Control Analógico I DR. FERNANDO ORNELAS TELLEZ. 23 de octubre de Resumen

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1 Control Analógico I DR. FERNANDO ORNELAS TELLEZ 23 de octubre de 2013 Los sistemas control... Resumen 1. Introducción a los Sistemas de Control Qué es control? Es la acción o el efecto de poder decidir sobre el desarrollo de un proceso o sistema. También se puede entender como la forma de manipular ciertas variables para conseguir que ellas u otras variables actúen en la forma deseada. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar una desviación del valor medido a partir de un valor deseado. Qué es Ingeniería de control? Es un enfoque interdisciplinario para el control de sistemas y dispositivos. Combina áreas como eléctrica, electrónica, mecánica, química, ingeniería de procesos, teoría matemática entre otras. Control Automático. Es el uso de elementos sistemáticos para el control industrial de maquinaria y/o procesos, rediciendo la intervención humana, quedando éste último sólo como supervisor. Entre los beneficios del control automático es que se cuenta con sistemas actuando de forma autónoma, rediciendo exigencias sensoriales y mentales por parte del humano, así como reducción de riesgos físicos, etc Revisión histórica del control 1.2. Definiciones Sistema. Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para lograr cierto objetivo. El concepto de sistema se puede aplicar a fenómenos físicos, biológicos, económicos, sociales y otros. Variable controlada (salida). Es la cantidad o condición que se mide y controla. Variable manipulada (entrada). Es la variable que se modifica con el fin de afectar la variable controlada. Actuador. Mecanismo o dispositivo el cual permite la entrada al sistema de control. Proceso. Es el desarrollo natural de un acontecimiento, caracterizado por una serie de eventos o cambio graduales, progresivamente continuos y que tienden a un resultado final. En este curso se llamará proceso a cualquier operación que se va a controlar. Algunos ejemplos son los procesos químicos, económicos, biológicos, etc. Planta. Conjunto de piezas de una maquinaria que tienen por objetivo realizar cierta actividad en conjunto. En sistemas de control, por planta se entiende el sistema que se quiere controlar. Perturbaciones. Una perturbación es algún suceso que afecta adversamente el desarrollo de algún proceso. Si la perturbación se genera dentro del sistema, se le denomina perturbación interna, caso contrario la perturbación externa. 1

2 1.3. Características de los sistemas de lazo cerrado y de lazo abierto Sistema de control de lazo abierto Es un sistema de control en donde la salida no tiene efecto sobre la acción de control. La salida puede ser o no ser medida, pero esa medición no afecta al controlador. [3] Un ejemplo practico es una lavadora, cuya operación se basa en tiempo únicamente. En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia. Por tanto, en el sistema de control, la precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica, el este control se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas Sistema de control retroalimentado o de lazo cerrado Es aquel sistema de control que utiliza alguna relación entre la variable de salida y alguna variable de referencia, como medio de control [3]. En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación, a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control retroalimentado para reducir el error del sistema Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo abierto Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros del sistema. Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la estabilidad es una función principal en el sistema de control en lazo cerrado, lo cual puede conducir a corregir errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante Ejemplos de sistemas de control Control de temperatura Control de sistemas mecánicos Sistemas eléctricos (voltaje, frecuencia) Robots (control de posición) Control de motores (velocidad, posición, par, flujos) Regulación de presión Control de nivel de líquido Regulación de voltaje 2

3 Tabla 1: asdf 1.5. Objetivos del análisis y diseño 1.6. El proceso de diseño 2. Modelado Matemático de Sistemas Físicos 2.1. Introducción: Ecuaciones diferenciales, linealidad, sistemas invariantes y variantes en el tiempo Ecuaciones diferenciales Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Las ecuaciones diferenciales generalmente involucran derivadas e integrales de variables dependientes con respecto a las variables independientes [2]. Por ejemplo, las relaciones de corriente y voltaje en un circuito RLC en serie se puede representar por la ecuación diferencial: Ri(t) + L di(t) dt + 1 C i(t)dt = e(t) donde R es la resistencia, L la inductancia y C la capacitancia, i(t) la corriente y e(t) el voltaje aplicado al circuito. En general, una ecuación diferencial ordinaria lineal de n-ésimo orden se escribe como: d n y(t) a n dt n +a n 1 d n 1 y(t) dt n 1 + +a 1 dy(t) dt d m u(t) +a 0 y(t) = b m dt m +b m 1 d m 1 u(t) dt m 1 du(t) + +b 1 +b 0 u(t), n m dt que también se conoce como ecuación diferencial ordinaria lineal si los coeficientes a 0, a 1,..., a n 1 no son funciones de y(t). Sistemas estáticos: un sistema se denomina estático o sin memoria si su salida en cualquier instante de tiempo a lo sumo depende de su entrada en ese instante. En cualquier otro caso se dice que el sistema es dinámico, es decir que la salida dependerá de condiciones iniciales del sistema en un tiempo inicial y de tiempo futuro. Sistemas Variantes e Invariantes con el Tiempo Generalizar la ecuación diferencial hasta un orden n y plantearla en termino de sus coeficientes variantes e invariantes con el tiempo. Ejemplos de sistemas dinámicos descritos por ecuaciones diferenciales: circuito RC, RL, temperatura de un horno (mediante una ecuación diferencial lineal de primer orden τẏ = y + K u), etc. 3

4 Linealidad Un sistema se dice que es lineal si satisface las siguientes propiedades: 1. y(t; αx 1 + βx 2, 0) = αy(t; x 1, 0) + βy(t; x 2, 0) 2. y(t; αx 0, δu) = αy(t; x 0, 0) + δy(t; 0, u) 3. y(t; 0, δu 1 + γu 2 ) = δy(t; 0, u 1 ) + γy(t; 0, u 2 ) La propiedad 2 es la descomposición usual de un sistema en la respuesta homogénea (u = 0) y la respuesta particular (x 0 = 0). La propiedad 3 es la definición formal del principio de superposición. Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados. (Tarea) Simular un sistema lineal y uno no lineal para comprobar el principio de superposición: ẋ = a x + u, x(0) = x 0, a > 0, y = x ẋ = a x 3 + u, x(0) = x 0, a > 0, y = x Simular para una entrada tipo escalón (u 1 = 1, u 2 = 2) o entradas sinusoidales Funciones de transferencia En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Función de transferencia (FT). La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. Considere el sistema lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la siguiente ecuación diferencial: d n y(t) a n dt n +a n 1 d n 1 y(t) dt n 1 + +a 1 dy(t) dt d m u(t) +a 0 y(t) = b m dt m +b m 1 d m 1 u(t) dt m 1 du(t) + +b 1 +b 0 u(t), n m dt (1) 4

5 donde y(t) es la salida del sistema y u(t) es la entrada. La función de transferencia de este sistema se obtiene tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de (1), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o bien G(s) = L {salida} L {entrada} = Y (s) U(s) = b ms m + b m 1 s m b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0, n m. A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. La potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia define el orden del sistema; para la FT anterior, el sistema es de orden n. Nota: La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Algunos aspectos importantes relacionados con la FT son [3]: 1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático expresa algebraicamente a la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. 2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación. 3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.) 4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema. 5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física. Ejemplos de sistemas dinámicos descritos funciones de transferencia: circuito RC, RL, RLC, temperatura de un horno (mediante una ecuación diferencial lineal de primer orden τẏ = y + K u), etc. Teorema del Valor Inicial: f(0+) = lím s s F (s). Teorema del Valor Final: (Si el sistema es estable) lím t f(t) = f ss = lím s 0 s F (s) Funciones de transferencia de elementos en cascada 2.4. Diagramas de bloques Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones que lleva a cabo cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa una representación denominada diagrama de bloques [3]. Diagramas de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tal diagrama muestra las relaciones existentes entre los diversos componentes [3]. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. 5

6 La punta de flecha que señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Tales flechas se conocen como señales. Las ventajas de la representación mediante diagramas de bloques de un sistema estriban en que es fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con sólo conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño general del sistema. En general, la operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único. Es posible dibujar varios diagramas de bloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista del análisis. Punto suma. Un círculo con una cruz es el símbolo que indica una operación de suma. El signo de más o de menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades. Punto de ramificación. Un punto de ramificación es aquel a partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos suma. Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La figura siguiente muestra un ejemplo de un diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La salida C(S) se realimenta al punto suma, en donde se compara con la entrada de referencia R(s). La naturaleza en lazo cerrado del sistema se indica con claridad en la figura. La salida del bloque, C(s) en este caso, se obtiene multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque, E(s). Cualquier sistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama de bloques formado por puntos suma, bloques y puntos de ramificación. Cuando la salida se realimenta al punto suma para compararse con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida en la de la señal de entrada. Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura, por lo general la señal de salida es la temperatura controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de la temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de que pueda compararse con la señal de entrada. Esta conversión se consigue mediante el elemento de realimentación, cuya función de transferencia es H(s) como se aprecia en la figura siguiente. 6

7 A partir de la figura anterior, se m puede definir lo siguiente: FT en lazo abierto: B(s) = G(s) H(s) E(s) FT de trayectoria directa: C(s) E(s) = G(s). Cuando H(s) es la unidad, las dos FT anteriores son las mismas Función de transferencia en lazo cerrado. Para el sistema que aparece en la figura anterior, la salida Y (s) y la entrada de referencia R(s) se relacionan como Y (s) R(s) = G(s) 1 + G(s)H(s). [3]. Ver [1] pp. 39 del impreso Reglas del álgebra de bloques y reducción de diagramas de bloques básicos Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifica mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques. Ver tabla siguiente [3]: La simplificación de un diagrama de bloques mediante re-ordenamientos y sustituciones reduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático subsecuente. Sin embargo, debe señalarse que, conforme se simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos. EJEMPLO: Reduzca el siguiente diagrama de bloques [3]. 7

8 2.5. Sistemas multi-entrada multi-salida y matrices de transferencia Considere el siguiente diagrama de bloques correspondiente a un sistema MIMO Las relaciones de la función de transferencia del sistema se expresan en forma matricial como Y (s) = G(s)U(s) U(s) = R(s) B(s) B(s) = H(s)Y (s) entonces y resolviendo para Y (s) se llega a Y (s) = G(s)R(s) G(s)H(s)Y (s) Y (s) = [I + G(s)H(s)] 1 G(s)R(s) donde la matriz de transferencia es por tanto M(s) = [I + G(s)H(s)] 1 G(s). Finalmente, el sistema mimo se puede escribir como Y (s) = M(s)R(s) 8

9 EJEMPLO: Determine la función de transferencia de un sistema MIMO donde G(s) y H(s) son 1 1 [ ] G(s) = s + 1 s ; H(s) = s + 2 SOL: Ver [2] pp. 86 del impreso. Ver [1] pp. 55 del impreso. Ejemplo de un sistema MIMO: Un circuito con la siguiente descripción: Fuente-RC-RC-R-Fuente (parecido a un circuito pi), donde se tienen dos entradas y dos salidas (los voltajes en cada capacitor) Sistemas sometidos a una perturbación Ver [1] pp. 60 del impreso. Ver [3] pp. 66 del impreso. La figura siguiente muestra un diagrama a bloques de un sistema en lazo cerrado el cual está perturbado por D(s). 9

10 Cuando se presentan dos entradas (la entrada de referencia y la perturbación) en un sistema lineal, cada una de ellas puede tratarse en forma independiente (por el principio de superposición); y las salidas correspondientes a cada entrada pueden sumarse para obtener la salida completa. La forma en que se introduce cada entrada en el sistema se muestra en el punto suma mediante un signo de más o de menos. Al examinar el efecto de la perturbación D(s), podemos suponer que el sistema está inicialmente relajado, con un error cero; después podemos calcular la respuesta C D (s) sólo para la perturbación (es decir, la salida en función únicamente de D(s) y R(s) = 0). Esta respuesta del sistema se encuentra a partir de C D (s) D(s) = G 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)h(s) Considérese ahora que G 1 (s)h(s) 1. Note que G 1 (s) es el controlador, por lo tanto si su ganancia es grande, el efecto de tal perturbación es atenuado inversamente proporcional a la ganancia del controlador. En este caso, la función de transferencia en lazo cerrado C D (s)/d(s) se hace casi cero, y se suprime el efecto de la perturbación. Ésta es una ventaja del sistema en lazo cerrado. Por parte de la función de transferencia C R (s) R(s) = G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)h(s) la cual es la correspondiente únicamente a la entrada R(s) y considerando que G 1 (s) G 2 (s) H(s) 1, entonces la funcion de transferencia en lazo cerrado C R (s)/r(s) se vuelve independiente de G 1 (s) y G 2 (s) y se hace inversamente proporcional a H(s). Es fácil observar que cualquier sistema en lazo cerrado con una realimentación unitaria, H(s) = 1, tiende a hacer iguales la entrada y la salida Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de no linealidades Ver [3] pp. 100 del pdf. Es deseable que los modelos matemáticos sean lineales, esto por su sencillez con respecto a los no lineales, y porque en muchos casos pueden representar en forma precisa el comportamiento de sistemas reales. Sin embargo, los avances tecnológicos actuales han generado una enorme variedad de nuevos problemas y aplicaciones que son del tipo no lineal. Aunque algunos sistemas físicos tienen una región de operación muy cercana a la lineal para cierto rango de valores de entrada y salida, otros sistemas importantes son no lineales para señales de cualquier tamaño. Por ejemplo en los sistemas de control de encendido y apagado, la acción de control está activada o no activada, y no hay una relación lineal entre la entrada y la salida del controlador. En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo el péndulo simple (hacer figura del péndulo simple), donde su comportamiento dinámico se describe por una ecuación diferencial no lineal ml d2 θ(t) dt 2 + mg sin θ(t) + kl dθ(t) dt donde θ(t) es el ángulo, u es el par aplicado al péndulo, m es la masa, l es la longitud del péndulo, g es la gravedad y k es el coeficiente de fricción. Otros ejemplos, la salida de un componente puede saturarse para señales de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte las señales pequeñas. (La zona muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada ante las cuales el componente es insensible). Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. = u 10

11 2.8. Linealización de Sistemas No Lineales El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque linealizar ecuaciones no lineales permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales. El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en la expansión de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención solo del término lineal. Debido a que no consideramos los términos de orden superior de la expansión en series de Taylor, estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables sólo se desvían ligeramente de la condición de operación. Considera el caso escalar de una ecuación diferencial no lineal como dx dt = f(x). Expandiendo en series de Taylor alrededor de x 0 el lado derecho de tal ecuación, se obtiene ẋ = f (x 0 ) + 1 df (x x 0 ) + 1 d 2 f x=x0 1! dx x=x0 2! dx 2 (x x 0 ) 2 + T.O.S. Haciendo el siguiente cambio de variables x = x x 0, ẋ 0 = f (x 0 ) y despreciando los términos de orden mayor a 1, se obtendría el modelo lineal en x como ẋ = ẋ ẋ 0 = df (x x 0 ) dx x=x0 = A x, A = df. dx x=x0 De manera general, sea el sistema en espacio de estados dx dt = f(x, u) (2) donde x es el vector de estado del sistema, u es el vector de entrada y f es una función no lineal del vector de estado y de entrada del sistema. Expandiendo en series de Taylor el sistema 2 alrededor de (x 0, u 0 ), y despreciando los términos de orden superior, se obtiene ẋ i = f i (x 0, u 0 ) + n j=1 f i (x, u) x j x0,u 0 (x j x 0j ) + donde i es el i ésima variable de estado del sistema y m es la m ésima entrada. Definiendo x i = x i x 0i m j=1 f i (x, u) u j x0,u 0 (u j u 0j ) (3) u i = u i u 0i 11

12 j=1 ẋ 0i = f i (x 0, u 0 ) entonces, despreciando los términos de orden mayor a 1, el sistema 3 alrededor del punto de interés se puede re-escribir como n f i (x, u) m f i (x, u) ẋ i = x j + u j x j x0,u 0 u j x0,u 0 o bien, de manera vectorial j=1 ẋ = A x + B r donde x = [ x 1 x 2 x n ] T, x = [ u1 u 2 u m ] T y y Para el caso escalar se tiene entonces que donde Ejemplo: Linealice el sistema A = B = n j=1 m j=1 f i (x, u) x j x0,u 0 f i (x, u) u j x0,u 0. ẋ = A x A = df. dx x=x0 ml d2 θ(t) dt 2 alrededor del cero, es decir x 1e = 0 y x 2e = 0. Ejemplo: Linealice el sistema alrededor de x 1e = δ y x 2e = 0. ml d2 θ(t) dt 2 + mg sin θ(t) + kl dθ(t) dt + mg sin θ(t) + kl dθ(t) dt = u = u Tarea: Sea el sistema de levitación magnética con ecuaciones de estado ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = g 1 M x 2 3 x 1 ẋ 3 = R L x L u donde x 1 es la posición vertical de la esfera de acero (x 1 = y), x 2 es la velocidad vertical de la esfera (x 2 = ẋ 1 = dy/dt) y x 3 es la corriente de la bobina (x 3 = i); R es la resistencia, L es la inductancia, M es la masa de la esfera, g es la gravedad, u = e(t) es el voltaje de entrada. Linealice el sistema en el punto de equilibrio x 01 = constante. Exprese la linealización mediante representacion en espacio de estados. Ver siguiente figura 12

13 Ver [3] pp. 100 del pdf y pp del impreso. Ver [1] pp. 124 del impreso Modelado de sistemas de nivel de líquido Ver [3] pp. 92 del pdf Modelado de sistemas eléctricos Las relaciones de voltaje y corriente para el capacitor son: V C (t) = 1 i C (t) dt, i C (t) = C dv C(t). C dt Las relaciones de voltaje y corriente para el inductor son: V L (t) = L di L(t), i L (t) = 1 dt L V L (t) dt. Ver [3] pp. 87 del pdf y pp. 90 del impreso Modelado de sistemas electrónicos Considere el modelado de circuitos con amplificadores operacionales. Estos dispositivos son utilizados en ingeniería de control para el diseño de controladores analógicos, ya que a partir de ellos se pueden desarrollar controladores como tipo P, PD, PI, PID, redes a atraso-adelanto, etc. La esquema electrónico del dispositivo se muestra en la siguiente figura: El amplificador operacional (op-amp) ideal las siguientes propiedades: 1. El voltaje entre las terminales + y es cero, esto es, e + = e. Esta propiedad se conoce comúnmente como tierra virtual o corto virtual. 13

14 2. Las corriente dentro de las terminales + y es cero. Por lo tanto la impedancia de entrada es infinita. 3. La impedancia vista hacia la terminal de salida es cero. Por tanto, la salida es una fuente de voltaje ideal. 4. La relación entrada-salida es e 0 = A (e + e ), donde A es la ganancia, la cual tiende al infinito. Algunas configuraciones básicas: Amplificador Inversor. Considere el amplificador operacional de la siguiente figura: A partir de los flujos de corriente en el circuito se puede deducir que i 1 = e i e R 1, i 2 = e e 0 R 2, e + = e = 0 y ademas se observa que i 1 = i 2, por lo que o bien e i R 1 = e 0 R 2 e 0 = R 2 R 1 e i. Amplificador No Inversor. Considere la configuración De manera general [2]: 14

15 Tarea: Diseñar un sistema con amplificadores operacionales que representen la ecuación diferencial ẏ = ay + bu, con a = 1, b = 1 y un controlador tipo PI con amplificadores operacionales para controlar el sistema a un valor de referencia de 2 volts. Compare las respuestas del simulador electrónico con la implementación en simulink con funciones de transferencia Modelado de sistemas mecánicos La mayoría de los sistemas de control están compuestos por elementos mecánicos y eléctricos, aunque algunos también pueden contener elementos mecánicos o hidráulicos.matemáticamente existe una analogía entre los elementos mecánicos y los eléctricos, de hecho, se puede demostrar que dado un dispositivo eléctrico, normalmente existe una contraparte mecánica análoga, y viceversa. El movimiento de los elementos mecánicos se puede describir en varias dimensiones como de traslación y rotación, o sus combinaciones. La ley de movimiento de Newton es la que describe el movimiento de los sistemas mecánicos. 15

16 Modelado de sistemas mecánicos de traslación El movimiento de traslación está definido como un movimiento que toma lugar a lo largo de una línea recta. Las variables que se utilizan para describir este movimiento son la aceleración, velocidad y desplazamiento. La ley del movimiento de Newton establece que: La suma algebraica de las de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en una dirección dada es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración en la misma dirección, matemáticamente F uerzas = M a donde M es la masa y a es la aceleración en la dirección considerada. En general, para el movimiento de traslación se involucran los siguientes elementos: Masa. La masa es la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de traslación, de esta forma, la masa es análoga a la inductancia en circuitos eléctricos. La masa es calculada como M = W g donde g es la aceleración de caída libre de un cuerpo debida a la gravedad y tiene un valor de g = ft/s 2 en el sistema ingles y de g = m/s 2 en el SI de unidades. La siguiente tabla muestra las unidades básicas encontradas en un sistema mecánico. Conversiones básicas son: 1 kg = lb (masa) = slug, 1 N = lb (fuerza), 1 m = ft = plg y 1 ft = m. La siguiente figura muestra una fuerza actuando sobre un cuerpo con masa M cuya descripción matemática es donde y(t) es posición y v(t) es velocidad. f(t) = Ma(t) = M d2 y(t) dt 2 = M dv(t) dt Resorte lineal. Este puede ser modelado un elemento que almacena energía potencial, por lo que es análogo a un capacitor en un circuito eléctrico. Todos los resortes son no lineales en la vida real, aunque si la deformación del mismo es pequeña, su comportamiento se puede aproximar por la relación lineal f(t) = K y(t) donde Kes la constante del resorte o simplemente la rigidez. Las unidades de la constante K del resorte en el SI son N/m mientras que en el ingles lb/ft. La ecuación del resorte implica que la fuerza que actúa sobre el resorte es directamente proporcional al desplazamiento (deformación) del resorte. La representación del resorte es la siguiente 16

17 Si el resorte es precargado con una tensión T, la ecuación del resorte se convierte en f(t) T = K y(t). Fricción para el movimiento de traslación. Cuando exista movimiento o tendencia de movimiento entre dos elementos físicos, se presentan fuerzas de fricción, las cuales son de naturaleza no lineal y dependen de factores como composición de las superficies, la presión entre las mismas, su velocidad relativa, lo que hace difícil describirla. Existen tres tipo de fricción que se emplean comúnmente: fricción viscosa, fricción estática y fricción de Coulomb. Fricción viscosa. Representa una fuerza que es una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad. A menudo esta fricción es representada como un amortiguador (ver figura). La descripción matemática es para esta fricción es f(t) = B dy(t) dt donde B es el coeficiente de fricción viscosa. Las unidades del coeficiente B son (N s)/m en el SI, mientras que (lb s)/ft en el sistema ingles. Fricción estática. Representa una fuerza que tiende a prevenir el movimiento desde el comienzo. Su ecuación f(t) = ±(F s ) ẏ=0 es decir, una fricción que está presente únicamente cuando la velocidad es cero (ẏ = 0), y desaparece cuando se está en movimiento. Fricción de Coulomb. Es una fuerza que tiene una amplitud constante respecto al cambio de velocidad, pero el signo de la fuerza de fricción cambia al invertir la dirección de la velocidad. Su ecuación es f(t) = F c dy(t)/dt dy(t)/dt donde F c es el coeficiente de la fricción de Coulomb. La siguiente figura muestra las diferentes fuerzas de fricción Modelado de sistemas mecánicos de rotación y trenes de engranes Modelado de Motores de CD Ver [1] pp. 116 del impreso. 17

18 Señal en el tiempo f(t) F (s) Impulso δ(t) 1 Escalón 1 1/s Rampa t 1/s 2 Parábola t n, n = 1, 2, 3,... n!/s n+1 Senoidal sin(ωt) ω/ ( s 2 + ω 2) Tabla 2: Señales típicas y su transformada de Laplace Modelado de Servomecanismos Primer Examen Parcial (2 hrs) 3. Análisis de Respuesta Transitoria 3.1. Introducción En la unidad anterior se planteó que el primer paso para analizar un sistema de control iniciaba con obtener un modelo matemático del mismo. Una vez obtenido tal modelo, existen varios métodos para el análisis del desempeño del sistema. Muchos criterios de análisis y diseño se basan introducir ciertas señales de prueba al sistema y observar la respuesta, o bien, analizar la respuesta ante los cambios en las condiciones iniciales (sin señales de prueba). El uso de señales de prueba se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales Señales de prueba típicas Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones impulso, escalón, rampa, parábola, senoidales, etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que las señales son funciones del tiempo muy simples. Ver tabla 2. La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia bajo una operación normal determina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas una función escalón sería una buena señal de prueba; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor. Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general el desempeño del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio Respuesta transitoria y respuesta en estado estable La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito. Por lo tanto, la respuesta del sistema c(t) se puede escribir como c(t) = c tr + c ss (t) donde c tr es la respuesta transitoria y c ss (t) es la respuesta en estado estable. 18

19 Figura 1: Sistema de primer orden Estabilidad absoluta y error en estado estable Al diseñar un sistema de control, debemos ser capaces de predecir su comportamiento dinámico a partir del conocimiento de los componentes. La característica más importante del comportamiento dinámico de un sistema de control es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema es estable o inestable. Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es críticamente estable si las oscilaciones de la salida continúan para siempre. Es inestable si la salida diverge sin límite a partir de su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Si la salida de un sistema en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error en estado estable. Este error indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable Respuesta al escalón de sistemas de primer orden Considere el sistema de primer orden de la Figura 1(a). Físicamente, este sistema representa un circuito RC, un sistema térmico, nivel de líquido en un tanque, velocidad de un motor con respuesta sobre-amortiguada, etc. La Figura 1(b) presenta un diagrama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero. Observe que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia exhibirán la misma salida en respuesta a la misma entrada Caracterización de la respuesta transitoria a un sistema ante una entrada escalón unitario Considerando que la función de transferencia (relación entrada-salida) está dado por C(s) R(s) = 1 T s + 1 donde la entrada es un escalón unitario, entonces la salida en el dominio de la frecuencia está dada por C(s) = 1 s T T s + 1 = 1 s 1 s + 1/T mientras que en el tiempo (aplicando transformada de Laplace inversa) por c(t) = 1 e t/t, t 0. (4) La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que 19

20 la respuesta c(t) alcanzó 63.2 % de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir, c(t ) = 1 e 1 = Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. La curva de respuesta exponencial c(t) obtenida mediante la ecuación (4) aparece en la figura siguiente. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2 % del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5 % del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3 %, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t 4T, la respuesta permanece dentro del 2 % del valor final. Como se observa en la ecuación (4), el estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2 % del valor final, o cuatro constantes de tiempo. Ejemplo. Determine la expresión de la salida del sistema G(s) = 20 s + 4 que está sujeto a una entrada tipo escalón unitario. Cuánto tiempo le toma alcanzar el estado estable (98 % de su valor final)? Ejemplo. Determine la expresión de la salida del sistema que está sujeto a una entrada tipo escalón unitario. G(s) = s + 4 s Constante de tiempo, tiempo de levantamiento y de asentamiento La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas (si es un sistema de segundo orden) antes de alcanzar el estado estable, mientras que el de primer orden no. Estas especificaciones se definen enseguida y aparecen en forma gráfica en la figura... Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente: 1. Tiempo de retardo, t d 2. Tiempo de levantamiento, t r 3. Tiempo pico, t p 4. Sobrepaso máximo, M p 20

21 Figura 2: Respuesta de un sistema de segundo orden 5. Tiempo de asentamiento, t s. Tiempo de retardo, t d : el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final. Tiempo de levantamiento, t r : el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90 %, del 5 al 95 % o del 0 al 100 % de su valor final. Para sistemas sub-amortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100 %. Para sistemas sobre-amortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90 %. Tiempo pico, t p : el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso. Sobrepaso máximo (porcentaje), M g : el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante Porcentaje de sobrepaso máximo = c(t p) c( ) c( ) 100 %. La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema. Tiempo de asentamiento, t s : el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5 %) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cuál criterio de error en porcentaje usar. Ver [3] pp. 222 del impreso Efecto de un polo y cero adicional Ver [1] pp. 149 del impreso. Ver [1] pp. 153 del impreso Respuesta al escalón de sistemas de segundo orden Ver [3] pp. 141 del pdf o pp. 224 del impreso Caso sobre-amortiguado Ver [3] pp. 228 del impreso. 21

22 Caso críticamente amortiguado Ver [3] pp. 227 del impreso Casos sub-amortiguado Ver [3] pp. 226 del impreso Especificaciones de respuesta transitoria Ver [3] pp. 229 del impreso Sistemas dominantes de segundo orden Ver [2] pp. 422 del impreso. Ver [1] pp. 185 del impreso Errores en estado estacionario Ver [3] pp. 288 del impreso. 4. Análisis de Estabilidad 4.1. Definiendo la estabilidad Definición de estabilidad para entrada limitada-salida limitada Ver [2] pp. 328 del impreso Definición de estabilidad en el sentido de la respuesta al impulso Ver [1] pp. 192 del impreso Definición de estabilidad y polos Ver [1] pp. 193 del impreso El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Ver [3] pp. 232 del pdf Definición de criterio de Routh-Hurwitz Ver [3] pp. 275 del impreso Criterio de Routh-Hurwitz para casos especiales Ver [3] pp. 278 del impreso. 22

23 Diseño de estabilidad usando el criterio de Routh-Hurwitz Ver [3] pp. 280 del impreso Estabilidad relativa Ver [3] pp. 280 del impreso Control de la respuesta transitoria de los sistemas de control Segundo Examen Parcial (2 hrs) 5. Análisis y Diseño de Controladores en el Dominio del Tiempo Ver [3] pp.?? del pdf. Ver [2] Capitulo Clasificación de los controladores automáticos Ver [1] pp. 240 del impreso Acción de control de dos posiciones (ON-OFF) 5.3. Acción de control proporcional (P) 5.4. Acción de control integral (I) 5.5. Acción de control proporcional e integral (PI) 5.6. Acción de control proporcional y derivativa (PD) 5.7. Acción de control proporcional, integral y derivativa (PID) 5.8. Error en estado estacionario bajo control P y PI 5.9. Respuesta a perturbaciones bajo control P y PI Sintonización de PID s Estructura de controladores PIDs 23

24 Considere la función de transferencia G(s) = k 0e sτ0 γ 0 s + 1, γ 0 > 0. Ver [3] pp. 669 del pdf Reglas de Ziegler-Nichols (Respuesta transitoria y Oscilaciones Sostenidas) Método de oscilaciones amortiguadas (Método de Harriot). 6. Conceptos y herramientas complementarias Teorema del Valor Final: (Si el sistema es estable) lím t x(t) = x ss = lím s 0 s X(s). 24

25 6.1. Expansión en fracciones parciales para polos repetidos Para este caso se sigue la siguiente forma: con A 1 s + p + A 2 (s + p) A n (s + p) n 1 d n i A i = (n i)! ds n i [(s + p)n Y (s)], i = 1, 2,..., n. s=p Tercer Examen parcial o Proyecto final (2 Horas) Referencias [1] Isidro I. Lazaro Castillo. Ingeniería de Sistemas de Control Continuo. Editorial Universitaria, Morelia, Mexico, [2] Benjamin C. Kuo. Sistemas de Control Automático. Prentice-Hall Hispanoamericana, Upper Saddle River, NJ, USA, [3] K Ogata. Ingeniería de Control Moderno. Prentice-Hall, Madrid, Espana,