Segundo Coeficiente Virial para el Helio... La teoría es diferente de la práctica?

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1 Sgdo Coficit iial paa l Hlio... La toía s dift d la páctica? Ei lbaá-zavala Dpatamto d Fíca, Escla Spio d Fíca y Matmáticas, stitto Politécico acioal, U.P. dolfo Lópz Matos, C.P. 778, México, D.F. Facltad d giía, Dicció cadémica d giía Qímica, Uivdad cológica d México, Camps tizapá, C.P., México, Edo. Mx. casa_i@yahoo.com (Rcibido l d ovimb d 8, acptado l d Eo d ) Rsm E st atíclo popomos jcicio paa almos d modiámica dod ti q aaliza los modlos matmáticos d Esfas Das y d a d Waals paa l Sgdo Coficit iial dl Hlio y compaalos cota los datos xpimtals, obsvado q dichos modlos so isficits. Dbido a llo, s spa q l almo pda dsaolla modlo altativo paa obt a mjo dscipció d los datos xpimtals. Palabas clav: Hlio, Sgdo Coficit iial, a d Waals, Esfas Das, Jagla. bstact this pap w popos a xcis fo hmodyamics stdts wh thy hav to aalyz th Had Sphs ad a d Waals mathmatical modls fo th Scod iial Cofficit of Hlim ad compa thm with th xpimtal data, watchig that thos modls a ot good ogh. D to this, w hop that th stdt will b abl to dvlop a altativ mathmatical modl to gt a btt dsciptio fo xpimtal data. Kywods: Hlim, Scod iial Cofficit, a d Waals, Had Sphs, Jagla. PCS:.7.-a,..+i, 7..f, 7..bd SS 87-. RODUCCÓ odo pofso d Fíca y gal, todo pofso d cicias s ha tido q fta al cstioamito platado po los almos sob la tilidad y la vacidad d las toías q s l stá sñado. Es my comú sccha los gits comtaios: Pofso, d q v q std os sñ stas cacios la vida al o so aplicabls?, La toía s compltamt dift d la páctica, Cado o ti q ftas a poblmas als, la toía q vi los libos o s sficit paa pod solvlos. Si aalizamos stos comtaios foma dtida impacial obsvamos q l almo ti mcha azó. Po jmplo, dat la scdaía y la ppaatoia, l almo cooc y tiliza la Ecació dl Gas dal paa dscibi l compotamito d los gass, dod P s la pó, s l volm, s l úmo d s, R s la costat ivsal d los gass y s la tmpata absolta []: P. () Si mbago, como s omb lo dic, la cació dl gas idal s paa gass cyas popidads o xist la vida al, s dci, la cació () o pd dscibi a gas al codicios als, y s st momto cado sg las potstas po pat d los almos. Postiomt, cado l almo ast a los csos itodctoios d modiámica s da cta q xist otas cacios q pd xplica l compotamito d los gass co mayo vacidad como so las cacios dl iial, a d Waals, Rdlich-Kwog, colacios d L-Ksl, colacios d Pitz, tc. Dsafotadamt, l almo s qda co cita ictidmb, dbido a q o tid cádo tiliza a ota cació. Ua foma my ápida d jmplifica sto s solvido poblma d gass als tilizado distitas fómlas q implica difts gados d apoximació. Est poblma pd s cosltado l capítlo d Smith, t. al. []. Poblma: La pó dl cloo d mtilo s stado d qilibio líqido-vapo a C s d.7 ba. Calcl l volm a () dl vapo satado tilizado: a) la cació dl Gas dal, b) la cació d a d Waals y c) la cació d Rdlich-Kwog. Las popidads cíticas dl cloo d mtilo so: tmpata cítica C =. K, pó cítica P C =.8 ba. a) Ecació dl Gas dal: Paa st poblma sólo dbmos dspja l volm a d la cació () y sstiti datos, tomado R = 8.7 (ba cm )( K). Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja.

2 dod l volm a s dfi como: Ralizado los cálclos s ti:, () P. () bacm 8.7. K.7 ba, () K, cm. () b) Ecació d a d Waals: Esta cació costa d los paámtos a y b, los cals so spcíficos paa cada gas y pd s obtidos a pati d las popidads cíticas [] o bi po mdio d ajst d la cació a los datos xpimtals. Sgú [, ], la cació d a d Waals s: a P. () b E l caso dl cloo d mtilo, las costats calcladas sgú [] so: a = 7,,.7 ba cm y b =.778 cm. Rsolvido méicamt la cació () paa l volm a l stado d vapo satado, s ti:,78. (7) cm c) Ecació d Rdlich-Kwog: Esta cació tambié costa d los paámtos a y b, los cals tambié s pd calcla a pati d las popidads cíticas. La cació d Rdlich-Kwog s []: a P b. (8) b Sgú [], los paámtos d Rdlich-Kwog calclados so: a =,,8.8 ba cm K. y b =.888 cm. D la misma foma, solvmos méicamt la cació (8) paa obt l volm a l stado d vapo satado s obti:,7 cm. () o, ya hmos slto poblma tilizado ts cacios difts y hmos obtido igal úmo d sltados, los cals so difts t sí. hoa sg las gits pgtas po pat dl almo: Cál d Sgdo Coficit iial paa l Hlio La toía s dift d la páctica?,. cm. () Podmos obsva q la cació d Rdlich-Kwog s la q s apoxima más al valo xpimtal, sgdo lga s cta la cació d a d Waals, y último lga qda la cació dl Gas dal. q la cació d Rdlich-Kwog f la más actada paa st caso, o podmos asga q mp lo sá. Es csaio hac aális d las cacios sob amplio ago d valos y compaalos cota los datos xpimtals. Lo q oc co st poblma oc co ifiidad d poblmas q apac los libos d distitas amas d la Fíca, po lo tato, l pofso d Fíca db hac éfas las limitacios q ti todas las fómlas q apac los libos y dcil al almo q dichas fómlas so sólo apoximacios d la alidad. E st tabajo popomos stdia l Sgdo Coficit iial dl Hlio, platádolo como poblma q los almos podá solv a lo lago d cso d modiámica, dod s obsvaá ts ivls d apoximació: l pimo d llos s l modlo d Esfas Das, l sgdo s la cació d a d Waals y l tco s paso más allá, q cost hac a modificació al potcial d Jagla. S spa fomta l apdizaj gificativo al plata st jcicio como a tació poblma [], dod los almos ti q spod las gits pgtas: Cál s l mjo modlo paa l Sgdo Coficit iial dl Hlio?, El modlo tóico psta adcadamt a los datos xpimtals?, E qé codicios l modlo tóico s válido?, Exist más d modlo q s adapt apopiadamt a los datos xpimtals? Est jcicio ofc la opotidad d itga coocimitos d distitas disciplias tals como modiámica, Gomtía, Cálclo Difcial tgal, Estadística, Pogamació, tc., y a la vz pmit q los distitos almos ct difts fomas d solvlo, gádos la pobilidad d q sja discó t los distitos pocdimitos cotados dto dl gpo d stdiats []. Los stdiats podá toma los datos xpimtals dl sgdo coficit viial y cofotalos cota los modlos matmáticos ats mcioados mdiat la alizació d gáficas y ajsts po míimos cadados. D sta foma, l almo podá jzga po sí mismo cál d los modlos s más apopiado []. El almo tambié podá idtifica los agos los cals modlo s apgado a la alidad y los agos dod l modlo cac d alismo. Est jcicio tambié pd s visto como poycto o qizá como mico-poycto [,], aq co citas limitacios. Sgú [], poycto db t a ft itvció po pat d los almos cato a s platamito, disño y dsaollo, combiado l stdio mpíico co la ivstigació bibliogáfica. E l caso d st tabajo, l platamito dl tma (Sgdo Coficit iial dl Hlio) y algos sltados pacials sá xplícitamt sñalados po l pofso. Po lo tato, l almo dbá ivstiga y pofdiza sob l stos sltados ti mayo xactitd?, Cál cació s más covit tiliza?, Si a d las cacios s mjo q las otas, Po qé cto apd todas las cacios?. Paa obt poco d lz sob stas itogats s cta aaliza l dato mdido xpimtalmt, q sgú [] s: Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja.

3 E. lbaá-zavala tma paa tata d podci los sltados pacials ats mcioados, po mltáamt tdá la libtad d lgi l camio o l pocdimito q más l agad. D hcho, s dsabl q los distitos almos dl gpo ct distitos modos d aboda l tma cstió.. ECUCÓ RL La Ecació dl iial s a cocció a la Ecació dl Gas dal y s compota como a xpaó s d potcias spcto al ivso dl volm a, va la cació (). Dod l volm a s obti al toma l volm dl gas y dividilo t l úmo d s dl mismo. Sgú [,, ], la Ecació dl iial s pd xpsa como g: C D P, () C D P. () E la cació dl viial, los coficit, C, D, mid la itacció t las éclas dl gas. Los coficits s oda a pati dl úmo o, l cal s l Pim Coficit iial; l g l coficit, qi s l Sgdo Coficit iial; po s pat l coficit C s l c Coficit iial, y así scvamt. Sgú la litata [,, ], s dic q los coficits viials so fcios xclvas d la tmpata., C C, D D, () El sgdo coficit viial mid las itaccios t pas d éclas, l tc coficit viial C mid las itaccios t tcias d éclas, l cato coficit viial D mid la itacció t cattos d éclas y así scvamt. Como s pd ddci d las cacios () y (), cado la ddad dl gas s pqña, los témios d od spio s ala ápidamt, po lo q l témio q coti a s l más gificativo y po lo tato la cació () s pd apoxima po: P. () Si la ddad s lo sficitmt baja, tocs l témio tambié s dspciabl y s pd cpa la cació dl gas idal. Si mbago, cado la ddad amta, las éclas s acca a mayo poximidad d ss vcias y, po cogit, itaccioa mas fctmt. El gificado fíco dl sgdo coficit viial s q ti cta las dsviacios dl compotamito idal sltats d las itaccios t dos éclas., Pasitz t. al. []. Sgú [,, ], a pati d la Mcáica Estadística, l coficit s pd calcla como: d. () Dod s l sgdo coficit viial, s l úmo d vogado, s la distacia t dos éclas q stá itaccioado, = () s la gía potcial d itacció cla como fció d la distacia, s la tmpata absolta y s la costat d oltzma.. POECL DE LERD-JOES Paa pod calcla s csaio cota co a fció potcial q os dsciba l compotamito d las éclas cado éstas itaccioa. U potcial my tilizado s l potcial d Lad-Jos []:. () Dod s la gía potcial d itacció q xist t dos éclas, s la pofdidad dl pozo d potcial (máximo valo gativo), s la poció dod l potcial cota l j hoizotal y s la distacia d spaació t dos éclas. La figa os msta la gáfica d potcial d Lad-Jos cláco. Egía potcial múltiplos d - Potcial d Lad-Jos... - Distacia t dos éclas múltiplos d FGUR. Gáfica dl Potcial d Lad-Jos alizada a pati d la cació (). El j hoizotal cospod a la distacia t dos éclas múltiplos d y l j vtical cospod a la gía potcial d itacció t dos éclas múltiplos d.. MODELO DE ESFERS DURS Ua vz q s ti a xpó matmática paa la fció potcial, s pocd a aliza la itgal d la cació (). Si mbago, dicha itgal s my complicada paa solvla foma aalítica, po lo tato s csaio hac algú tipo d apoximació. E l caso Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja.

4 Sgdo Coficit iial paa l Hlio La toía s dift d la páctica? dl modlo d Esfas Das, s csaio mplifica l. ECUCÓ DE DER WLS potcial d Lad-Jos d la git foma [,]: Si s dsa modlo más complicado, s csaio hac a apoximació dift q os pmita obt la. (7) cació d a d Waals. Po llo, dbmos apoxima l potcial d Lad-Jos gido la foma d la cació (), la cal os dic q las éclas o pd cotas a a distacia mo a, psto q cado ptc al itvalo t y, s ti a zoa d potcial ifiito q actúa como baa. Dsd l pto d vista fíco, gifica q las éclas choca y bota cado =. E cambio, cado ptc al itvalo t +, las éclas sf la acció d potcial gativo. La figa os msta la gáfica dl potcial dscito po la cació (). Est modlo coda q las éclas d gas s compota como bolas d billa o como sfas ígidas o das, las cals cac d atacció o pló t llas. Estas sfas das sólo itaccioa cado choca, codado q los choqs so lásticos. cod co lo atio, la cació (7) os idica q l itvalo q co t y cospod a a zoa dod l potcial d itacció s ifiito, s dci, las éclas o pd cotas a a distacia mo q. Lo atio os dic q las éclas choca y bota cado =. Po oto lado, la distacia t dos éclas s mayo q tocs o xist potcial d itacció y s compota como patíclas libs. La figa os msta l potcial tilizado paa dscibi l modlo d sfas das, l cal stá dscito po la cació (7).. () Egía potcial múltiplos d - Potcial poximado paa Esfas Das... - Distacia t dos éclas múltiplos d FGUR. Potcial tilizado paa l modlo d Esfas Das. S obsva q xist a zoa d potcial ifiito paa l itvalo < <, q s a zoa pohibida paa las éclas. E l itvalo < < + las éclas s compota como patíclas libs. Si s dsa solv la cació () tilizado l potcial dscito po la cació (7) s ti la git itgal: d d, (8). () Egía potcial múltiplos d - Potcial poximado paa a d Waals... - Distacia t dos éclas múltiplos d FGUR. Potcial d Lad-Jos apoximado paa gas d a d Waals. Como s pd v, la apoximació cta co a zoa d potcial ifiito paa < <, la cál s a zoa pohibida paa las éclas. Paa valos d spios a, las éclas sf la acció d potcial gativo. La apoximació atio aú o mplifica los cálclos d maa adcada, psto q tambié s csaio mplifica la xpó, po llo, spodmos q paa valos altos d tmpata s pd apoxima st témio co a d aylo, mp y cado s cmpla co << : Paa l modlo d Esfas Das, l sgdo coficit viial s a costat q sólo dpd dl valo d. El valo d s pd itpta como l diámto d a d las éclas dl gas., () Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja. () Si sstitimos las cacios () y () la cació () s ti:

5 ctímtos cúbicos E. lbaá-zavala d d. () Sstitydo la cació () () y dsaollado l álgba hasta solv la itgal tmos:. () Dod R s la costat ivsal d los gass y s calcla al mltiplica l úmo d vogado po la costat d oltzma, R =. Paa cocta la cació () co la cació d a d Waals, s csaio dfii las dos costats axilias a y b co la fialidad d mplifica l álgba, po lo tato tmos: a, () b. () Etocs, sgú [], l sgdo coficit viial paa gas d a d Waals qda como: a b, (7) dod las costats a y b so costats spcíficas d cada gas paticla. Po lo atio, la cació dl viial paa gas d a d Waals s: P b a. (8) Sgú [], s aliza algos pasos algbaicos a pati d la cació (8), s pd cpa la cació d a d Waals, la cal cospod a la cació (). La xistcia d dos compotamitos difts os hac psa q qizá sía csaio tiliza dos modlos difts. Paa los datos cyas tmpatas spa los K s pd tiliza l modlo d Esfas Das. Po oto lado, paa las tmpatas ifios a K poblmt s podía tiliza l modlo d a d Waals. Paa aviga sta pobilidad, hamos a tasfomació d vaiabls. Si odamos la cació (7) tmos: a b. () R L. Datos xpimtals d paa l Hlio como fció d la tmpata. Datos adqiidos po []. (K) (cm ) Datos xpimtals d como fció d. DOS EXPERMELES DEL HELO aios ivstigados ha alizado xpimtos paa mdi l sgdo coficit viial d distitos gass. E paticla, Whit, Rbi, Camy y Johsto [] ha alizado mdicios xpimtals paa l Hlio, las cals s psta la tabla y la figa. Paa pod aaliza los datos xpimtals d la tabla - y d la figa, s csaio cota alga foma d - coctalos co alga xpó tóica d las q s ha mpata Klvi dsaollado paa l sgdo coficit viial. Los datos xpimtals pd s xpsados po l modlo FGUR. La gáfica msta los datos xpimtals dl sgdo coficit viial dl Hlio [cm d Esfas Das (cació ) o po l modlo d a d ] como fció d la tmpata [K]. Datos adqiidos po []. Waals (cació 7). Pimamt dbmos obsva q los datos psta dos compotamitos: a) los datos cospodits a tmpatas mos a los K mos q s l pd da la foma d a cta: ti l compotamito d a cva, y b) los datos q cospod a tmpatas spios a los K s y mx b, () compota ca como a cta hoizotal. po lo tato, la gla d tasfomació s la git: Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja. 8

6 ctímtos cúbicos ctímtos cúbicos a x, y, m, b b. () R Si s aplica las tasfomacios d () a los datos xpimtals d la tabla s obti la figa. Como pd vs dicha figa, los 8 datos xpimtals q s cta la pat spio izqida s pd apoxima mdiat l ajst d a cta hoizotal, s dci, l modlo d Esfas Das s l más apopiado paa llos. E cambio, los datos stats s pd ajsta a a cta d pdit gativa (cacios y ), po lo tato obdc l modlo d a d Waals. Sgdo Coficit iial paa l Hlio La toía s dift d la páctica? Si codamos la costat ivsal d los gass co l valo d R = 8.7 (ba cm )( K) y obtmos los valos d a y b a pati d las tasfomacios popstas po la cació () tmos: a,.88, (7) ba cm b.7. (8) cm ido los valos d a y b podmos calcla los valos d y dspjádolos d las cacios () y (): 8 asfomació d datos: como fció d b, () a, 8b () 8. cm, ().78 ba cm. () E idads dl stma itacioal s ti: vso d la mpata Klvi FGUR. La gáfica msta los datos xpimtals d [cm ] como fció d [K ]. S pd obsva claamt q los ocho datos dl xtmo spio izqido o ti la misma tdcia lial q los datos stats. jstado l modlo d Esfas Das a los 8 datos q va dsd los. K a los. K s obti: cm.87. (). m, ().78 J. () E la figa s msta los datos xpimtals tasfomados jto co l modlo ajstado d a d Waals. S pd obsva q l modlo d las cacios (7) y () s ajsta bastat bi s stá tabajado co tmpatas mos a los K. E la figa 7 s psta los dos modlos ajstados al cojto complto d los datos xpimtals, obsvádos q paa tmpatas spios a K l modlo d Esfas Das s l más apopiado. Paa calcla l valo d tomamos l valo dl úmo d vogado como =., po lo tato obtmos:, () 8 asfomació d datos: como fció d = 7.( ) +.7 R = cm, ().77 m. () jstado l modlo d a d Waals a los datos q va dsd los.8 K hasta los. K, obtmos la git cació ajstada: cm cm K () vso d la mpata Klvi FGUR. La gáfica msta los datos xpimtals tasfomados colo ojo. La lía cta cotia colo azl cospod a la cació d la cta obtida mdiat l ajst po míimos cadados. Como s pd obsva, l ajst s my bo, ya q la colació s ca la idad R. Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja.

7 ctímtos cúbicos E. lbaá-zavala Modlo Esfas Das y Modlo a d Waals Paa loga lo atio, popomos aaliza l potcial d Jagla [7] y modificalo, tomado la pat potiva dl potcial d Jagla jto co la pat gativa dl potcial d Lad-Jos. Las figas 8 y os msta l pocso d apoximació. Ua Mjo poximació - mpata Klvi FGUR 7. La gáfica msta los datos xpimtals colo ojo. La lía hoizotal colo vd cospod al modlo d Esfas Das (cació ). La cva colo azl psta l modlo d a d Waals (cació ).. U MEJOR PROXMCÓ E las sccios atios hmos visto q las spocios hchas paa gas d Esfas Das o paa gas d a d Waals o so lo sficitmt coctas, dbido a q dichos modlos o ti la capacidad d dscibi los datos xpimtals paa todo l ago d tmpatas. Po lo tato, s csaio hac platamito d las spocios y apoximacios hchas las sccios y. Es aqí cado sg las potstas po pat d los almos, Pofso, po qé os sña sa fómla o v?, La toía o v, así q cac d stido stdiala, tc. Po sta azó s my impotat q l pofso y l almo tga pla cocicia d las spocios alizadas paa obt o ddci alga fómla, así como t mt todo momto las codicios paa las cals la fómla s a ba apoximació d la alidad. El modlo d Esfas Das s costyó limiado tato la pat potiva como la gativa dl Potcial d Lad-Jos, sstityédolas po la baa d potcial ifiito. Po oto lado, l modlo d a d Waals tambié tiliza la baa d potcial ifiito po scata la pat gativa dl potcial d Lad-Jos. La discpacia t los datos xpimtals y los modlos tóicos adica l hcho d hab mplificado l álgba dat la itgació d la cació (). Lo atio ha povocado la pédida d ifomació valiosa. Si s dsa dsaolla modlo más vaz, s csaio coda tato la pat potiva como la pat gativa dl potcial d Lad-Jos, po lo tato dbmos cambia la foma d apoxima dicho potcial. Evidtmt, l vo pocdimito tdá álgba tato más complicada, la cal tatamos d mplifica lo mjo pobl, po pd la ifomació fíca smiistada po las pats potiva y gativa dl potcial d Lad-Jos. Egía potcial múltiplos d -.. Distacia t dos éclas múltiplos d FGUR 8. La gáfica msta colo azl l potcial d Lad-Jos, al cal s l agga dos sgmtos d cta. E colo vd s obsva sgmto d cta fiito icliado, l cal pstaá la pat potiva, y colo ojo s obsva sgmto d cta vtical ifiito q s codaá como a baa d potcial ifiito. Egía potcial múltiplos d - Potcial Modificado d Jagla.. Distacia t dos éclas múltiplos d FGUR. La gáfica msta la foma fial d la va apoximació dl potcial d Lad-Jos, la cal psta ts zoas: a zoa d potcial ifiito q cospod al itvalo < <, a zoa potiva q s cta l itvalo < < y a zoa gativa q cospod al itvalo < < +. Es csaio cota co a xpó matmática q os idiq l compotamito dl potcial d Lad-Jos co la va apoximació, paa lo cal dbmos coda q dicha xpó sá a fció a tazos q ti ts sccios. La pima scció s a zoa d potcial ifiito, la sgda scció s a zoa d potcial potivo pstado po sgmto d cta d pdit gativa y fialmt, la scció tca cospod a la pat gativa apoxima dl potcial d Lad-Jos. La cació () cospod a la foma matmática d st potcial, dod s itodc la Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja.

8 Sgdo Coficit iial paa l Hlio La toía s dift d la páctica? Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja. 7 costat, la cal os idica q xactamt = s cta la baa d potcial ifiito., () dod s la pdit dl sgmto d cta icliado:. () Dbmos apoxima la xpó foma aáloga como s hizo paa gas d a d Waals, po d a maa más apopiada:, (7), (8). () Como s pd obsva, la xpó o db s apoximada l itvalo < <, psto q calqi itto po haclo povocaá pédida d ifomació valiosa. Si tilizamos las cacios (7), (8) y () paa itga la cació (), tocs tmos:, () dod: d, () d, () d. () Si pocdmos a dsaolla poco l álgba tmos:, () d. () Si smamos las ts itgals vmos q s obti l sgdo coficit viial d a d Waals po co témio xta q apota más ifomació: d. () hoa, sto objtivo sá ocpaos d la itgal cospodit a dicho témio xta: d, (7) d. (8) Hacido pa d cambios d vaiabl, x : dx x x, () x x x, (), (), ()

9 E. lbaá-zavala Fialmt tmos a xpó paa l sgdo coficit viial:. (). (). JUSE POR MÍMOS CUDRDOS Como s pd obsva, l sgdo coficit viial s a fció d las vaiabls,, y, otas palabas, =(,,, ). Po xpimtalmt sólo cotamos co pajas d datos (, ), po lo q sá csaio ida alga foma paa cota apopiadamt los valos d, y, paa q la cació () qd ajstada satisfactoiamt a los datos xpimtals d la tabla y d la figa. Evidtmt la cació sltat paa (,,, ) s my complicada po lo q sá csaio l dsaollo d algoitmo paa aliza l ajst po míimos cadados foma méica mdiat la alizació d algú pogama algú lgaj d pogamació como pd s C++, SC, J, tc. E lo paticla, los sltados pstados st tabajo fo calclados alizado pogama isal SC.t. Dbido a la compljidad d la cació () sá csaio itodci fcios axilias q os pmita mplifica l álgba y la otació dat la alizació dl pogama. Po lo tato, dfiimos las gits fcios: f,,,, () f f, (),,,,, (7),, f,. (8),, d cadados dl o SE t los datos xpimtals y la fció tóica ajstada: SE E (7) Po lo cal s csaio dfii l o t l dato xpimtal y l dato tóico d la git foma: dod: E, (7) Exp o o X. DGRM DE FLUJO,,,. (7) Paa aliza l ajst méico po míimos cadados s csaio q tdamos a ivl gal l pocso d itació csaio paa solv l poblma cstió. S dsa q l pogama tilic ts ciclos scdaios idpdits t sí, po aidados dto ciclo picipal. El ciclo picipal coá vcs tilizado la vaiabl ta h como ídic. Los ts ciclos scdaios coá, vcs, y s fialidad sá optimiza los valos d, y, cyos ídics so las vaiabls tas i, j y m spctivamt. odos los ciclos bscaá miimiza la vaiabl SE opt. Las vaiabls y o pd asmi l mismo valo, psto q povocaá a divió t co paa l valo d la cació (). La figa os dscib l pocso d itació dl ciclo picipal. h dsd hasta Optimiza Rcodado q s calcla gido la cació ():. () D lo atio s pd v q: Sigit h Optimiza,,, f f f f. () Paa cotia co l dsaollo, dbmos coda q sto objtivo s miimiza foma méica la sma Optimiza FGUR. El ciclo picipal dbá co vcs, tilizado l ídic h. Dto dl ciclo s cta ts ciclos scdaios, cada o d los cals dbá co ci mil vcs. Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja. 8

10 X. LGORMO DE SOLUCÓ E sta scció popomos pobl algoitmo paa pod dsaolla pogama q os pmita ajsta po míimos cadados la cació () a los datos xpimtals d la tabla. Paso. Ca vaiabls tipo tg h, i, j, m,, total Paso. Ca vaiabls tipo Dobl flot,,, opt, opt, opt, j, i, m o, o,, o, Exp, Exp,, Exp,,,, f, f, f, f, SE, SE opt Paso. ga valos iicials =.88 =.7 =. =.8 =. Sgdo Coficit iial paa l Hlio La toía s dift d la páctica? Paso 7. Cicito Cotado: Paa dsd hasta total, icmto. Paso 8. Calcla: o,,, Paso. Calcla: SE SE j Exp o Paso. olv al Paso 7: Sigit. Paso. Compaa: Si SE < SE opt tocs gada l valo d SE SE opt : SE opt = SE y tambié gada l valo d j opt : opt = j Paso. ga SE opt = Paso. Ciclo Picipal: Paa h dsd hasta, icmto. Paso. Pim Ciclo Scdaio (): i dsd hasta,, icmto. Paso 7. Calcla i, iicializa SE. i... i SE Paso 8. Cicito Cotado: Paa dsd hasta total, icmto. Paso. Calcla: o,,, Paso. Calcla: SE SE i Exp o Paso. olv al Paso 8: Sigit. Paso. Compaa: Si SE < SE opt tocs gada l valo d SE SE opt : SE opt = SE y tambié gada l valo d i opt : opt = i Paso. Rgsa al Paso : Sigit i. Paso. Gada l valo d opt : = opt. Paso. Sgdo Ciclo Scdaio (): j dsd hasta,, icmto. Paso. Calcla j, iicializa SE. j.. j SE Paso. Rgsa al Paso : Sigit j. Paso. Gada l valo d opt : = opt. Paso. c Ciclo Scdaio (): m dsd hasta,, icmto. Paso. Calcla m, iicializa SE. m.8.. SE m Paso. Cicito Cotado: Paa dsd hasta total, icmto. Paso 7. Calcla: o,,, Paso 8. Calcla: Exp SE SE m o Paso. olv al Paso : Sigit. Paso. Compaa: Si SE < SE opt tocs gada l valo d SE SE opt : SE opt = SE y tambié gada l valo d m a opt : opt = Paso. Rgsa al Paso : Sigit m. Paso. ga l valo d opt a : = opt. Paso. olv al paso : Sigit h. Paso. mpimi valos d opt, opt, opt. Paso 7. mia. Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja.

11 ctímtos cúbicos ctímtos cúbicos E. lbaá-zavala X. RESULDOS DEL JUSE Como ya s dijo ats, s alizó l pogama isal ac.t, tilizado como datos iicials los valos tóicos =. m y =. J, los cals s cta potados la litata [8]. Dspés d co l pogama vaias vcs, s dcidió slccioa los datos q s adapta mjo a la cació (), los cals stá la tabla. Los tc datos slccioados fo igsados al pogama y s obtvio los gits sltados: Modlo Modificado d Jagla co datos.777 m, (7).8887 m, (7).7 J. (7) L. Datos slccioados paa s ajstados tilizado l modlo modificado d Jagla dscito po la cació (). (K) (cm ) La figas y os msta l modlo d la cació () tilizado los paámtos d ajst mostados po las cacios (7), (7) y (7). La figa os msta l modlo ajstado d jto co los datos xpimtals d la tabla. Po oto lado, la figa os msta l modlo ajstado d jto co todos los datos xpimtals d la tabla. - Modlo Modificado d Jagla co datos mpata Klvi FGUR. La cva colo azl cospod al modlo modificado d Jagla ajstado a los tc datos slccioados la tabla. Dichos datos xpimtals s msta colo ojo. Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja. - mpata Klvi FGUR. La gáfica os msta l modlo modificado d Jagla ajstado a los datos d la tabla, dicho modlo cospod a la cva colo azl. E colo ojo s msta los datos xpimtals d la tabla. X. COCLUSOES Est jcicio pmit q l almo alcac distitos ivls d apoximació paa pofdiza dto dl coocimito d la Ecació dl iial y dl Sgdo Coficit iial paa l Hlio. Como lo afima [], cada almo s úico y po lo tato, cada almo dsaollaá s popio camio paa aaliza y adapta los distitos modlos tóicos a los datos xpimtals. Po jmplo, st tabajo s tilizó l ajst po míimos cadados y los datos tasfomados q apac la figa paa cota las costats a y b dl modlo d a d Waals, po stdiat podía tiliza sólo las coodadas d los dos ptos q s cta a los xtmos d la figa y tiliza coocimitos d Gomtía alítica paa cota la cació d la cta q pasa po llos. U sgdo stdiat podía tiliza la figa y dibja al tato a lía cta q visalmt s adapt a los ptos xpimtals, y postiomt obt s cació foma gáfica. Y qizá, tc stdiat podía tiliza la figa paa aliza distitas gáficas d la cació (7), bscado los valos d a y b mdiat l pocso d sayo y o. ambié s impotat sñala q o todos los almos podá solv satisfactoiamt l jcicio complto, dbido a q atalmt xist difcias l domio d las distitas amas dl coocimito csaias paa dsaolla st jcicio. Po lo tato, s csaio q l pofso obsv st jcicio como a scala co a ga catidad d scalos, dod algos almos llgaá al scaló, otos sbiá hasta l scaló, y sólo os pocos alcazaá l scaló, tc. E l caso d almos d igiía, s dsabl q todo l gpo pda costi ápida y fácilmt los modlos d Esfas Das y d a d Waals. clv, l

12 pofso pd solicita al almo la ivstigació d potcials altativos q tambié pda s útils paa ga l modlo d a d Waals. Ejmplos d stos potcials so los potcials Pozo Cadado, Pozo iagla, Sthlad, tc. ambié s comdabl q los almos ivstig acca d otas cacios d stado como so la cació d Rdlich-Kwog, las colacios d L-Ksl, las colacios d Pitz, tc. Po oto lado, l modlo modificado d Jagla sgamt povocaá q salga a lci las dficicias dl gpo, ya q s csaio t sólidos coocimitos d álgba y cálclo paa pod hac l aális y l dsaollo matmático q sg dsd la cació () hasta la cació (). Po llo, s csaio q l pofso ofzca algos sltados pacials paa q l almo tga a ida d la dicció q db sgi. Po jmplo, l pofso pd costi la figa l saló d class y scibi xplícitamt las cacios q va d la () a la () paa q l almo iici l dsaollo algbaico d itgació. Hcho lo atio, l pofso pd da la xpó xplícita d la cació () y alga cació itmdia, q podía s la cació (). D sta foma, l almo ti maco d fcia q l pmit tabaja foma idpdit po tabaja a cigas, ya q cooc d atmao algos d los sltados pacials a los q dbá llga. Esta foma d diigi l jcicio pmit q l almo tga cofiaza y a mjo actitd hacia la solció dl poblma. Oto pto d coflicto s l dsaollo dl algoitmo y dl pogama paa pod aliza l ajst méico po míimos cadados. E mchas ocaos, los almos o iclso los pofsos o sab pogama, po lo cal sá csaio ci a hamitas altativas como Excl. Como lo afima [], Excl s a hamita q pmit solv poblmas q qi dl so d los métodos méicos la cdad d sab pogama. Los almos y los pofsos pd itodci los datos xpimtals d la tabla y la cació () Excl, hacido las gáficas cospodits. Hcho lo atio, s pobl bsca los valos d, y mdiat l pocso d sayo y o, spado cota a gáfica d la cació () q visalmt s adapt a los datos xpimtals d la tabla. Paa fializa, l pofso db vigila q los almos sa capacs d alcaza las gits coclos:. Paa compaa los datos xpimtals cota los datos tóicos povistos po modlo matmático s my útil y my csaio costi las gáficas q cotga ambos tipos d datos. Las gáficas os pmit obsva l compotamito gal tato d los datos xpimtals como d los datos tóicos.. Los modlos tóicos pd dscibi apopiadamt la alidad dpdido d las spocios hchas paa dsaollalos y dpdido d los agos d opació d los mismos. Sgdo Coficit iial paa l Hlio La toía s dift d la páctica?. Si s stá tabajado co volúms as my gads tals q << (), tocs la cació dl gas idal s a my ba pstació d la alidad, ya q s pd hac la git apoximació: P. (7). Si l valo dl volm a s compaabl co l valo dl sgdo coficit viial o mo q ést, tocs la cació dl gas idal ya o s alista. P. (77). Si s cmpl la codició, tocs l sgdo coficit viial dl Hlio pd s dscito po l modlo d Esfas Das cado s ti valos d tmpata q spa los K. K π σ, (78) π σ P. (7). El modlo d a d Waals s válido paa dscibi dl Hlio cado s cmpl co la codició y cado las tmpatas so mos a K. π σ π σ K, (8) π σ P. (8) π σ 7. Si s dsa modlo q dsciba l valo d paa l Hlio dto ago más amplio d tmpatas ( a K), tocs l modlo dl potcial modificado d Jagla os da a dscipció my ba a lo lago d todo l itvalo. El valo d stá dado po la cacios (), (7), (7) y (7).,,,, (8) P,,,. (8) 8. Rslta más fácil y páctico maja mltáamt los modlos d Esfas Das y a d Waals q tiliza l modlo dl potcial modificado d Jagla. X. GRDECMEOS gadzco al pofso D. Fado glo ow ss comtaios y sgcias paa la alizació y l mjoamito d la calidad d st mascito. Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja.

13 E. lbaá-zavala X. REFERECS [] Smith, J. M., a ss, H. C., bbot, M. M., todcció a la modiámica giía Qímica, (Ed. McGawHill, ª Edició, México, 7). [] Pasitz, J. M., Lichtthal, R.., Goms d zvdo, E., modiámica Molcla d los Eqilibios d Fass, (Ed. Ptic Hall, ª dició, Madid, ). [] Gazó Floz, C. M., Floz,., Gia paa l Masto: Modlo Didáctico paa la Esñaza dl Elctomagtismo, Rv. Col. Fis., ol., -8, (). < vol8_aticlos8.pdf> [] LaCva,., La sñaza po poyctos: mito o to?, Rv. b. m. Edc., o., -87, (8). < [] Madl, F., Statistical Phycs, (Ed. Joh Wily ad Sos, w Yo, 88). [] Whit, D., Rbi,., Camy, P. ad Johsto, H. L., h iial Cofficits of Hlim fom to K, J. Phys. Chm., thaca, 7- (). [7] X, L., Ehbg,., ldyv, S.., Staly, H. E., Rlatioship btw th liqid-liqid phas tatio ad dyamic bhavio i th Jagla modl, J. Phys.: Cods. Mattt 8, S-S (). < [8] Polig,. E., Pazitz, J. M., O Coll, J. P., h Poptis of Gass ad Liqids, (Ed. Mc Gaw Hill, w Yo, ). [] zzo Gaao, R., Estatgia EE (Excl-El) la sñaza d la Fíca, Lat. m. J. Phys. Edc.,, - (7). < Lat. m. J. Phys. Edc. ol., o., Ja.