BLOQUE I Aritmética y álgebra

Transcripción

1 Pág. de 7 De entre las ecuaciones siguientes: x 2 + 5x 2 = 0 2x 2 = 0 x 2 + x = 0 9x 2 + = 0 a) Señala las que no tienen soluciones en Q. b) Cuáles tienen solución en Á? Resolvemos las ecuaciones: x = 2 x 2 + 5x 2 = 0 2x 2 = 0 x = x = 2 x = 2 x 2 + x = x = 2 5 x = 2 9x 2 + = 0 no tiene solución. a) No tienen solución en Q: 2x 2 = 0; x 2 + x = 0; 9x 2 + = 0 b) Todas tienen solución en Á salvo 9x 2 + = 0. 2 Compara 5 y 0 reduciéndolas a índice común. Como 5 = 5 = 5, resulta que: 5 > 0 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica: a) a 2a a 2 + a a a b) 0 9 c) ( 2 + )( ) d) + a) a a 2a a + a a a a = a a b) 0 = 0 = = 0 c) = = ( 2 ) d) + = = = ( ) 2 ( 2 ) = =

2 Pág. 2 de 7 Si log =, calcula el valor de las siguientes expresiones: a) log b) log c) log a) log = log = (,) =,9 b) log = log log = 0 (,) =, c) log = log log =, 2 =, 5 Halla x en cada caso: a) 7 x = 2 b) x 2 = a) 7 x = x = 2 8 x = 7 x = 2 8 x = 5 = ; x 2 = x = 2 x 2 = 8 x 2 = x = 2 b) x 2 = x = 2 x 2 = 8 x 2 = 2 x = 2 = 2; x 2 = 2; x = 2; x = 2 Calcula x para que 2 x + = x. 2 x + = x 8 (x + ) log 2 = x log 8 x log 2 x log = log 2 log 2 x(log 2 log ) = log 2 8 x = =,7 log 2 log Solución: x =,7 7 El precio de la leche subió un 5% en enero y un 8% en febrero, y bajó un 20% en marzo. Cuál ha sido la subida total en esos tres meses? Si el precio de la leche es p, tenemos los siguientes aumentos y disminuciones: enero 8 p,5 febrero 8 (p,5),8 marzo 8 (p,5,8) 0,80 El precio final es p (,5,8 0,80) = p,085. Por tanto, la subida total ha sido de un 8,5%.

3 Pág. de 7 8 Depositamos un capital de al % anual durante años y meses. Calcula en cuánto se transforma si el periodo de capitalización es: a) Trimestral b) Mensual c) Di, en cada caso, cuál es la T.A.E. a) Un % anual significa un =,5% trimestral. años y meses son trimestres. Así,,5 C F = ( + ) = 07,7 b) Un % anual significa un = 0,5% mensual. años y meses son 9 meses. Así, 0,5 9 C F = ( + ) = 07,0 c) La T.A.E. correspondiente a un % anual con períodos de capitalización trimestrales, es: % anual 8 =,5% trimestral 8,05 trimestral Como son trimestres,,05 =,0. Por tanto, la T.A.E. es del,%. La T.A.E. correspondiente a un % anual con períodos de capitalización mensuales, es: % anual 8 = 0,5% mensual 8,005 mensual Como son meses,,005 =,07. Por tanto, la T.A.E. es del,7%. 9 Recibimos un préstamo de al % anual, que debíamos devolver en un solo pago. Cuánto tiempo ha transcurrido si al liquidarlo pagamos 0,7? Si lo pagáramos en año, se pagaría: ( + = 0 000, ) Si fuera en dos años: 0 000, 2 Por tanto, para saber cuántos años hemos tardado en liquidar la deuda, tenemos que resolver la ecuación: 0 000, a = 0,7 8, a 0,7 log,07 = =,07 8 a = = log, Así, hemos tardado años en devolver el crédito de al banco.

4 Pág. de 7 0 Un banco nos presta al 0% anual, que hemos de devolver en años mediante pagos mensuales. Cuánto tendremos que pagar cada mes? Debemos pagar en meses, a un 0% anual. 0% anual 8 0 = 0,8% mensual en meses ÄÄÄÄÄ8 al 0,8% 0 000,008 = 0 97,5 Ahora: m( +,008 +, ,008 5,008 ) = m,008 =,75m Así: 0 97,5,75m = 0 97,5 8 m =,75 = 97,5 Por tanto, cada una de las mensualidades será de 97,5. Factoriza los siguientes polinomios: a) x 9x b) x 5 x 5x + 2x 2 a) x 9x = x(x 2 9) = x(x + )(x ) b) x 5 x 5x + 2x 2 = x 2 (x x 2 5x + 2) = = x 2 (x + )(x 2)(x ) Opera y simplifica: (x 2 + x)(x 2 + ) (x + 2x 2 + )2x (x 2 + ) 2 (x 2 + x)(x 2 + ) (x + 2x 2 + )2x (x 2 + ) 2 x + x 2 + x + x 2x x 2x = = x + 2x 2 + x + x 2 + 2x x + 2x 2 + Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x + ) 2 7 = (2x + ) 2 + 2x b) 2x x 2 2 = 0 c) 2x + 2x = x d) x 5 x 5x + 2x 2 = 0 a) x x 7 = x x + 2x x 2 x = 0 + x = 0 8 x(x + 2) = 0 x = 2 = 0, x 2 = 2

5 BLOQUE I Aritmética y álgebra Pág. 5 de 7 b) Hacemos el cambio x 2 = z 8 2z 2 z 2 = 0 8 z = Si z = 2 x = 2 x = 2 = 2, x 2 = 2 ± 5 z = 2 z = 2 No vale c) 2x + 2x = x 2x + = x + 2x 8 ( 2x + ) 2 = (x ) 2 2x + = 9x 2 + x 8 9x 2 8x + = 0 x = 8 ± 8 x = x = 9 Comprobamos las soluciones: x = = Vale 7 22 x = = 8? No vale La solución es x =. d) x 5 x 5x + 2x 2 (*) = x 2 (x + )(x 2)(x ) = 0 (*) Ejercicio b) = 0; x 2 = ; x = 2; x = Resuelve los siguientes sistemas: x + y = x + > a) b) xy + x = 0 2x Ì 9 x + y = a) xy + x = 0 8 y = x 8 x( x) + x = 0 8 x x 2 + x = 0 x 2 + x = 0 x = 0 8 y = x 2 = 8 y 2 = Soluciones: (0, ) y (, ) x + > b) 2x Ì 9 8 x > 2 8 2x Ì 0 8 x Ì Soluciones: x é (2, 5]

6 BLOQUE I Aritmética y álgebra Pág. de 7 5 Opera y simplifica: x 2 x 2 + 2x ( : (x 2 x) x + x ) x x 2 x 2 + 2x : (x 2 (x 2 )(x x) x) = (x 2 (x + 2)(x 2)x(x + )(x ) ( x) = (x 2 x) = x + x ) x (x + )(x 2 + 2x) (x + )x(x + 2) = (x 2)(x ) (x 2 x) = x 2 x + 2 x 2 + x = 2 Resuelve: 7 x x a) + = b) x2 2 = c) 2x 2 x + + = 0 x 2 + x + x x x 7 x + x(x + 2) a) + = 8 = 8 7 x + x 2 + 2x = x 2 + x + 8 x = 0 8 x = (x + 2) 2 x + 2 (x + 2) 2 Solución: x = b) x2 2 = = 8 x 2 2 = 8 x 2 = =, x 2 = x = x = c) ( x ) 2 2 x + = 0 cambio ÄÄÄ8 x = t t 2 8t + = 0 8 (t ) 2 = 0 8 t = 8 x = 8 x = Solución: x = 7 Resuelve los siguientes sistemas: x + 2y + z = x y = 5 a) b) 2x + y z = 5 2 x 2 y = x y + z = 0 a) x y = 5 2 x 2 y = Por tanto, tenemos: x y = 5 x + y = 0 x + = 0 8 x = 9 Solución: x = 9, y = 8 2 x 2 y = x + y = 2 8 x + y = 8 x + y = 0.ª ÄÄ8 2.ª ÄÄ8 x y = 5 x y = 0 5y = 5 8 y = b) x + 2y + z = 2x + y z = 5 x y + z = 0.ª ÄÄÄÄ8 2.ª + 2.ª ÄÄÄÄ8.ª.ª ÄÄÄÄ8 x + 2y + z = ÄÄÄÄÄÄÄ8 x = 5y + z = ÄÄÄÄ8 z = 2 7y + z = 7 Ä8 y = Solución: x =, y =, z = 2

7 Pág. 7 de 7 8 Resuelve: x 2 + x + Ó 0 x 2 + x + Ó 0 x 2 + x + = 0 x = x = > 0 < 0 > 0 Soluciones: ] «[, +@) 9 Un grifo A tarda en llenar un depósito el doble de tiempo que otro B. Abiertos simultáneamente, llenan el depósito en dos horas. Cuánto tarda cada grifo por separado? x: tiempo que tarda B en llenar el depósito 2 + x + = 8 = 8 x = horas x 2x 2 2x 2x B tarda horas y A tarda horas.