CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO Nº 4/2 LIC. JESÚS REYES HEROLES

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1 CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO Nº / LIC. JESÚS REYES HEROLES GUÍA DE ESTUDIO DEL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE CÁLCULO INTEGRAL ELABORÓ: PROF. L. M. A. JUAN MANUEL VALDEZ CHÁVEZ SEMESTRE: A SEXTO INSTRUCCIONES. CADA ALUMNO DEBE REALIZAR Y ENTREGAR LAS ACTIVIDADES DE FORMA INDIVIDUAL. LAS ACTIVIDADES DEBERÁN TOMARSE DEL DOCUMENTO Y RESOLVERSE COMO LOS EJEMPLOS INCLUIDOS. CADA ACTIVIDAD DEBE ENTREGARSE POR SEPARADO Y EN EL ORDEN INDICADO, EN FORMA CLARA Y LIMPIA. LA FECHA LÍMITE DE ENTREGA SERÁ EL DÍA DEL EXAMEN DE ACUERDO AL CALENDARIO OFICIAL. DUDAS EN O EN CONTENIDO: Pagina Propósito de la asignatura. Contenido por bloques. Bloque I. Actividad. Diferenciales. Actividad. Aplicaciones del diferencial. Bloque II. Actividad. Integral Indefinida General. Actividad. Integración por Sustitución o Cambio de Variable. Actividad. Integración por Partes. Actividad. Integración por Sustitución Trigonométrica. Actividad. Integración por Fracciones Parciales. Bloque III. Actividad. Área Bajo la Curva. Suma de Riemann. Actividad. Área Bajo la Curva. Integral Definida. Actividad. Área entre Curvas. Bloque IV. Actividad. Volumen de Revolución. Actividad. Superficie de Revolución. Actividad. Longitud de arco. Elementos procedimentales. Bloque I 6 Elementos procedimentales. Bloque II 6 Elementos procedimentales. Bloque III 9 Elementos procedimentales. Bloque IV

2 Propósito de la asignatura: La asignatura de CÁLCULO INTEGRAL le permite al estudiante contar con una cultura matemática sólida, mediante la cual puede analizar cualitativa y cuantitativamente los diferentes fenómenos que se le presenten en su entorno cotidiano y profesional, por ejemplo: determinar el punto de equilibrio del costo de un artículo y el flujo de inversión neta de una empresa; aplicar las leyes de crecimiento poblacional en la biología; determinar variables cinemáticas, dinámicas y eléctricas en física. Además, proporciona herramientas para el desarrollo individual y social del individuo. Competencias Disciplinares a desarrollar:. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta eperimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y tetos con símbolos matemáticos y científicos. Bloque I NOMBRE DEL BLOQUE OBJETOS DE APRENDIZAJE UNIDADES DE COMPETENCIA Bloque II NOMBRE DEL BLOQUE OBJETOS DE APRENDIZAJE UNIDADES DE COMPETENCIA Bloque III NOMBRE DEL BLOQUE OBJETOS DE APRENDIZAJE UNIDADES DE COMPETENCIA Bloque IV NOMBRE DEL BLOQUE OBJETOS DE APRENDIZAJE UNIDADES DE COMPETENCIA Contenido por bloques: APLICAS LA DIFERENCIAL EN ESTIMACIÓN DE ERRORES Y APROXIMACIONES. LA DIFERENCIAL. APROXIMACIONES DE VARIABLES. ESTIMACIÓN DE ERRORES. INTERPRETA GRÁFICAMENTE EL MODELO MATEMÁTICO DE FENÓMENO DE SU ENTORNO Y APROXIMA EL COMPORTAMIENTO DE SU DERIVADA A PARTIR DEL CÁLCULO DE LA DIFERENCIAL. ANALIZA EL ERROR OBTENIDO MEDIANTE LA APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL PARA DETERMINAR LA PRECISIÓN EN LA MEDICIÓN DE UNA MAGNITUD Y COMO AFECTA LA CONFIABILIDAD DE ÉSTA EN SITUACIONES REALES DE SU CONTEXTO. ENFRENTA LAS DIFICULTADES QUE SE LE PRESENTAN Y ES CONSCIENTE DE SUS VALORES FORTALEZAS Y DEBILIDADES AL TRABAJAR CON APROXIMACIONES Y ESTIMACIÓN DE ERRORES. DETERMINAS LA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAS FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES. FUNCIONES PRIMITIVAS. INTEGRAL INDEFINIDA. RESUELVE PROBLEMAS QUE INVOLUCREN LA OBTENCIÓN DE LA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Y LA INTERPRETA EN SITUACIONES REALES DE SU ENTORNO. DESARROLLA LA HABILIDAD EN EL MANEJO DE TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN EN UN CONTEXTO TEÓRICO. CALCULAS E INTERPRETAS EL ÁREA BAJO LA CURVA. SUMAS DE RIEMANN. INTEGRAL DEFINIDA. RESUELVE PROBLEMAS DE ÁREAS MEDIANTE LA SUMAS DE RIEMANN. RESUELVE PROBLEMAS DE ÁREAS MEDIANTE LA INTEGRAL DEFINIDA. ASUME UNA ACTITUD CONSTRUCTIVA Y CONGRUENTE CON LAS COMPETENCIAS CON LAS QUE CUENTA EN EL USO DE LAS TIC S COMO HERRAMIENTAS PARA EL MODELADO Y LA SIMULACIÓN DE PROBLEMAS DE ÁREAS BAJO LA CURVA. RESUELVES PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN SITUACIONES REALES EN LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS ÁREAS Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. IDENTIFICA CASOS FACTIBLES DE APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA. VALORA EL USO DE LAS TIC S COMO HERRAMIENTAS PARA EL MODELADO Y LA SIMULACIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE INTEGRALES DEFINIDAS EN CUALQUIER CONTEXTO DISCIPLINAR. ASUME UNA ACTITUD CONSTRUCTIVA, CONGRUENTE A SUS COMPETENCIAS PARA PROPONER MANERAS DE SOLUCIONAR UN PROBLEMA DE SU ENTORNO MEDIANTE LA APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DIFERENCIADA.

3 ACTIVIDADES Actividad. Diferenciales. Encuentre el diferencial dy de la función.. y. y. y. y cos ln. y e cot 6. 7 y sen 7. y sec csc 8. y ln 9. y tan csc y. BLOQUE I. y 6 tan. y e sen. y e. y sen tan y. y sen y y e 9. y sen. y cot. ysec. y ln. yln.. y y e e sen Actividad. Aplicaciones del Diferencial. Resolver los siguientes problemas.. Use diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una capa de pintura de. cm de ancho en un domo hemisférico con un diámetro de m.. Una ventana tiene la forma de un cuadrado. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de 6 cm con un error posible en la medición de. cm. Use diferenciales para estimar el error posible máimo al calcular el área de la ventana.. Las seis caras de una caja cubica metálica tienen un grosor de.cm y el volumen del interior de la caja es de cm. Utilice diferenciales para aproimar el volumen de metal empleado para fabricar la caja.. El interior de un tanque cilíndrico abierto es de m de diámetro y 8 m de profundidad. El fondo es de cobre y los lados son de acero. Utilice diferenciales para encontrar de manera aproimada cuantos galones de pintura a prueba de agua es necesaria para aplicar una capa de.mm a la parte de acero del interior del tanque.. Una copa cónica de cm de altura y 8cm de ancho en la parte superior, se llena con agua hasta una profundidad de 9cm. Un cubo de hielo de cm de lado está a punto de depositarse en la copa. Utilice diferenciales para determinar si se derramará la copa. 6. Use diferenciales para estimar el número indicado. i.. ii. 6. iii.. iv..9 v.. vi..

4 BLOQUE II Actividad. Integral Indefinida General. Encuentre la integral indefinida general.. 6 d. 6.. d ln d d d d d d Actividad. Integración por Sustitución o Cambio de Variable. Evalúe la integral efectuando la sustitución indicada.. cos d, u e sen cos d, u sen 9. sen sec d. e d. e. cos tand. d. ln cot d. sec tan sec d sec tan d, u d, u. d, u 6. d, u 8. e e d, u e. 9. d, u 7 sen, u 6 7, 7 d u Actividad. Integración por Partes. Evalúe la integral por partes con los valores de u y dv indicados.. cos d ; u, dv cos d. sec d ; u, dv sec d. ln d ; u ln, dv d. e d ; u, dv e d. ln d; u ln, dv d

5 Actividad. Integración por Sustitución Trigonométrica. Evalúe la integral usando la sustitución trigonométrica indicada. Dibuje y rotule el triángulo rectángulo asociado , sec 9 d, sec d d, tan d, tan 6, 6sen d d, sen 9 Actividad. Integración por Fracciones Parciales. Evalúe la integral usando la descomposición en fracciones parciales t t d dt d d y 7y y y y s s ds dy

6 BLOQUE III Actividad. Área bajo la curva. Suma de Riemann. Resuelva cada uno de los siguientes problemas.. Evalúe la suma de Riemann para f ( ) desde hasta con n subintervalos de aproimación y usando los puntos medio como puntos muestra. Dibuje la curva y los rectángulos de aproimación.. Estime el área bajo la gráfica de ( ), usando seis rectángulos y los f en puntos medios como puntos muestra. Dibuje la curva y los rectángulos de aproimación. Actividad. Área bajo la curva. Integral Definida. Encuentre el área bajo la curva de la función dada en el intervalo indicado. Dibuje la curva y el área buscada. f 9 en,.. f en, Actividad. Área entre curvas. Encuentre el área entre las curvas de las funciones dadas. Trace la grafica respectiva y dibuje el área buscada.. f 6 y f 9. y, y BLOQUE IV Actividad. Volumen de Revolución. Encuentre el volumen de revolución generado por el área bajo la curva f cos en, al girar alrededor del eje X. Mostrar: i) la gráfica de la función en el intervalo indicado. ii) La gráfica del cuerpo geométrico generado. iii) La integral que debe resolverse para encontrar el volumen. iv) El volumen del cuerpo geométrico generado. Actividad. Superficie de revolución. Encuentre la superficie de revolución generada por el arco de la curva f - en, al girar alrededor del eje X. Mostrar: i) la gráfica de la función en el intervalo indicado. ii) La gráfica del cuerpo geométrico generado. iii) La integral que debe resolverse para encontrar la superficie. iv) La superficie del cuerpo geométrico que genera la curva. Actividad. Longitud de arco. Encuentre la longitud del arco de la curva en, f. Mostrar: i) la gráfica de la función en el intervalo indicado. ii) La integral que debe resolverse para encontrar la longitud del arco. iii) La longitud del arco indicado.

7 Ejemplos. Bloque II. Actividad. Integral Indefinida General Ejemplo : Encuentre la integral indefinida d Solución: En este caso se deben aplicar las reglas básicas de integración, además de la propiedad de las integrales que permite separar los términos para integrarlos cada uno por separado. (Consulta tu formulario) Ejemplo : Encuentre la integral indefinida d d d d C d Solución: Recuerda aplicar las reglas básicas de integración d d d d 6 6 Ejemplo : Encuentre la integral indefinida C 6 d Solución: Recuerda aplicar las reglas básicas de integración d d d d d 6 C Ejemplo : Encuentre la integral indefinida 8 7 Solución: Recuerda aplicar las reglas básicas de integración 7 d 8 8 d d 7 d d C d Ejemplo : Encuentre la integral indefinida d 6 Solución: En algunos casos es necesario convertir la integral para poder aplicar las reglas básicas de integración, como en este caso en que se debe reescribir la variable con eponente negativo. d d d d d C 6

8 Ejemplo 6: Encuentre la integral indefinida d Solución: En algunos casos es necesario convertir la integral para poder aplicar las reglas básicas de integración, como en este caso, se debe reescribir con eponente fraccionario. d d d d d 7 7 C 7 7 d Ejemplo 7: Encuentre la integral indefinida d Solución: Reescribimos la integral para poder aplicar las reglas básicas de integración. d d d d C Ejemplo 8: Encuentre la integral indefinida d Solución: Reescribimos la integral para poder aplicar las reglas básicas de integración. d Ejemplo 9: Encuentre la integral indefinida ln cos d d d d d e d C d Solución: Para este tipo de integrales consulta el formulario de integrales básicas, recuerda que en estos casos la integral se obtiene de forma inmediata por el criterio de la antiderivada. d d e d d l lne cos ln cos n e sen C 7

9 Ejemplo : Encuentre la integral indefinida sec cot d Solución: Recuerda aplicar las reglas básicas de integración. (Formulario) sec cot d sec cot d ln tan lncsc Ejemplo : Encuentre la integral indefinida sec tan csc c ta d d C d Solución: Recuerda aplicar las reglas básicas de integración. (Formulario) se n csc d sec tand csc sec Ejemplo : Encuentre la integral indefinida sen ln d Solución: Recuerda aplicar las reglas básicas de integración. (Formulario) d cot C sen lnd send lnd cos ln C Bloque II. Actividad. Integración por Sustitución o Cambio de Variable Ejemplo : Evalúe la integral efectuando la sustitución adecuada Solución: Tomamos a u, por lo que du d y al sustituir tenemos d u du u d C Ejemplo : Evalúe la integral efectuando la sustitución adecuada d Solución: Tomamos a u, por lo que du d y al sustituir tenemos d udu u du u u C d Ejemplo : Evalúe la integral efectuando la sustitución adecuada d Solución: Tomamos a u, por lo que du d, al sustituir completamos du y tenemos d du u d lnu ln Ejemplo : Evalúe la integral efectuando la sustitución adecuada cos Solución: Tomamos a u, por lo que du d y al sustituir y completar tenemos d C d cos d sudu senu n cos se co Ejemplo : Evalúe la integral efectuando la sustitución adecuada sec tan sec d Solución: Tomamos a u sec, por lo que du sec tan d y al sustituir tenemos sec tan sec sec sec tand udu u sec d Ejemplo 6: Evalúe la integral efectuando la sustitución adecuada cos cos sen Solución: Tomamos a d u sen, por lo que du cos d y al sustituir tenemos n d cossen d u sen C cos cos se cos cosud u sen sen C C 8

10 ln Ejemplo 7: Evalúe la integral efectuando la sustitución adecuada d Solución: Tomamos a u ln, por lo que du d y al sustituir tenemos ln ln d u du u ln Ejemplo 8: Evalúe la integral efectuando la sustitución adecuada Solución: Tomamos a d C u tan, por lo que sec du tan sec e d sec d y al sustituir tenemos tan tan u u tn a e d e sec d e du e e C Bloque II. Actividad. Integración por Partes Ejemplo : Encontrar e d Solución: Sean u y Ejemplo : Encontrar Solución: Sean dv e d, entonces du d ln d u ln y dv d y v e d e, y luego sustituimos en la integral u dv u v v du e d e e d e e C, entonces du d y v d, y luego sustituimos en la integral du u dv u v v d ln d ln Ejemplo : Encontrar cos d Solución: Sean u ln ln ln y dv cosd, entonces du d cosd d C u dv u v v y v cos d cos d sen sen sen d sen sen 6 send cos sen cos C du 9

11 Ejemplo : Encontrar Solución: Sean u Ejemplo : Encontrar arccos d arccos y dv d, entonces du u dv u v v d y v d y luego sustituimos. arccosd arccos d d arccos d arccos d Solución: Sean u y Ejemplo 6: Encontrar Solución: Sean u y arccos dv d, entonces du d u sec dv dv d d u du arccos C y v d ln y luego sustituimos en la integral ln ln d d ln ln ln ln ln v ln ln v du sec d, entonces du d y v sec d tan u dv u v v du sec d Ejemplo 7: Encontrar ln Solución: Sean u ln tan tand tan tand tan lnsec d y dv d u, entonces d ln ln dv u v v n du d y v d, luego sustituyendo d ln d ln d ln d d ln l C du C

12 Bloque II. Actividad. Integración por Sustitución Trigonométrica. Ejemplo : Encontrar Solución: Sea Ejemplo : Encontrar d sec, entonces d sec tand y sustituyendo tenemos sec sec tan tan tan tan tan d d d d sec d tan tan arcsec d C Solución: Sea tan, entonces d sec d y sustituyendo tenemos d sec d sec d sec d sec d tan sec tan tan sec d sec ln(sec tan ) ln sec d C Ejemplo : Encontrar 9 d Solución: Sea sin, entonces d cosd y sustituyendo tenemos 9 9 sin 9 9sin 9cos cos cos cos d d d d sin 9sin 9sin cos cos 9 cosd cot cot arcsin 9sin d sin d C Ejemplo : Encontrar d Solución: Sea tan, entonces d sec d Sustituyendo tenemos d sec d sec d sec d sec d tan tan tan tan tan tan tan sec sec d sec csc ln csc cot ln tan sec d tan d C

13 Ejemplo : Encontrar d Solución: Sea sec, entonces d sec tand y sustituyendo tenemos d sec tand sec tand sec tand sec tan d sec sec sec tan sec tand sec ln sec tan ln tan d C Ejemplo 6: Encontrar 6 d Solución: Sea sin, entonces d cosd y sustituyendo tenemos sin 6sin cos d 6sin cos d sin cos d 6 6 6sin cos d cos d 6 sin 6sin sin d cos d sec cos d ln sec tan sin cos cos C

14 Bloque II. Actividad. Integración por Fracciones Parciales. Ejemplo : Encontrar d Solución. Paso : Factorizar el denominador; tenemos Paso: Sustituir el denominador por sus factores y separar en fracciones Paso : A partir de la igualdad A B d d d A B Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mcm Quedando A B A A B B Luego simplificando A B A B AB Obtenemos el sistema A B Paso : Sustituimos los valores encontrados en la integral y resolvemos. y resolviendo tenemos que B, A d d d ln ln C Ejemplo : Encontrar d Solución. Paso : Factorizar el denominador; tenemos Paso: Cuando un factor aparece más de una vez se sustituye el denominador como sigue Paso : A partir de la igualdad d A B A B d Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mcm del denominador Quedando A B Luego simplificando A B A A B A A B Obtenemos el sistema A A B y resolviendo tenemos que A, B Paso : Sustituimos los valores encontrados en la integral y resolvemos. d d d ln C

15 Ejemplo : Encontrar Solución. d Paso : Factorizar el denominador; tenemos Paso : Cuando aparece en el denominador un factor cuadrático se sustituye el numerador como: d d A B C d Paso : A partir de la igualdad A B C Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mcm Quedando A B C Luego simplificando Obtenemos el sistema A A B C A B C A AB C A Paso : Sustituimos los valores encontrados en la integral y resolvemos. d ln ln arctan d d d C Ejemplo : Encontrar Solución: d y resolviendo tenemos que C, A, B A B d d d d d ln ln C ya que A A B, y entonces B A A B A B A de donde AB A por lo que A B

16 Bloque III. Actividad. Área Bajo la Curva. EJEMPLO.- Encuentre el área bajo la curva f en el intervalo, SOLUCIÓN: Por el Teorema fundamental del Cálculo el área bajo la curva f en el intervalo, b f d F b F a, en donde F f a y trace la gráfica. ab está dada por, por lo que se debe evaluar la integral, d f F d F b F a EJEMPLO.- Encuentre el área bajo la curva f en el intervalo, y trace la gráfica. SOLUCIÓN: Se debe evaluar la integral d. d d ln ln ln ln 7 ln.97.97

17 EJEMPLO.- Encuentre el área bajo la curva f cos en el intervalo, y trace la gráfica. SOLUCIÓN: Se debe evaluar la integral cos d Recuerda que 8º cos d sen cos sen +cos sen +cos EJEMPLO.- Encuentre el área bajo la curva f en el intervalo SOLUCIÓN: Se debe evaluar la integral primero la parte debajo del eje X, y después la parte que está sobre el eje X., y trace la gráfica. d pero en la gráfica observamos que se debe resolver en dos partes; d 8 d El área total es la suma absoluta de las áreas parciales es decir 6

18 Bloque III. Actividad. Área entre Curvas. EJEMPLO.- Trace la región delimitada por las curvas y y 9,,,. SOLUCIÓN: El área entre las curvas y f, y y g, y entre a y b es b que al observar la grafica de estas funciones vemos que se debe evaluar 9 9 d 8d 8 a d f g d, así EJEMPLO.- Trace la región delimitada por las curvas y sen, y e,,. SOLUCIÓN: Se debe evaluar e sen d. e sen d e sen d e cos e cos e cos e e.8.8 7

19 EJEMPLO.- Calcule el área de la región delimitada por las curvas y, y. SOLUCIÓN: Al observar la grafica vemos que se debe evaluar en,, es decir se debe encontrar la integral: d d EJEMPLO.- Calcule el área de la región delimitada por las curvas y sen, y, 6,. SOLUCIÓN: Al observar la grafica vemos que se debe evaluar en 6, y en, y encontrar la integral: send sen d cos cos 6 6 cos 6 cos 6 cos cos

20 EJEMPLO.- Trace la región delimitada por las curvas y, y,,. SOLUCIÓN: Al observar la gráfica de estas funciones vemos que se debe evaluar en dos intervalos d d ln ln ln ln ln ln

21 Bloque IV. Actividad. Volumen de revolución.. Encuentre el volumen de revolución generado por el área bajo la curva f sen en, al girar alrededor del eje X. Mostrar: i) la gráfica de la función en el intervalo indicado. ii) La gráfica del cuerpo geométrico generado. iii) La integral que debe resolverse para encontrar el volumen. iv) El volumen del cuerpo geométrico generado. > plot(sin()+, =..*Pi, y=..); > > VolumeOfRevolution(sin()+, =.. *Pi, output = plot); > VolumeOfRevolution(sin()+, =.. *Pi, output = integral); ( sin( ) ) d > VolumeOfRevolution(sin()+, =.. *Pi, output = value); 8 > evalf(%); > V= d = = ( sin( ) )

22 Bloque IV. Actividad. Superficie de revolución.. Encuentre la superficie de revolución generada por el arco de la curva f sen en, al girar alrededor del eje X. Mostrar: v) la gráfica de la función en el intervalo indicado. vi) La gráfica del cuerpo geométrico generado. vii) La integral que debe resolverse para encontrar la superficie. viii)la superficie del cuerpo geométrico que genera la curva. > plot(sin()+, =..*Pi, y=..); > > SurfaceOfRevolution(sin()+, =.. *Pi, output = plot); > SurfaceOfRevolution(sin()+, =.. *Pi, output = integral); > SurfaceOfRevolution(sin()+, =.. *Pi, output = value); EllipticE > evalf(%); ( sin( ) ) cos( ) d 9.89 S= d = ( sin( ) ) cos( ) 9.89

23 Bloque IV. Actividad. Longitud de arco.. Encuentre la longitud del arco de la curva sen en, f. Mostrar: i) la gráfica de la función en el intervalo indicado. ) La integral que debe resolverse para encontrar la longitud del arco. i) La longitud del arco indicado. > > plot(sin()+, =..*Pi, y=..); > ArcLength(sin()+, =.. *Pi, output = integral); > ArcLength(sin()+, =.. *Pi, output = value); 8 EllipticE > evalf(%); > cos( ).879 d L= d = cos( ).879 Fuentes de Consulta. STEWART, J. (7). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. MÉXICO: CENGAGE LEARNING. SALAZAR, BAHENA Y VEGA. (7). CÁLCULO INTEGRAL. MÉXICO: GRUPO EDITORIAL PATRIA. LEITHOLD, L., (9). EL CÁLCULO. MÉXICO: OXFORD UNIVERSITY PRESS. Granville y Smith., (). Cálculo Diferencial e Integral. Méico: Limusa. / temario/ / cursos-linea/calculodiferencial/ inde.htm / pdf/temas/bachct/ Integral%definida.pdf / cursos-linea/calculodiferencial/ curso-elsie/ aplicacionesintegral/html/ aplicaciones-integral.pdf