UNIVERSIDAD LIBRE SEDE BOGOTÁ FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLERES DE CLASE

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1 UNIVERSIDAD LIBRE SEDE BOGOTÁ FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLERES DE CLASE NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MÓDULO DE TRABAJO No : TALLER No : TÍTULO: DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Cálculo Diferencial FUNCIONES: conceptos básicos. 4 horas CALCULO, Trascendentes Tempranas. James Stewart. Editorial Thomson. CALCULO, con Geometría Analítica (Calculo 1). Larson, R., Hosteller, R. y Edwards, B.. Editorial McGraw Hill. Octava Edicion. Docente: Lic. Jairo Alberto Mora Fernández 1. OBJETIVO: Proporcionar al estudiante los elementos conceptuales relativos a funciones, y su adecuada interpretación en el ámbito del Álgebra y del Cálculo Diferencial. 2. CONCEPTUALIZACION Y EJEMPLOS. Una FUNCION es una manera de describir cómo los elementos de un conjunto A se relacionan con los elementos de un conjunto B, formando pares ordenados (a,b), donde a Є A y b Є B. En nuestra cotidianidad encontramos múltiples situaciones en las que dos o mas variables se relacionan: - El área A de un círculo depende del radio r del mismo a través de la relación o fórmula A = π.r 2, y podemos decir que el área A depende del radio r, o que A es función de r, o que A = f(r). - La cuantía de ventas de una cadena de almacenes depende del momento t del año en que se registren tales ventas, y puede ser presentada esta relación por medio de una tabla de ventas para cada mes o semana t del año.

2 - Una gráfica puede describir la relación entre los costos totales de producción de cierto artículo y la cantidad de unidades producidas. - La experiencia nos enseña que los metales al calentarse se dilatan, y que al enfriarse se contraen, lo que nos lleva a concluir que hay una relación entre la longitud de una barra de metal y su temperatura, y que la longitud de una barra metálica esta en función de su temperatura. De manera formal. una función f es una regla que asigna a todos y cada uno de los elementos x de un conjunto A exactamente un elemento f(x) de un conjunto B. En el contexto del álgebra, el entorno en donde se desarrolla el concepto de función es el plano cartesiano o rectangular, donde el eje x horizontal de números reales R es el conjunto A, y el eje y, también de números reales, conforma el conjunto B. El Dominio de la función f(x), notado Dom(f), es el conjunto A de reales. De hecho, las funciones algebraicas con las que trataremos, tienen como dominio al conjunto de reales R, salvo que la definición de la función señale otro conjunto, o salvo que la función presente alguna o ambas de las siguientes situaciones: - La relación f(x) que define la función es de la forma racional f(x)=p(x)/q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. El dominio de estas funciones son los reales R excepto aquellos valores donde el polinomio denominador Q(x) se hace igual a cero. - La relación f(x) contiene raíces pares (raíz cuadrada, raíz cuarta,...). En estos casos, el dominio de f(x) son los reales no negativos, porque no se puede sacar estas raíces a números negativos. El Codominio, o Recorrido, o Rango, o Imagen de x, notado Codom(f), son los elementos f(x) del conjunto B de reales que están relacionados con algún elemento x de A, y puede ser determinado a partir de la gráfica de la función. Además, a los elementos x de Dom(f) se les llama variable independiente, mientras que a los elementos f(x) de Codom(f) se les llama variable dependiente. EJEMPLO 1. Construya la gráfica y determine el dominio y el codominio de las siguientes funciones: a.) f(x) = 2x 1 b.) f(x) = x 2 2

3 c.) f(x) = (x 2) d.) f(x) = 1 / (x + 1) a.) Gráfica de f(x) = 2x 1 La gráfica de esta función corresponde a una línea recta con pendiente m = 2 e intercepto con el eje y en y = -1. Como la linea recta en cuestion se extiende a todo lo largo de los ejes x e y, se concluye que Dom(f) = R y Codom (f) = R b.) Gráfica de f(x) = x 2 2

4 La gráfica de esta función corresponde a una parábola. La greafica muestra que Dom(f) = R y Codom (f) = [ -2, ) c.) f(x) = (x 2) El Dominio de f está restringido al intervalo real [ 2, ), ya que para valores de x < 2, (x 2) conduce a valores complejos. Dom(f) = R y Codom (f) = [ 0, ). d.) f(x) = 1 / (x + 1) Para x = -1, f(x) = 1 / 0, por lo que para este valor de x, f(x) no esta definida. Por lo tanto, Dom(f) = R - {-1} y Codom (f) = R - {0}.

5 Algunas características de interés acerca de las funciones son comentadas enseguida: SIMETRÍA: Una función es simétrica respecto del eje y si f(x) = f(-x), para todo x en el dominio de f. Si una función cumple esta condición, se dice que es una función par. La función f(x) = x 2 2 del ejemplo 1. b. es par, y se pide al lector verificarlo. Una función es simétrica respecto al origen si f(-x) = -f(x), para todo x en el dominio de f. Si una función cumple esta condición, se dice que es una función impar. Una función como f(x) = 1/x 2 es impar, y se pide al lector verificarlo. FUNCION CRECIENTE O DECRECIENTE. Una función es creciente en el intervalo I si f(x 1 ) < f(x 2 ), cuando x 1 < x 2., para cualquier elementos x 1, x 2 en I. Esto es, la función es creciente si los valores de la función aumentan cuando los valores de x aumentan. Una función es decreciente en el intervalo I si f(x 1 ) > f(x 2 ), cuando x 1 < x 2, para cualquier elementos x 1, x 2 en I. Esto es, la función es decreciente si los valores de la función disminuyen cuando los valores de x aumentan. FUNCIONES ASINTOTICAS. Una función f(x) f es asintótica en x = a si f(x) tiende a tomar valores muy grandes en sentido positivo o negativo (f(x) tiende a infinito, o f(x) tiende a menos infinito) cuando x toma valores muy próximos al valor a. Se dice entonces que x = a es una asíntota vertical de f(x). Una función f(x) es asintótica en y = b si x debe tomar valores muy grandes en sentido positivo o negativo (x tiende a infinito, o x tiende a menos infinito) para que f(x) tome valores muy próximos al valor b. Puede afirmarse entonces que y = b es una asíntota horizontal de f(x). Como puede observarse en el EJEMPLO 1, d.), la función f(x) = 1 / (x + 1) tiene comportamiento asintótico tanto horizontal como vertical. En efecto, las rectas x =.1 y y = 0 son asíntotas vertical y horizontal, respectivamente, de la función dada. En general, las funciones racionales, del tipo f(x)=p(x)/q(x), tienen asíntotas verticales en los valores de x donde Q(x) = 0.

6 ALGUNAS FUNCIONES BASICAS Y FAMILIAS DE FUNCIONES. Función Valor Absoluto. f(x) = x si x 0 -x si x < 0 Función Constante. f(x) = c, c una constante real.

7 Función Idéntica f(x) = x Función Potencia f(x) = x a, con a un entero positivo. Esta familia esta conformada por la secuencia de funciones f(x) = x 1, la misma función idéntica. f(x) = x 2, la función cuadrática básica.

8 f(x) = x 3, la función cúbica básica. f(x) = x 4. f(x) = x 5

9 ... Función Inversa Básica f(x) = 1 / x Función Raiz f(x) = x

10 Funciones Polinómicas. Son funciones de la forma f(x) = a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 donde n es un entero no negativo, y a n, a n-1,.,a 2, a 1, a 0 son constantes reales. Observe que estas funciones son combinaciones lineales de funciones potencia, y se pueden obtener como combinaciones de funciones potencia, o como transformaciones de estas. Veamos la gráfica de algunas funciones polinómicas: f(x) = x 3 -x+1 f(x) = x 4-3x 2 +x

11 f(x) = 3x 5-25x 3 +60x Observe el comportamiento de estas funciones Polinómicas y trate de establecer un patron para las curvaturas en función del grado del polinomio. Funciones Racionales. Son funciones de la forma f(x)=p(x)/q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones Polinómicas con Q(x) diferente de cero. Veamos la gráfica de una función racional:

12 F(x) = (x 2 x)/(2x 3 x2) Funciones Algebraicas. Son funciones construidas usando operaciones algebraicas básicas (suma, resta, multiplicacián, división, potencia y raiz) de polinomios. Todas las funciones ilustradas en este taller hasta ahora son del tipo algebraico. Funciones Trascendentes. Son funciones caracterizadas por no ser algebraicas. Este grupo incluye las funciones trigonométricas, las exponenciales, las logarítmicas y las hiperbólicas. 3. EJERCICIOS

13 PREGUNTAS CONCEPTUALES: 1. Cómo se define una función? Cómo se puede representar una función? 2. Para ser una función, una relación debe cumplir dos condiciones básicas. Cuales son? 3. Cuándo un número x está en el dominio de f(x)? 4. Cuándo una función es par? Y cuando es impar? 5. Qué son las funciones trascendentes? Cuales de estas funciones conoce Ud? 6. La función constante f(x) = c, es par? Es impar? Es simétrica respecto de? Es creciente o decreciente? En que intervalo? Tiene asintotas?, y en que valores de x o de y? Cual es su dominio? Y su codominio? 7. La función idéntica f(x) = x, es par? Es impar? Es simétrica respecto de? Es creciente o decreciente? En que intervalo? Tiene asintotas?, y en que valores de x o de y? Cual es su dominio? Y su codominio? 8. La función cuadrática básica f(x) = x 2, es par? Es impar? Es simétrica respecto de? Es creciente o decreciente? En que intervalo? Tiene asintotas?, y en que valores de x o de y? Cual es su dominio? Y su codominio? 9. La función cúbica básica f(x) = x 3, es par? Es impar? Es simétrica respecto de? Es creciente o decreciente? En que intervalo? Tiene asintotas?, y en que valores de x o de y? Cual es su dominio? Y su codominio? 10.La función inversa básica f(x) = 1/x, es par? Es impar? Es simétrica respecto de? Es creciente o decreciente? En que intervalo? Tiene asintotas?, y en que valores de x o de y? Cual es su dominio? Y su codominio? 11.La función trascendente trigonometrica f(x) = sen x, es par? Es impar? Es simétrica respecto de? Es creciente o decreciente? En que intervalo? Tiene asintotas?, y en que valores de x o de y? Cual es su dominio? Y su codominio? 12.Repita y responda la pregunta para las demás funciones trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas

14 DESARROLLO DE PROCESOS DE ANÁLISIS 1. Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función. A ) [ (-3,2),(6,2),(-3,9),(-6,9) ] B ) [ (4,2),(-4,3),(8,6),(5,4) ] ½ 2. Si f(x) = [4 + 2x], halle f(0), f(4), f(-2), f(-3/2), f(9/5), f(-3.17), f(π). Halle otros valores de f(x), y bosqueje la gráfica. (x² - 9)/(x 3), x 3 3. Si f (x) = halle f(3),f(-3) y f(0) 6, x = 3 4. Qué valores de x satisface f(x) = [ x² - 1] para f(x) = 0 5. Halle los cortes de la gráfica de la función dada con los ejes. Trace la gráfica de la función. A ) f(x) = (4x 6)/x B ) f(x) =(3x²-8x+6)/(5x 10) 6. Trace la gráfica de la función. x -3 si x -2 f(x) = - x² si -2 < x < 1 -x + 4 si x 1 7. Para todas las graficas ilustradas en esta guía, determine las características de simetría (función par o impar), en que intervalos es creciente o decreciente, si tiene asintotas y donde, y determine su dominio y su codominio. ½ PROBLEMAS DE APLICACIÓN

15 1. Un globo esférico con radio r pulgadas tiene volumen V(r) = (4/3) πr 3. Encuentre una función que represente la cantidad de aire requerido para inflarlo desde un radio r pulgadas hasta un radio r +1 pulgadas. 1. Una persona coloca un pastel congelado en el horno y lo hornea durante una hora. A continuación lo saca y lo deja enfriar, antes de comerlo. Describa como cambia la temperatura del pastel conforma pasa el tiempo. Después trace una gráfica aproximada de la temperatura del pastel como función del tiempo. 3. La forma de la primera nave espacial del programa de Apolo era un tronco de cono circular recto. Supongamos que los radios de las bases son a y b. a ) Utilice triángulos semejantes mediante el cono que lo contiene y determine la altura del cono pequeño en función de la altura del tronco. b ) Determine una fórmula para conocer el volumen del tronco como función de su altura. c ) Si la altura del tronco es 6 pies y el radio de su base menor es 3 pies, para qué valor de su radio mayor respecto a la otra base, el volumen alcanza 600 pies cúbicos? 4. Primero describa, y luego trace una gráfica aproximada de la densidad del trafico automotor por alguna vía principal de Bogotá, y en un sitio determinado, durante las 24 horas de un día hábil laboral. 5. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 4.2 metros, exprese el área A de la ventana como función del ancho x de la misma. 6. Exprese el área de un triangulo equilátero como función de la longitud de uno de sus lados. 7. Exprese el área superficial de un cubo como función de su volumen.