10. Aplicaciones del cálculo diferencial.

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1 10 Aplicaciones del cálculo diferencial 101 Teorema de la función implícita Habitualmente, estamos acostumbrados a trabajar con funciones denidas de forma explícita, es decir, tales que la variable dependiente (o las variables dependientes) se encuentran despejadas en función da las independientes (y = f(x) ó z = f(x, y) por ejemplo En estos casos, la forma de trabajar con ellas es sencilla, sin embargo esto no ocurre siempre Así, de la relación x 2 + y 2 + z 2 = 1, que dene una esfera en R 3, no puede despejarse la variable z (ni ninguna otra) en función de las demás, sin renunciar a parte de la imagen En otros casos, ni siquiera podremos despejar, y ln x + x ln y = Función implícita a través de una única ecuación En esta sección nos vamos problemas como el siguiente Dada una función real de, por ejemplo, tres variables reales (x, y, z) F (x, y, z) R y sucientemente regular, nos preguntamos si la ecuación F (x, y, z) = 0 será resoluble para la variable z en función de x e y, es decir, si existe una función (x, y) f(x, y) R de forma que F (x, y, f(x, y)) = 0 para todo punto (x, y) del dominio de f Concretemos más Denición 101 Sea F : U R n+1 R un campo escalar y (a 1,, a n, b) = ( a, b) U tal que F ( a, b) = 0 Diremos que la ecuación F ( x, y) = 0 dene a y como función implícita de x si existe un entorno V R n de a, un entorno W R de b y una función f : V R n W R tal que (a) F ( x, f( x)) = 0, para todo x V,es decir, y = f( x) es solución de la ecuación F ( x, y) = 0 (b) La solución es única en un entorno de ( a, b), es decir, ( x, y) V W verica que F ( x, y) = 0, entonces debe ser y = f( x) Es trivial que, si estamos en el caso de la denición anterior, se cumple que f( a) = b Continuando con la situación inicial, hay que hacer alguna precisión En primer lugar, puede ocurrir que el problema no tenga solución, como al tomar F (x, y, z) = 1+x 2 +y 2 +z 2 ; para evitar esto, vamos a partir de un punto que sí verique la ecuación, es decir, partimos de (x 0, y 0, z 0 ) tal que F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 y nos plantearemos buscar z = f(x, y) en un entorno de (x 0, y 0 ) y de forma que z 0 = ϕ(x 0, y 0 ) De hecho, buscaremos funciones ϕ que mantengan, en la medida de lo posible, la misma regularidad que presenta F Departamento de Análisis Matemático 1 Análisis Matemático (Grado en Física)

2 Además, puede ocurrir que haya más de una posible función implícita Por ejemplo, si partimos de F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 y tomamos como punto de partida (1/ 2, 1/ 2, 0), la función implícita podría tomar los valores z = ± 1 x 2 y 2 cerca del punto (1/ 2, 1/ 2), pero nunca en un entorno completo de él (sólo en la parte del entorno que esté dentro del círculo x 2 +y 2 1 En este caso, ocurre que el plano tangente a la supercie F (x, y, z) = 0 es perpendicular al plano XY, es decir, se cumple que f z (x 0, y 0, z 0 ) = 0; por ello, cuando hablamos de funciones implícitas, se parte de la hipótesis que la parcial respecto de la variable a despejar, f z en este caso, no se anule en el punto de partida elegido Teorema 102 Sea F : U R n+1 R un campo escalar con U abierto y sea ( a, b) U Si se cumplen las siguientes condiciones F C 1 ( a, b), F ( a, b) = 0, F ( a, b) entonces la ecuación F ( x, y) = 0 dene implícitamente una única función x y = f( x) de clase C 1 ( a) Además, para cada i = 1,, n se tiene que f( a) x i F x = i ( a, f( a)), ( a, f( a)) siendo esta igualdad válida también para un entorno de a F Observemos que las derivadas parciales de f expresadas en el teorema se obtienen al aplicar la regla de la cadena a la relación F ( x, f( x)) = 0 En efecto, si derivamos la relación anterior respecto de x i 0 0 para cada i = 1,, n se tiene que F dx F dx i + F dx n + F f ( x,f( x)) = 0 de x 1 dx i x i dx i x n dx i x i donde F + F f ( x,f( x)) = 0 De aquí se despeja la derivada parcial de f sin más que tener en x i x i F ( a, b) cuenta que 0 (luego por la regularidad de F, también es no nula en un entorno del punto) Este proceso se conoce como derivación implícita de la ecuación F ( x, f( x)) = 0 En el caso de tres variables, es decir, n = 2, el teorema anterior se escribe del siguiente modo Sea F : U R 3 R, (a, b, c) U y consideramos la ecuación F (x, y, z) = 0 Si se verican las condiciones F es de clase C 1 (a, b, c), F (a, b, c) = 0, F (a, b, c) z entonces la ecuación dene a z como función implícita de (x, y) en un entorno de (x 0, y 0, z 0 ), es decir, z = f(x, y) Además, f C 1 (a, b) y se cumple que f(a, b) x F (a,b,c) x = F (a,b,c) z y f(a, b) F (a,b,c) = F (a,b,c) z 0 0, Departamento de Análisis Matemático 2 Análisis Matemático (Grado en Física)

3 El Teorema de la Función Implícita tiene un carácter local, es decir, sólo nos ofrecen información en un entorno de un cierto punto previamente elegido Fuera de dicho entorno nada se puede garantizar acerca de la existencia de la función implícita De todas formas, habitualmente es posible prolongar la función implícita hasta dar con un punto x en el que deje de cumplirse alguna de las hipótesis, como por ejemplo, que F ( x, f( x)) = 0 El resultado no garantiza cuándo puede ocurrir esto, de hecho, es posible que ocurra muy cerca de a o incluso que nunca ocurra y se pueda prolongar f a todo R n Ejemplo 103 consideremos la ecuación y 2 sen(π/x) = 0, para x > 0, cuyas soluciones son todos los puntos de y = sen(π/x) e y = ( ) sen(π/x) Dado un número real positivo a 1 2n 1, 1 2n 2 para n N, la ecuación anterior dene implícitamente, en un entorno de x = a, a una única función continua y = f(x) de forma que y(a) = sen(π/a) (también dene otra tal que y(a) = sen(π/a)) El ( ) entorno de a donde es válido sería, precisamente, U a = 1 2n 1, 1 2n 2, cuya amplitud varía en función de a: cuanto más próximo a 0, menor amplitud y si a > 1, entonces U a = (1, + ) ( ) Observemos que si a 1 2n, 1 2n 1, como sen(π/a) < 0, la ecuación no dene ninguna función implícita, sea cual sea el valor que asignemos a f(a) Observación 104 Si en el Teorema de la Función Implícita imponemos que F C k ( a, b), entonces se puede demostrar que f C k ( a) 1012 Función implícita a través de un sistema de ecuaciones Si en lugar de una ecuación tenemos un sistema de ecuaciones tal como F 1 (x 1,, x n, y 1, y m ) = 0 F m (x 1,, x n, y 1, y m ) = 0 es decir F ( x, y) = 0 donde F = (F 1,, F m ) : U R n+m R m y U es un abierto, también el teorema de la función implícita ja las condiciones que tienen que cumplirse para que sea posible despejar las variables y 1, y m en función de las variables x 1,, x n en un entorno de una solución dada del sistema Teorema 105 Sea U R n+m un abierto, (a 1,, a n, b 1,, b m ) = ( a, b) U y sea F : U R m un campo escalar Si se cumplen las siguientes condiciones Departamento de Análisis Matemático 3 Análisis Matemático (Grado en Física)

4 F C 1 ( a, b), F ( a, b) = 0, det ( ) (F1,, F m ) ( a, (y 1,, y m ) b) 0 entonces la ecuación F ( x, y) = 0 dene implícitamente una única función x R n y = f( x) R m de clase C 1 ( a) Además, se cumple que f 1 ( a) x j f m( a) x j = F 1 ( a, b) 1 F m( a, b) 1 F 1 ( a, b) m F m( a, b) m es decir, para cada i = 1,, m, j = 1,, n, se tiene que f i ( a) x j 1 F 1 ( a, b) x j F m( a, b) x j ( (F det 1,,F m) (y 1,,y j 1,x j,y j+1,,y ( a, ) m) f( a)) = ( det (F1,,F m) (y 1,,y ( a, ) m) f( a)) Al igual que ocurría en el caso escalar, si F C k ( a, b), entonces se tiene que f C k ( a) En el caso en que n = m = 2, si tenemos dos ecuaciones F (x, y, u, v) = 0 y G(x, y, u, v) = 0 que se cumplen simultáneamente en el punto (a 1, a 2, b 1, b 2 ) = ( a, b) R 4, se tiene que u( a) x = (x,v) ( a, b) (u,v) ( a, b), u( a) = (y,v) ( a, b) (u,v) ( a, b), v( a) x = (u,x) ( a, b) (u,v) ( a, b), v( a) = (u,y) ( a, b) (u,v) ( a, b) 102 Función inversa Denición 106 Dada una función f : A R n R n con rango R( f) = { y R n : x A, f( x) = y}, decimos que es globalmente invertible si existe una función f 1 : R( f) A tal que f 1 ( y) = x donde f( x) = y Es decir, f 1 f = Id y f f 1 = Id Se dice que la función f 1 es la función inversa (global) de f Observemos que la existencia de la función inversa sólo es posible si la función f es inyectiva, es decir, si para todo x, y A tal que f( x) = f( y) se tiene que x = y Departamento de Análisis Matemático 4 Análisis Matemático (Grado en Física)

5 Ejemplo 107 La función f(x) = e x es una función globalmente invertible con función inversa f 1 (y) = ln y En una variable existe un resultado de existencia de inversa global basado en el hecho de que una función con derivada no nula en un abierto es estrictamente creciente o decreciente y, por tanto, inyectiva En dimensión mayor o igual que dos la no anulación del jacobiano de una función, no implica la inyectividad de ésta Ejemplo 108 La función f(x, y) = (e x cos y, e x sen y) cuyo jacobiano es J f(x, y) = e 2x 0 para todo (x, y) R 2, no es inyectiva pues f(x, y) = f(x, y + 2kπ) Proposición 109 (a) La función f : A R n R n es globalmente invertible si y sólo si f es inyectiva (b) Si f es una función lineal con f( x) = M x t, siendo M matriz asociada a f respecto de la base canónica de R n, entonces se tiene que f es globalmente invertible si y sólo si det(m) 0 y, además, la matriz asociada a la aplicación f 1 es la matriz M 1 (matriz inversa de M ) Denición 1010 Dada una función f : A R n R n con A abierto, decimos que es localmente invertible en un entorno de a A, si existe r > 0 tal que f tiene inversa en B( a, r) En el siguiente teorema encontramos condiciones sucientes de invertibilidad Teorema 1011 (Teorema de la función inversa) Sea f : A R n R n de clase C 1 (A) con A abierto y a A Si Jf( a) 0, entonces f tiene inversa local en un entorno de a Además f 1 es de clase C 1 en la imagen por f de ese entorno, siendo Jf 1 ( y) = (Jf) 1 ( x) con f( x) = y 103 Polinomio de Taylor Denición 1012 (Polinomios de Taylor) Sea f : A R n R de clase C k ( a) con a = (a 1,, a n ) A Se dene el polinomio de Taylor de orden k de f en a al polinomio en las n variables x 1,, x n Departamento de Análisis Matemático 5 Análisis Matemático (Grado en Física)

6 dado por: T k (f; a)( x) = f( a) + 1 1! 1 k! n i 1 =1 i 2 =1 n D i f( a)(x i a i ) + 1 2! i=1 n n i=1 j=1 n D i1 i k f( a)(x i1 a i1 ) (x ik a ik ) i k =1 El resto de Taylor de orden k de f en a es R k (f; a)( x) = f( x) T k (f; a)( x) n D ij f( a)(x i a i )(x j a j ) + + Si f C 2 (A) para A R 2 abierto y a = (a, b) A, el polinomio de Taylor de grado uno de f en a es, obviamente, el que dene a su plano tangente: T 1 (f; a)(x, y) = f(a, b) + D 1 f(a, b)(x a) + D 2 f(a, b)(y b) = f(a, b) + f(a, b) ( x a) El polinomio de grado dos es: T 2 (f; a))(x, y) = f(a, b) + D 1 f(a, b)(x a) + D 2 f(a, b)(y b) + 1 2! [D 11f(a, b)(x a) 2 + 2D 12 f(a, b)(x a)(y b) + D 22 f(a, b)(y b) 2 ], el cual también puede escribirse como T 2 (f; a)(x, y) = f(a, b) + f(a, b) ( x a) ( x a)h(f; a)( x a)t Observemos que el polinomio de segundo orden representa al paraboloide de ecuación z = T 2 (F ; a)(x, y) que tiene en el punto (a, b, f(a, b)) el mismo plano tangente que z = f(x, y) Observación 1013 Si f C 2 (A) para A R n abierto y a A, entonces la matriz hessiana de f en a es simétrica Esta matriz tiene, pues, una forma cuadrática asociada llamada la diferencial segunda de f en a que viene denida por: d 2 f( x) := x H(f; a) x t, x R n, En el caso n = 2, la diferencial segunda viene dada por el polinomio homogéneo d 2 f(x, y) = D 11 f(a, b)x 2 + 2D 12 f(a, b)xy + D 22 f(a, b)y 2 Teorema 1014 Sea f : A R n R de clase C k ( a) con a A, entonces: R k (f; a)( x) lím x a x a k = 0 Departamento de Análisis Matemático 6 Análisis Matemático (Grado en Física)

7 104 Extremos relativos y absolutos Recordemos la denición de extremo absoluto Denición 1015 (Extremo absoluto) Una función f : A R n R se dice que tiene un máximo global o absoluto en a A si f( x) f( a) para todo x A Se dice que f tiene un mínimo global o absoluto en a A si f( x) f( a) para todo x A Si las desigualdades son estrictas para x a decimos que el máximo (mínimo) absoluto es estricto Recordemos que el teorema de Weierstrass nos da una condición suciente de extremo absoluto Teorema 1016 (Teorema de Weierstrass) Sea f : K R n R continua siendo K un conjunto compacto, entonces f(k) es un conjunto acotado y f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en K Denición 1017 (Extremo relativo) Una función f : A R n R se dice que tiene un máximo local o relativo en a A si existe r > 0 tal que f( x) f( a) para todo x A B( a, r) Se dice que f tiene un mínimo local o relativo en a A si existe r > 0 tal que f( x) f( a) para todo x A B( a, r) Si las desigualdades son estrictas para x a decimos que el máximo (mínimo) relativo es estricto Observemos que los extremos globales en puntos no aislados son también extremos relativos Por ello es importante establecer condiciones necesarias y sucientes para la existencia de extremos relativos Proposición 1018 (Condición necesaria de extremo relativo) Sea f : A R n R diferenciable en a A Si f tiene un extremo relativo en a entonces f( a) = 0 Denición 1019 (Puntos críticos) Sea f : A R n R, diferenciable en a A a es un punto crítico o estacionario de f si f( a) = 0 a es un punto de silla de f si es un punto crítico y si en todo entorno de centro a podemos encontrar puntos x, y tales que f( x) > f( a) y f( y) < f( a) La proposición anterior establece que la condición necesaria para la existencia de extremo relativo es que este sea un punto crítico Esta condición es necesaria pero no suciente Departamento de Análisis Matemático 7 Análisis Matemático (Grado en Física)

8 Ejemplo 1020 La función f(x, y) = x 2 y 2 es diferenciable en R 2, además f(x, y) = (2x, 2y) Por tanto f(0, 0) = (0, 0), y el origen es (el único) punto crítico de f Pero dado ε > 0, tiene que f(ε, 0) = ε 2 > 0 = f(0, 0) y f(0, ε) = ε 2 < 0 = f(0, 0), luego el origen es un punto de silla Supongamos ahora que f C 2 (A) para A R n abierto y a A y que f tiene un punto crítico en a ( f( a) = 0) Entonces la fórmula de Taylor de segundo orden de f nos dice que f( x) f( a) = 1 2 ( x a)h(f; a)( x a)t + R 2 (f; a)( x) R 2 (f; a)( x) Como lím x a x a 2 = 0, para x sucientemente próximo a a el signo de f( x) f( a) es igual al signo de ( x a)hf( a)( x a) t Por tanto, la naturaleza del punto crítico a puede analizarse clasicando la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana H(f; a), es decir, Q( x) = xh(f; a) x t Existen varios criterios para la clasicación de una forma cuadrática, nosotros utilizaremos dos de ellos Uno el que viene dado por los autovalores de la matriz asociada a la forma cuadrática (en nuestro caso, la matriz Hessiana) y otro el que viene dado a través de sus menores principales Recordemos que una forma cuadrática Q es: 1 Denida positiva si Q( x) > 0 para todo x R n, x 0 Esto ocurre todos los autovalores de H(f; a) son positivos los menores principales de H(f; a) son todos positivos 2 Denida negativa si Q( x) < 0 para todo x R n, x 0 Esto ocurre todos los autovalores de H(f; a) son negativos los menores principales de orden impar de H(f; a) son negativos y los de orden par positivos 3 Indenida si existen x, y R n \ {0} tales que Q( x) > 0 > Q( y) > Esto ocurre la matriz H(f; a) tiene autovalores positivos y negativos todos los menores principales son no nulos pero no estamos en los casos anteriores Proposición 1021 (Condición suciente de extremo relativo) Sea f : A R n R una función dos veces diferenciable en un punto crítico a A y Q(x 1,, x n ) la forma cuadrática asociada al Hessiano de f en a, es decir, Q(x 1,, x n ) = (x 1,, x n )H(f; a) x 1 x n Departamento de Análisis Matemático 8 Análisis Matemático (Grado en Física)

9 (a) Si Q es denida positiva, a es un mínimo relativo estricto (b) Si Q es denida negativa, a es un máximo relativo estricto (c) si Q es indenida, a es un punto de silla (d) si Q es semidenida, no podemos asegurar nada Para funciones de dos variables puede hacerse una discusión de los distintos casos según el teorema siguiente: Proposición 1022 (Condición suciente de extremo relativo para n = 2) Sea f C 2 en A R 2 y (a, b) A un punto crítico de f Entonces: (a) Si Hf(a, b) > 0 y D 11 f(a, b) > 0, f tiene en (a, b) un mínimo relativo estricto (b) Si Hf(a, b) > 0 y D 11 f(a, b) < 0, f tiene en (a, b) un máximo relativo estricto (c) Si Hf(a, b) < 0, f tiene en (a, b) un punto de silla (d) Si Hf(a, b) = 0, no podemos asegurar nada 105 Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange En la sección anterior nos hemos planteado la búsqueda de extremos de funciones de varias variables en determinados dominios de denición Sin embargo en la mayoría de problemas cientícos en los que aparece la optimización, es necesario encontrar dichos extremos, no en todo el dominio, sino que en una curva concreta o en una supercie concreta En lo que venimos diciendo acerca de los extremos relativos de una función real f : A R n R donde A es un abierto de R n, a las n variables x 1, x 2,, x n no se les ha impuesto ninguna ligadura Dicho de otro modo, las n variables se han podido mover libremente en el conjunto A en el que hay n grados de libertad Vamos a ocuparnos ahora del caso en el que si existen unas tales ligaduras: buscaremos los extremos relativos de una función en el supuesto que sus variables no pueden tomar sus valores libremente, sino que están obligadas a satisfacer ciertas relaciones funcionales o condiciones de ligadura Vamos a concretar todo esto Departamento de Análisis Matemático 9 Análisis Matemático (Grado en Física)

10 Denición 1023 Sean f, g i : A R n R, i = 1,, m < n con A abierto A los extremos de f en A que verican las ecuaciones g i ( x) = 0 para todo i = 1,, m se les llama extremos de f condicionados a g = (g 1,, g m ) De otro modo, si consideramos M = { x A : g( x) = 0}, se dice que a M es un extremo absoluto condicionado si: x M, f( a) f( x) (máximo) ó f( a) f( x) (mínimo) a M es un extremo relativo condicionado si existe r > 0 tal que: x B(a, r) M, f( a) f( x) (máximo) ó f( a) f( x) (mínimo) a M es un extremo (absoluto ó relativo) condicionado estricto si las desigualdades son estrictas para x a Los extremos condicionados son extremos de la función f restringida al conjunto M, es decir, la función f : M A R n R M Obviamente, los extremos absolutos condicionados son también extremos relativos condicionados Las restricciones g( x) = (g 1 ( x),, g m ( x)) = 0 reciben el nombre de ecuaciones de ligadura Una primera forma de atacar el problema de optimización con ligaduras es comprobar si de las m restricciones es posible despejar m variables en función de las restantes En este caso, el problema de optimización con restricciones se reduce a un problema de optimización de una función de n m variables sin restricciones En efecto, si podemos despejar m variables (sin pérdida de generalidad, podemos suponer que son x 1,, x m ), en función de las demás, tendremos que x 1 = ψ 1 (x m+1,, x n ) x m = ψ m (x m+1,, x n ) por lo que podemos sustituir estas igualdades en la función objetivo y resulta una nueva función de n m variables F (x m+1,, x n ) = f(ψ 1 (x m+1,, x n ),, ψ m (x m+1,, x n ), x m+1,, x n ) En estas condiciones, el problema de optimización con restricciones, es equivalente al problema de optimizar la nueva función F (x m+1,, x n ) sin restricción alguna Sin embargo, el dominio del nuevo problema no tiene porqué ser todo R n m Departamento de Análisis Matemático 10 Análisis Matemático (Grado en Física)

11 Por ejemplo, si el problema consiste en buscar los extremos de la función f(x, y) = x 2 + y sobre la circunferencia x 2 + y 2 = 1, podemos despejar x 2 = 1 y 2 y reducir el problema a la determinación de los extremos de la función de una variable F (y) = 1 y 2 + y; pero el dominio donde habría que buscar los extremos sería el conjunto [ 1, 1], pues en la circunferencia original, la variable y sólo puede tomar valores entre 1 y 1 En general, en los problemas de extremos condicionados interesa calcular los extremos absolutos, lo cual se hace a partir de la determinación previa de los extremos relativos Para ello tenemos como instrumento el teorema de los Multiplicadores de Lagrange Antes de enunciarlo justicaremos un caso particular de éste Supongamos z = f(x, y) tiene un extremo relativo sujeto a la condición g(x, y) = 0 La curva del plano determinada por la restricción intersectará muchas curvas de nivel de f Una de estas curvas de nivel tocará tangencialmente a la curva g(x, y) = 0, lo cual quiere decir que las rectas tangentes en ese punto a dichas curvas deben coincidir Supongamos que lo hace en el punto (a, b), entonces los vectores gradientes f(a, b) y g(a, b) deben ser proporcionales o linealmente dependientes Por lo tanto (a, b) debe cumplir las condiciones: f(a, b) + λ g(a, b) = 0 g(a, b) = 0, para algún número λ R Teorema 1024 (Condición necesaria de extremo condicionado) Sean f, g i : A R n R, i = 1,, m (m < n) de clase C 1 (A) con A abierto Si f tiene en a A un extremo relativo condicionado a las restricciones g( x) = (g 1 ( x),, g m ( x)) = 0, y los vectores g 1 ( a),, g m ( a) son linealmente independientes, entonces existen λ 1,, λ m R que reciben el nombre de multiplicadores de Lagrange (y que dependen de a), tales que: f( a) = λ 1 g 1 ( a) + + λ m g m ( a) o, equivalentemente, tales que m a es un punto crítico del Lagrangiano o la Función Lagrangiana asociada: F ( x) := f( x) + λ i g i ( x) Proposición 1025 (Condición suciente de extremo relativo condicionado) Sean f, g i : A R n R de clase C 2 (A) con A abierto y a A un punto crítico del Lagrangiano F y sea Q la forma cuadrática asociada al Hessiano H(F ; a) Consideremos el subespacio vectorial T ( a) = { x R n : g j ( a) x = 0, j = 1,, m} (a) Si Q es denida positiva, a es un mínimo relativo condicionado T ( a) i=1 Departamento de Análisis Matemático 11 Análisis Matemático (Grado en Física)

12 (b) Si Q T ( a) es denida negativa, a es un máximo relativo condicionado En la práctica, se considera el Lagrangiano de la forma F ( x, λ 1,, λ m ) = f( x) + m λ i g i ( x), donde los parámetros λ 1,, λ m son variables adicionales Entonces, el problema de determinar los puntos críticos de f que cumplen las restricciones g i ( x) = 0 para todo i = 1, 2,, m, se reduce a determinar los puntos críticos de la función Lagrangiana Estos puntos se obtienen resolviendo el sistema F ( x, λ 1,, λ m ) = 0 de m + n ecuaciones en las incógnitas x 1,, x n, λ 1,, λ m f m g i ( x) + λ i ( x) = 0; x 1 x 1 f x n ( x) + i=1 i=1 m g i λ i ( x) = 0; x n i=1 g 1 ( x) = 0, g m ( x) = 0 Si el problema únicamente pide extremos absolutos y el conjunto de restricciones lleva a un dominio M compacto, basta con resolver el sistema anterior y evaluar f en cada uno de dichos puntos para quedarnos con los valores mayor y menor Si el problema pide extremos relativos, calculamos el Hessiano de F (respecto de las variables x) y estudiamos, antes de hacer restricción alguna, si la forma cuadrática asociada es denida (positiva o negativa), en cuyo caso la restricción lo será automáticamente Caso de que la forma cuadrática global no sea denida, entonces es cuando se procede a restringirla al subespacio T ( a) y estudiar de nuevo su denición Ejemplo 1026 Vamos a obtener los extremos de la función f(x, y) = x 3 +2xy +y 2 que se encuentren en la recta x + y = 0 En primer lugar consideramos la función lagrangiana asociada al problema: F (x, y, λ) = x 3 + 2xy + y 2 +λ(x+y) Obtenemos los puntos críticos: F (x, y, λ) = (3x 2 +2y +λ, 2x+2y +λ, x+y) = (0, 0, 0) De la tercera ecuación, se obtiene que y = x que sustituida en la segunda: 2x 2x λ = 0 λ = 0 Departamento de Análisis Matemático 12 Análisis Matemático (Grado en Física)

13 Sustituido este valor en la primera ecuación: 3x 2 2x = 0, x = 0, x = 2 3 Por lo que los puntos críticos de la lagrangiana son P 1 = (0, 0, 0), P 2 = (2/3, 2/3, 0) Clasicamos los puntos construyendo la matriz hessiana:h (x,y) L(x, y, λ) = 6x 2 y se sustituyen 2 2 los puntos críticos obtenidos anteriormente: H (x,y) L(2/3, 2/3, 0) = 4 2 Como D 1 = 4 > 0, D 2 = 4 > 0 representa una forma cuadrática 2 2 denida positiva en R 2, por tanto será denida positiva en cualquier subespacio, en particular el subespacio T ( a) Por tanto P 1 (2/3, 2/3) es un mínimo del problema con f(2/3, 2/3) = 4/27 Consideramos ahora P 2 (0, 0, 0), H (x,y) L(0, 0, 0) = 0 2 Como D 1 = 0 tenemos que recurrir a 2 2 los autovalores Dado que las autovalores son λ 1 = > 0, λ 2 = 1 5 < 0, representa una forma cuadrática indenida por lo que hay que restringir la forma cuadrática al subespacio T (0, 0) = {(x, y) R 2 : g(0, 0) (x, y) = 0} Como g(x, y) = (1, 1), g(0, 0) = (1, 1) Luego T (0, 0) = {(x, y) R 2 : x + y = 0} Como la forma cuadrática asociada es Q(x, y) = (x, y) 0 2 x = 2y 2 + 4xy 2 2 y restringida a T (0, 0) = {y = x}, queda: Q(x) = 2x 2 4x 2 = 2x 2 < 0 que es denida negativa, por tanto, (0, 0) es un máximo del problema con f(0, 0) = 0 Departamento de Análisis Matemático 13 Análisis Matemático (Grado en Física)