Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Negocios. Martes 30 de Marzo, 2010 Slide 1

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1 Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Negocios Martes 30 de Marzo, 2010 Slide 1

2 Capítulo 3 Estadística Descriptiva: Métodos Numéricos n Medidas de Localización n Medidas de Variabilidad n Medidas de localización Relativa y Detección de Outliers n Análisis de Datos Exploratorio n Medidas de Asociación entre dos Variables n La Media Ponderada y Datos Agrupados x Slide 2

3 Medidas de Localización n Media n Mediana n Moda n Percentiles n Cuartiles Slide 3

4 Ejemplo: Renta de Apartamentos Se presenta una muestra de valores de arriendo mensual ($) para departamentos de un ambiente. La muestra es de tamaño 70 en una ciudad particular. Los datos son presentados en orden ascendiente Slide 4

5 Media n La media de un conjunto de datos es el promedio de todos los valores de los datos. n Si los datos son muestrales, denotamos a la media mediante x xi x n n Si los datos provienen de la población, denotamos a la media por m (mu). xi N Slide 5

6 Ejemplo: Renta de Apartamentos n Media x x i 34, 356 n Slide 6

7 Mediana n La mediana es la medida de localización más frecuentemente usada para ingresos anuales y todo tipo de datos de valores de propiedad. n Si existen algunos datos extremadamente grandes de ingreso o valores de propiedad, esto puede inflar a la mediana. Slide 7

8 Mediana n La mediana de un conjunto de datos es el valor que se encuentra justo en el medio cuando los datos se ordenan en orden ascendente. n Para un número impar de observaciones, la mediana es también el valor de en medio. n Para un número par de observaciones, la mediana es el promedio de los dos valores centrales. Slide 8

9 Ejemplo: Renta de apartamentos n Mediana, Dónde se encontrará? En i! Mediana = 50th percentil i = (p/100)n = (50/100)70 = 35.5 Promediando el valor 35vo y 36vo tenemos (n par) : Mediana = ( )/2 = Slide 9

10 Moda n La moda de un conjunto de datos es el valor que ocurre con mayor frecuencia. n La mayor frecuencia puede ocurrir en dos o más valores diferentes n Si el conjunto de datos tiene exactamente dos modas, los datos se denominan bimodales. n Si el conjunto de datos tiene más de dos modas, los datos se denominan multimodales. Slide 10

11 Ejemplo: Renta de apartamentos n Moda 450 es el valor que más se repite (7 veces) Moda = Slide 11

12 Percentiles n Un percentil provee información acerca de cómo se encuentran esparcidos los datos sobre un intervalo, desde el valor más pequeño hasta el más grande. n Los puntajes de admisión a los colegios y universidades, por ejemplo, son comúnmente expresados en términos de percentiles. Slide 12

13 Percentiles n El pth percentil de un conjunto de datos es un valor tal que al menos un porcentaje p de los elementos toman dicho valor o menos, y al menos un porcentaje (100 - p) de los datos toman dicho valor o más. Primero hay que ordenar los datos de manera ascendente. Después computar el índice i, la posición del p-ésimo percentil. i = (p/100)n Si i no es entero, redondear. El percentil p-ésimo es el valor que se encuentra en la i-ésimo posición. Si i es un entero, el percentil p-ésimo es el promedio de los valores en las posiciones i-ésima y (i+1) -ésima. Slide 13

14 Ejemplo: Renta de apartamentos n Encontremos el percentil 90vo i = (p/100)n = (90/100)70 = 63 Promediando los valores 63vo y 64vo: 90vo Percentil = ( )/2 = Slide 14

15 Cuartiles n Los Cuartiles son únicamente percentiles con valores específicos n Primer Cuartil = 25th Percentil n Segundo Cuartil = 50th Percentil = Mediana n Tercer Cuartil = 75th Percentil Slide 15

16 Ejemplo: Renta de apartamentos n Tercer Cuartil Tercer Cuartil = 75th percentil i = (p/100)n = (75/100)70 = 52.5 = 53 Tercer Cuartil = Slide 16

17 Medidas de Variabilidad n Muchas veces es deseable considerar medidas de variabilidad o de dispersión, así como medidas de localización. n Por ejemplo, al escoger un proveedor A o un proveedor B, podríamos querer considerar no solo el promedio de tiempos de entrega de insumos que tiene cada uno, sino cuanto varían, en promedio, sus entregas de insumos. Slide 17

18 Medidas de Variabilidad n Rango n Rango Intercuartil n Varianza n Desviación Estándar n Coeficiente de Variación Slide 18

19 Rango n El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor más grande y el valor más chico. n Es la medida más simple de variabilidad. n Es muy sensible en relación a los valores muy grandes, o muy pequeños, de los datos. Slide 19

20 Ejemplo: Renta de apartamentos n Rango Rango = Mayor Valor Menor Valor Rango = = Slide 20

21 Rango Intercuartil n El Rango Intercuartil de un conjunto de datos es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil. n Es el rango para el 50% de los datos centrales. n Ventaja: supera la sensibilidad en relación a valores extremos. Slide 21

22 Ejemplo: Renta de Apartamentos n Rango Intercuartil 3er Cuartil (Q3) = 525 1er Cuartil (Q1) = 445 Rango Intercuartil = Q3 - Q1 = = Slide 22

23 Varianza n La varianza es una medida de variación que utiliza toda la información proveniente de los datos. n Se encuentra basada en la diferencia entre el valor de cada observación (x i ) y media (x en una muestra, para la población). Slide 23

24 Varianza n La varianza es el promedio de las diferencias cuadradas entre cada valor de los datos y su media. n Si los datos son muestrales, denotamos a la varianza mediante s 2. s 2 ( x i x ) n 1 2 n Si los datos son poblacionales, denotamos a la varianza mediante 2. 2 ( xi ) N 2 Slide 24

25 Desviación Estándar n La desviación estándar de un conjunto de datos es la raíz cuadrada positiva de la varianza. n Se mide en las mismas unidades que los datos, lo que la hace más intuitiva y fácil de interpretar, que la varianza. n Si los datos son muestrales, la desviación estándar se denota mediante s. s n Si los datos son poblacionales, la desviación estándar se denota mediante (sigma). s 2 2 Slide 25

26 Coeficiente de Variación n El coeficiente de variación indica que tan grande es la desviación estándar con relación a la media. n Si los datos son muestrales, el coeficiente de variación se computa de la siguiente forma: s x ( 100) n Si los datos son poblacionales, el coeficiente de variación se computa de la siguiente forma : ( 100) Slide 26

27 Ejemplo: Renta de apartamentos n Varianza 2 s xi x 2 ( ) 2, n 1 n Desviación Estándar s 2 s n Coeficiente de Variación s x Slide 27

28 Medidas de Localización Relativa y Detección de Outliers n Valores z n Teorema de Chebyshev n Regla Empírica n Detección de Outliers Slide 28

29 Valores z n Los Valores z son llamados a veces valores estandarizados. n Es un número que denotan a cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor x i de la media. n Si el valor del dato es Menor que la media muestral, tendrá un Valor z Mayor a cero (Positivo). n Si el valor del dato es Mayor que la media muestral, tendrá un Valor z Menor a cero (Negativo). n Un valor igual a la media tendrá un Valor z de cero. z i x i s x Slide 29

30 Ejemplo: Renta de apartamentos n Valores z para el valor más pequeño (425) z x i x s Valores z para todos los datos de nuestro ejemplo: Slide 30

31 Teorema de Chebyshev Dice que por lo menos (1-1/k 2 ) de los elementos en cualquier conjunto de datos se encontrará a k desviaciones estándar de la media. Aquí, k es cualquier valor mayor a 1. Por lo menos el 75% de los elementos se encontrarán alrededor de k = 2 desviaciones estándar de la media. Por lo menos el 89% de los elementos se encontrarán alrededor de k = 3 desviaciones estándar de la media. Por lo menos el 94% de los elementos se encontrarán alrededor de k = 4 desviaciones estándar de la media. Slide 31

32 Ejemplo: Renta de Apartamentos n Teorema de Chebyshev Sea k = 1.5 con = y s = Por lo menos (1-1/(1.5) 2 ) = = 0.56 o 56% de los valores de arriendo deben estar alrededor de x x x - k(s) = (54.74) = 409 y + k(s) = (54.74) = 573 Slide 32

33 Ejemplo: Renta de Apartamentos n Teorema de Chebyshev (continúa ) En realidad, el 86% de los valores de arriendo están entre 409 y Slide 33

34 Regla Empírica Para datos con distribuciones en forma de campana: Aproximadamente el 68% de los datos están alrededor de una desviación estándar de la media. Slide 34

35 Regla Empírica Para datos con distribuciones en forma de campana : Aproximadamente el 95% de los datos están alrededor de dos desviaciones estándar de la media. Slide 35

36 Regla Empírica Para datos con distribuciones en forma de campana: Casi todos (99.7%) de los datos están alrededor de tres desviaciones estándar de la media. Slide 36

37 Ejemplo: Renta de apartamentos n Regla Empírica Intervalo % en Intervalo Alrededor +/- 1s a /70 = 69% Alrededor +/- 2s a /70 = 97% Alrededor +/- 3s a /70 = 100% Slide 37

38 Detectando Outliers n Un outlier es un valor inusualmente pequeño o grande en un grupo de datos. n Un dato con un valor z menor a -3 o mayor que +3 puede ser considerado un outlier. n Puede tratarse de un dato que ha sido incorrectamente capturado, escrito o digitalizado. n Puede ser un dato perteneciente a otro grupo de datos, y erróneamente incluido en el conjunto de datos en el que estamos trabajando. n O puede ser un dato correcto que sí, efectivamente, corresponde a nuestro conjunto de datos de interés! Slide 38

39 Ejemplo: Renta de Apartamentos n Detectando Outliers Los valores z más extremos son y Usando la regla de z > 3 como criterio para la detección de outliers, no tenemos outliers en nuestro conjunto de datos Slide 39

40 Análisis de Datos Exploratorio n Resumen de 5-números n Box Plot Slide 40

41 Resumen de 5-números n Valor menor n Primer Cuartil n Mediana n Tercer Cuartil n Valor Mayor Slide 41

42 Ejemplo: Renta de Apartamentos n Resumen de 5-números Valor Menor = 425 Primer Cuartil = 450 Mediana = 475 Tercer Cuartil = 525 Valor Mayor = Slide 42

43 Box Plot n Se dibuja una caja cuyas puntas terminan en el primer y tercer cuartil n Se dibuja una línea vertical en la caja en la localización de la mediana. n Los límites se encuentran (no se dibujan) usando el Rango Intercuartil (IQR). El límite inferior se localiza 1.5(IQR) debajo de Q1. El límite superior se localiza 1.5(IQR) arriba de Q3. Todos los datos que se encuentran fuera de dichos límites son considerados outliers. continúa Slide 43

44 Box Plot (Continúa ) n Se dibujan líneas puntuadas desde las esquinas de la caja y hasta el valor más pequeño y más grande que existan dentro de los límites. n La localización de cada outlier se muestra con el símbolo *. Slide 44

45 Ejemplo: Renta de Apartamentos n Box Plot Límite Inferior: Q1-1.5(IQR) = (75) = Límite Superior: Q (IQR) = (75) = No existen Outliers Slide 45

46 Medidas de asociación entre dos Variables n Covarianza n Coeficiente de Correlación Slide 46

47 Covarianza n La covarianza es una medida de la asociación lineal entre dos variables. n Valores positivos de la covarianza indican una relación positiva entre las variables. n Valores negativos de la covarianza indican una relación negativa entre las variables. Slide 47

48 Covarianza n Si los datos son muestrales, denotamos covarianza mediante s xy. ( x x y y s i )( i ) xy n 1 n Si los datos son poblacionales, denotamos covarianza mediante. xy xy ( x )( y ) i x i y N Slide 48

49 Coeficiente de Correlación n El coeficiente puede tomar valores entre -1 y +1. n Valores cerca de -1 indican una fuerte asociación lineal negativa. n Valores cerca de +1 indican una fuerte asociación lineal positiva. n Si los datos son muestrales, denotamos al coeficiente mediante r xy. r xy s xy s s x y xy xy x y n Si los datos son muestrales, denotamos al coeficiente mediante xy. Slide 49

50 La media ponderada y cómo trabajar con datos agrupados n Media Ponderada n Media para datos agrupados n Varianza para datos agrupados n Desviación Estándar para datos agrupados Slide 50

51 Media Ponderada n Una Media Ponderada es cuando la media es calculada asignando a cada dato un peso específico que refleja su importancia dentro del grupo. n El cálculo de una promedio de grados (GPA en USA), es un ejemplo del cálculo de una media ponderado. En ese caso, los pesos asignados son los números de horas-crédito ganados para cada nota. n Cuando los datos varían en importancia, el analista debe escoger el peso que mejor refleje la importancia de cada valor. Slide 51

52 Media Ponderada x = w i x i w i Donde: x i = Valor de la observación i w i = Peso para la observación i Slide 52

53 Datos Agrupados n El cálculo de Media Ponderada puede ser usado para obtener aproximaciones para la media, la varianza y la desviación estándar de datos agrupados. n Para calcular la media ponderada, tratamos al punto medio de cada clase como si fuera la media de todos los elementos de dicha clase. n Calculamos una media ponderada de los puntos medios de clase usando las frecuencias de clase como pesos. n Similarmente, al calcular la varianza y la desviación estándar, las frecuencias de clase son usadas como pesos. Slide 53

54 n Datos Muestrales n Datos Poblacionales Donde: Media para Datos Agrupados x f f i i N M f f i = Frecuencia de la clase i M i = Punto medio de la clase i i M i i Slide 54

55 Ejemplo: Renta de Apartamentos Abajo se muestran los mismos datos de rentas mensuales pero se presentan como datos agrupados en la forma de una distribución de frecuencias. Renta ($) Frecuencia Slide 55

56 Ejemplo: Renta de Apartamentos n Media para Datos Agrupados Renta ($) f i M i f i M i Total , 525 x Esta aproximación difiere $2.41 de la Media Real de $ Slide 56

57 Varianza para Datos Agrupados n Datos Muestrales n Datos Poblacionales s 2 2 f fi ( Mi x ) n 1 i 2 ( Mi ) N 2 Slide 57

58 Ejemplo: Renta de Apartamentos n Varianza para Datos Agrupados s 2 3, n Desviación Estándar para Datos Agrupados s 3, Esta aproximación difiere solo $0.20 de la desviación estándar efectiva de $54.74 que encontramos anteriormente Slide 58