INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

Transcripción

1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Manual para solución de problemas ENCB Bosquejo de gráficas M. en C. JOSÉ LUIS HERNÁNDEZ GONZÁLEZ Alum.: Apizaco Tlax., Enero 2006 Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González / 47

2 INDICE BOSQUEJO DE FUNCIONES... 3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS... 9 Desplazamientos... 0 Estiramientos y compresiones verticales... Estiramientos y compresiones horizontales... Reflexiones... COMBINACIÓN DE FUNCIONES FUNCIONES COMPUESTAS PROBLEMAS ENCB BIBLIOGRAFIA Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 2 / 47

3 BOSQUEJO DE FUNCIONES Función. Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. x a A f y = f(x) f(a) B Una función es {(x, y) x A} La representación de una función puede ser: a) Verbal b) Tabular c) Grafica d) Analítica X Y El dominio de f es el conjunto A, y su recorrido o imagen es f(x) y Recorrido y = f(x) 2 y= x Tabular Grafica Análitica x Dominio Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 3 / 47

4 Cuál es el comportamiento (y en consecuencia lo pueden describir verbalmente y representar gráficamente) de las siguientes funciones básicas. y = 3 Dominio Recorrido y = x y = x 2 Dominio Recorrido Dominio Recorrido Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 4 / 47

5 y = x 3 y = x 4 Dominio Recorrido Dominio Recorrido En la figura aparecen las gráficas de las funciones y = x y = x 2 y y = x 3 A partir de ellas analiza y responde las siguientes preguntas: i. Qué indican los puntos donde las gráficas se intersectan? Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 5 / 47

6 ii. Por qué la gráfica de y = x 2 pasa por debajo de la gráfica de y = x en el (0, ) y por qué la de y = x 3 pasa aún más abajo? iii. Por el contrario, por qué en el intervalo (, ) se invierte el orden y es y = x la que pasa por debajo de las otras dos y y = x 3 la que va por arriba? iv. Por qué las gráficas de y = x y y = x 3 aparecen en el tercer cuadrante y la de y = x 2 aparece en el segundo cuadrante? v. Cómo deberá ser la gráfica de y = x 4 comparada con las tres que aparecen en la figura y por qué? vi. En general cómo son las gráficas de las funciones de la forma y = x n cuando n es par y cómo son cuando n es impar? y = x n n impar y = x n n par Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 6 / 47

7 Para valores de n positivos, pero menores que cero, esto es para 0 < n <, cómo son las gráficas comparadas con las de la figura? Graficar las siguientes funciones. y = x 2 = x 3 y = x Dominio Recorrido Dominio Recorrido y = x y = x Dominio Recorrido Dominio Recorrido Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 7 / 47

8 y = a x a) 0 > a > b) a > y = 2 x Dominio Recorrido Dominio Recorrido y = e x y = lnx Dominio Recorrido Dominio Recorrido Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 8 / 47

9 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Considérese un círculo de radio r = y ángulo θ, por trigonometría sabemos que: entonces y sen θ = ; x = cosθ y = senθ x cos θ = θ x y x Si medimos el ángulo θ en radianes tenemos y = cos(x) y = sen(x) Dominio Recorrido Dominio Recorrido Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 9 / 47

10 TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES Las transformaciones que sufre una función básica son las siguientes: Desplazamientos Estiramiento Reflexiones A partir de las funciones básicas podemos obtener graficas de funciones relacionadas, permitiéndonos trazar graficas de numerosas funciones rápido. Desplazamientos Los desplazamientos pueden ser sobre el eje x o sobre el eje y. Translación hacia arriba f(x) + c f(x + c) f(x) f(x c) Translación a la Izquierda f(x) c Translación a la derecha Translación hacia abajo Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 0 / 47

11 Si c es un número positivo, entonces tenemos los siguientes desplazamientos y = f (x) + c, se desplaza la grafica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia arriba y = f (x) c, se desplaza la grafica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia abajo y = f (x c), se desplaza la grafica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia derecha y = f (x + c), se desplaza la grafica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia izquierda Estiramientos y compresiones verticales cf(x) f(x) f(x) c Estiramiento vertical Compresión vertical y = cf(x), estírese la grafica de y = f(x) verticalmente en su factor de c y = c f(x), comprímase la grafica de y = f (x) verticalmente en su factor de c Estiramientos y compresiones horizontales f(cx) f(x) f x c Compresión horizontal Estiramiento horizontal y = f(cx), comprímase la grafica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c y = f( c x), estírese la grafica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c Reflexiones -f(x) f(x) f(-x) Reflexión en x Reflexión en y Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González / 47

12 y = f (x), refléjese la grafica de y = f (x) respecto al eje x y = f(-x), refléjese la grafica de y = f (x) respecto al eje y Cómo se comportan las funciones de la forma y = f(x) + c donde f(x) es una de las funciones anteriores y c es una constante Cómo se comportan las funciones de la forma y = f(x-b) donde f(x) es una de las funciones anteriores y b es una constante. Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 2 / 47

13 Qué efecto produce en cualquiera de las funciones anteriores el multiplicarlas por un número a, esto es, cuál es el comportamiento de funciones de la forma y = a f(x) donde f(x) es una de las funciones anteriores y a es una constante, en cualquiera de los siguientes casos: i) a > ii) 0 < a < iii) a < 0 a > 0 < a < a < 0 Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 3 / 47

14 En general, cómo se comportan las funciones de la forma y = af(x-b) + c donde f(x) es una de las funciones anteriores y a, b y c son constantes. A partir de la gráfica de y = x bosqueja las siguientes gráficas: i) y = x 2 ii) y = x iii) y = x iv) y = 4 2 x Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 4 / 47

15 En cada una de las siguientes funciones determinen cuál es la función básica y describan el efecto que le producen cada uno de los parámetros. Luego bosquejen las gráfica correspondiente. y =2-3x y = ( x+ 3) 2 2 y = 2 x 3 Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 5 / 47

16 y = 2 Sen(2x π ) 2 + y = 4 2ln( x+ 3) x+ y = e Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 6 / 47

17 Sabiendo que la gráfica de la figura corresponde a la función y = f(x), bosquejar la gráfica de cada una de las siguientes funciones: y =f(x) 5 y = 2 f(x) y =f(x-2) y =0 - f(x) Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 7 / 47

18 y= f ( x ) y = 5 f ( x+ 3) Las gráficas que aparecen a continuación corresponden a funciones de la forma y = af(x-b) + c donde f es una de las funciones básicas. Determina, en cada caso, cuál es dicha función y el valor de cada uno de los parámetros. a) b) c) d) e) f) Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 8 / 47

19 Las gráficas que aparecen a continuación son el registro del comportamiento de las funciones f(x), g(x), h(x) y v(x). Sabiendo esto, contesten las siguientes preguntas: y=f(x) y=g(x) y=h(x) y=v(x) i) Cuál es el valor de cada una de las funciones cuando x = 0? ii) Para qué valores de x, y = 0 en cada función? iii ) Para qué valores de x, la función es positiva en cada caso? iv) Cuál es el máximo valor de la función en [-3, 3]? y el mínimo?, y en [-3, -] y [, 3), cuál es el máximo y cuál es el mínimo? v) Qué sucede con los valores de g(x) cuando los valores de x se aproximan a 0? y con los de v(x)? vi) En qué casos los valores de g(x) se van acercando a 3? vii) Cómo son los valores de v(x) cuando x>0?, y cuando x<0? Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 9 / 47

20 COMBINACIÓN DE FUNCIONES Estos primeros problemas deben haberte permitido precisar el efecto que sobre una función cualesquiera y = f(x), tienen los parámetros a, b y c (constantes) que aparecen en funciones de la forma y = af(x b) + c tales efectos pueden explicarse fácilmente teniendo claro que en la expresión y = f(x), f(x) representa los valores de la variable y, que se obtienen a partir de los valores de la variable x al efectuar sobre ellos las operaciones representadas por la regla f; ya que, en ese caso, en una expresión de la forma y = f(x) + c f(x) + c representa los valores de la y de la nueva función y, por tanto, es evidente que éstos se obtienen, en cada caso, al sumarle c unidades a los valores de la y de la función inicial. Una consecuencia inmediata de esto es el hecho de que para cualquier valor dado de la x, los valores correspondientes de las y de las dos funciones, y = f(x) y y = f(x) + c, difieren en el valor constante, c. Geométricamente esto hace que la gráfica de y= f(x)+c sea igual a la gráfica de y = f(x), sólo que está c unidades más arriba o más abajo según que c sea un número positivo o negativo. De igual forma, en funciones de la forma y = af(x), los valores de la y se obtienen multiplicando por a los valores de la y de la función y = f(x), de tal manera que, si a>, los valores de la y, de la función y = af(x) tendrán un valor absoluto mayor que los correspondientes valores de la y de la función y = f(x), excepto cuando y = 0, en cuyo caso serán iguales. En el caso de que a sea una fracción entre cero y uno, es decir, en el caso de que 0 < a <, resultará que los valores de la y, de la función y = af(x) tendrán un valor absoluto menor que los correspondientes valores de la y de la función y = f(x), excepto, como en el caso anterior, cuando y = 0. Gráficamente lo anterior se refleja en el hecho de que las gráficas de y=f(x) y y=af(x), coinciden cuando y = 0 y cuando y 0 se separan más o menos dependiendo del valor de y de la función y=f(x) y del valor de a (mientras mayores son los valores absolutos de y, la separación de las gráficas es mayor; lo mismo sucede para los valores de a, cuando son mayores que uno y lo contrario cuando son menores que uno). Por último, si a < 0, af(x) y f(x) tendrán signos diferentes, esto es, cuando f(x) > 0, af(x) < 0 y viceversa. Consideremos ahora el caso en el que a y/o c fueran también variables dependientes de x; esto es consideremos a = A(x) y c = C(x) de tal manera que tendremos ahora funciones de la forma i) y = f(x) + C(x) ii) y = A(x)f(x) o la combinación de ambos, que dan lugar a funciones de la forma y = A(x)f(x) + C(x) Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 20 / 47

21 (desde luego que los casos anteriores son ahora casos particulares de esta nueva forma y corresponden, precisamente, a los casos en los cuales A(x) y C(x) son funciones constantes). Entonces, se pueden combinar dos funciones f y g para formar nuevas funciones f+g, f-g, fg, f/g de manera semejante a las operaciones básicas con los números reales. Si definimos la suma f + g por la ecuación (f+g)(x) = f(x) + g(x) Entonces el segundo miembro de la ecuación tiene sentido si tanto f(x) como g(x) están definidas; es decir, si x pertenece al dominio de f y también al de g. Si el dominio de f es A y el de g es B, entonces el dominio de f+g es la intersección de ambos, es decir A B. Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones se definen como sigue: (f + g)(x) = f(x) + g(x) dominio = A B (f g)(x) = f(x) g (x) dominio = A B (fg)(x) = f(x)g(x) dominio = A B f f (x) (x) = g g(x) dominio = {x A B g(x) 0} Si f (x) = x y g(x) 2 = 4 x, la suma de f(x) y g(x) es Dominio A = {x x 0} Dominio B = {x -2 x 2} El nuevo dominio es A B = { x 0 x 2} Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 2 / 47

22 f(x) - g(x) f(x) * g(x) f(x) / g(x) Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 22 / 47

23 Dada la función y = Senx, cuyo comportamiento se asume conocido, Cuál será el comportamiento de la función y = x + Senx?. En la figura de la izquierda aparecen juntas las gráficas de y = Senx y de y = x. Observando dichas gráficas, contesta las siguientes preguntas: Qué sucede con los valores de y = x+senx para aquellos valores de x para los cuales Senx=0? Señala en la gráfica los puntos de la curva = Senx donde y = 0 y los correspondientes puntos de la curva y = x + Senx. y Bosqueja la gráfica de y = x + Senx para un intervalo de valores de x, para el cual Senx>0 y haz lo mismo para un intervalo de valores de x, para el cual Senx<0. Puedes ahora bosquejar la gráfica en general? Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 23 / 47

24 Cómo resultan ser los valores de y de la función y = x + Senx comparados con los valores de y = x? En la figura se observan las gráficas de: y =Senx y y =0; y=2+senx y y =2; y = -3 +Senx y y = -3 Qué son las rectas y =0, y =2 y y = -3 respecto a cada una de las gráficas? a) A partir de tu respuesta en el inciso anterior, Qué será la recta y = x de la curva y = x + Senx?. b) Bosqueja también las gráficas de las siguientes funciones: y = x + Senx y = x 2 + Senx Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 24 / 47

25 y = x + Senx y = Cosx 2x y = Cosx lnx y = Cosx Senx En la figura aparecen las gráficas de y = x y de y = x 2. A partir de ellas: c) Qué puedes decir de la gráfica de y = x 2 + x para x>0? y para x<0? d) Cómo determinas los puntos donde la gráfica de y = x 2 + x corta al eje de las x? Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 25 / 47

26 e) Qué puedes decir de y = x 2 +x en el intervalo [-,0]? f) Con base en las respuestas que diste a las preguntas de los incisos anteriores, describe el comportamiento de la función y = x 2 + x y bosqueja su gráfica. g) Contesta las preguntas de los incisos a, b y c pero para la gráfica de y = x 2 - x y después describe su comportamiento y bosqueja su gráfica. h) Utiliza lo que hasta aquí has hecho para describir el comportamiento de la función y = x - x 2 y bosquejar su gráfica. Explica qué observaste y cómo procediste. Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 26 / 47

27 Bosqueja las gráficas de y = x 3, de y = de: x y de y = lnx y a partir de ellas bosqueja las gráficas y = x + lnx y = x - x 3 y = x 3 lnx y = lnx - x + x 3 Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 27 / 47

28 Aquí están de nuevo los gráficas de y = Senx y de y = x. Las utilizaremos ahora para analizar el comportamiento de la función y = xsenx, es decir, del producto de las funciones. Para ello contesta primero las siguientes cuestiones: a) Qué sucede con la gráfica de y = xsenx para las x de los puntos en los que la gráfica de y = Senx corta al eje de las x y por qué? b) Y en las x de los puntos máximos de la función y = Senx qué sucede, cuando x>0? (Recuerda que el máximo valor de la función Seno es ). Y cuándo x<0? c) Analiza el comportamiento de la función y = xsenx en un intervalo entre dos ceros consecutivos de la función y = Senx, cuando i) x>0 y Senx>0 ii) x>0 y Senx<0 iii) x<0 y Senx>0 iv) x<0 y Senx<0 Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 28 / 47

29 d) Con base en las respuestas que diste en los incisos anteriores describe el comportamiento de la función y = xsenx y luego bosqueja su gráfica. Formula y contesta preguntas equivalentes a las de los incisos a, b y c para las funciones de los incisos i) a vi) y luego bosqueja sus gráficas: y = x 2 Senx y = lnx Senx y = x Senx y = 3 x Cosx Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 29 / 47

30 y = Cosx Senx y = Sen 2 x Bosqueja las gráficas de las siguientes funciones producto, bosquejando primero las gráficas de las funciones factor y analizando el comportamiento en los puntos que te parezcan estratégicos. y = x(x ) y = x (4 x 2 ) y =e x (- x 3 ) y = x(x )(x+2) Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 30 / 47

31 y = - 2e x Cos(x-π) y = (x ) x+ El análisis del comportamiento de una función que resulta de dividir dos funciones puede hacerse a partir de las gráficas de las funciones que se dividen. Para hacerlo es conveniente tener presente ciertas propiedades de la división. En este caso vamos a analizar el comportamiento de la función y = x x+ considerándola como el cociente de las rectas y = x y y = x + (que aparecen en la figura) y luego vamos a bosquejar su gráfica. a) Señala los puntos donde las rectas cortan al eje de las x b) y reflexiona sobre lo que sucede con el valor de la función cociente si: i) el dividendo vale cero Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 3 / 47

32 ii) el divisor vale cero. Considerando las intersecciones de las rectas con el eje de las x, dicho eje queda dividido en tres subintervalos: el que comprende desde el - hasta la intersección de la izquierda; el que está entre las dos intersecciones y el que va desde la intersección de la derecha hasta el. Observa primero cuál es la posición de las rectas con respecto al eje de las x en cada uno de los tres subintervalos y reflexiona sobre lo que esto implica para la gráfica del cociente. c) Qué sucede con el valor del cociente a medida que los valores de x tienden a? (fíjate que la recta, que es el numerador, va por debajo de la que es el denominador). d) Qué signo tiene la función cociente a la izquierda del? y a la derecha? e) Describe el comportamiento de la función cociente y bosqueja su gráfica. Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 32 / 47

33 En la figura aparecen las gráficas de y = y de y = x 2 +. A partir de ellas analiza el comportamiento de la función y =, para lo cual procede como en el caso anterior analizando x 2 + lo que sucede en ciertos puntos como los que se indican: Cuál es el valor de la y de la curva y = y = x 2 + se tocan. x 2 + para la x del punto donde las gráficas de y = y de Qué sucede con los valores de la y de la parábola a medida que los valores positivos de x crecen y qué implicación tiene esto en los valores de la y de la curva que es gráfica de la función y =? x 2 + Qué pasa con la gráfica de y = x 2 + a medida que los valores de x tienden a infinito? Bosqueja la gráfica de y = para valores de x>0 x 2 + Qué puedes decir de la gráfica de y = x 2 + para valores de x<0? Bosquéjala. Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 33 / 47

34 Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones: y = x 2 y = x x 2 y = 2 x x+ Senx y = Cosx FUNCIONES COMPUESTAS Con base en las reflexiones hechas al resolver los problemas comenten, primero en el equipo y después en el grupo la manera en que puede analizarse el comportamiento de una función que resulta de sumar, restar, multiplicar o dividir dos funciones cualesquiera. Aunque efectivamente, dada una función que resulta de sumar, restar, multiplicar o dividir dos funciones, se puede analizar su comportamiento utilizando las propiedades de las operaciones aritméticas fundamentales, en realidad hasta este momento se ha tenido el cuidado de sólo operar con funciones de la forma y = af(x-b) + c, con a, b y c constantes y f una función básica Vamos ahora a ampliar el universo de las funciones elementales y a reflexionar sobre cómo puede analizarse su comportamiento. Una primera cuestión que requiere ser explicitada en este momento es el hecho de que se han venido denominando funciones básicas a aquellas cuya regla de correspondencia consiste en efectuar sólo una cierta transformación a la variable independiente, como es el elevarla a una cierta potencia o Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 34 / 47

35 calcular su logaritmo en alguna base o su exponencial, etc. Sin embargo es factible aplicar estas mismas reglas de transformación no sólo a la variable independiente, sino a una función. Por ejemplo, la función y = lnsenx 2 indica que los valores de la y se obtienen calculando el logaritmo natural de los valores de la función Senx 2, los cuales, a su vez, se obtienen determinando los valores del Seno de la función x 2, que es una de las funciones básicas. Si partimos del valor de la variable independiente x y representamos con u la función elevar al cuadrado, entonces u(x) es la función x 2 ; luego es a esta función a la que debe aplicarse la función Seno, que vamos a representar con v, de tal manera que v indica calcular el Seno de, por tanto la expresión v(u(x)) significa calcular el seno de u(x), pero como u(x) significa, según lo habíamos establecido, elevar al cuadrado la x, la expresión v(u(x)) puede leerse: calcular el seno de x 2 ( qué significará u(v(x))?). Finalmente si representamos con f la función logaritmo natural, entonces la expresión y = f(v(u(x))) indica que los valores de la y de la función que estamos analizando se obtienen al aplicar la función f (calcular el logaritmo natural) a los valores que se obtienen de aplicar la función v (calcular el Seno) a los valores de la función u (elevar al cuadrado), es decir, indica que y = lnsenx 2. Si ahora queremos analizar el comportamiento de dicha función podemos obtener una buena aproximación del mismo partiendo de la gráfica de y = x y procediendo de manera similar a como lo hemos venido haciendo a lo largo de esta unidad. Hagámoslo a través de los siguientes problemas: Analizar y describir la variación de y en la función y = Senx 2. La primera transformación debe resultarles muy familiar; esto es, lo que le sucede a la recta y = x al elevarla al cuadrado. Sin embargo es conveniente hacer notar que en realidad puede verse la operación de elevar al cuadrado como una transformación de la recta, es decir, podemos decir que al elevar al cuadrado la recta y = x se transforma en la parábola que ya conocemos (en este caso sabemos, además, por qué se transforma así) Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 35 / 47

36 Por otra parte sabemos también lo que le sucede a la recta y = x al aplicarle la función Seno y por qué (véase la gráfica de la figura); pero ahora se trata de ver lo que le sucede a la parábola y = x 2 al aplicarle la función Seno. Tratemos de entender esto haciendo las siguientes consideraciones y contestando las siguientes preguntas: En la gráfica puede verse que la función Seno transforma ciertos valores de la y de la recta en ceros (proyectándolos sobre el eje de las x), dos ejemplos son el 0 y el π, es decir los puntos de la recta en los cuales su y vale 0 o π, la función Seno los baja hasta el eje de las x (los transforma en ceros) A cuáles otros puntos de la recta los transforma en ceros? x y Qué puntos de la recta son transformados por la función Seno en unos? y en menos unos? En la gráfica puede verse que la función Seno transforma ciertos valores de la y de la recta en ceros (proyectándolos sobre el eje de las x), dos ejemplos son el 0 y el π, es decir los puntos de la recta en los cuales su y vale 0 o π, la función Seno los baja hasta el eje de las x (los transforma en ceros) A cuáles otros puntos de la recta los transforma en ceros? Qué puntos de la recta son transformados por la función Seno en unos? y en menos unos? En general la gráfica muestra la transformación que la función Seno le hace a cada uno de los puntos de la recta, de tal manera que podemos decir que los puntos de la recta cuyas y tienen valores que van de 0 a 2π los transforma en los puntos de la primera onda de la curva a partir del origen (equivalente a decir que el segmento de recta comprendido entre 0 a 2π lo transformó en la primera onda a partir del origen) y que la misma transformación le hace al segmento de la recta cuyas y van de 2π a 4π. A cuáles otros segmentos de la recta y = x les hace la misma transformación? Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 36 / 47

37 Obsérvese que hemos insistido en que la función Seno lo que hace es transformar los puntos de la recta en puntos de la curva y en que la transformación está determinada por los valores de la y de los puntos. Esta idea es fundamental para entender la manera en que la función Seno transforma a la parábola u otra gráfica cualesquiera. Indica los puntos de la parábola cuyas y valen 0, π/2, π, 3π/2 y 2π En qué puntos los transforma la función Seno? Señálalos! x x 2 y Señala el arco de parábola cuyas y van de 0 a 2π Qué hace la función Seno con dicho arco? Señala los puntos de la parábola que la función Seno transforma en ceros; luego señala los que transforma en unos y después en menos unos y marca las nuevas posiciones de dichos puntos al ser transformados. En qué se transforma cada arco de parábola cuyas y van desde un valor cualquiera, y 0, a otro, cuyo valor es y 0 +2π? Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 37 / 47

38 Las reflexiones hasta aquí hechas se espera que te permitan bosquejar la gráfica de la función Senx 2 y, como consecuencia, describir su comportamiento. Haz ambas cosas! Siguiendo una estrategia similar a la del problema anterior, analiza y describe el comportamiento de las siguientes funciones. Bosqueja su gráfica: y = Sen(2x-) y = Sen(3x+2) y = Sen( x ) y = Sen(e -x ) Analiza y describe el comportamiento de la función y = lnsenx 2. Bosquejaras su gráfica. Dado que en el problema anterior se ha analizado el comportamiento de la función y = Senx 2 y se ha bosquejado su gráfica, este nuevo problema se restringe a analizar la transformación que la función logaritmo natural produce sobre la función Senx 2, para ello es indispensable tener claro la transformación que la función logaritmo natural le hace a la recta y = x y aunque asumimos que, efectivamente se tiene claro, tomamos dos precauciones, lo mostramos en la gráfica que aparece en la figura y hacemos algunas consideraciones al respecto antes de analizar la transformación de Senx 2 Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 38 / 47

39 a) Cuántos y cuáles puntos de la recta son transformados en ceros por la función logaritmo natural? b) Qué transformación sufren los puntos de la recta cuya y tiene valores entre cero y uno, es decir los puntos de la recta para los cuales 0 < y <? c) Qué sucede con los puntos de la recta que tienen valores de y no positivos, es decir los que están en el tercer cuadrante incluido el que está en el origen del sistema de coordenadas? Consideremos ahora la gráfica de y = Senx 2, que aparece en la figura junto con la gráfica de y = x 2. Teniendo presente que la función logaritmo natural transforma los unos en ceros y que en el caso que estamos analizando, dicha función está transformando a la función Senx 2, empieza por señalar los puntos de la curva y=senx 2 que son transformados en ceros por la función logaritmo natural. Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 39 / 47

40 Teniendo presente que los valores de la y de los puntos de la curva y = Senx 2, comprendidos entre dos ceros consecutivos, son positivos y menores que uno, si entre dichos ceros hay un máximo relativo (que en todos los casos vale uno), qué transformación les ocasiona a dichos puntos la función logaritmo natural? Bosqueja la gráfica de y = lnsenx 2 para esos intervalos. a) Cuántos y cuáles puntos de la recta son transformados en ceros por la función logaritmo natural? b) Qué transformación sufren los puntos de la recta cuya y tiene valores entre cero y uno, es decir los puntos de la recta para los cuales 0 < y <? c) Qué sucede con los puntos de la recta que tienen valores de y no positivos, es decir los que están en el tercer cuadrante incluido el que está en el origen del sistema de coordenadas? d) Consideremos ahora la gráfica de y = Senx 2, que aparece en la figura junto con la gráfica de y = x 2. Teniendo presente que la función logaritmo natural transforma los unos en ceros y que en el caso que estamos analizando, dicha función está transformando a la función Senx 2, empieza por señalar los puntos de la curva y=senx 2 que son transformados en ceros por la función logaritmo natural. e) Teniendo presente que los valores de la y de los puntos de la curva y = Senx 2, comprendidos entre dos ceros consecutivos, son positivos y menores que uno, si entre dichos ceros hay un máximo relativo (que en todos los casos vale uno), qué transformación les ocasiona a dichos puntos la función logaritmo natural? Bosqueja la gráfica de y = lnsenx 2 para esos intervalos. Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 40 / 47

41 f) Si entre dos ceros consecutivos de la curva y = Senx 2 hay un mínimo relativo, entonces todos los puntos de la curva son no positivos, es decir son negativos o valen cero. Esto puede observarse en la gráfica. Qué sucede con dichos puntos al aplicársele la función logaritmo natural? g) Estás ahora en condiciones describir el comportamiento de la función cuyo análisis hemos hecho, es decir la función y = lnsenx 2. Hazlo! Analiza, representa gráficamente y describe el comportamiento de la función y = 2 4 x En la figura aparece la parábola, que es gráfica de 4 x 2, a la cual le queremos sacar raíz cuadrada; así que primero podemos considerar los puntos donde la parábola corta al eje de las x, en los cuales la y vale cero por lo que la raíz cuadrada valdrá también cero. a) Considerando que la y del vértice de la parábola vale 4, qué transformación le produce a ese punto la función raíz cuadrada? b) En los intervalos (-, -2) y (2, ) qué signo tienen los valores de las y de los puntos y qué implicación tiene dicho signo en la aplicación de la función raíz cuadrada? Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 4 / 47

42 a) Cuando los valores de la y de la parábola son mayores que cero, pero menores que uno. Qué transformación les produce la función raíz cuadrada? y cuándo dichos valores son mayores que uno, cómo son transformados? b) Después de estas reflexiones estás en mejores condiciones de bosquejar la gráfica y describir 2 el comportamiento de la función y = 4 x ( Qué tipo de curva resultó ser?). Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones: a) y = (2x ) 2 b) y = 2 Senx c) y = e /x d) y = Cos(- 2x) Analiza el comportamiento y bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones: a) y = x 2 Sen(2x-) + x e b) f(x) = - y (donde y es la función del inciso a). PROBLEMAS ENCB Diga cual es la función que nos representa la siguiente grafica?. Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 42 / 47

43 a) y = ln x 2 + C b) y = x ln x + C c) y = ln x + C d) y = 2x ln x + C Que le hace la constante C a la curva?. y = ln x 2 + C y = x ln x + C y = ln x + C y = 2x ln x + C a) b) c) d) La gráfica de a) 2 unidades a la derecha g(x) = es como la gráfica de x 2 4 b) 2 unidades a la izquierda c) 4 unidades a la izquierda f (x) d) 2 unidades a la derecha Cuál es la expresión analítica que corresponde a la gráfica siguiente? = si f es desplazada: x 2 x Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 43 / 47

44 a) b) c) d) x+ f ( x) = x x f ( x) = x + x+ f ( x) = x 2 x f ( x) = x 2 Cuál es la expresión analítica que corresponde a la grafica de la siguiente función? a) f (x) = 2 2 (x 3) b) f (x) = 3 2 x + c) f (x) = 2 2 (x 3) + d) f (x) = + 2 x Si f(x ) = x 2 encuentra f(x + ) a) f(x + l) = (x + l) 2 Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 44 / 47

45 b) f(x + l) = x 2 + c) f(x + l) = (x + 2) 2 d) f(x + l) = (x + 3) 2 Cuál es la expresión analítica de la función f cuyo bosquejo es dado en la gráfica siguiente? y x a) b) c) d) f ( x) = 3 2 ( x+ 2) f ( x) = 3 2 ( 2) x+ f ( x) = 3 2 ( x+ 2) + f ( x) = 3 2 ( 2) + x+ Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 45 / 47

46 Si la gráfica de una función f(x) es: Cuál de las siguientes opciones representa la gráfica de la derivada de f(x)? Respuesta: a. ) b. 2) c. 3) d. 4) Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 46 / 47

47 Si la distancia desde un punto P(x,y) del plano al origen se define como entonces la ecuación tiene por gráfica: Respuesta: a. ) b. 2) c. 3) d. 4) BIBLIOGRAFIA Curso de Cálculo: MEEC2: Ciidet,: mayo 2005 Cálculo de una variable: James Stewart:Edit. Thomson: 200 Problemas ENCB Manual para Bosquejo de graficas M. en C. José Luis Hernández González 47 / 47