Horas requeridas por unidad de producto Laminado 1 Laminado 2 Horas totales disponibles Acondicionamiento Laminado Pulido

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Veronica Ortiz de Zárate Espinoza
hace 5 años
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1 PROBLEMA Una empresa que realiza laminados de aceros de aleación especial produce dos tipos de láminas, que le reportan 8 y 6 (unidades monetarias) netas respectivamente por cada metro producido. El proceso consta de una etapa previa de acondicionamiento del acero, otra de laminado propiamente dico, y una tercera de pulido de la superficie resultante, disponiéndose diariamente para cada actividad de un número de oras limitado. Las oras requeridas por unidad de producto y las oras totales diarias disponibles para cada actividad se muestran en la tabla adunta: Horas requeridas por unidad de producto Laminado Laminado Horas totales disponibles Acondicionamiento 60 Laminado 8 Pulido 6 76 En principio no existen limitaciones de material, si bien la empresa está obligada a producir al menos un metro de laminado, y un metro también de laminado diariamente con obeto de generar una rentabilidad mínima. Por el contrario, debido a acuerdos en el sector siderúrgico de control de la competencia, no puede producir más de metros diarios de laminado, ni más de metros diarios de laminado. a) Con los datos anteriores calcular la programación de producción que maximiza los beneficios de la empresa. b) Suponiendo que interesara contratar más oras diarias de las actividades del proceso, cuál sería el valor máximo que se pagaría por cada ora adicional? SOLUCIÓN: a) Llamando : metros de laminado producidos. : metros de laminado producidos. La función de producción a optimizar sería: Javier Osorio

2 Transformando el problema: Min Para resolver el problema utilizamos el algoritmo simplex para variables acotadas. Dado que se trata de maximizar interesaría asignar a las variables su cota superior, pero esto daría lugar a que se perdiera la factibilidad. Por ello se asignará una variable a su cota superior y otra a su cota inferior, y se comprobará si es factible. 0 0 A 0 0 B a a a ; [,, ] {,, } l u N N { a } { a } B Aplicando el algoritmo Simplex: ( ) ( ) C B b C B N C l C B N C u B B N N B N N ( ( )) ( ) ( ) b B b B N l B N u N N 60 6 t t b 8 (,, 6) ( ) (,, ) ( ) 6 0 Sol. inicial factible A continuación se calculan los valores iniciales de la fila cero en la primera tabla Simplex C C B a C B C 6. Javier Osorio

3 La ª tabla simplex sería: l u LD l: cota inferior. u: cota superior Comprobamos si esta solución es meorable aplicando el algoritmo: α R ( z c ), ( c z ) ( 8., 6.) 8. > 0 R Solución meorable; ; es candidato a entrar en la base. R γ Min b i l yi Bi : yi i m b l B γ Min,, ; γ 0 6 y es candidato a salir de la base. γ ; ya que y y 0 γ u - l - Min{ γ, γ, u l } Min{,, } 0 0 sale de la base y se pivota sobre y. los nuevos valores del lado dereco serían: ( ) ( ) $ z c b b$ y $b l Javier Osorio

4 La nueva tabla, una vez eco el pivoteo sería: u l LD / 0 -/ 6 0 0/ 0 -/ 6 / 0 0 /6 Como -C > 0 Como -C < 0 siendo R La solución actual es óptima. siendo R metros diarios. metros diarios oras sobran de acondicionamiento. 6 oras sobran de laminado. 0; el cuello de botella estaría en el pulido. b) Para saber cuánto se podría pagar como máximo una ora adicional planteamos el problema dual. De entrada, ya se observa que no nos interesará contratar oras adicionales de acondicionado y laminado pues nos sobran, pero sí interesa de pulido. Primal: , 0 Dual: Min ' 60 w + 8 w + 76 w w + w + 6 w 8. w + w + w 6. w, w, w 0 Por el teorema de olgura complementaria: La ª restricción Primal es con olgura. w 0 Javier Osorio

5 La ª restricción Primal es con olgura. w 0 La ª restricción Primal es sin olgura. w 0 Resolviendo, utilizando la tabla óptima y aprovecando las características especiales de los valores - C para las variables de olgura iniciales: - C C B a c B 0 ( w, w, w ) 0 0; w 0 acondicionado C ( w, w, w ) 0; w 0 laminado C 0 0. ( w, w, w ) 0 0 w ; w.' pulido C Cada ora de pulido incrementaría los beneficios netos en. Sobre esta cantidad se abrá de negociar. Es lógico que ω ω 0, debido a que la ª y ª restricciones tienen olgura, es decir, a sobrado una serie de oras de acondicionamiento y laminado. Por lo tanto, una ora adicional de ambos tratamientos no nos supondría un mayor beneficio. Javier Osorio

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