Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa Ciencias Básicas e Ingineniería Maestría en Ciencias Matemáticas Espacios pseudoradiales García Ramírez

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1 Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa Ciencias Básicas e Ingineniería Maestría en Ciencias Matemáticas Espacios pseudoradiales García Ramírez Evzy Oscar Asesor: Richard Gordon Roberts Wilson México D.F. 29 Octubre de

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4 Índice general Introducción 7 Capítulo 1. Preliminares Propiedades básicas Los números ordinales 12 Capítulo 2. Pseudoradialidad y compacidad secuencial Preliminares Espacios CSC y pseudoradialidad 22 Capítulo 3. Productos Preliminares R-Monoliticidad y Pseudoradialidad 35 Capítulo 4. La propiedad de Whyburn y la pseudoradialidad Las propiedades de Whyburn Espacios submaximales, espacios dispersos y pseudoradialidad. 47 Conclusiones 53 Bibliografía 55 3

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8 Introducción Si estuvieramos interesados en estudiar la topología mediante la convergencia, veremos que las sucesiones no son suficientes para tal fin. Por ejemplo, pensemos en la compactificación de Stone-Čech de los naturales βn. Cada conjunto cerrado de βn es finito u homeomorfo a βn-vease [1]. Sea x βn \ N. Como N es denso en βn, se sigue que x N. Sin embargo, ninguna sucesión N converge a x. Este ejemplo nos deja dos formas de proceder para estudiar la topologia usando sucesiones: 1. Dejar de usar sucesiones. En su lugar podríamos usar filtros o redes. 2. No considerar espacios topológicos en general. En su lugar podríamos limitarnos a aquellas clases de espacios en los cuales las sucesiones son suficientes para estudiar la topología. El esquema anterior fue planteado primeramente por Franklin [16]. Otro camino en este estudio es considerar sucesiones de tamaño arbitrario; es decir que en vez de funciones S : ω X, consideraremos funciones S : α X donde α es cualquier ordinal. Bajo esta generalización, el analogo de espacio secuencial es la nocion de espacio pseudoradial. Los espacios pseudoradiales son una generalización de los espacios secuenciales en el sentido de que en los primeros la longitud de las sucesiones es ω y en los segundos, consideramos sucesiones cuya longitud es un ordinal arbitrario. En general, cuando desarrollamos una generalización tenemos el propósito de superar una restricción. Con ello, la clase de objetos que cumplen el nuevo concepto se vuelve más amplio, pero sin sus restricciones. En este sentido, son más ricos en cuanto a propiedades y de ahi el interés que pueden suscitar para su estudio. En el estudio de los espacios topológicos se buscan invariantes, es decir, aquellas propiedades que se preservan bajo mapeos, productos, inmersiones, etc. Es decir, que en topología, como en toda la matemática, la clasificación se debe hacer tomando en cuenta las propiedades que permanecen sin modificación bajo ciertas acciones. Sin embargo, para el caso del producto topológico, no siempre se preservan las propiedades topológicas de los espacios factores, ejemplo de ello es el hecho de que el producto de espacios normales no es normal. En esta situación, lo natural es indagar si hay condiciones que preservan la propiedad estudiada bajo producto topológico. 7

9 8 INTRODUCCIÓN Muchas veces la clasificación de ciertas propiedades se hace más llevadera mediante propiedades equivalentes o caracterizaciones; este es el caso de los espacios pseudoradiales. La atención en ellos toma auge a partir de la década del 90 del siglo pasado cuando Shapirovskii demuestra la equivalencia de la compacidad secuencial y la pseudoradialidad en espacios compactos T 2. Entre los resultados que vamos a abordar está que el producto, aún finito, de espacios pseudoradiales no es pseudoradial. Sin embargo, cuando agregamos la condición de que los factores sean R-monolíticos, entonces el producto de espacios pseudoradiales es pseudoradial.

10 CAPíTULO 1 Preliminares 1.1. Propiedades básicas En esta sección formularemos los axiomas de separación que son necesarios para el desarrollo de esta tesis y remarcaremos ciertas propiedades de espacios T 4 y T 2 compactos que se usarán en lo sucesivo. Sin embargo, todo el material que a continuación se expone se encuentra en la bibliografía del área en particular, referimos al lector a [1, 2, 3]. El espacio topológico que consiste en un conjunto X y una topología τ en X se denotará por (X, τ). Cuando no hay posibilidad de confusión, suprimimos τ y nos referimos al espacio topológico X. DEFINICIÓN Sea (X, τ) un espacio topológico. Diremos que B τ es una base de τ si para todo U τ y para todo x U existe un B B tal que se cumple x B U. Ahora B τ es una subbase de τ si la colección de todas las intersecciones finitas de elementos de B es una base para τ. DEFINICIÓN Sean (X, τ) un espacio topológico y x X. Diremos que la colección de conjuntos abiertos B x de X es una base local de x si para todo V B x satisface que x V y para todo conjunto U τ tal que x U existe un V B x tal que x V U. DEFINICIÓN Diremos que un espacio topológico X es T 1 si {x} es un conjunto cerrado para cada x X. El espacio X es de Hausdorff o T 2 si para todos los x, y X con x y existen en el espacio X conjuntos abiertos y disjuntos U y V tales que x U, y V. Recordemos que una cubierta de un conjunto X es una familia {A s } s S de subconjuntos de X tal que s S A s = X. Si X es un espacio topológico la familia {A s } s S es una cubierta abierta si todos sus elementos son abiertos en X. Una cubierta A = {A s} s S de X es una subcubierta de otra cubierta A = {A s } s S de X si S S y A s = A s para toda s S. DEFINICIÓN Sea X un espacio topológico. Diremos que X es un espacio compacto si es Hausdorff y cada cubierta abierta de X tiene una subcubierta finita. 9

11 10 1. PRELIMINARES Si en la definición anterior no requerimos la hipótesis de que el espacio sea Hausdorff diremos que el espacio es cuasi-compacto. PROPOSICIÓN Sea (X, τ) un espacio T 1 y B = {U τ : x U}, entonces {x} = B. DEMOSTRACIÓN. Sea x X. Entonces, por ser X un espacio T 1, para cada y X \ {x} el conjunto U y = X \ {y} es abierto. En consecuencia, se sigue que {x} = {U y : y X \ {x}}. DEFINICIÓN Diremos que un espacio topológico X es T 3 o regular si es T 1 y para cualquier x X y cualquier cerrado F X tal que x / F hay U 1, U 2 τ tales que x U 1, F U 2 y U 1 U 2 =. DEFINICIÓN Sea X un espacio topológico. Diremos que X es T 4 o normal si es T 1 y para cualquier par de subconjuntos cerrados disjuntos A, B X hay un par de conjuntos disjuntos U, V τ tales que A U, B V. PROPOSICIÓN Sea X un espacio topológico y T 1. Entonces X es normal si y sólo si para cada F X, F cerrado y para todo abierto V tal que F V existe un abierto U X tal que F U U V. DEMOSTRACIÓN. Sea F X un conjunto cerrado y V un conjunto abierto tal que F V. Los conjuntos F y X \ V son cerrado ajenos, entonces existen conjuntos abiertos S y T tales que F S, X \ V T y S T =, porque el espacio X es normal. Luego F S S X \ T V. Inversamente, sean C, D cerrados ajenos, entonces C X \ D = V. Puesto que X \ D = V es un conjunto abierto y C es un conjunto cerrado, entonces existe un conjunto U abierto tal que C U U V, por que este es nuestro supuesto. Por lo tanto los conjuntos U y X \ U son abiertos ajenos tales que C U y D X \ U por lo tanto el espacio X es normal. PROPOSICIÓN Sea X un espacio topológico compacto, si el conjunto C es compacto en X y x / C, entonces existen conjuntos abiertos U y V tales que x V, C U y V U =. DEMOSTRACIÓN. Como x / C y X es T 2, entonces para cada y C existen conjuntos abiertos U y y V y tales que y U y, x V y y además U y V y =. Luego C U = y C U y. Como C es compacto existen puntos y 1, y 2,..., y n en C tales que C n i=1 U yi = U. Como x V yi, 1 i n, se sigue que el conjunto n i=1 V yi = V es abierto y contiene el punto x. Por lo tanto los conjuntos abiertos U y V satisfacen que C U, x V y V U =.

12 1.1. PROPIEDADES BÁSICAS 11 PROPOSICIÓN Si (X, τ) es un espacio T 2, y C 1, C 2 X son subconjuntos compactos ajenos, entonces existen U 1, U 2 τ ajenos tales que C 1 U 1, C 2 U 2. DEMOSTRACIÓN. Sea x C 2, entonces por la proposición existen conjuntos abiertos W x, V x tales que x V x, C 1 W x, V x W x =. Luego x C 2 V x es una cubierta abierta de C 2, por lo tanto existen x 1, x 2,..., x m en C 2 tales que C 2 m i=1 V xi = U 2, porque C 1 es compacto. Pero C 1 W xi con 1 i m, por lo tanto C 1 n i=1 W xi = U 1. Se sigue que los conjuntos abiertos U 1 y U 2 satisfacen C 1 U 1 y C 2 U 2 con U 1 U 2 =. COROLARIO Si (X, τ) es T 2 compacto, entonces, es T 4. DEFINICIÓN Sea λ un cardinal y (X, τ) un espacio. Un conjunto L X es un G λ en X si hay una familia {U α : α λ} τ tal que L = {U α : α λ}. PROPOSICIÓN Si (X, τ) es T 4, K X es cerrado y K V, V τ, entonces existe un conjunto G cerrado y G δ en X tal que K G V. DEMOSTRACIÓN. Usando la proposición 1.1.8, escogemos inductivamente conjuntos abiertos U n tales que para cada n, K U n+1 U n+1 U n V. Sea G = n ω U n = n ω U n. Entonces G satisface K G V. COROLARIO Si X es un espacio topológico T 4, K X es cerrado en X y sea V un conjunto G λ en X tal que K V, entonces existe un conjunto G cerrado en (X, τ) y G λ, tal que K G V. DEMOSTRACIÓN. Suponemos que V = α<λ V α donde V α es abierto para toda α < λ. Usando la proposición para cada α < λ podemos encontrar un conjunto G δ cerrado G α tal que K G α V α. Entonces el conjunto G = α<λ G α es el conjunto buscado. DEFINICIÓN Sea (X, τ) un espacio topológico. Diremos que la familia de subconjuntos {B n : n N} de X, converge al punto p X si para todo U τ que contiene el punto p existe un n 0 N tal que B n U para todo n n 0. OBSERVACIÓN Sea (X, τ) un espacio T 3. Sean x y y puntos de (X, τ) tal que x y. Entonces existen conjuntos C 1, C 2 cerrados en X tales que x int (C 1 ), y int (C 2 ), C 1 C 2 =. DEMOSTRACIÓN. El espacio (X, τ) es T 2,luego existen conjuntos U 1, U 2 τ tales que x U 1, y U 2 y U 1 U 2 =. Por ser el espacio

13 12 1. PRELIMINARES (X, τ) regular,existen conjuntos V 1, V 2 τ tales que x V 1 cl(v 1 ) U 1 y y V 2 cl(v 2 ) U 2. Luego si C 1 = cl(v 1 ) y C 2 = cl(v 2 ) se sigue el resultado COROLARIO Si (X, τ) es compacto y x, y X, x y, entonces existen conjuntos disjuntos N, M que son cerrados y G δ disjuntos tales que satisfacen x int (N), y int (M). DEMOSTRACIÓN. Sea (X, τ) un espacio compacto. Por la observación , existen cerrados ajenos C 1, C 2 tales que x int(c 1 ), y int(c 2 ). Por el corolario , X es T 4 y por lo tanto existen abiertos ajenos V 0, W 0 tales que C 1 V 0, C 2 W 0. Aplicando repetidamente la Proposición construimos recursivamente familias de abiertos {V n : n N} y {W n : n N} tales que para cada n N se sigue que C 1 W n+1 W n+1 W n W 0 y además C 2 V n+1 V n+1 V 0. Es claro que V = n ω V n y W = n ω W n son los conjuntos G δ cerrados buscados. OBSERVACIÓN Sea (X, τ) un espacio T 2 infinito, entonces hay un conjunto U τ tal que U y no es denso en el espacio X tal que X \ U ω. DEMOSTRACIÓN. En efecto, sean x, y X puntos distintos, entonces hay un par de conjuntos V, W abiertos en X tales que x V, y W, V W =, es decir que V X \ W. Si V es infinito, entonces W es el conjunto abierto buscado. Por el otro lado, si V es finito, entonces V = V y por lo tanto V es el abierto buscado. COROLARIO Si (X, τ) es un espacio T 2 infinito, entonces hay una familia {U n : n N} τ, donde U n, U n U m = para todo n m. DEMOSTRACIÓN. Por la observación sabemos que hay un conjunto U 1 abierto en X tal que U 1 no denso en X y X \ U1 ω. Luego restringiendonos al conjunto X \U 1, existe un conjunto U 2 abierto en X \U 1 tal que U 2 X \ U 1, X \ U2 ω; así obtenemos un conjunto U3 abierto en X \ (U 2 U 2 ) tal que U 2, X \ (U 2 U 1 ) ω. Así recursivamente construimos la familia requerida Los números ordinales Vamos a utilizar en la tesis a los números ordinales, en particular un subconjunto de ellos, los números cardinales. La caracterización de cardinal regular y singular, nos será de mucha utilidad referimos al lector a [4].

14 1.2. LOS NÚMEROS ORDINALES 13 DEFINICIÓN Un conjunto P es parcialmente ordenado por la relación < si se cumplen las siguientes condiciones: (i) P ara cualquier p P, se tiene p p (antisimetría); (ii) Si p < q y q < r entonces p < r (transitividad). Diremos que (P, <) es un orden lineal Si (iii) P ara todos los p, q P, se cumple p < q o p = q o p > q. Sean P un conjunto parcialmente ordenado y X P. Para todos los x, y P el símbolo x y lo vamos a entender como x < y o x = y. Diremos que a P es el mínimo elemento de X si a X y a x para todo x X. (P, <) es un conjunto bien ordenado si (iv) cualquier subconjunto no vacío de P tiene elemento mínimo Diremos que a P es un elemento minimal de X si a X y x a para todo x X. Diremos que a P es una cota inferior de X si a x para todo x X. Diremos que a P es el ínfimo de X si a es cota inferior de X y para todo b P si a < b entonces existe x X tal que a < x. Es decir, si a es la máxima cota inferior de X. Similarmente, definimos elemento máximo, elemento maximal, cota superior, y al supremo. Si f es una función de un conjunto parcialmente ordenado (P, < P ) en el conjunto parcialmente ordenado (Q, < Q ), entonces: Diremos que f es un homomorfismo si para todos los x, y P se satisface x P y si sólo si f (x) Q f (y); Diremos que f es una inmersión si f es uno a uno y para todos los x, y X se satisface x < P y si y sólo si f (x) < Q f (y); Diremos que f es un isomorfismo entre P y Q si f es una inmersión del conjunto (P, < P ) en el conjunto (Q, < Q ) y rng (f) = Q; Diremos que f preserva el orden si x < P y si y sólo si f (x) < Q f (y). El rango de la función f es el conjunto rng(f) = {y : x[(x, y) f]}. DEFINICIÓN Un conjunto S es transitivo si x (x S = x S)

15 14 1. PRELIMINARES Los números ordinales son tipos de orden de conjuntos bien ordenados. La siguiente definición de número ordinal se debe a Von Neumann. DEFINICIÓN Un conjunto es un número ordinal (o simplemente ordinal) si es transitivo y bien ordenado por. A los números ordinales los denotaremos por el símbolo On. LEMA [4] Sea (P, <) un conjunto bien ordenado, si f : P P es una función que preserva el orden de P, entonces x f (x) para cada x P. DEMOSTRACIÓN. Suponemos que hay un x P tal que f (x) < x, luego el subconjunto A = {z P : f (z) < z} de P es no vacío, se sigue que A tiene un elemento mínimo, digamos x 0. Como f (x 0 ) < x 0, entonces f (f (x 0 )) < f (x 0 ) < x 0. Por lo tanto f (x 0 ) A, pero esto contradice la minimalidad de x 0. Si (P, <) es un conjunto bien ordenado y x P entonces el conjunto x = {y P : y < x} es el segmento inicial de P determinado por x. LEMA [4] Ningún conjunto bien ordenado es isomorfo a un segmento inicial del mismo. DEMOSTRACIÓN. Suponemos que f : P x es un isomorfismo entre P y x para alguna x P. Entonces f (x) x y por lo tanto f (x) < x, pero esto contradice el lema 1.2.4, porque en particular f preserva el orden. LEMA [4] Si P y Q son conjuntos bien ordenados, entonces uno y sólo uno de los siguientes incisos se cumple: I) El conjunto P es isomorfo al conjunto Q; II) El conjunto P es isomorfo a un segmento inicial del conjunto Q; III) El conjunto Q es isomorfo a un segmento inicial del conjunto P. DEMOSTRACIÓN. Observemos que los casos son mutuamente excluyentes, porque si por ejemplo suponemos I y II, entonces P es isomorfo a Q y P es isomorfo a un segmento inicial de Q; entonces Q es isomorfo a un segmento inicial contenido en el mismo Q, lo cual contradice el lema Los otros casos se tratan análogamente. Sea f = {(p, q) P Q : p es isomorfo a q}. Entonces se verifica: 1) f es función En efecto f P Q; además si (p, q) f y (p, q ) f, entonces tenemos que p es isomorfo al segmento inicial q y p es isomorfo a q, por lo tanto q es isomorfo a q. Luego, q = q, porque de no ser así, suponemos

16 1.2. LOS NÚMEROS ORDINALES 15 que q < q. Entonces q q y q es segmento inicial de q, lo cual contradice el enunciado del lema Análogamente llegamos a una contradicción si suponemos la desigualdad q < q. Por lo tanto q = q. 2) f es uno a uno Sean p, p P y suponemos que p y p son isomorfos. Vamos a demostrar que p = p. En efecto, pues si suponemos que p < p entonces p p, es decir que p es segmento inicial de p, esto contradice el lema Por otra parte si suponemos que p < p también llegamos a una contradicción. Por lo tanto p = p. 3) f preserva el orden Vamos a demostrar que si p, p P son tales que p < p y (p, q), (p, q )son elementos de f entonces q < q. Sea (p, q ) f, y sea h : p q un isomorfismo. Como p < p luego, p p. Por lo tanto h (p) q. Es decir : ( ) h (p) < f (p ). Ahora como, p p, tiene sentido considerar la restricción: h p = {(r, s) h : r p}. Afirmamos que h p es isomorfismo entre p y h (p). Para demostrar nuestra afirmación debemos comprobar que: i) h p es uno a uno; ii) h p preserva el orden; iii) rng ( h p ) = h (p). Los incisos (i), (ii) son obvios, pues h p hereda estas propiedades de h y basta verificar (iii). Si q 0 rng ( ) ( ) h p, entonces por la definición del conjunto rng h p existe p 0 p tal que h (p 0 ) = h p (p 0 ) = q 0. Además, puesto que p 0 < p, se tiene q 0 = h (p 0 ) < h (p), por lo tanto q 0 h (p). Inversamente, si q 0 h (p), es decir q 0 < h (p), entonces existe p 0 p tal que h (p 0 ) = q 0,esto ocurre porque rng(h p ) = h(p). Luego q 0 rng(h p ). Por lo tanto rng ( ) h p = h (p). Se sigue que p y h (p) son isomorfos, y esto ocurre si y sólo si (p, h (p)) f. Entonces f (p) = h (p) < f (p ), por ( ). De 1), 2) y 3) concluimos que f es un isomorfismo entre su dominio, un subconjunto de P y su rango, un subconjunto de Q. a) Ahora si dom (f) = P y rng (f) = Q, tenemos el caso (i), es decir los conjuntos P y Q son isomorfos.

17 16 1. PRELIMINARES b) Si dom (f) P, se verifica que S = dom (f) es un segmento inicial del conjunto P. En efecto pues, si x S y z < x, entonces existe un isomorfismo h entre el segmento inicial x y el segmento inicial f (x), luego h ẑ es un isomorfismo entre el segmento inicial ẑ y el segmento inicial h (z), se sigue que la pareja ordenada (z, h (z)) es un elemento de f, y finalmente z S. Basta verificar que S es isomorfo a Q. El rango de f es segmento inicial de Q. En efecto suponemos lo contrario, es decir que L = rng (f) Q. Por el buen orden de P se tiene que el conjunto P \ S tiene elemento mínimo, digamos x 0, luego S = x 0. Sean l L y z < l, entonces z L. Por otra parte existe l x 0 tal que f (l ) = l, y esto último ocurre si y sólo si existe un isomorfismo g tal que g : l l. Luego, como z l, existe z l tal que g (z ) = z. Más aún g ẑ es un isomorfismo entre ẑ y ĝ (z ) = ẑ. Entonces (z, z) f. Luego z rng(f) = L. Por lo tanto si tomamos y 0 = min{q \ L}, L = ŷ 0. En otras palabras, f es isomorfismo entre x 0 y ŷ 0, luego, por la definición de la función f se tiene (x 0, y 0 ) f o que x 0 dom (f) = x 0, lo cual es una contradicción. c) Con un argumento análogo al de b) se demuestra que si dom(f) = P pero rng(f) Q, entonces P es isomorfo a un segmento inicial de Q. Ahora vamos a hacer unas observaciones con respecto a ciertas propiedades de los números ordinales, pero antes necesitamos unos resultados previos. LEMA [4] Un conjunto S es transitivo si y sólo si cuando u v S entonces u S. DEMOSTRACIÓN. Notemos que v S y u v entonces v S y u v luego u S. Inversamente sea v tal que v S, entonces, si u v se sigue que u S luego se tiene que v S. TEOREMA Cualquier elemento de un número ordinal es un número ordinal DEMOSTRACIÓN. Sea α un ordinal y x α. Es claro que x es bien ordenado y procederemos a demostrar que x es transitivo. Para tal fin, suponemos que u es elemento de v y que v es elemento de x ; como α es transitivo y x α, se sigue que v α y por lo tanto u α. Así u, v son elementos de α y u v x, puesto que ordena linealmente a α, concluimos u x.

18 1.2. LOS NÚMEROS ORDINALES 17 Por el teorema se tiene: si α On entonces α = {β On : β < α}. TEOREMA [4] El conjunto α {α} es el mínimo ordinal mayor que α. DEMOSTRACIÓN. i) El conjunto α {α} es un conjunto transitivo. En efecto, si tomamos β α {α} = {α, {α}}, entonces β α o β {α}. Luego β α o β = α. En ambos casos α {α} es conjunto transitivo. ii) El conjunto α {α} está bien ordenado por. Si p, q α {α} se sigue que p α o p {α} o q α o q {α}. Si p, q α no hay nada que demostrar porque α es un conjunto bien ordenado. Si p α y tomamos q {α}, entonces p < q. Si q α, y p {α}, entonces q < p. Por último si p, q {α}, entonces p = q. Es decir que tenemos las siguientes posibilidades p < q o q < p o p = q. Entonces α {α} es linealmente ordenado. Ahora sea y α {α}, y, se siguen dos posibilidades una es que y α y la otra es α y. Si y α, se tiene que y tiene elemento mínimo, puesto que α es un conjunto bien ordenado. Si α y, entonces hay dos subcasos. Subcaso 1. Si α y y y α {α} entonces existe min {α y}, porque α y α además el conjunto α está bien ordenado. Subcaso 2. Si α y = y y α {α}, entonces y = {α}, min {y} = α. Por lo tanto y tiene mínimo. Al conjunto α {α} lo denotaremos α + 1. TEOREMA [4] Sea A un subconjunto de números ordinales. Entonces A tiene elemento mínimo. DEMOSTRACIÓN. Sea α A, hay dos casos: i) Si α A =, entonces α es el mínimo; pues si existiera β A tal que β < α, entonces β α, porque α está bien ordenado por la por ser un ordinal. Luego β α A, lo cual contradice nuestra suposición de que la intersección α A es vacía. ii) Si α A, entonces α A α, luego dicha intersección tiene elemento mínimo, digamos γ, porque α es un conjunto bien ordenado. Para demostrar que γ es el mínimo de A sea δ A tal que δ < γ, entonces δ γ α A, luego γ < δ, lo cual contradice la antisimetría del orden de. LEMA [4] Si A es un conjunto de ordinales, entonces sup A = A

19 18 1. PRELIMINARES DEMOSTRACIÓN. i) El conjunto A es un ordinal Primero se verifica que A es transitivo. Si x y A, entonces y α para algún α A, dado que α es un conjunto transitivo, se tiene que x α. luego x A. Por el teorema anterior se tiene que A está bien ordenado por, por lo tanto A es ordinal. ii) Se verifica que sup A = A Sea α A, entonces α A. Luego α A o α = A. Por lo tanto tenemos que α A, es decir que A es cota superior de A. Ahora tomamos β On tal que ( α A) [α β]. Luego para cada α A ocurre que α β o α = β. Si α β, entonces α β, por ser β conjunto transitivo. Si α = β, entonces α β. En cualquiera de los dos casos A β, entonces se tiene A β o A = β, es decir A β, por lo tanto A es la mínima cota superior de A. COROLARIO [4] No existe ningún conjunto que contenga a todos los ordinales. DEMOSTRACIÓN. Sea X un conjunto de numeros ordinales, entonces por el lema anterior, X es un número ordinal. Además por el teorema tenemos que X + 1 = α es un ordinal. Para demostrar que α / X, suponemos que α X, entonces tenemos dos casos α X o α = X, en cualquier caso α X + 1 = α, lo cual es una contradicción. Se ha demostrado que para cualquier conjuntox hay un ordinal α tal que α / X. DEFINICIÓN Un ordinal α se dice un ordinal sucesor si α = β + 1 para algún ordinal β. En otro caso α se dirá ordinal límite. LEMA [4] El ordinal α es un ordinal límite si y sólo si α = sup α. DEMOSTRACIÓN. Sea β α, entonces, dado que α es límite, se sigue que α β + 1. Si α < β + 1, entonces β < α < β + 1, lo cual contradice el hecho de que el ordinal β + 1 es sucesor de β. Si α > β + 1, entonces, β β + 1 α, luego tenemos que β α. Ahora tratamos la otra contención, si x sup α = α, entonces, existe un y α, tal que x y α, se sigue que x α, porque el ordinal α es un conjunto transitivo. Inversamente. Si α = β + 1 para algún número ordinal β, entonces α = (β + 1) = β α. Por lo tanto si α no es un ordinal límite, entonces α sup α. DEFINICIÓN Sean A, B conjuntos. Diremos que el conjunto A es equipotente con el conjunto B si hay una biyección f : A B.

20 1.2. LOS NÚMEROS ORDINALES 19 DEFINICIÓN Un número ordinal ρ le llamaremos un ordinal inicial si no es equipotente a cualquier ordinal γ tal que γ < ρ. DEFINICIÓN Si X es un conjunto que se puede bien ordenar, entonces el número cardinal de X, denotado X, es el único número ordinal inicial equipotente a X. Es decir que si X es un conjunto que se puede bien ordenar entonces el número cardinal κ = X no es equipotente con ningun ordinal α < κ. Cuando no haya posibilidad de confución en vez de número cardinal diremos cardinal. PROPOSICIÓN Sea κ un número cardinal. Entonces todo ordinal α tal que α < κ satisface que α < κ. DEMOSTRACIÓN. Suponemos lo contrario, es decir que para un cardinal κ existe un ordinal α tal que α < κ y κ < α. Ahora, no es posible que κ = α por la definición de cardinal. Así, podemos asumir κ < α. Entonces, existe una inyección f : κ α tal que α \ rng(f). Sea α 0 = mín{α \ rng(f)}. Afirmamos que α = rng(f). En efecto, por la minimalidad de α 0 deducimos que si δ < α, entonces δ rng(f), es decir α rng(f). Ahora sea λ rng(f). Luego λ < α 0, es decir rng(f) α 0. Por lo tanto κ = α 0 con α 0 < κ, lo cual está en contradicción con la definición de cardinal. La siguiente definición es de gran importancia en los capítulos sucesivos. DEFINICIÓN Sean X un conjunto y α un ordinal. Una sucesión transfinita del conjunto X es una función f : α X. En lo sucesivo, omitiremos la palabra transfinita y nos referimos a f como una sucesión. DEFINICIÓN Sea κ cardinal infinito, llamaremos a κ cardinal singular si existe una sucesión {α υ : υ < ϑ} de ordinales α υ < κ cuya longitud ϑ es un ordinal límite menor que κ, y κ = sup{α υ : υ < ϑ}. Un cardinal que no es singular le llamaremos regular. DEFINICIÓN Sea α un ordinal límite, entonces la cofinalidad de α es el menor número ordinal ϑ tal que α es supremo de una sucesión {α υ : υ < ϑ} creciente de números ordinales de longitud ϑ. La vamos a denotar por cf (α) LEMA [4] Si un ordinal límite α no es un cardinal entonces tenemos que cf(α) < α.

21 20 1. PRELIMINARES DEMOSTRACIÓN. Sea α un ordinal límite tal que no es un número cardinal. Sea κ = α, entonces hay una función uno a uno con imagen igual a α y dominio κ, es decir una sucesión uno a uno {α υ : υ < κ} de longitud κ tal que α = {α υ : υ < κ}. Para demostrar que {α υ : υ < κ} tiene una subsucesión creciente que converge a α, sea β 0 = min{β : β < α}, luego definimos β 1 = min{η α : β 0 < η}. Ahora al siguiente ordinal lo definimos en forma similar β 2 = min{δ α : β 1 < δ}, así por recursión construimos una subsucesión mónotona creciente {β δ : δ < λ} de {α υ : υ < κ} donde tomamos λ κ. Afirmamos que {β δ : δ < λ} tiene como límite a α. En efecto, pues si µ α y µ / δ<λ β δ, entonces para toda γ α pasa que µ > γ, es decir que µ > γ α γ lo cual es una contradicción. Ahora como la longitud de la subsucesión es a lo más κ y como κ = α es menor que α, porque α no es un cardinal, por lo tanto cf(α) < α.

22 CAPíTULO 2 Pseudoradialidad y compacidad secuencial 2.1. Preliminares En este capítulo vamos a introducir un concepto, el de pseudoradialidad, y vamos a estudiar algunas relaciones de dicho concepto con la compacidad secuencial. DEFINICIÓN Sea (X, τ) un espacio topológico y sea β un número ordinal y {x α } α β X. Diremos que {x α } α β converge a un punto x de X si para todo U τ tal que x U existe un ordinal δ < β tal que para todo ordinal α con δ < α < β, se satisface que x α U. El espacio X es pseudoradial si cada conjunto H no cerrado en X contiene una sucesión {x α } α β que converge en X a un punto x / H. DEFINICIÓN Si H es un conjunto no cerrado en (X, τ), donde el espacio es T 1, entonces se define el número cardinal λ (H, X ) como: λ (H, X ) = mín{κ: κ es un cardinal tal que existe un conjunto K cerrado y G κ en X con K H = y K H }. LEMA [5] Sean (X, τ) un espacio compacto y λ un cardinal. Tomamos K X un G λ y cerrado en (X, τ). Entonces, existe una base U τ para X en K con U = λ. DEMOSTRACIÓN. Sea {V α : α λ} una familia de abiertos tal que K = α λ V α. Por ser X compacto, para cada α, existe un abierto W α tal que K W α W α V α. Entonces X \ K = α λ ( X \ W α ). Además, si tenemos U τ tal que K U, entonces X \ U α λ ( X \ W α ) y X \ U es compacto. Por lo tanto, existe una familia finita { ( X \ W αi ) : 1 i n} τ tal que X \ U ( ) n i=1 X \ W αi. Luego, al tomar complementos, obtenemos K n i=1 W αi n i=1 W αi U. Por lo tanto, la familia U de intersecciones finitas de elementos de {W α : α λ} forma una base para X en K y U = λ. DEFINICIÓN Sea (X, τ) un espacio topológico. Diremos que la sucesión {x β } β<λ X converge en X al conjunto L de X, lo denotaremos 21

23 22 2. PSEUDORADIALIDAD Y COMPACIDAD como x β : L, si para todo U τ tal que L U, hay un δ < λ tal que para todo número ordinal β con λ > β δ, se satisface que x β U. PROPOSICIÓN [5] Sean X un espacio topológico compacto y λ un cardinal. Sean H, K X, donde H no es cerrado en X, tales que: 1) El conjunto K es G λ y cerrado en X; 2) El conjunto K H es vacío; 3) El conjunto K H es no vacío; 4) El cardinal λ es el mínimo con respecto a las propiedades 1), 2), 3). Entonces existe una sucesión {x α : α < λ} H tal que x α K. DEMOSTRACIÓN. Puesto que X es un espacio compacto y K es un conjunto G λ, deducimos del lema que existe una base local de K en X de cardinalidad λ, digamos {V α : α < λ}. Para cada β < λ, α<β V α es un conjunto G β, y sigue del corolario que existe un conjunto W β que es G β y cerrado en X tal que K W β α<β V α. Ahora, de la minimalidad del cardinal λ respecto de 1), 2), 3) y por la proposición deducimos que α<β W α H. Por lo tanto, podemos escoger x β α<β W α H. Afirmamos que la sucesión {x β } β<λ converge en X a K. Para ver esto, sea U abierto, U K. Entonces existe β < λ tal que K V β U y, por lo tanto, si γ > β, entonces x γ η<γ W η α<γ V α V β U Espacios CSC y pseudoradialidad NOTACIÓN 1. Los espacios (X, τ) compactos y secuencialmente compactos los denotaremos, por cuestiones de brevedad, con CSC. DEFINICIÓN Sea X un espacio topológico y κ un ordinal. Un A X es radialmente (κ-radialmente) cerrado si contiene los puntos límites de toda sucesión en A que converge en X (sucesiones de tamaño a lo más κ). LEMA [5] Sea X un espacio topológico compacto. Tomamos H X no cerrado en X y κ un número cardinal. Si K es un conjunto G λ y cerrado en X, que verifica que λ(h, X) = κ. Afirmamos: a) Si K es un conjunto unitario, K = {x}, entonces H no es radialmente cerrado. b) Si λ(h, X) = ω y X es secuencialmente compacto, entonces H no es siquiera secuencialmente cerrado. DEMOSTRACIÓN. (a) Sea X un espacio compacto. Suponemos que el conjunto K tiene un sólo elemento y es un conjunto G κ y cerrado en X, tal que el número cardinal κ satisface λ(h, X) = κ. Entonces por la proposición existe una sucesión {x α } α κ H que converge en X al conjunto unitario K = {x}. Ahora por definición del cardinal κ tenemos

24 2.2. ESPACIOS CSC Y PSEUDORADIALIDAD 23 que K H =. Luego basta demostrar que la sucesión {x α } α<κ H converge a x. Para tal fin sea U un conjunto abierto en X tal que x U, luego K U. Puesto que la sucesión {x α } α<κ converge a K entonces hay un β < κ tal que para todo ordinal α β tenemos x α U. Por lo tanto la sucesión {x α } α κ converge a x en X. (b) Sea X un espacio compacto. Suponemos que el conjunto K es un conjunto G κ y cerrado en X tal que el número cardinal κ satisface κ = λ(h, X) = ω. Entonces por la proposición existe una sucesión {x n } n ω H que converge al conjunto K. Puesto que el espacio X es secuencialmente compacto, la sucesión {x n } n ω contiene una subsucesión {x nm } m ω que converge a x en X. Claramente x nm converge en X al conjunto K. Puesto que K H =, basta demostrar que el punto x es elemento de K; para tal fin, suponemos que x / K, entonces por la proposición hay conjuntos U y V abiertos y disjuntos en X tales que x U y K V. Entonces hay un r ω tal que para toda m r sucede que x nm U y x nm V. Pero esto es una contradicción, por lo tanto el punto x pertenece al conjunto K y no pertenece al conjunto H. DEFINICIÓN El carácter de un espacio topológico X en un punto p se define como el más pequeño de los cardinales λ, donde λ es la cardinalidad de una base de X en p. Dicho cardinal lo vamos a denotar por el símbolo χ (p, X). TEOREMA [5] Sea X un espacio topológico CSC tal que cualquier F X no vacío y cerrado en X tiene un punto p tal que χ(p, F ) ω 1. Entonces el espacio X es pseudoradial. DEMOSTRACIÓN. Sea H X un conjunto radialmente cerrado y no cerrado en X. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que X = H. Sea κ = λ(h, X). Ahora, si existe un conjunto K de X \ H tal que λ(h, K) = ω, deducimos inmediatemente del lema 2.2.2(b) que H no es radialmente cerrado. Por lo tanto, podemos asumir que κ = λ(h, X) > ω. Si H X, tomamos un subconjunto F no vacío G κ y cerrado en X de X \ H. Por otra parte, por el lema 2.2.2(b), si un punto p de F satisface χ(p, F ) ω 1, entonces satisface con ser límite de una sucesión de tamaño κ en H. Esto contradice la cerradura radial de H. En lo sucesivo el cardinal c representa la cardinalidad del continuo. Más adelante usaremos la siguiente notación: Si A es un conjunto y κ un cardinal, [A] κ = {B A: B = k} LEMA [5] Para cada espacio topológico X compacto secuencialmente compacto hay un cardinal λ tal que λ < c y una sucesión

25 24 2. PSEUDORADIALIDAD Y COMPACIDAD {H n : n ω} de conjuntos no vacíos G λ y cerrados que convergen a un punto p X. DEMOSTRACIÓN. Suponemos que el lema falla para algún espacio X compacto secuencialmente compacto. Ahora por inducción transfinita sobre β c definimos una sucesión {H n : n ω} de conjuntos no vacíos G β +ω y cerrados en X como sigue: Fijemos una enumeración {M β : β c} = [ω] ω de todos los subconjuntos infinitos de ω. Ahora, para β = 0, sea {Hn 0 : n ω} cualquier colección disjunta de cerrados G δ no vacíos en X. Luego asumimos β > 0 y que para cada γ β hemos definido conjuntos no vacíos G γ +ω, H γ n, de tal forma que si η < γ entonces H η n H γ n para cada n ω. a) Si γ es un ordinal límite entonces definimos Hn γ = {Hn η : η γ} b) Por otra parte si γ = η + 1, entonces consideremos la sucesión de conjuntos {Hn η : n M β } no vacíos G η +ω y cerrados en X que suponemos que no puede converger a ningún punto p X. Ahora, tomamos un punto x n en Hn η para cada n M η. Puesto que X es secuencialmente compacto la sucesión{x η } η Mη tiene un punto de acumulación, digamos p. Pero Hn η no converge a p, es decir hay un abierto V con p V tal que A = {n M η : Hn η V } es infinito. Para cada n A escogemos un punto y n en Hn η \ V. Notemos que x n / V para cada n A. Puesto que el espacio X es secuencialmente compacto, la sucesión {y n } n A tiene un punto de acumulación, digamos p 0 y claramente p 0 p. Entonces hay conjuntos U y V abiertos en X y disjuntos tales que p 0 U, p V por que el espacio es T 2, por la proposición podemos escoger dos conjuntos disjuntos K 1, K 2, G δ y cerrados en X tales que p 0 Int(K 1 ), p Int(K 2 ), y tomamos los conjuntos C 1 = {n M η : Hn η K 1 } y C 2 = {n M η : Hn η K 2 }. Si C 1 C 2 es infinito sea {B 1, B 2 } una partición de C 1 C 2, tal que tanto B 1 como B 2 son infinitos. Si C 1 C 2 es finito, digamos C 1 C 2 = C, entonces definimos los conjuntos B 1 = C 1 \ C, B 2 = C 2 \ C. Es decir, en ambos casos podemos escoger conjuntos inifinitos disjuntos B 1, B 2 [M η ] ω tal que K i Hn η cuando n B i con i {1, 2}. Podemos entonces definir los conjuntos: H γ n = K i H η n, si n B i con i {1, 2} o H γ n si n ω \ (B 1 B 2 ). Puesto que {Hn η : η c} es una familia de cerrados encajados en el espacio compacto X para cada n ω podemos escoger un punto p n en el conjunto {Hn η : η c}. Se verifica que la sucesión {p n : n ω} no tiene subsucesión convergente. Para cualquier η c por nuestra construcción tenemos una cantidad infinita de n M η, es decir n B i, p n Hn η+1 K i con i {1, 2}. Puesto que el espacio es normal entonces existen conjuntos L, M abiertos en X y

26 2.2. ESPACIOS CSC Y PSEUDORADIALIDAD 25 disjuntos tales que K 1 L y K 2 M. Verificandose que la subsucesión {p n : n M η } no converge. Pero esto contradice la compacidad numerable de X. Con lo cual concluimos. Sea ρ un número cardinal, entonces vamos a entender por ρ + el menor de los cardinales que son mayores que ρ. Para cualquier cardinal infinito κ tenemos κ = λ si κ = λ + y si κ es cardinal límite entonces κ = κ. TEOREMA [5] Sea X es un espacio topológico CSC. Tomamos H X radialmente cerrado y no cerrado en X. Entonces ω < cf (λ (H, X )) λ (H, X ) < c DEMOSTRACIÓN. La primera desigualdad ya la tenemos por el lema 2.2.2, y por eso basta demostrar la tercera desigualdad. Podemos asumir que el conjunto H es denso en X. Sea κ = λ (H, X). Tomamos un conjunto K, cerrado y G κ en el espacio X, tal que K H = y K H. Suponemos, que κ c. Ahora, vamos a aplicar el lema al conjunto K. Sea µ un cardinal tal que µ < c. Así, tenemos una sucesión {H n : n ω} de conjuntos cerrados G µ en K con µ < c, o sea, µ κ, y un punto p K tal que la sucesión {H n : n ω} converge al punto p. Como µ κ, los conjuntos de la sucesión {H n } n ω también son G κ en X, así también el cardinal κ cumple con que κ = λ (H, X), luego por la proposición podemos seleccionar para cada n ω una sucesión de tamaño κ, digamos {q n,α : α κ} de puntos en H que converge a H n. Puesto que X es secuencialmente compacto y H es secuencialemente cerrado, para cualquier α κ podemos escoger un punto de acumulación p α H de la sucesión {q n,α : n ω}. Afirmamos que la κ-sucesión formada por los puntos {p α } α κ converge a un punto p / H, contradiciendo la cerradura radial de H. Sea V una vecindad de p y U un abierto tal que p U U V. Entonces, puesto que H n p, para casi toda n ω, salvo un número finito de ellas, tenemos que H n U. Pero para cada una de tales n hay un segmento final de la sucesión {q n,α : α κ} contenido en U. Puesto que cf(κ) > ω hay una α 0 κ tal que {q n,α : α κ \ α 0 } U para toda n tal que H n U, i.e., para cualquier n ω salvo un número finito de ellas. Entonces para cada α κ \ α 0 se tiene p α {q n,α : α κ \ α 0 } U V Así probando que {p α : α κ} converge a p, con lo cuál concluimos. Del teorema anterior se tiene inmediatamente el siguiente resultado importante.

27 26 2. PSEUDORADIALIDAD Y COMPACIDAD COROLARIO [5] Si c ω 2 entonces cada espacio CSC es pseudoradial. DEFINICIÓN [12] Sea [ω] ω el conjunto de todos los subconjuntos infinitos del ordinal ω. Un subonjunto S de [ω] ω se dirá una familia separadora de [ω] ω si para toda N [ω] ω existe un S S tal que N S = N \ S = ω DEFINICIÓN Sean A, B [ω] ω, se dice que A está casi contenido en B si A \ B < ω. Esto lo vamos a denotar como A B. LEMA Sea S [ω] ω. Diremos que, la familia S es una familia separadora si y sólo si no existe A [ω] ω tal que para cada S S ocurre A S ó A ω \ S DEMOSTRACIÓN. Si la familia S no fuera separadora entonces habría un N [ω] ω tal que para cada S S N S = N \ (ω \ S) < ω, o N \ S < ω, es decir que N está casi contenido en S o N está casi contenido en ω \ S. Inversamente, suponemos que existe A [ω] ω tal que para cada S S, luego A S o A ω \ S. Pero si A S, entonces A \ S < ω y si A ω \ S, entonces A S < ω y por lo tanto S no es una familia separadora. DEFINICIÓN Sea s un número cardinal tal que s = min{ S : S es una f amilia separadora de ω}. Al cardinal s le llamaremos el número de separación. DEFINICIÓN Sea X un espacio topológico y ω(x) un número cardinal tal que ω(x) = min{ A : A es una base de abiertos de X}. Al número cardinal ω(x) le llamaremos el peso del espacio X. LEMA [12] Sea X es un espacio topológico numerablemente compacto T 1 tal que w (X) < s. Entonces, el espacio X es secuencialmente compacto. DEMOSTRACIÓN. Sea X un espacio numerablemente compacto con w (X) = κ < s. Sea B una base de X de cardinal κ y sea A una sucesión de longitud ω en X. Ahora se define la familia de conjuntos B = {B B : B A = ω}. Puesto que, la cardinalidad de B es menor que el cardinal s, la familia de conjuntos S = {B A : B B } no es separadora para [A] ω. Por el lema existe un C [A] ω tal que, para cada B B ocurre C B A o C A \ B. Puesto que X es compacto, el conjunto C tiene un punto de acumulación, digamos p. Ahora, si p B B entonces B B. Además C A\B, porque C B ω. Luego C B A. Por lo tanto C converge a p.

28 2.2. ESPACIOS CSC Y PSEUDORADIALIDAD 27 LEMA [12] Si κ s entonces 2 κ no es secuencialmente compacto DEMOSTRACIÓN. Suponer que S es una familia separadora. Afirmamos que X = 2 S no es secuencialmente compacto. Vamos a definir una función f : ω 2 S dada por π S [f (n)] = 1 si y sólo si n S para cada S S. Denotamos el rango de la función f por C. Afirmamos que C es un conjunto numerablemente infinito pero no contiene ninguna sucesión convergente. Para ver que C es infinito, basta demostrar que la función f es finita a uno. Si suponemos lo contrario, es decir que el conjunto A = f 1 (t) es infinito para algún t 2 S, entonces tenemos que A S o A S = para cada S S, contradiciendo que S es una familia separadora. Ahora, suponemos que la sucesión T = {t m } m ω es una sucesión en C digamos t m = f(n m ) que converge en X. Puesto que la convergencia en (X, τ) es puntual, para S S, la sucesión {π S (t m )} es finalmente constante (0 o 1). Pero esto implica que para cada S S, existe ε S {0, 1} tal que {m ω : π S (t m ) = ε S } es finito. Para cada S S, ε S = 0 o ε S = 1 según sea que la sucesión finalmente termina en 1 o 0. Entonces, dado S S si ε S = 0 tenemos que n m S para todo m excepto un número finito de ellas; mientras si ε S = 1, tenemos n m / S excepto un número finito de m. Es decir, si ponemos D = {n m : m ω}, entonces D S es finito o D \ S es finito, lo cual contradice que S es una familia separadora. TEOREMA [12] Los siguientes son equivalentes para un cardinal κ i) El espacio 2 κ es secuencialmente compacto ii) El número cardinal κ es menor que el número cardinal s iii) Todo espacio numerablemente compacto de peso menor o igual a κ es secuencialmente compacto. En particular 2 c no es secuencialmente compacto. DEMOSTRACIÓN. (i) (ii) Es el lema (ii) (iii) Es el lema (iii) (i) Puesto que 2 κ es compacto con peso κ. LEMA Sea X un espacio T 2 pseudoradial y A X no cerrado. Entonces existe una sucesión {x α } α κ en A convergiendo a x / A, donde el número cardinal κ es tal que κ A y κ regular. DEMOSTRACIÓN. Primero observemos que si {x α } α κ es una sucesión en A que converge a x / A y κ es singular, entonces existe una función uno a uno creciente y cofinal f : cf(κ) κ. Entonces {x f(α) } α cf(κ) converge a x también. Por lo tanto podemos asumir que κ es regular.

29 28 2. PSEUDORADIALIDAD Y COMPACIDAD Ahora suponemos que X es un espacio T 1 pseudoradial y A X no cerrado y {x α } α κ es una sucesión en A que converge a x / A, donde asumimos que κ es regular. Entonces si κ > A por la regularidad de κ existe α κ tal que {β : x α = x β } = κ, tomamos I = {β : x α = x β }, por lo tanto {x α } α I converge a x α A y no a x, lo cual es una contradicción. TEOREMA [5] El espacio 2 s no es pseudoradial. DEMOSTRACIÓN. Sea f : ω 2 s la sucesión definida en 2 s en el lema Luego definimos C = {f(n)} n ω. Puesto que el conjunto C es numerable, tenemos de los lemas y que C es radialmente cerrado. Por otra parte, el conjunto C no es cerrado en 2 s, ya que si el conjunto numerable C fuera cerrado en el espacio compacto 2 s, entonces sería compacto y por lo tanto segundo numerable. Es decir que el conjunto C contiene una sucesión convergente. Pero esto contradice lo demostrado en el lema , que C no contiene sucesiones convergentes. TEOREMA [5] El enunciado el producto de ω 1 espacios pseudoradiales compactos es siempre pseudoradial es independiente de los axiomas de Zermelo Frankel

30 CAPíTULO 3 Productos 3.1. Preliminares En este capítulo veremos que la pseudoradialidad no es una propiedad que se preserva incluso bajo el producto finito, como a continuación veremos. Posteriormente se introducirá el concepto de R monolítico, y se demostrará que bajo el producto numerable de espacios R monolíticos compactos, dicha propiedad si se preserva. DEFINICIÓN Sea X un espacio topológico, un punto de acumulación completa z de A X es un punto tal que para cada conjunto U abierto en X que contiene a z, satisface que A U = A. LEMA Sea X un espacio topológico de Hausdorff entonces los siguientes son equivalentes 1) El espacio X es compacto 2) Cada subconjunto infinito del espacio X tiene un punto de acumulación completo DEMOSTRACIÓN. Vamos a probar la implicación 1) 2) por contradicción. Suponemos que el espacio X es compacto, y que no tiene puntos de acumulación completa. Es decir que para toda x X existe un conjunto abierto U x en X tal que x U x y U x < X. Claramente se tiene que {U x : x X} es una cubierta abierta de X. Puesto que, el espacio es compacto, dicha cubierta tiene una subcubierta finita digamos {U xi } n i=1 de X. Luego X = n i=1 U xi, pero U xi < X para cada 1 i n, por lo que X = n i=1 U xi < X, lo cual es una contradicción. Para probar la implicación 2) 1) suponemos que el espacio X no es compacto. Luego, existe una familia de cerrados en X con la propiedad de la intersección finita, digamos L = {V α : α κ}, tal que V α =. Sea α<κ W α = V β. Entonces W α =. Sea λ κ el mínimo ordinal tal que β<α α<κ W α =. Podemos asumir que λ es un cardinal regular, por que de no α<λ ser así, tenemos cf(λ) < λ, luego hay una sucesión mónotona creciente de ordinales {β µ : µ < η} donde η es mínimo con respecto de la propiedad de que supβ µ = λ y W βµ =. Entonces {W α : α < λ} es una familia µ<η β µ <η 29

31 30 3. PRODUCTOS descendente de cerrados no vacíos cuya intersección es vacía. Escogemos un punto x α W α para toda α λ. Sea A = {x α : α λ}. Afirmamos que A no tiene punto de acumulación completa. En efecto, si z X, entonces existe α 0 λ tal que z / W α0. Luego el conjunto U = X \ W α0 es una vecindad de z en X. Se sigue que U A {x α : α < α 0 }. Es decir, que U A α 0 < λ. Con lo cúal concluímos DEFINICIÓN Un espacio topológico X es de Lindelöf si toda cubierta abierta del espacio tiene subcubierta numerable. Empecemos con un ejemplo para mostrar que el producto de dos espacios pseudoradiales no tiene que ser pseudoradial. Sea Y un conjunto tal que Y = ω 1. Sea p / Y. Ahora, vamos a definir en el conjunto X = Y {p} una topología. Los puntos del conjunto Y son aislados en X. Las vecindades del punto p en X son los conjuntos A {p}, donde A Y es tal que tal que Y \ A ω. PROPOSICIÓN El espacio X es Lindelöf y X es pseudoradial DEMOSTRACIÓN. Sea U una cubierta de conjuntos abiertos de X. Luego existe B U tal que p B. Entonces, X \ B es numerable. Escogemos {B n : n ω} U tal que B n X \ B entonces n ω {B n : n ω} {B} es una subcubierta numerable de U de X. Sea p B. Luego B > ω. Ahora, si {b α : α < ω 1 } es un buen orden de B, se sigue que b α p PROPOSICIÓN El espacio Z = [0, 1] X no es pseudoradial DEMOSTRACIÓN. Por el lema 3.1.4, el espacio X es Lindelöf, por lo tanto, Z también lo es por ser el producto de un espacio compacto con un espacio de Lindelöf vease el corolario de [1]. Afirmamos que Z no es pseudoradial. Como ω 1 2 ω entonces hay una inyección f : ω 1 [0, 1], digamos que para cada α ω 1, f(α) = r α. Sea A = {(r α, α): α ω 1 }. Puesto que el conjunto {r α : α ω 1 } es infinito en el intervalo [0, 1], luego, por el lema tiene un punto de acumulación completa r [0, 1]. Afirmamos que (r, p) A. Para demostrar esto, tomamos una vecindad básica U de (r, p) en [0, 1] X, digamos U = (r ε, r + ε) (X \ N), donde N ω 1 es numerable. Ahora bien, puesto que r es punto de acumulación completa del conjunto {r α : α ω 1 }, tenemos que {α : r α (r ε, r + ε)} = ω 1. Por lo tanto, hay α ω 1 tal que r α (r ε, r + ε) y α / N. Entonces (r α, α) U A. Por lo tanto (r, p) A. Así se ha demostrando que A no es cerrado en Z. Finalmente afirmamos que ninguna sucesión S en A converge a (r, p). No obstante, afirmamos que ninguna sucesión en A converge fuera de A. Consideremos dos casos.

32 3.1. PRELIMINARES 31 i) Si S = {x n : n ω} A, entonces existe α ω 1 tal que S [0, 1] α. Pero, si (t β, β) [0, 1] α entonces (t β ε, t β + ε) {β} contiene a lo más un punto de A. Por lo tanto (t β, β) no es punto de acumulación de A. ii) Sea S = {x α : α ω 1 } una sucesión en A. Suponemos que {x α } α ω1 converge en Z a un punto x Z. Vamos a denotar por π 1 la función proyección de Z en el conjunto [0, 1] y por π 2 la función proyección de Z en el conjunto X. Si π 2 ( x ) = α ω 1, entonces x = (t, α) para algún t [0, 1]. Más aún (t ε, t + ε) {α} es una vecindad de x en la cual hay a lo más un punto A. Por lo tanto x = (s, p) para algún s [0, 1]. Sea {B n : n ω} una base local anidada en s. Si x α (s, p) para toda n ω existe α n tal que x α B n X para toda α α n. Sea γ = sup n ω {α n }; entonces π 1 (x α ) = s para toda α γ, pero la fibra {s} X contiene a lo más un elemento de A, por lo que la sucesión no converge a (s, p). DEFINICIÓN Sea X un espacio topológico y tomamos p X. La estrechez del punto p es el menor cardinal m ℵ 0 tal que si C X satisface con p C, entonces existe C 0 C tal que C 0 m y p C 0. Este cardinal lo vamos a denotar por t(x, p). La estrechez del espacio X es el cardinal t(x) = sup{t(p, X): p X}. DEFINICIÓN Sea X un espacio topológico. Diremos que A X es κ cerrado si para todo U A tal que U = κ, satisface U A. Esto lo vamos a denotar como A κ = A. LEMA Sea X un espacio topológico. Tomamos κ un cardinal. Tenemos que t(x) κ si y sólo si cada conjunto κ cerrado es cerrado DEMOSTRACIÓN. Para la suficiencia suponemos que t(x) > κ, existe A X y x A tal que x / B para todo B A. A κ es κ cerrado pero no cerrado. Para la necesidad, si A X y x A \ A, puesto que t(x) κ, existe B A, B κ y x B, entonces A no es κ-cerrado. PROPOSICIÓN Sea X un espacio topológico T 1. Sea Y un espacio compacto. Entonces, la proyección π X : X Y X es un mapeo cerrado. DEMOSTRACIÓN. Sea F X Y cerrado. Para demostrar que π X (F ) es cerrado, sea x / π X (F ). Entonces {x} Y (X Y ) \ F. Ahora, vamos a construir una cubierta abierta de {x} Y. Afirmamos que, para cada y Y, el punto (x, y) tiene una vecindad U y V y (X Y )\F abierta en X Y, tal que los conjuntos U y X, V y Y son abiertos en X y Y respectivamente. En efecto, si y Y tomamos un conjunto V y Y abierto en Y tal que y V y. Por otra parte, como x X \ π X (F ) y el conjunto