos los mínimos de f es un conjunto convexo. (Si f es cóncava se obtiene un resultado análogo para máximos). 2 Si f : S R n R es una función convexa y diferenciable en int(s) entonces todos los puntos críticos de f (en caso de que existan) son mínimos globales.

9 Condiciones de Optimalidad Global 1 Dada f : S R n R una función convexa definida en un conjunto convexo S R n se verifica que: Si x S es un mínimo local de f, entonces x es un mínimo global. El conjunto de todos los mínimos de f es un conjunto convexo. (Si f es cóncava se obtiene un resultado análogo para máximos). 2 Si f : S R n R es una función convexa y diferenciable en int(s) entonces todos los puntos críticos de f (en caso de que existan) son mínimos globales. 3 Si f : S R n R es una función cóncava y diferenciable en int(s) entonces todos los puntos críticos de f (en caso de que existan) son máximos globales.

10 Condiciones de Optimalidad Global 1 Dada f : S R n R una función convexa definida en un conjunto convexo S R n se verifica que: Si x S es un mínimo local de f, entonces x es un mínimo global. El conjunto de todos los mínimos de f es un conjunto convexo. (Si f es cóncava se obtiene un resultado análogo para máximos). 2 Si f : S R n R es una función convexa y diferenciable en int(s) entonces todos los puntos críticos de f (en caso de que existan) son mínimos globales. 3 Si f : S R n R es una función cóncava y diferenciable en int(s) entonces todos los puntos críticos de f (en caso de que existan) son máximos globales. Nota: Los puntos críticos son puntos interiores del dominio de definición. En algunos casos para buscar los máximos y mínimos de una función se hace necesario comprobar qué ocurre en los puntos de la frontera que pertenezcan al dominio de la función (en caso de que existan). Ejemplos: Estudiar la existencia de máximos y mínimos de las funciones f (x) = x, f (x, y) = x + y.

11 Extremos de funciones de varias variables Condiciones de 2 o orden Hipótesis: Sea f : D R n R, dos veces diferenciable con continuidad en un punto crítico, x int(d). Por tanto: (Fórmula de Taylor) f(x + h) = f(x ) + f(x )h ht Hf(x )h + R(x, h) Si denotamos por q(h) = h t Hf(x ) h h R n la forma cuadrática asociada al hessiano en x, se tiene que: signo(f(x + h) f(x )) = signo(q)

12 Extremos de funciones de varias variables Condiciones de 2 o orden Hipótesis: Sea f : D R n R, dos veces diferenciable con continuidad en un punto crítico, x int(d). Por tanto: (Fórmula de Taylor) f(x + h) = f(x ) + f(x )h ht Hf(x )h + R(x, h) Si denotamos por q(h) = h t Hf(x ) h h R n la forma cuadrática asociada al hessiano en x, se tiene que: signo(f(x + h) f(x )) = signo(q) Condición suficiente de 2 o orden: Si q es definida positiva, entonces x es un mínimo relativo estricto. Si q es definida negativa, entonces x es un máximo relativo estricto. Si q es indefinida, entonces x es un punto de silla. Nota: Si q es semidefinida positiva, entonces x es un mínimo ó un punto de silla. Si q es semidefinida negativa, entonces x es un máximo ó un punto de silla.

13 Extremos de funciones de varias variables Condiciones de 2 o orden Hipótesis: Sea f : D R n R, dos veces diferenciable con continuidad en un punto crítico, x int(d). Por tanto: (Fórmula de Taylor) f(x + h) = f(x ) + f(x )h ht Hf(x )h + R(x, h) Si denotamos por q(h) = h t Hf(x ) h h R n la forma cuadrática asociada al hessiano en x, se tiene que: signo(f(x + h) f(x )) = signo(q) Condición suficiente de 2 o orden: Si q es definida positiva, entonces x es un mínimo relativo estricto. Si q es definida negativa, entonces x es un máximo relativo estricto. Si q es indefinida, entonces x es un punto de silla. Nota: Si q es semidefinida positiva, entonces x es un mínimo ó un punto de silla. Si q es semidefinida negativa, entonces x es un máximo ó un punto de silla. Ejemplo inicial: 1. máx B(x, y) = 200 (x 5) 2 (y 5) 2

14 Metodos Numéricos para el cálculo de óptimos Dado el problema: min x R n f (x) se dice que d R n es una dirección de descenso de la función f en un punto x R n si: f (x + λd) < f (x) λ R arbitrariamente pequeño

15 Metodos Numéricos para el cálculo de óptimos Dado el problema: min x R n f (x) se dice que d R n es una dirección de descenso de la función f en un punto x R n si: f (x + λd) < f (x) λ R arbitrariamente pequeño 1 Algoritmo: Paso 0. Determinar un punto inicial x 0. Paso k. Dado x k y una dirección de descenso d k, calcular la longitud de paso λ k, p.ej., como solución de min λ f (x k + λd k ). Paso k + 1. Considerar x k+1 = x k + λ k d k. Criterios de parada: f (x k ) < ɛ. f (x k+1 ) f (x k ) < ɛ. x k+1 x k < ɛ.

16 Metodos Numéricos para el cálculo de óptimos Dado el problema: min x R n f (x) se dice que d R n es una dirección de descenso de la función f en un punto x R n si: f (x + λd) < f (x) λ R arbitrariamente pequeño 1 Algoritmo: Paso 0. Determinar un punto inicial x 0. Paso k. Dado x k y una dirección de descenso d k, calcular la longitud de paso λ k, p.ej., como solución de min λ f (x k + λd k ). Paso k + 1. Considerar x k+1 = x k + λ k d k. Criterios de parada: f (x k ) < ɛ. f (x k+1 ) f (x k ) < ɛ. x k+1 x k < ɛ.

17 Extremos bajo restricciones de igualdad Sean f, g i : D R n R, b i R, (i = 1,..., m < n). El problema es: Optimizar f(x) s.a. g 1 (x) = b 1 g 2 (x) = b 2. g m (x) = b m

18 Extremos bajo restricciones de igualdad Sean f, g i : D R n R, b i R, (i = 1,..., m < n). El problema es: Optimizar f(x) s.a. g 1 (x) = b 1 g 2 (x) = b 2. g m (x) = b m Óptimo condicionado

19 Extremos bajo restricciones de igualdad Sean f, g i : D R n R, b i R, (i = 1,..., m < n). El problema es: Optimizar f(x) Resolución: s.a. g 1 (x) = b 1 g 2 (x) = b 2. g m (x) = b m Óptimo condicionado a forma: Si es posible, despejar m variables en función de las n m restantes. Ejemplo inicial: 2. máx B(x, y) = 200 (x 5) 2 (y 5) 2 s. a. x + y = 6

20 Extremos bajo restricciones de igualdad Sean f, g i : D R n R, b i R, (i = 1,..., m < n). El problema es: Optimizar f(x) Resolución: s.a. g 1 (x) = b 1 g 2 (x) = b 2. g m (x) = b m Óptimo condicionado a forma: Si es posible, despejar m variables en función de las n m restantes. máx B(x, y) = 200 (x 5) 2 (y 5) 2 Ejemplo inicial: 2. s. a. x + y = 6 Nota: Esto no siempre es posible y además no permite realizar un estudio postoptimal. 2 a forma: Método de los multiplicadores de Lagrange.

21 Extremos bajo restricciones de igualdad f : R 2 R Condiciones de 1 er orden f 4 g

22 Extremos bajo restricciones de igualdad f : R 2 R Condiciones de 1 er orden f 4 g Si x es un óptimo local condicionado y g 1 (x ),..., g m (x ) son linealmente independientes (condiciones de regularidad), entonces existen λ 1,..., λ m R, denominados multiplicadores de Lagrange, tales que f(x ) = λ 1 g 1 (x ) + + λ m g m (x )

23 Extremos bajo restricciones de igualdad Función de Lagrange: L(x, λ) = f(x) + λ 1 (b 1 g 1 (x)) + + λ m (b m g m (x)). A λ 1,..., λ m R, se les llama multiplicadores de Lagrange Propiedades: Si x es un punto factible del problema condicionado entonces L(x, λ) = f(x). L(x, λ) = ¼ f(x) λ 1 g 1 (x) λ m g m (x) b 1 g 1 (x). b m g m (x) Por tanto, si L(x, λ) = 0 entonces, x es un punto factible del problema condicionado y además f(x) = λ 1 g 1 (x) + + λ m g m (x). ½.

24 Extremos bajo restricciones de igualdad Función de Lagrange: L(x, λ) = f(x) + λ 1 (b 1 g 1 (x)) + + λ m (b m g m (x)). A λ 1,..., λ m R, se les llama multiplicadores de Lagrange Propiedades: Si x es un punto factible del problema condicionado entonces L(x, λ) = f(x). L(x, λ) = ¼ f(x) λ 1 g 1 (x) λ m g m (x) b 1 g 1 (x). b m g m (x) Por tanto, si L(x, λ) = 0 entonces, x es un punto factible del problema condicionado y además f(x) = λ 1 g 1 (x) + + λ m g m (x). Teorema de los multiplicadores de Lagrange (Condición necesaria de 1 er orden): Sean f, g i : D R n R de clase C 1 en int(d) (i = 1,..., m < n). Si x int(d) es un óptimo local condicionado y g 1 (x ),..., g m (x ) son linealmente independientes, entonces existe λ = (λ 1,..., λ m) tal que (x, λ ) es un punto crítico de la función de Lagrange ( L(x, λ ) = 0) ½.

25 Condiciones de Optimalidad Global bajo restricciones de igualdad Sean f, g i : D R n R, b i R, ( i = 1,..., m < n) funciones C 1 en int(d). Dado el siguiente problema : se verifica que: Optimizar f (x) s.a. g 1 (x) = b 1 g 2 (x) = b 2. g m(x) = b m (I) 1 Supongamos que (I) es un problema de minimización. Si f es una función convexa en D y las funciones g i i = 1,..., m son funciones lineales, entonces cualquier punto que satisfaga las condiciones necesarias de primer orden ( L(x, λ) = 0) es un mínimo global de (I). 2 Supongamos que (I) es un problema de maximización. Si f es una función cóncava en D y las funciones g i i = 1,..., m son funciones lineales, entonces cualquier punto que satisfaga las condiciones necesarias de primer orden ( L(x, λ) = 0) es un máximo global de (I).

26 Condiciones de Optimalidad Global bajo restricciones de igualdad Sean f, g i : D R n R, b i R, ( i = 1,..., m < n) funciones C 1 en int(d). Dado el siguiente problema : se verifica que: Optimizar f (x) s.a. g 1 (x) = b 1 g 2 (x) = b 2. g m(x) = b m (I) 1 Supongamos que (I) es un problema de minimización. Si f es una función convexa en D y las funciones g i i = 1,..., m son funciones lineales, entonces cualquier punto que satisfaga las condiciones necesarias de primer orden ( L(x, λ) = 0) es un mínimo global de (I). 2 Supongamos que (I) es un problema de maximización. Si f es una función cóncava en D y las funciones g i i = 1,..., m son funciones lineales, entonces cualquier punto que satisfaga las condiciones necesarias de primer orden ( L(x, λ) = 0) es un máximo global de (I). 3 Teorema de Weierstrass: Si f : R n R es una función continua y la región factible es un conjunto cerrado y acotado, entonces f tiene un mínimo y un máximo global.

27 Interpretación de los multiplicadores de Lagrange Cómo varía el valor óptimo de la función objetivo al incrementar en una unidad el término independiente de las restricciones (cantidad de recurso)?

28 Interpretación de los multiplicadores de Lagrange Cómo varía el valor óptimo de la función objetivo al incrementar en una unidad el término independiente de las restricciones (cantidad de recurso)? Sea x una solución óptima del problema condicionado, λ = (λ 1,, λ m ) el conjunto de multiplicadores asociados y sea f = f(x ) el valor óptimo de la función objetivo. Estos valores dependen del vector de recursos o términos independientes de las restricciones b = (b 1,, b m ): x = x (b), f = f (b) = f(x (b)). Se verifica que: f(x (b)) = λ i 1 i m b i A λ i se le conoce con el nombre de precio sombra o precio marginal y representa la cantidad que estaríamos dispuestos a pagar por una unidad más de recurso.

29 Interpretación de los multiplicadores de Lagrange Cómo varía el valor óptimo de la función objetivo al incrementar en una unidad el término independiente de las restricciones (cantidad de recurso)? Sea x una solución óptima del problema condicionado, λ = (λ 1,, λ m ) el conjunto de multiplicadores asociados y sea f = f(x ) el valor óptimo de la función objetivo. Estos valores dependen del vector de recursos o términos independientes de las restricciones b = (b 1,, b m ): x = x (b), f = f (b) = f(x (b)). Se verifica que: f(x (b)) = λ i 1 i m b i A λ i se le conoce con el nombre de precio sombra o precio marginal y representa la cantidad que estaríamos dispuestos a pagar por una unidad más de recurso. Ejemplo inicial: Apartado 3. máx B(x, y) = 200 (x 5) 2 (y 5) 2 s.a. x + y = k Apartado 4. k = 6, coste de la unidad adicional de input= 7 u.m.

30 Interpretación de los multiplicadores de Lagrange Cómo varía el valor óptimo de la función objetivo al incrementar en una unidad el término independiente de las restricciones (cantidad de recurso)? Sea x una solución óptima del problema condicionado, λ = (λ 1,, λ m ) el conjunto de multiplicadores asociados y sea f = f(x ) el valor óptimo de la función objetivo. Estos valores dependen del vector de recursos o términos independientes de las restricciones b = (b 1,, b m ): x = x (b), f = f (b) = f(x (b)). Se verifica que: f(x (b)) = λ i 1 i m b i A λ i se le conoce con el nombre de precio sombra o precio marginal y representa la cantidad que estaríamos dispuestos a pagar por una unidad más de recurso. Ejemplo inicial: Apartado 3. máx B(x, y) = 200 (x 5) 2 (y 5) 2 s.a. x + y = k Punto óptimo: (x, y, λ ) = ( k 2, k,10 k) 2 Apartado 4. k = 6, coste de la unidad adicional de input= 7 u.m.