ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA

Transcripción

1 PRÁCTICA ADICIONAL 5 U poco de Lógica, acertijos y algo más. 1) E la ciudad A todos los habitates dice la verdad, e la ciudad B todos miete. E los siguietes dos problemas asumiremos que cada uo de los implicados vive e A o e B: a) Herá dice: Matías siempre miete Matías dice: Igacio y Herá vive e la misma ciudad E qué ciudad vive Igacio? b) Clara dice: Aa y Victoria vive e la misma ciudad Si se le preguta a Victoria: Clara y Aa vive e la misma ciudad?, qué respode? 2) Recordemos que e las proposicioes codicioales se simboliza por p q, llamamos atecedete a p y cosecuete co q, para efatizar que si pasa p, etoces pasa q. Codició ecesaria y codició suficiete Se dice tambié además de Si p etoces q p es ua codició suficiete para q q es ua codició ecesaria para p Dicho de otro modo (muchas veces por razoes de estilo o por como suea ) es suficiete que pase p para que pase q si pasa p ecesariamete pasa q Por ejemplo: Si u úmero es divisible por 12 etoces es divisible por 6, podemos expresarlo como: Es suficiete que u úmero sea divisible por 12 para que sea divisible por 6 O como: Es ecesario que u úmero sea divisible por 6 para que sea divisible por 12 si y sólo si Hay otras maeras de euciar u codicioal, utilizado las palabras si o sólo si. Cuado decimos: U úmero es racioal sólo si es u úmero real, estamos diciedo que para que u úmero sea racioal ecesariamete debe ser real, esta codició o es suficiete, ya que u úmero puede ser real y o racioal como por ejemplo 2, o es suficiete que u úmero sea real para ser racioal. La proposició es equivalete a decir que si u úmero es racioal etoces es u úmero real. 1

2 Cuado decimos: U úmero es etero si es producto de eteros, estamos diciedo que es suficiete que u úmero sea producto de eteros para ser etero, claramete, esta codició de ser producto de eteros, o es ecesaria, ya que ½.2 =1 es u producto de u racioal y u etero y tambié da u etero. La proposició es equivalete a decir Si u úmero es producto de eteros etoces es u etero. Resumiedo (y recordar) el codicioal p q puede expresarse e leguaje coloquial de varias maeras: Si p etoces q q si p p sólo si q Si p, q p es suficiete para q q es ecesario para p a) Pasar a la forma si.etoces y simbolizar 1. U úmero es atural sólo si es etero 2. Es ecesario ser argetio para ser presidete de la república b) Expresar y simbolizar utilizado la palabra suficiete La temperatura bajará si comieza a soplar el vieto del sur Si u úmero es múltiplo de 4 etoces es múltiplo de 2. c) Expresar y simbolizar utilizado la palabra ecesario Si u úmero es múltiplo de 1 etoces es múltiplo de 5 Pedro es argetio sólo si es americao 5) a) Hallar ua codició ecesaria para: i) Ser múltiplo de 15. (de Córdoba Capital ) ii) Ser cordobés. iii) Aprobar los trabajos prácticos de Algebra, Cálculo Numérico y Geometría Aalítica b) Hallar ua codició suficiete para: i) Ser brillate. ii) Ser u gas. iii) Ser múltiplo de 8. 6) a) Simbolizar defiiedo el uiverso y utilizado cuatificadores y esquemas coveietes Alguos hombres so satos No todo úmero real es u úmero racioal b) Negar las simbolizacioes ateriores y escribirlas e leguaje corriete. 2

3 7) a) Simbolizar defiiedo u uiverso y utilizado cuatificadores y esquemas coveietes de modo que la proposició sea verdadera: Todos los úmeros primos so impares excepto el 2. b) Simbolizar defiiedo u uiverso y utilizado cuatificadores y esquemas coveietes de modo que la proposició sea falsa: Todos los úmeros primos so impares excepto el 2 8)S ea px ( ) : xes u úmero par Para cada ua de las proposicioes a)( x)( px ( )) b) ( x)( px ( )) Aalizar el valor de verdad de cada ua de ellas para los siguietes uiversos: i) U =,1,4 ii) U = 2, 6 iii) U = 1, 7 { } { } { } PROBLEMAS OPTATIVOS E estos acertijos se podrá e juego tu igeio pero tambié tu razoamieto lógico y tu capacidad deductiva. Los dos primeros problemas so del libro Matemática para divertirse de Marti Garder. 1) LAS TRES CORBATAS El señor Pardo, el señor Verde y el señor Negro estaba almorzado jutos. Uo de ellos llevaba ua corbata parda, otro verde y otra egra. Se ha dado cueta, dijo el hombre de la corbata verde, que auque uestras corbatas so de colores iguales a uestros ombres, iguo de osotros lleva la corbata que correspodería a su ombre? Por dios que tiees razó, exclamó el señor Pardo. De qué color era la corbata de cada uo? 2) LAS DOS TRIBUS Ua isla está habitada por dos tribus. Los miembros de ua tribu siempre dice la verdad, los miembros de la otra tribu miete siempre. U misioero se ecotró co dos de estos ativos, uo alto (de ua tribu) y uo bajo (de otra tribu). Eres de los que dice la verdad? pregutó al más alto. UPF, respodió el ativo alto. El misioero recooció la palabra como el térmio ativo que sigifica sí o o, pero o podía recordar cuál de las dos. El ativo bajo hablaba español, así que el misioero le pregutó qué era lo que había dicho su compañero. Dijo sí, replicó el ativo bajo, pero es u gra metiroso. A qué tribu perteecía cada uo de los ativos? El siguiete problema figura e el libro Matemática Estás ahí? de Adriá Paeza 3

4 3) PROBLEMA DE LOS SOMBREROS E ua carcel (para hacerlo u poco más emocioate y dramático) hay 3 reclusos, digamos A, B y C. Se supoe que los 3 ha teido buea coducta y el director de la istitució quiere premiarlos co la libertad. Para eso les dice lo siguiete: Como ve (y les muestra) tego aquí cico sombreros. Tres blacos y dos egros. Lo que voy a hacer es seleccioar tres de ellos, si que ustedes pueda ver cuáles elegí, y se los voy a repartir. Luego de que cada uo de ustedes tega su respectivo sombrero, los voy a poer a los tres e la misma habitació de maera que cada uo pueda ver el sombrero que tiee puestos los otros dos, pero o el propio. Después yo voy a empezar a iterrogar a uo por uo. Cada uo tedrá la oportuidad de decirme qué color de sombrero tiee, pero si adiviar i arriesgar. Cada uo tiee que fudametar su opiió. Cuado uo o puede fudametar su opiió, tiee que pasar. Si al fializar la roda, iguo erró y al meos uo de los tres cotestó correctamete, etoces quedará e libertad. Está claro, además, que iguo de ustedes puede hablar co los otros dos, i comuicarse mediate gestos i establecer igua estrategia. Se trata de cotestar lealmete. Por ejemplo si yo eligiera los sombreros egros y se los diera a A y a C y empezara pregutádole a A qué sombrero tiee, A, al ver que B tiee u sombrero blaco y C uo egro o podría decidir, y tedría que pasar. Pero B al ver que tato A como C tiee sombreros egros, y que e total había dos de ese color, está seguro de que tiee sombrero de color blaco y podría cotestar correctamete. Ua vez que las reglas estuviero claras los separó a los tres. Los puso e 3 habitacioes diferetes, y eligió (como era previsible) los tres sombreros blacos. Luego los hizo pasar a ua habitació comú y empezó a pregutar: - Qué color de sombrero tiee?- le pregutó a A -No lo sé señor- dijo A, al ver co preocupació que tato B como C teía ambos sombreros blacos. - Etoces? - Etoces,- dijo A- paso. -Bie, y usted?- siguió pregutado el director, dirigiedo su preguta a B. -Señor yo tambié tego que pasar. No puedo saber qué color de sombrero tego. -Ahora sólo me queda por pregutarle a uo de ustedes: a C. Qué color de sombrero tiee? C se tomó tiempo para pesar. Miró de uevo. Después cerró u istate los ojos. La impaciecia crecía alrededor de él. E qué estaría pesado C?. Los otros dos reclusos o podía permaecer e silecio mucho más. Se jugaba la libertad de los tres e la respuesta de C. Pero C seguía pesado, hasta que e u mometo, cuado el clima ya era irrespirable, dijo: Bie, señor. Yo sí puedo afirmar algo: mi color de sombrero es blaco. Los otros dos reclusos o podía eteder cómo había hecho, pero lo había dicho: ellos lo escucharo. Ahora, sólo quedaba que lo pudiera explicar para poder garatizar la libertad de todos. Ambos coteía la respiració esperado lo que u istate ates parecía imposible: que C pudiera fudametar su respuesta. Ambos sabía que lo que dijo era cierto, pero faltaba faltaba ada meos que lo pudiera explicar. Podrá hacerlo ustedes? 4

5 PRÁCTICA ADICIONAL 6 Cojutos e iducció Se trabajará e este Práctica Adicioal co el método de Iducció completa. Este método es ua herramieta para probar propiedades de los úmeros aturales, es importate destacar que queremos probar propiedades de TODOS los úmeros aturales desde uo e adelate, o sólo de alguos. 1) Dados los siguietes cojutos: A= 1, 2,5,8,1, B= 1,, 2,5,8 C = x: x= 5k k { } { } { } Hallar : ia ) B iia ) C iii)( A C) B iv)( A B) C 2) Hallar u cojuto B o vacio tal que A = { -1, 2, 3} a) A B =, b) A B = A, c) A B = B Es úico el B para cada caso aterior? Justifique. 3) Demostrar por el método de iducció completa: a) ( )( etoces (2 j -1) = ( + 1) ( -1)) t k = j= b)( t)( t etoces (6k + 1) = ( t + 1) (3t + 1) ) a ( + a) 1 1 ) Suma de ua sucesió aritmética: ( )( 1 etoces [ + ] = ) h= 2 c a hd 1 h a (1 r ) d ) Suma de ua sucesió geométrica: ( )( 1 etoces a1. r = ) 1 r ( 1) ( + 1) e)( )( 2 etoces ( k -1) k = ) 3 k = 2 h= 4) Evaluar si realizar la suma (o deje de relacioarlo co el ejercicio 3) 5 4 a) (2 j-1) b) (6k + 1) j= k= 15 5

6 Usado que ( a+ b) = C(, k). a. b k= k k, igualdad coocida como la Fórmula del biomio de Newto, que vale para todo úmero atural, resolver los siguietes ejercicios. 5) Evaluar si calcular los úmeros combiatorios: a) C(4,) + C(4,1) 3 + C(4,2) 9 + C(4,3) 27 b) C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5) c) -C(5,) + C(5,1) - C(5,2) + C(5,3) - C(5,4) + C(5,5) 1 6) Hallar el térmio de grado 4 e t del desarrollo de (2 t + ) t ) Hallar el térmio de grado 1 e x del desarrollo de (3 x + x ) ) Usado la fórmula del biomio de Newto y sabiedo que x y y 1, calcular: ( 1) ( 2) ( x x x x x x ) (2 + ) + ( 1) ( + 1) (2 + ) + ( 1) ( + 1) (2 + ) +...+( 1) ( + 1) 4 6