UNIVERSIDAD LIBRE SEDE BOGOTÁ FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLERES DE CLASE

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1 UNIVERSIDAD LIBRE SEDE BOGOTÁ FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLERES DE CLASE NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MÓDULO DE TRABAJO No : TALLER No : TÍTULO: DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Cálculo Diferencial Transformaciones y operaciones con funciones 4 horas CALCULO, Trascendentes Tempranas. James Stewart. Editorial Thomson. CALCULO, con Geometría Analítica (Calculo 1). Larson, R., Hosteller, R. y Edwards, B.. Editorial McGraw Hill. Octava Edicion. Docente: Lic. Jairo Alberto Mora Fernández 1. OBJETIVO: Proporcionar al estudiante conceptos y procesos que le permitan definir nuevas funciones a partir de la transformación y operación de otras ya existentes 2. CONCEPTUALIZACION Y EJEMPLOS. Partiendo de una función conocida cualquiera, es posible obtener nuevas funciones, aplicando sobre la función conocida alguna(s) transformación(es). Estas transformaciones pueden ser de, al menos, tres tipos: - Transformaciones de localización o desplazamiento, las cuales se realizan sumando ( o restando) una constante positiva c externamente (f(x) + c) o internamente (f(x + c)) a la función. Los casos y efectos para este tipo de transformación son: f(x) + c : desplaza la gráfica de f(x) c unidades hacia arriba. f(x) - c : desplaza la gráfica de f(x) c unidades hacia abajo. f(x + c) : desplaza la gráfica de f(x) c unidades hacia la izquierda.

2 f(x c) : desplaza la gráfica de f(x) c unidades hacia la derecha. - Transformaciones de escala o estiramiento, las cuales se obtienen multiplicando a f(x) por una constante positiva c externamente (c.f(x)) o internamente (f(c.x)) a la función. Los casos y efectos para este tipo de transformación son: c.f(x) : estira verticalmente c veces la gráfica de f(x) si c >1, o la encoge verticalmente si 0 < c < 1. f(c.x) : comprime horizontalmente la gráfica si c>1, o la estira horizontalmente si 0 < x < 1. - Transformaciones de inversión o reflexión. Se obtienen cambiando el signo de la función o de x. Su efecto es invertir o reflejar la gráfica de f(x) en sentido vertical u horizontal. Sus casos y efectos son: -f(x) : Refleja la gráfica de f(x) respecto del eje x. f(-x) : Refleja la gráfica de f(x) respecto del eje y. Una transformación múltiple como -a.f(x + b) c desplaza la gráfica de f(x) b unidades hacia la izquierda, la estira ( o la encoge, de acuerdo al valor de a ) verticalmente a unidades, la invierte verticalmente, y finalmente la desplaza c unidades hacia abajo. EJEMPLO 1. Partiendo de la función cuadrática básica f(x) = x 2, observemos el efecto de las siguientes transformaciones: f(x) = x 2 f(x) - 2 = x 2-2

3 f(x) + 3= x f(x - 3) = (x - 3) 2

4 f(x + 1) = (x + 1) 2 2f(x) =2 x 2 f(2x) = (2x) 2 (1/2)f(x) = (1/2)x 2

5 f(0.33x) = (0.33x) 2 -f(x) =- x 2 f(-x) =(- x) 2

6 -f(x) + 2 = -x f(x + 3) - 4 = - 2(x + 3) 2-4

7 En general, cualquier función cuadrática puede ser expresada como transformaciones sobre la función cuadrática básica. EJEMPLO 2.La función f(x) = x 2 + 6x + 10 puede ser expresada como f(x) = x 2 + 6x + 10 = x 2 +6x = (x + 3) que es una transformación de la función cuadrática básica. f(x) = x 2 f(x) = x 2 + 6x + 10 = (x + 3) COMBINACIONES DE FUNCIONES. La idea de combinaciones hace referencia a las operaciones básicas suma, resta, producto y cociente de funciones. Si se toman las funciones f(x) y g(x), entonces las funciones (f+g)(x) = f(x) + g(x), (f-g)(x) = f(x) - g(x), (f*g)(x) = f(x) * g(x), y (f/g) (x) = f(x) / g(x), se conocen como combinaciones de f(x) y g(x).

8 EJEMPLO 3. Considere las funciones f(x) = (x-1), y g(x) = 1/(1-x). Las siguientes son algunas de las combinaciones posibles de f(x) y g(x). (f+g)(x) = f(x) + g(x) = (x-1) + 1/(1-x). (f-g)(x) = f(x) - g(x) = (x-1)- 1/(1-x). (f*g)(x) = f(x) * g(x) = (x-1) * 1/(1-x) = (x-1) /(1-x) (f*f*g)(x) = f(x) 2 * g(x) = ( (x-1)) 2 * 1/(1-x) = (x-1)/(1-x) = -1 y(f/g)(x) = f(x) / g(x) = (x-1)/( 1/(1-x)) = (1-X)* (x-1) Construya las gráficas de f(x) y g(x), y de las correspondientes combinaciones para ver su efecto. COMPOSICION DE FUNCIONES. La idea de composición hace referencia a las operaciones de evaluación de una función en términos de la otra. Si se toman las funciones f(x) y g(x), entonces la composición de f y g, notado (fog)(x) se define como: (f o g)(x) = f(g(x)) EJEMPLO 4. Considere las funciones f(x) = (x-1), y g(x) = 1/(1-x). Ilustremos las siguientes composiciones de estas funciones: (f o g)(x) = f(g(x)) = (g(x)-1) = (1/(1-x) 1) (g o f)(x) = g(f(x)) = 1/(1-f(x)) = 1/(1- (x-1)). (f o f)(x) = f(f(x)) = (f(x)-1) = ( (x-1) -1)) (g o g)(x) = g(g(x)) = 1/(1-g(x)) = 1/(1-(1/(1-x).)) = 1-1/x Construya sobre el mismo plano las gráficas de f(x) y g(x), y de las correspondientes composiciones para ver su efecto. 3. EJERCICIOS. PREGUNTAS CONCEPTUALES: 1. Defina y explique las transformaciones de localización. Que efecto tienen sobre la función f(x) dada? 2. Defina y explique las transformaciones de escala. Que efecto tienen sobre la función f(x) dada? 3. Defina y explique las transformaciones de inversión. Que efecto tienen sobre la función f(x) dada? 4. Que diferencias hay entre las operaciones de combinación y de composición de funciones?

9 DESARROLLO DE PROCESOS DE ANALISIS Para cada par de las funciones dadas, determine la transformación u operación indicada, hallando su dominio y explicando el efecto de la transformación u operación; elabore graficas de las funciones y de las transformaciones u operaciones. 1. f(x) + 5; f(x - 5); 5f(x); f(5x) -2f(x) f(-2x) 2. (f+g)(x) (f-g)(x) (f*g)(x) (f/g)(x) 3. (f g)(x) (g f)(x) (f f)(x) (g g)(x) a ) f(x) = (x+1) ; g(x) = 2x + 1 ½ b ) f(x) = (x+1)/x ; g(x) = (x+3) c ) f(x) = 2x 2 - x ; g(x) =3x + 2 (x+3) d ) f(x) = = (x 2-1) ; g(x) = = (1-x) e ) f(x) == 1/(x-1) ; g(x) = (x-1)/(x+1) Compare los resultados anteriores 4. Exprese f(x) en la forma a(x h) ² - 9 : a ) f(x) = -4x² +16x 13 b ) f(x) = -¾ x² +9x -34 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Se deja caer una piedra en un lago, que crea una ola circular que viaja hacia fuera a una velocidad de 60 cm./seg. a. Exprese el radio r de este circulo como función del tiempo t. b. Si A es el área de este circulo, como función del radio, encuentre A e interprétela. 2. Un avión vuela a una velocidad de 350 millas / hora., a una altitud de 1 milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el instante t=0.

10 a. Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función de t. b. Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d. c. Aplique la composición para expresar s en función de t. 3. La función de Heaviside H esta definida como H(t) = 0 si t<0 1 si t 0 H se usa en el estudio de los circuitos eléctricos para representar la onda repentina de corriente electrica, o de voltaje, cuando un interruptor se cierra instantáneamente. a. Grafique la función H b. Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor se cierra en un instante t=0 y se aplican instantáneamente 120 Volts al circuito. Escriba una formula para V(t) en términos de H(t) c. Grafique el voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor se cierra en un instante t = 5 seg. Y se aplican 240 Volt. Al circuito. Escriba una formula para V(t) en términos de H(t).