LUGARES GEOMÉTRICOS ESFERA

Transcripción

1 LUGARES GEOMÉTRICOS Ejercicio nº 1.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A( 4, 0, 0) y B(4, 0, 0) es 40. Identifica la figura resultante. Ejercicio nº.- Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos π: x y + z 1 0 y σ: x + y z Ejercicio nº.- Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos: π : x 4y + z + 0 y σ : x + y 4z 1 0 Ejercicio nº 4.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio tales que su distancia al punto Q(1, 0, 0) es. Identifica la figura resultante. Ejercicio nº 5- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(, 0, 0) y B(, 0, 0) es 106. Identifica la figura resultante. ESFERA Ejercicio nº 6.- Halla la ecuación de la esfera de centro (, 1, 4) y que tiene el mismo radio que: x + y + z 16 0 Ejercicio nº 7.- Escribe la ecuación de la esfera de radio 5, que es concéntrica con la esfera: x + y + z 6x + y 4z Ejercicio nº 8.- Di si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, di su centro y su radio: x + y + z + 4x 1y 1z 6 0 1

2 Ejercicio nº 9.- Averigua si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, halla su centro y su radio: x + y + z 4x 8y + 0 Ejercicio nº 10.- Obtén la ecuación de la esfera que tiene el mismo centro que x + y + z + x + y z 61 0 y es tangente al plano x + y z Ejercicio nº 1.- SOLUCIÓN EJERCICIOS LUGARES GEOMÉTRICOS Halla el lugar geométrico de los puntos, P, cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A( 4, 0, 0) y B(4, 0, 0) es 40. Identifica la figura resultante. Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que: Es decir: ( ) dist ( P B) dist P, A +, 40 ( ) ( ) x y + z + x 4 + y + z 40 x + 8x y + z + x 8x y + z 40 x + y + z 8 x + y + z 4 Es una esfera de centro (0, 0, 0) y radio. Ejercicio nº.- Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos π: x y + z 1 0 y σ: x + y z + 5 0

3 Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, debe tenerse que: dist (P, π) dist (P, σ) Es decir: x y + z 1 x + y z x y + z 1 x + y z + 5 x y + z 1 x + y z + 5 x y + z 1 x y + z 5 x + 4y z x y z Obtenemos los planos bisectores de los ángulos diedros formados por π y σ. Los planos obtenidos son perpendiculares entre sí y se cortan en la misma recta que π y σ. Ejercicio nº.- Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos: π : x 4y + z + 0 y σ : x + y 4z 1 0 Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, debe tenerse que: dist (P, π) dist (P, σ); es decir: x 4y + z+ x + y 4z x 4y + z+ x + y 4z 1 x 4y + z+ x + y 4z 1 x 7y + 6z+ 4 0 x 4y + z+ x y + 4z+ 1 5x y z+ 0 Obtenemos los planos bisectores de los ángulos diedros formados por π y σ. Los planos obtenidos son perpendiculares entre sí y se cortan en la misma recta que π y σ. Ejercicio nº 4.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio tales que su distancia al punto Q(1, 0, 0) es. Identifica la figura resultante.

4 Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, Q) ; es decir: ( ) ( ) x 1 + y + z x 1 + y + z 9 Es una esfera de centro (1, 0, 0) y radio. Ejercicio nº 5- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(, 0, 0) y B(, 0, 0) es 106. Identifica la figura resultante. Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que: [ dist ( P, A) ] + [ dist ( P, B) ] 106 Es decir: (x + ) + y + z + (x ) + y + z 106 x + 4x y + z + x 4x y + z 106 x + y + z 98 x + y + z 49 Obtenemos una esfera de centro (0, 0, 0) y radio 7. ESFERA Ejercicio nº 6.- Halla la ecuación de la esfera de centro (, 1, 4) y que tiene el mismo radio que: x + y + z 16 0 Hallamos el radio: x + y + z 16 Radio

5 Ecuación de la esfera: (x ) + (y 1) + (z + 4) 16 x + y + z 4x y + 8z Ejercicio nº 7.- Escribe la ecuación de la esfera de radio 5, que es concéntrica con la esfera: x + y + z 6x + y 4z Hallamos el centro: x + y + z 6x + y 4z Centro,, Ecuación de la esfera: (x ) + (y + 1) + (z ) 5 x + y + z 6x + y 4z 11 0 Ejercicio nº 8.- (, 1, ) Di si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, di su centro y su radio: x + y + z + 4x 1y 1z 6 0 Dividimos la ecuación entre : x + y + z + 8x 4y 4z Centro, 4, 4 ( 4,, ) Radio ( 1) Es una esfera de centro ( 4,, ) y radio 6. 5

6 Ejercicio nº 9.- Averigua si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, halla su centro y su radio: x + y + z 4x 8y + 0 x + y + z 4x 8y + 0. Dividimos entre : x + y + z x 4y Centro, 4, 0 ( 1,, 0) Radio Es una esfera de centro (1,, 0) y radio. Ejercicio nº 10.- Obtén la ecuación de la esfera que tiene el mismo centro que x + y + z + x + y z 61 0 y es tangente al plano x + y z Hallamos el centro: Centro ( 1, 1, 1) El radio es la distancia del centro al plano tangente: R Ecuación de la esfera: (x + 1) + (y + 1) + (z 1) x + y + z + x + y z 0 6