Matemáticas Aplicadas CCSS I Tema 2. Matemática Financiera

Transcripción

1 Matemáticas Aplicadas CCSS I Tema 2. Matemática Financiera Índice 1. Introducción 2 2. Aumentos y disminuciones porcentuales 2 3. Interés Compuesto Temporalidades inferiores al año Anualidades de capitalización 5 5. Anualidades de amortización Tablas de amortización Números índice 8 7. Tasa anual equivalente T.A.E.) 9 8. Ejercicios del tema 10

2 1. Introducción En estos tiempos que corren, quién no ha oído hablar créditos, hipotecas, amortización, IPC,... Estamos inmersos en un constante goteo de noticias, en las que estas palabras nos golpean los tímpanos, día si y día también. Este mes el Euribor está en mínimos de hace dos años, una hipoteca media de unos euros reducirá sus pagos mensuales en 50 euros. Esta es una de las típicas noticias que se vienen oyendo desde hace unos años en los que el precio del dinero ha bajado hasta cero. Los gobiernos de las distintas zonas económicas, como la UE, necesitan mantener un equilibrio entre el precio del dinero y el precio de los productos que más usamos. Es lo que se llama control de la inflación. Otro término que veremos en este tema, y que nos sirve para entender mejor cómo funciona esta sociedad de consumo en la que estamos inmersos. Queramos o no, son términos y expresiones que nos van a acompañar el resto de nuestras vidas, y que lejos de poder mantenerlas alejadas, veremos cómo en muchos trabajos son parte del glosario de términos con los que nos vamos a comunicar en adelante. Es por ello, que en dentro de esta materia, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, no podemos obviar el hecho de que muchas salidas pasan por ser administradores. Ya sea en un banco, ya sea en una mediana o pequeña empresa, o sencillamente para llevar el control de los gastos como autónomo en su caso. Veremos el interés simple y compuesto, cómo calcular las anualidades de amortización entre otros. 2. Aumentos y disminuciones porcentuales Cuando vamos a las rebajas, a la hora de calcular el nuevo precio que nos ofrecen, debemos restar una cantidad al precio inicial o cantidad inicial C 0, que nos dará como resultado una nueva cantidad final C F. La cantidad que debemos restar, dependerá del porcentaje de descuento que nos hagan. Pongamos que queremos comprar una camisa que cuesta 20 e C 0 = 20) y que tiene un descuento del 25 %. Directamente hacemos C F = C 0 0, 25 C 0. Nos queda C F = 20 0, = 20 5 = 15 Sin embargo, si caemos en la cuenta de que C 0 0, 25 C 0 = 0, 75 C 0, podemos ahorrarnos una cuenta sin más que hacer C F = 0, 75 C 0 = 0, = 15 De la misma manera podemos hacer si el precio de un artículo aumenta. Pongamos que una vivienda se ha revalorizado en un 12 % con respecto al año pasado. Si el precio anterior es de C 0, el precio tras el aumento será de C F = 1, 12 C 0, ya que: C F = C 0 + 0, 12 C 0 = 1 + 0, 12) C F Ejercicio 1. Después de subir un 20 % un artículo vale 52, 30 euros. Cuanto valía antes de la subida? Solución: Sabemos que C F = 52, 30 y que C F = C , 2) = C 0 1, 2) luego C 0 = C F 1, 2 = 52, 30 1, 2 = 43, 583 2

3 Ejercicio 2. Después de rebajarse en un 45 %, un artículo vale 81, 90 euros. Cuánto valía antes de la rebaja? Solución: C 0 = 126 e. Ejercicio 3. Una chaqueta que valía al comienzo de la temporada 51 euros. Durante la misma sufre una serie de variaciones. Sube un 15 %, al mes baja un 10 %, al segundo mes vuelve a bajar un 10 % para acabar subiendo un 5 %. Crees que el precio final de la chaqueta ha variado? Solución: C F = C 0 Sube 15 % Baja 10 % Baja 10 % Sube 5 % {}}{{}}{{}}{{}}{ 1, 15) 0, 9) 0, 9) 1, 05) = C 0 0, = 51 0, = 49, 88 e Definición 1. Llamaremos rédito o tanto por ciento r a la ganancia que producen euros en un año. Por ello, hablaremos de aumento o disminución porcentual r %. C F se calcula como sigue: C F = 1 ± r ) C 0 Interés, I es la cantidad de dinero producida por un capital en un tiempo determinado. Ejemplo 1. Colocamos en un banco 5000 euros al 3 % de interés anual. Cuánto dinero nos devolverán al cabo de un año? Puesto que tenemos el dinero un año, el capital final C F interés que produce durante ese año. se obtiene del inicial C 0 = 5000 más el C F = C 0 + 0, = 1, = 5150 e Sabemos cómo calcular el interés que obtendremos en un año a partir de un capital inicial, es lo que llamamos interés simple. Pero y si esos intereses producidos, más el capital inicial aportado, lo dejamos otro año más? Cómo calcularemos el interés que aporta mi capital inicial en dos años? Es lógico pensar que el capital inicial, durante el segundo año ha aumentado. Durante el primer año nuestro capital ha aumentado hasta obtener C F1 = C r ). Durante el segundo año, y puesto que no sacamos ninguna parte del mismo, exigiremos que los intereses se calculen a partir de C F1, de donde C F2 = C F1 1 + r ) = C F1 Al cabo de 3 años, obtendremos C F3 = C r { }}{ C r ) 1 + r ) 3 y al cabo de t años: C F = C r ) t ) = C r ) 2 Es lo que vamos a llamar interés compuesto. 3

4 3. Interés Compuesto Como acabamos de decir, cuando ingresamos cierto capital C 0 en un banco, querremos que éste genere intereses durante varios años, de manera que los intereses se acumulen a lo largo de los mismos. Es lo que hemos llamado interés compuesto. Algebraicamente se expresa de la siguiente manera: Primer año: C F1 = C r ) Segundo año: C F2 = C F1 1 + r Tercer año: C F3 = C r. ) 3 ) = C r ) 2 Al cabo de t años, el capital final C F se obtiene mediante la expresión: C F = C r ) t Ejemplo 2. Durante cuánto años ha de invertirse una capital de 00 euros al 5 % de interés compuesto para llegar a un montante de 14071, euros? Solución: Como C F = 14071, e y C 0 = 00 e aplicando la identidad C F = C r ) t, la incógnita en este caso será t , = ) t = , 05) t = 00 1, 05) t Para despejar t no podemos pasar sin más, como hacíamos en las ecuaciones ordinarias, el coeficiente de t dividiendo. En nuestro caso, necesitamos bajar la t de alguna manera del exponente. Para ello, si recordamos que log a n = n log a: log 14071, 00423) = log [00 1, 05) t ] = log 14071, 00423) = log 00) + log [1, 05) t ] = = t = = log 14071, 00423) log 00) = t log 1, 05) log 14071, 00423) log 00) log 1, 05) 4, , Temporalidades inferiores al año Supongamos ahora que lo que haremos será hacer un pago mensual de intereses de una hipoteca al banco. En este caso, el periodo de capitalización ya no es de año. Ahora los intereses se pagan en 12 tramos. Un r % anual en periodos de capitalización de un mes pasa a ser un r 12 % mensual. Si C 0 es el capital inicial y r % es el interés anual, calcularemos C F de la siguiente manera: donde m son los meses. C F = C r/12 ) m = C r ) m

5 Ejemplo 3. Si el banco nos da un préstamos de al 12 % de interés anual, que hemos de devolver, junto con los intereses, en un único pago 5 años después. Averigua qué pago deberemos hacer si los periodos de capitalización fueran meses. Solución: En nuestro caso, r = 12 y m = 5 12 = 60. Podemos calcular C F : C F = C ) 60 = , 01) 60 = 54500, 9 e 1200 Ejemplo 4. El banco nos ofrece un préstamo de 3000 euros al 3 % de interés anual a devolver de dos formas distintas en dos años; una en dos cuotas anuales y otra en cuotas mensuales. Cuál nos interesa si nuestro objetivo es el de devolver la menor cantidad posible? Solución: Calculemos los intereses generados en cada caso. 1. Puesto que el interés del 3 % anual se convierte en 3 12 para devolverlo, el capital final será: = 0, 25 % mensual y tenemos 24 meses 2. En el caso de interés anual: C F = , 0025) 24 = 3185, 27 e C F = , 03) 2 = 3182, 7 e De lo anterior deducimos que preferimos la segunda forma. 4. Anualidades de capitalización Antes de comenzar con las anualidades de capitalización, repasemos brevemente un concepto que ya vimos en su día y que no es otro que el de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. Recordemos que una progresión geométrica es una sucesión de términos: Esta sucesión funciona de la siguiente manera: a 1, a 2,..., a n,... a 2 = a 1 R, a 3 = a 2 R = a 1 R R = a 1 R 2,..., a n = a 1 R n 1 Por ejemplo, la sucesión 3, 6, 12, 24, 48,... es una progresión geométrica de razón R = 2 y cuyo primer término es a 1 = 3. Fijémonos que a 2 = 6 = 3 2, a 3 = y así sucesivamente. Lo que nos va a interesar es cómo hacer la suma de los n primeros términos de esta progresión. Es decir, queremos hacer S n = a 1 + a a n. Para ello vamos a proceder de la siguiente manera: S n = a 1 + a a n R S n = R a 1 + R a 2 + R a n = a 2 + a 3 + a n+1 R S n S n = a n+1 a 1 = R 1)S n = a n+1 a 1 S n = a n+1 a 1 = a 1 R n a 1 R n 1 = a 1 R 1 R 1 R 1 S n = a 1 R n 1 R 1 5

6 Definición 2. Las anualidades de capitalización son aportaciones periódicas que hacemos al comienzo de cada año, para que, junto con los intereses que generan obtener un rédito de nuestro dinero al cabo de t años. Llamemos C a la cantidad fija que vamos a ingresar, r al rédito, t al número de años que mantenemos esos ingresos. Sea i = r : La primera cuota se convierte en C1 + i) t, que es el capital que produce C en t años. La segunda cuota se convierte en C1 + i) t 1, que es capital que produce C en t 1 años.. La última cuota nos aporta C1 + i) que es el capital que produce C en un año. Si sumamos el dinero que hemos producido durante los t años, será: desde el 2 o año desde el 1 er año último año {}}{{}}{{}}{ C1 + i) t + C1 + i) t C1 + i) = C1 + i) + C1 + i) C1 + i) t 1 + C1 + i) t Estamos ante la suma de t términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a 1 = C1+i) y de razón R = 1 + i). El capital final, que será la suma de las cantidades ganadas por cada aportación lo calcularemos mediante la suma de los n términos de una progresión geométrica: C F = a {}} 1 { C1 + i) 1 + i)t i) 1 = C F = C1 + i) 1 + i)t 1 i Ejemplo 5. Se ingresan 2500 euros al año durante 15 años al 3 % de interés anual. Qué dinero se obtiene al final de ese periodo? Solución: En nuestro caso, C = 2500, i = 3 = 0, 03 y t = 15. Apliquemos la identidad que nos calcula el capital final C F : C F = C1 + i) 1 + i)t 1 i = 25001, 03) 1, 03)15 1 0, 03 = 47892, 22 e Ejercicio 4. Un trabajador inicia las aportaciones a su plan de pensiones cuando cumple 50 años. Aporta 3600 e cada año y el banco se compromete a aplicarle un 3 % de interés. A cuánto ascenderá su capital el día que cumple los 65 años? Solución: C = 66956, 09 euros. Ejercicio 5. Un producto de inversión de un banco ofrece el 2, 5 de interés anual. La condición que impone dicho producto es que se tiene que aportar cada año 3000 euros. Si el producto nos aporta un total de , 3477 euros, cuántas anualidades de capitalización ha hecho? Solución: t = 7 años. Ejercicio 6. Qué anualidad tendríamos que abonar al principio de cada año durante 12 años para capitalizar o conseguir euros al 7 % anual? Solución: C = 940, 41 euros. 6

7 5. Anualidades de amortización Definición 3. Las anualidades de amortización son aportaciones periódicas que hacemos al final de cada año, para amortizar o cancelar una deuda que junto con sus intereses compuestos, durante un número de años. Llamemos C a la cantidad fija que vamos a ingresar, r al rédito, t al número de años que mantenemos esos ingresos. Sea i = r : La primera cuota se convierte en C1+i) t 1, que es el capital que produce C en t 1 años recuerda que se aporta al final del primer año). La segunda cuota se convierte en C1+i) t 2, que es capital que produce C en t 2 años se aporta al final del segundo año).. La última cuota nos aporta C que es el capital que produce C en 0 años se aporta al final del último año). Por supuesto, ese capital sumado es dinero nuestro depositado en el banco, que ha generado intereses. En total tendremos depositado: C F = C + C1 + i) + C1 + i) C1 + i) t 2 + C1 + i) t 1 = C 1 + i)t i) 1 = C 1 + i)t 1 i Por otro lado, la deuda que hemos adquirido con el banco, D, a lo largo de t años genera un montante de: C F = D1 + i) t Puesto que ambos montantes deben coincidir: C 1 + i)t 1 i = D1 + i) t = C = Di1 + i)t 1 + i) t 1 Ejemplo 6. Hemos firmado una hipoteca con el banco de a un interés anual del 3 %. Cuál debe ser la amortización anual si queremos saldar la deuda en 15 años? Solución: Aplicamos nuestra igualdad identificando i = 0, 03, D = y t = 15: C = , 03 1, 03)15 1, 03) 15 1 = 3911, 83 e Ejemplo 7. Para la adquisición de un camión cuyo precio es de 75545, 6 euros una empresa dispone en su presupuesto de 9000 euros anuales, efectuando el pago al final de cada año. Cuántos pagos o anualidades de amortización debe hacer si se le aplica un 6 % anual? Solución: De nuevo, vamos a identificar lo que tenemos sabiendo que la incógnita ahora es el tiempo t. Sabemos que D = 75545, 6 e, C = 9000 e e i = 0, 06. Aplicamos nuestra igualdad: Nuestro objetivo es despejar t, por lo que C = C = Di1 + i)t 1 + i) t 1 Di1 + i)t 1 + i) t 1 = Di1 + i)t = C [1 + i) t 1] 7

8 Para despejar t aplicamos el logaritmo decimal una vez que hemos sustituido y aislado el término 1 + i) t , 6 0, 03 1, 06) t = 9000 [1, 06) t 1] = 4527, 28 1, 06 t = , 06 t , 06 t , 28) = 9000 = 1, 06 t = 22, 012 = log 1, 06) t = log 22, 012 t log 1, 06 = log 22, 012 = t = log 22, 012 log 1, Ejercicio 7. Un préstamo de e con un interés anual del 6 % se ha de devolver en 20 cuotas anuales. Cuál es el importe de cada cuota? Solución: C = 10462, 15 e. Ejercicio 8. Una hipoteca de e con un interés anual del 6 % cuya cuota mensual es de 1 200, 58 e cuántos años tardará en cancelarse? Solución: 240 meses que equivale a 20 años. Recuerda que ahora i = 5.1. Tablas de amortización r 1200 y que t está en meses). La tabla de amortización nos ayudará a resumir toda la información de un préstamo. Contendrá la cuota anual, los intereses del periodo, el capital amortizado y el capital pendiente. Vamos a elaborar la tabla de amortización de un préstamo de eal 8, 5 % durante 6 años. Calculemos la cuota anual identificando C F = e, i = 0, 085 y t = 6 años: = C , 085) 6 1 0, , 085) 6 = = C 0 4, 554 = C 0 = 4830, 92 e Calculamos el interés del periodo, es decir, los intereses generados por el capital pendiente: En 2015: , 085 Anualidad Cuota anual e) Intereses periodo e) Capital amortizado e) Pendiente e) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 21 0, Números índice Los números índice se utilizan para comparar cantidades de una forma sencilla. Fijaremos el índice para cada magnitud en un determinado momento, que tomaremos como periodo base y transformaremos los demás datos proporcionalmente al periodo base. Ejemplo 8. Las siguientes tablas muestran, en primer lugar, las cantidades de ocho alimentos diferentes, consumidas por persona y año en el periodo La segunda, es la tabla de números índice tomando como referencia el consumo de alimentos en el año

9 Huevos uds.) 162, 2 155, 6 149, 3 134, 4 Carne kg.) 54, 2 53, , 6 Pescado kg.) 27, 8 28, 6 28, 4 28, 2 Leche l.) 91, 3 90, 4 87, 3 82, 5 Pan kg.) 47, 4 46, 9 45, 9 43, Huevos uds.) Carne kg.) Pescado kg.) Leche l.) Pan kg.) En nuestro caso, el periodo base es el año A partir de los datos del resto de magnitudes tomando las de 2005 como referencia obtenemos el resto de índices. Por ejemplo, para el caso de los huevos en el 2007, puesto que 162, 2 corresponde al %, una simple regla de tres nos dirá que en 2007 obtendremos un porcentaje de 92. Si 162, 2 % 149, 3 x = x = 149, 3 162, 2 92 Ejercicio 9. La tabla muestra el PIB per cápita de cinco países, en el periodo Elabora una tabla de números índice tomando como índice los datos correspondientes a 2008 y después a España 32315, , , , , 23 Ecuador 3285, , , , , 19 Marruecos 2425, , , , , 53 China 2691, , , , , 47 Australia 46590, , 64 46, 055, , , Tasa anual equivalente T.A.E.) Al depositar una cantidad de dinero o solicitar un préstamo en un banco, la información sobre los intereses que se aplicarán suele ser anual. Sin embargo, hay productos cuya cuota capitalizar o amortizar) se hace en plazos inferiores, como por ejemplo en meses. Si queremos tener una información anual de dicho producto, nos tienen que informar sobre la Tasa anual equivalente TAE). Definición 4. La Tasa Anual Equivalente TAE) es el interés producido por 1 euros en un año. Si p es el número de veces al año que se hace la liquidación y r % es el rédito del producto, podemos calcular la TAE mediante: [ TAE = 1 + p) i p ] 1, siendo i = r Ejercicio 10. A la hora de hacer frente un préstamo cuyo interés anual es del 5 %, nos ofrecen la posibilidad de hacer los pagos por meses, trimestres, semestres o mediante un único pago anual. Si el objetivo es pagar lo menos posible, qué periodo nos interesa más? Solución: Averigüemos la TAE en cada caso y la que resulte inferior es la que nos interesa. Cuotas mensuales: p = 12 e i = 0, 05 [ T AE = 1 + ) 12 0, 05 1] 5, 12 % 12 9

10 Cuotas trimestrales: p = 4: T AE = [ 1 + ) 4 0, 05 1] 5, 09 % 4 Pagos semestrales: p = 2: Pago anual: p = 1: T AE = T AE = [ 1 + [ 1 + ) 2 0, 05 1] 5, 06 % 2 ) 11 0, 05 1] = 5 % 1 Está claro que a más cuotas, más dinero pagaremos. 8. Ejercicios del tema 1. Una bicicleta cuesta 300 esin IVA. Si le aplican el 16 % de IVA, cuánto deberé pagar por ella? Solución: P F = 348 e). 2. Después de subir un 20 %, un artículo vale 45, 60 euros. Cuánto valía antes de la subida? Solución: P 0 = 38 e). 3. Después de rebajarse en un 35 %, un artículo vale 81, 90 euros. Cuánto valía antes de la rebaja? Solución: P 0 = 126 e). 4. En un ordenador que el año pasado costaba 950 e, se aumentó su precio un 10 % y luego se rebajó un 15 %. Cuál es su precio actual? Solución: P F = 888, 25 e). 5. Colocamos en un banco 9000 euros al 4, 5 %, percibiendo los intereses semestralmente. Si hemos cobrado 607, 5 euros en concepto de intereses, cuánto tiempo hemos tenido el dinero en el banco? Solución: t = 3 semestres). 6. Un banco ofrece un depósito en el que, por una inversión de e durante 15 meses se regala un televisor valorado en 630 e. Qué rédito ofrece el depósito? Solución: r = 3, 36 %). 7. Un capital de 0 euros colocado al 12 % de interés simple durante tres años, en qué capital se transforma? Solución: C F = 3360 e). 8. Un banco nos concede un préstamo de 00 e al 12 % anual. En el momento de la formalización nos cobra unos gastos de 500 e. Realizamos un solo pago al cabo de un año, tomando periodos de capitalización mensuales. Cuál es la T.A.E.? Ten en cuenta que nos dieron 9500 ey que hemos de devolver 00 1, 12). Y si lo tuviéramos que devolver, íntegro, a los dos años? Solución: Nos dieron 9500 e y hemos de devolver 11268, 25 e. Por tanto, la T.A.E. será del 18, 6 %. Como nos dan 9500 e y tenemos que devolver 00 1, 0124 = 12697, 35, la TAE es del 33, 7 %). 10

11 9. Nos venden un coche por 1800 euros. Me ofrecen un crédito al 8 % anual. Qué cuota mensual nos permitirá amortizar la deuda en dos años? Solución: 81, 41 euros.) 10. Comprueba que podemos amortizar 00 e al 10 % anual mediante cuatro pagos trimestrales de 2658, 18 e cada uno. 11. Calcula en cuánto se transforman euros en un año al 10 % si los periodos de capitalización son: a) semestres; b) trimestres; c) meses. Di, en cada caso, cuál es la T.A.E. correspondiente. Solución: a) 5512, 5, T.A.E. del 10, 25 %, b) 5519, 06, T.A.E. del 10, 38 %, c) 5523, 56 T.A.E. del 10, 47 %). 12. Una persona paga un coche en sesenta mensualidades de 333, 67 e. Si el precio del dinero está al 12 % anual, cuál sería el precio del coche si se pagara al contado? Solución: 15000). 13. Recibimos un préstamo de 8500 e al 15 % anual, que hemos de devolver en un solo pago. Cuántos años han transcurrido si al liquidarlo pagamos 14866, 55 e? Solución: t = 4 años). 14. Una inversión ofrece el 2 % anual, siempre que se inviertan 4000 al año. Si al final del periodo de inversión se reciben 16816, 16 e, cuál ha sido el tiempo que se ha mantenido el plan? Solución: t = 4 años). 15. Mi banco me ofrece un 3 % anual si al comienzo de cada año ingreso 0 e y mantengo los ingresos durante 5 años. Qué dinero conseguiré con dicho producto? Solución: C F = 5309, 14 e). 16. Una entidad financiera cobra un interés mensual del 1, 5 % en sus créditos al consumo. Cuál es la TAE de ese producto? Solución: 19, 56 %). 17. Halla la anualidad con la que se amortiza un préstamo de euros en 5 años al 12 % anual. Solución: 11096, 39 euros). 18. Pablo contrata un plan de pensiones a los 36 años, con cuotas mensuales de 95 eal 6, 6 % anual, con periodos de capitalización mensuales. Calcula el capital que tendrá a los 65 años. Solución: 99772, 23 e). 19. Calcula el valor de la anualidad con la que se amortiza un préstamo de euros en 6 años al 10 % de interés anual. Solución: 5740, 18 euros). 20. Recibimos un préstamo de 20 e al 8 % anual que amortizamos pagando, cada trimestre, una cuota de 2866, 71 e. Cuánto tiempo tardaremos en saldar la deuda? Solución: Saldaremos la cuenta en 8 trimestres, es decir, 2 años). 21. Un banco concede un préstamo de e al 8, 1 % anual. En el momento de gestionar el préstamo, cobran 480 e de gastos de administración. Si el préstamo se devuelve al cabo del año con plazos mensuales, cuál es la T.A.E.? Solución: La T.A.E. será del 10, 06 %). 11

12 22. Una empresa estudia la evolución de los precios en euros de tres componentes A, B, C) para una pieza en los últimos 5 años. Año A B C , , , 5 7 2, Elabora una tabla de números índice tomando como periodo de referencia el año El consumo en combustible en una empresa en miles de litros) u los índices de precios del combustible en seis años han sido: Año Consumo Una empresa de electrodomésticos facilita la serie de números índices del precio medio de frigoríficos durante el periodo ), con base en Año Consumo EL precio del frigorífico en 2005 fue de 420 euros. Cuál sería el precio del electrodoméstico en 2011? Solución: Precio 781 euros). 12