Estructuras de Datos y Algoritmos

Transcripción

1 Estructuras de Datos y Algoritmos Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda Año 08 Introducción Ya hemos definido recursivamente un árbol binario de búsqueda y hemos planteado una manera de deducir el esfuerzo medio de localización exitosa a priori, usando para ello las funciones i, I y E.Ahora analizaremos otras formas de hacerlo. Tenemos una secuencia de elementos con los que armaremos un árbol binario de búsqueda y queremos calcular el esfuerzo medio de buscar en él exitosamente uno de esos elementos. Además, por simplicidad, vamos a suponer que una sucesión de valores del conjunto se puede ver como isomorfa aunasucesión de los valores de... Vamos a obtener el esfuerzo medio a priori, y por ello estamos pensando en obtener el esfuerzo medio sobre todos los elementos a buscar y también el medio respecto del árbol a construir. Por lo tanto, el universo a promediar tiene! datos (! secuencias y elementos a ser buscados. Vamos a medir los costos en cantidad de celdas consultadas yasumiremosquecualquieradelas secuencias de entrada es igualmente probable de ocurrir y que podemos buscar con éxito, con igual probabilidad, cualquiera de los elementos. Si tenemos elementos, consultamos la raíz ( consulta y la probabilidad de tener éxito en esa primera consulta es ynonecesitohacernadamás (0 consultas adicionales. Pero con probabilidad ( fracasaremos en esa primera pregunta y tendremos que seguir buscando. A su vez, la probabilidad de tener que buscar en un determinado subárbol está relacionadaconlacantidaddeelementos que éste contiene. Entonces, en un árbol cuya raíz es el i +-ésimo elemento (en la sucesión ordenada de los elementos tendría el siguiente árbol: i+ i i si el elemento i +se encuentra como raíz, habrán i elementos en el subárbol izquierdo y i elementos en el derecho, y la fórmula en ese caso sería: Recordar que la suma de probabilidades sobre todo el espacio debe ser igual a. Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda Universidad acional de San Luis - 08

2 ( C( i + 0+ i i C(i+( C( i Pero, no conocemos realmente quéelementoeselqueestácomoraíz y por lo tanto debemos promediar sobre todos los i posibles. Como son isoprobables la probabilidad de cada i es.asíllegamosa la siguiente fórmula, que es la recurrencia inicial para obtener el esfuerzo medio a priori de localización exitosa. Fórmula recurrente inicial: C( + C( ( i C(i+( i C( i + ic(i ( ( ( Se puede observar en ( que al desarrollar la sumatoria cada i C(i aparece dos veces; y por lo tanto se llega a la ecuación (. La última igualdad no es imprescindible, porque la recurrencia la reconstruye para ; es decir que si en ( o en ( reemplazo por el valor de,obtengocomoresultado. El desarrollo de esta fórmula se puede realizar por uno de dos caminos posibles: en forma algebraica ousandofunciones generatrices. Camino Algebraico El primer cambio a realizar sobre la ecuación ( se debe a que como aparece a la derecha ic(i, entonces queremos lograr que a la izquierda aparezca C(. Entonces quedaría: C( + ic(i (4 yahoraporsimplicidaddeescriturarebautizamos C( por D(, yentoncesobtenemoslasiguiente ecuación: D( + D(i (5 ahora conviene hacer desaparecer y tener como límite superior de la sumatoria. Entonces, usamos que: D( + ( ++ + D(i (6 Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda Universidad acional de San Luis - 08

3 en este punto, en cada una de las dos ecuaciones anteriores ((5 y (6 eliminamos los denominadores haciendo: D( + D(i ( +D( + ( + + D(i podemos restar miembro a miembro las dos últimas ecuaciones para eliminar las sumatorias y quedaría: ( +D( + D( ( + +D( ahora resolviendo, despejamos D( +ynosqueda: ( +D( + ( + +D(+D( ( + +( +D( + + +( +D( ++( +D( D( D(+ + + (7 Sabemos que C( yqued( por ser búsqueda exitosa. Pero queremos que la última fórmula hable de y no de +,entonces bajo el +obteniendo: D( + D( + (8 Si reemplazamos en (8 (la última fórmula D(, dejandoad( ahora en función de D( yluegoreemplazamosd( en función de D(, tendríamos: D( + ( + ( D( D( D( (9 Por otra parte, si observamos el primer término de la ecuación (9 podemos deducir la forma que tendrá ese término cuando se alcance el D(: + D( si simplificamos quedarían el mayor numerador y el menor denominador, es decir: + D( (0 Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda Universidad acional de San Luis - 08

4 Podemos simplificar las fracciones que aparecen en los términos de la última fórmula, quedando: D( + + D( ahora podemos multiplicar y dividir el último término por + para que aparezcan términos similares: + D( + + D( Recapitulando, de (0 y (, tenemos la siguiente ecuación: D( ( + + Para ver mejor la fórmula podemos reescribirla como: D( (i así, nos podemos dar cuenta que en todos los términos, salvo el último, el patrón es i(i + yque podemos sacar factor común de ellos a ( +,además si los abreviamos usando una sumatoria vemos que iría desde a.entoncesllegamosasíalafórmula: D( ( + ( i i i(i ( ( Otra manera de encontrar la forma de los términos y resolver la sumatoria sería: D( ( ( ( ( + + ( + ( + ( 5 ( ( + + ( + + }{{} S( (4 sacamos factor común ( + y llamamos S( a la parte de la sumatoria que debemos resolver. Ahora tenemos que resolver S( en (4: ( ( ( S( + ( + ( + ( 5 ( ( + + (j ( ( + j( + j j (5 si ahora llamamos en (5 k ( j vemos que k tomaría los valores desde ( a,oloquees lo mismo desde a (, asítendríamos: S( k k (k + (k +(k + (k + (k +(k + (6 Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda 4 Universidad acional de San Luis - 08

5 ahora podemos volver a renombrar la variable haciendo que i (k en (6, y redifiniendo los límites para i vemos que irían desde a,asítenemosque: S( i (i i (i + (7 ahora volviendo a D( yreemplazandoen(4lafórmula de S(, obtenidaen(7,llegaríamos a la misma expresión que teníamos en (: ( i D( ( (8 i(i + i Podemos verificar la fórmula obteniendo el resultado para los valores conocidos. Viendo los árboles, tenemos que D( y D( ; yreemplazandoenlafórmula anterior, para y, obtenemos también que D( y D(. Para continuar con el método algebraico podemos usar que una división de polinomios, en la que el numerador es de menor orden que el denominador, se puede descomponer como suma de factores: (i i(i + a i + b (i + y resolviendo esta última ecuación tenemos que: a(i ++bi i(i + (a + b i + a i(i + a + b a (9 b (0 Así, reemplazando en (8 los coeficientes obtenidos en (9 y (0 y tendríamos: ( D( ( + i ( ( + i i i ( ( + i (i + + i i (i + i (i + ( Ahora podemos observar que la primera sumatoria casi corresponde a la serie armónica H yla segunda casi correspondería a la serie armónica H +.Adichasseriesnoselesconoceelresultado, apesardenosersiempredivergentes,peroseconocesuaproximación. H i ( i ln + γ + O Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda 5 Universidad acional de San Luis - 08

6 la constante γ es la llamada constante de Euler yesγ 0, yademás a medida que crece el último término es despreciable. Así, normalmente usamos ln como una aproximación a H. Ahora reescribimos nuestra fórmula ( usando lo anterior: ( D( ( + (H + (H + ( Ahora podemos volver areemplazar D(,por loque era C(,yluegoresolver lomás posible: ( C( ( + (H + (H + C( + ( (H + (H + + ( H ++(H ( H ++H ( ++H (H (H ( H + + H ( H + + H + H ( + ln ( ahora, para que el logaritmo de quede en base, hacemos transformación de la base quedando: C( ln ( + log (4 C(,8 ( + log (5 Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda 6 Universidad acional de San Luis - 08

7 Como se puede observar, la ecuación ( obtenida aquí es igual a la obtenida en el apunte de árboles Binarios Ordenados (ver ecuación (4 del mencionado apunte. Usando Funciones Generatrices Primero a la ecuación planteada en ( se le puede hacer un cambio de variable F ( C(. F ( + F (i (6 F ( (7 F (0 0 (8 Para poder eliminar la sumatoria debemos dejarla con coeficiente constante: la reescribimos para : la restamos miembro a miembro: F( + F (i (9 ( F ( ( + F (i (0 F( ( F ( ( +F ( ( F( ( +F ( + ( Para acercarnos a la función generatriz lo multiplicamos por z ylosumamosdesde(paranotener un argumento negativo en la F ( hasta. Finalmentepasamosla a i más habitual como subíndice yescribimoselargumentodef ( como subíndice. if i z i i (i +F i z i + (i z i ( i i La primera sumatoria se puede extender a 0 tanto por el factor i como por el valor de F 0.Enlassumatorias del segundo miembro saco una z ycambiolavariableparaempezaren0. if i z i z (i +F i z i + z (i +z i (4 En lo que sigue D será eloperadordederivada.seconsigueintroducirlosfactoresi con el operador zd.porotraparte z i ( z [ zdf(z z[zdf(z+f (z] + z zd z + ] z (5 Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda 7 Universidad acional de San Luis - 08

8 Podemos suprimir un factor z común a todos los términos [ DF(z [zdf(z+f(z] + zd z + ] (6 z ( zdf(z F (z+ z ( z + (7 z DF(z ( z F (z+ z ( z + ( z (8 DF(z ( z F (z z ( z + ( z (9 Yestoquehemosobtenidoesunaecuación diferencial lineal. La manera de resolverlo es hallar primero la solución de la ecuación homogénea, o sea, con término independiente nulo. DF(z F (z ( z 0 (40 DF(z F (z ( z (4 df (z dz F (z (4 ( z d ln F (z d ln( z (4 ln F (z ln ( z + K (44 F (z K ( z (45 La solución particular se obtiene suponiendo que la constante multiplicativa es una función F (z K(z ( z (46 DF(z DK(z ( z + K(z ( z (47 ( z K(z ( z + z ( z + ( z (48 Igualando los segundos miembros y suprimiendo el término común se tiene DK(z ( z + K(z K(z ( z ( z ( z + z ( z + ( z (49 DK(z z ( z ( z + ( z (50 DK(z z + z (5 z (5 K(z ln( z z (5 F (z ln( z z ( z ( z (54 Cómo sacar de aquí loscoeficientesf n? Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda 8 Universidad acional de San Luis - 08

9 Multiplicar por es lo mismo que hace sumatorias parciales, o sea: ( z z a i z i ( j a k z i (55 j0 k0 Desarrollando según Mac Laurin se puede deducir: Las sumatorias parciales de estos coeficientes son H n. ln( z z + z + z +... (56 ln( z z Pero tenemos z con exponente, o sea, tenemos que volver a sumar. ln( z ( z j H k k0 H i z i (57 z H i z i (58 ( j H k z i (59 j0 j k0 k k0 i k i i j + i i (60 (6 (j +H j j (6 z engendra la sucesión 0,,,,...Susegundasumaengendralasucesión 0,,,,...,conlo ( z cual tenemos: F n (n +H n n n (6 C( ( + H (64 C( ln ( + (65 C( ln ( + log (66 C(,8 ( + log (67 El camino que hemos seguido es mixto, empezamos con un trabajo algebraico y en cierto punto pasamos a funciones generatrices. Podríamos haberlo hecho desde el comienzo convirtiendo ( a funciones generatrices. Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda 9 Universidad acional de San Luis - 08

10 Como reconocemos que los dos términos de la sumatoria dan lo mismo arrancamos de (. Para no tener integrales, sacamos las que dividen multiplicando todo por. C( + ic(i (68 Un factor se introduce con zd,elnúmero con ( z.comolasumatoriallegahasta es una función de ynode por lo tanto sobra una z yseconstruyeunasumatoriamultiplicando por ( z. Aplicando todo esto tenemos: zdzdc(z zdzd z + z zdc(z (69 z Conclusiones Finalmente, cabe destacar que son resultados equivalentes: La fórmula (65 obtenida usando funciones generatrices a partir de la fórmula (, Lafórmula ( obtenida usando el camino algebraico y La fórmula (4, del apunte de árboles Binarios Ordenados, obtenida usando las funciones i, I y E y la relación existente entre esfuerzos de búsqueda exitosa y búsqueda que fracasa. Estructuras de Datos y Algoritmos: Costos de Búsqueda en Árboles Binarios de Búsqueda 0 Universidad acional de San Luis - 08