Departamento de Física Aplicada I Escuela Politécnica Superior ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

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1 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA Departameto de Física Aplicada I Escuela Politécica Superior ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Ídice 1. Itroducció..... Errores e las medicioes físicas Clasificació de los tipos de error Icertidumbre de medida Evaluació de las icertidumbres de medida Icertidumbre expadida Resolució de los istrumetos Iterpolació e tablas Tablas de simple etrada Tablas de doble etrada Relacioes lieales. Ajuste de ua ube de putos por el método de los míimos cuadrados Presetació de resultados. Técicas de redodeo Represetacioes gráficas Bibliografía... 19

2 ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS 1. Itroducció. Todas las ciecias experimetales, como la Física, se basa e observacioes cuatitativas que llamamos medidas, que so el resultado de los experimetos y se describe co úmeros. Estrictamete, la medida de cualquier magitud se expresa mediate u úmero acompañado además de la uidad e que se ha medido y que presta su sigificació al úmero. Pero el proceso de medida está sujeto a ua serie de limitacioes que se traduce ievitablemete e la existecia de cierta icertidumbre e el úmero obteido. Cosecuetemete, el resultado de ua medida sólo tiee setido si, además del úmero obteido y su uidad correspodiete, va acompañado de otro úmero, la icertidumbre asociada, esto es, ua idicació cuatitativa de la calidad del mismo o, dicho de otro modo, de la cofiaza que se tiee e él. Para ello es ecesario realizar las siguietes defiicioes, ítimamete relacioadas etre sí: Magitud: Propiedad de u feómeo, cuerpo o sustacia, que puede expresarse cuatitativamete mediate u úmero y ua referecia (como tiempo t, logitud L, itesidad I, masa m, etc.). Habitualmete, dicha referecia suele ser ua uidad de medida (segudos, metros, amperios, kilogramo, etc). Medició o medida: Proceso que cosiste e obteer experimetalmete uo o varios valores que puede atribuirse razoablemete a ua magitud. E la práctica, medir ua magitud es compararla cuatitativamete co otra de su misma aturaleza que se toma como uidad patró. Mesurado. Magitud que se desea medir. De la buea defiició del mesurado, etre otros factores, depederá la calidad (exactitud e icertidumbre) del resultado de medida. Frecuetemete, la defiició de u mesurado icluye ciertas codicioes y estados físicos, como tiempo, temperatura, presió, etc. (p. ej. presió de vapor a 0 ºC). Por extesió, la palabra magitud se usa idistitamete de forma habitual para referirse al mesurado. El objetivo de ua medició es, por tato, determiar el valor del mesurado; esto es, el valor de la magitud particular bajo medició. Las medidas que se realiza e u laboratorio puede ser de dos tipos: Medidas directas: El valor de la magitud que se quiere coocer se mide directamete co el istrumeto de medida (esto es, mediate la comparació co u patró adecuado o la utilizació de u aparato calibrado). Ejemplos de medidas directas so: la medida de ua logitud co u calibre, el tiempo co u croómetro, el voltaje co u voltímetro, etc. Medidas idirectas: El valor de la magitud deseada se obtiee como resultado del cálculo realizado a partir de otras magitudes relacioadas co la magitud a determiar y de ciertas costates. Por ejemplo, la determiació (medida idirecta) del volume V de u cilidro a partir de la medida (directa) de su diámetro D y de su altura H aplicado la fórmula V = D H/4. Para tratar los datos experimetales obteidos e el laboratorio, es pues crucial eteder que todas las medidas de magitudes físicas está sometidas siempre a icertidumbres, ya que o es posible medir algo de forma totalmete exacta. Por supuesto, lo ideal es coseguir hacer la icertidumbre lo más pequeña posible,

3 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA pero ésta siempre existirá. Para poder obteer coclusioes válidas a partir de las medidas, la icertidumbre debe aparecer siempre claramete idicada y debe ser maejada adecuadamete.. Errores e las medicioes físicas. Cada vez que se lleva a cabo u experimeto o se mide ua catidad co el istrumeto adecuado, surge dos cuestioes: Cómo de fiable es el resultado? Cómo de cerca está del valor real, cualquiera que sea éste? La primera cuestió está relacioada co la precisió o reproducibilidad del experimeto y la seguda, co la exactitud o proximidad al valor verdadero del mismo, si fuese coocido (figura 1). Las palabras precisió y exactitud tiee sigificados completamete distitos e la teoría de errores, mietras que se usa de maera idistita e el leguaje cotidiao. La distició se aprecia claramete si atedemos a los posibles tipos o fuetes de errores. El error de medida sería resultado de ua medició meos u valor verdadero del mesurado que, al o ser coocido, se toma e su lugar u valor de referecia. Los errores se clasifica tradicioalmete e sistemáticos y accidetales. Ambos tipos de error cotribuye a la icertidumbre de medida, auque debe quedar bie claro que so distitos de ésta. Figura Clasificació de los tipos de error. a) Errores sistemáticos. So errores que tiee lugar siempre e el mismo setido y que se repite costatemete e el trascurso de u experimeto. Puede ser causados por errores de calibració (o errores de cero) de los aparatos de medida, codicioes experimetales o apropiadas (presió, temperatura, etc.) que afecta a los istrumetos de medida, tedecias erróeas e el observador, técicas de medida iadecuadas, uso de fórmulas o modelos aproximados, etc. U miucioso aálisis del istrumeto y del procedimieto de medida permite elimiar e lo posible la presecia de estos errores. Por lo tato, los errores sistemáticos afecta a la exactitud de la medida, es decir, a la proximidad al valor verdadero, ya que hace que todos los resultados sea erróeos e el mismo setido (demasiado altos o demasiado bajos). Si el error sistemático es debido a u efecto idetificado, si dicho efecto puede cuatificarse y, si es suficietemete sigificativo frete a la exactitud requerida e la medició, puede aplicarse ua correcció o u factor de correcció para compesarlo. Esta correcció puede ser aditiva, multiplicativa, o deducirse de ua tabla. b) Errores accidetales o aleatorios. So debidos a diversas causas difíciles o imposibles de cotrolar y altera las medidas realizadas e diferete cuatía y setido cada vez. Puede ser causados por fluctuacioes e las codicioes ambietales durate el experimeto, errores de apreciació debidos a las limitacioes de uestros setidos, errores de precisió impuestos por la sesibilidad del aparato de medida, etc. Todo esto da lugar a que la repetició reiterada de la medició realizada por u mismo 3

4 ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS observador o siempre lleve al mismo resultado. El error debido a la superposició de todos estos efectos sólo puede ser detectado si el istrumeto de medida es suficietemete sesible. Su valor o puede ser estimado a partir de ua medida aislada, siedo ecesaria la realizació de ua serie de medidas que permita, mediate u tratamieto estadístico de los datos, determiar ua cota máxima de error. Los errores accidetales afecta a la precisió o reproducibilidad de u experimeto. Por ejemplo, la obteció de varias medidas de la misma magitud, diferetes etre sí, os permitirá determiar el valor de dicha magitud de forma meos precisa que si los valores obteidos hubiese sido más parecidos etre sí. Ambos tipos de errores puede darse simultáeamete y de forma idepediete, de forma que se puede teer resultados precisos auque iexactos, exactos pero imprecisos, etc., depediedo de los tipos de errores implicados. El error puede expresarse de dos formas diferetes que o debe ser cofudidas: Error absoluto (ε a): Es el valor de la diferecia etre el valor de la medida obteido experimetalmete ( M ') y el verdadero valor de ésta ( M ): M' M. El error absoluto puede ser positivo o egativo, tiee las mismas dimesioes físicas y, por tato, las mismas uidades que la magitud que se mide. Se suele represetar como ε a, de maera que: a M ' M (1) Dado que el valor verdadero o es coocido, como veremos, e la práctica se usa u valor de referecia. Error relativo (ε r ): Es el cociete etre el error absoluto ε a y el verdadero valor de la magitud medida. M ' M a r M M () E cosecuecia, o tiee dimesioes, y suele expresarse e tatos por cieto (ε r 100). El error relativo da ua mejor idea de la dimesió del error absoluto, al ser ua comparació co el valor M de la magitud medida... Icertidumbre de medida. A la hora de expresar el resultado de ua medició de ua magitud física, es obligado dar algua idicació cuatitativa de la calidad del mismo o, dicho de otro modo, de la cofiaza que se tiee e él. Si dicha idicació, las medicioes o puede compararse etre sí, i co otros valores de referecia. De esta maera, el resultado de ua medida se idica de la siguiete forma: R ± U (3) co sus uidades correspodietes, dode R es el resultado más probable y U es la icertidumbre de medida asociada al mismo. El resultado R de la medida es sólo ua aproximació o estimació del valor del mesurado, y por lo tato sólo tiee setido si va acompañado de su icertidumbre U. 4

5 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA La icertidumbre de medida se defie como el parámetro o egativo asociado al resultado de ua medició que caracteriza la dispersió de los valores que podría ser razoablemete atribuidos a u mesurado. El parámetro puede ser, por ejemplo, ua desviació típica (o u múltiplo de ella). La icertidumbre refleja pues la imposibilidad de coocer exactamete el valor del mesurado. El resultado de ua medició tras la correcció de los efectos sistemáticos idetificados sigue siedo solamete ua estimació del valor del mesurado, dada la icertidumbre debida a los efectos aleatorios y a la correcció imperfecta del resultado por efectos sistemáticos. La icertidumbre de medida comprede, e geeral, varias compoetes. Alguas puede ser evaluadas a partir del estudio estadístico de los resultados de series de medidas. Se etiede que el resultado de la medició es la mejor estimació del valor del mesurado, y que todas las compoetes de la icertidumbre, compredidos los que proviee de efectos sistemáticos, tales como las compoetes asociadas a las correccioes y a los patroes de referecia, cotribuye a la dispersió. El cocepto de icertidumbre se sitúa pues más allá del cocepto de error. E la práctica existe umerosas fuetes posibles de icertidumbre, etre ellas: a) Defiició icompleta del mesurado. b) Realizació imperfecta de la defiició del mesurado. c) Muestra o represetativa del mesurado, la muestra aalizada puede o represetar al mesurado defiido. d) Coocimieto icompleto de los efectos de las codicioes ambietales sobre la medició, o medició imperfecta de dichas codicioes ambietales. e) Lectura sesgada de istrumetos aalógicos, por parte del técico. f) Resolució fiita del istrumeto de medida o umbral de discrimiació. g) Valores iexactos de los patroes de medida o de los materiales de referecia. h) Valores iexactos de costates y otros parámetros tomados de fuetes exteras y utilizados e el algoritmo de tratamieto de los datos. i) Aproximacioes e hipótesis establecidas e el método y e el procedimieto de medida. j) Variacioes e las observacioes repetidas del mesurado, e codicioes aparetemete idéticas. Estas fuetes o so ecesariamete idepedietes, y alguas de ellas, de a) a i), puede cotribuir e j). Por supuesto, u efecto sistemático o idetificado o puede ser teido e cueta e la evaluació de la icertidumbre del resultado de ua medició, auque cotribuirá a su error. La icertidumbre puede expresarse de distitas formas, depediedo de cómo haya sido obteida y del 5

6 ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS itervalo de cofiaza que se le quiere asigar. Si x es ua estimació de la magitud X, podemos teer: - Icertidumbre típica, u(x): icertidumbre del resultado de ua medició, expresada e forma de desviació típica. - Icertidumbre típica combiada, u c (x): icertidumbre típica del resultado de ua medició, cuado el resultado se obtiee a partir de los valores de otras magitudes, igual a la raíz cuadrada positiva de ua suma de térmios, siedo éstos las variazas o covariazas de esas otras magitudes, poderadas e fució de la variació del resultado de medida co la variació de dichas magitudes. - Icertidumbre expadida U(x): magitud que defie u itervalo e toro al resultado de ua medició, y e el que se espera ecotrar ua fracció importate de la distribució de valores que podría ser atribuidos razoablemete al mesurado. Se obtiee multiplicado la icertidumbre típica combiada por u factor de cobertura k: U(x) k u c (x). Típicamete, k toma valores etre y 3, y se basa e la probabilidad o ivel de cofiaza requerido para el itervalo. A partir de todas ellas se puede defiir las correspodietes icertidumbres relativas típica (u(x)/x), típica combiada (u c (x)/x) y expadida (U(x)/x). 3. Evaluació de las icertidumbres de medida. El método de evaluació de las icertidumbres depede de cómo haya sido estimado el valor de la magitud, y se puede distiguir dos tipos: - Evaluació tipo A: cuado se ha obteido ua serie de observacioes repetidas e idepedietes de ua magitud que varía al azar, e las mismas codicioes de medida, la icertidumbre se evalúa mediate el aálisis estadístico de series de observacioes. E este caso se toma como icertidumbre típica la desviació típica experimetal de la medida. - Evaluació tipo B: cuado la estimació de la magitud proviee de otros medios, las icertidumbres se determia mediate métodos distitos al aálisis estadístico (medidas previas, certificados, especificacioes del fabricate, etc.). El proceso geeral de evaluació de las icertidumbres se puede resumir e los siguietes pasos: 1) Se expresa matemáticamete la relació existete etre el mesurado Y y las magitudes de etrada Y f X, X,..., X. La fució f debe coteer todas las X i de las que éste depede segú 1 magitudes, icluyedo todas las correccioes y factores de correcció que puede cotribuir sigificativamete a la icertidumbre del resultado de medició. ) Se obtiee ua estimació y del mesurado Y, utilizado las estimacioes de etrada x 1, x,..., x N de y f x, x,..., x. Como se mecioó ateriormete, esto las magitudes X 1, X,..., X N, tal que 1 va a depeder de cómo se ha obteido las magitudes de etrada X i : 6 N N

7 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA a. Evaluació tipo A: para magitudes de etrada X i estimadas a partir de observacioes repetidas e idepedietes X i,1, X i,,, X i,, se toma como estimació de etrada x i la media aritmética X i : 1 x i X i = X k=1 ik, (4) y como icertidumbre típica u(x i ) de dicha estimació, la desviació típica experimetal de la media (10): u x i X X, i ik k 1 ( 1) (5) Si el úmero de medidas es iferior a 10 (<10), la ecuació aterior puede proporcioar u valor subestimado de la cotribució de la icertidumbre. E este caso coviee estimar el valor de u(x i ) basádose e la experiecia (por ejemplo, mediate los resultados de medidas ateriores similares). Si esto o fuese posible o se cosiderase iaceptable, como estimació de etrada x i seguirá tomádose la media aritmética X i dada por la ecuació (4), mietras que como posible aproximació secilla a la icertidumbre, que será la que usemos e el laboratorio, se tomará la siguiete: x x,, u x i máximo i míimo i (6) No obstate, el procedimieto riguroso implica aplicar la siguiete correcció: 6 u x i w X X, i ik k 1 ( 1) (7) dode w toma los siguietes valores segú el úmero de medidas efectuado y el ivel de cofiaza requerido 1 : 1 Estos valores está basados e los que toma la distribució t de Studet, que tiede a la distribució ormal cuado. 7

8 ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Número de medidas. w (k = 1) w (k = ) w (k = 3) 1,8 7,0 78,6 3 1,3,3 6,4 4 1, 1,7 3,0 5 1,1 1,4, 6 1,1 1,3 1,8 7 1,1 1,3 1,6 8 1,1 1, 1, , 1,4 b. Evaluació tipo B: para ua estimació x i de ua magitud de etrada X i o obteida a partir de observacioes repetidas, la icertidumbre típica u(x i ) se establece mediate decisió cietífica basada e toda la iformació dispoible acerca de la variabilidad posible de X i, lo que permite asociarle u determiado tipo de distribució (ormal, rectagular, etc.). Esta iformació puede proveir de: resultados de medicioes ateriores; experiecia o coocimietos geerales sobre el comportamieto y las propiedades de los materiales e istrumetos utilizados; especificacioes del fabricate; datos sumiistrados por certificados de calibració u otros tipos de certificados; icertidumbres asigadas a valores de referecia procedetes de libros y mauales. Si ua magitud tiee cotribucioes a la icertidumbre tato de tipo A ( A i ( u x ), su icertidumbre será: B i i A i B i u x ) como de tipo B u x u x u x (8) 3) Ua vez evaluadas las icertidumbres típicas, tato de tipo A como de tipo B, a cotiuació se obtiee la icertidumbre típica combiada u c (y) como 8

9 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA N f f f f c 1 N i x1 x xn i1 xi u y u x u x u x u x (9) La icertidumbre típica combiada uc y es ua desviació típica estimada y caracteriza la dispersió de los valores que podría ser razoablemete atribuidos al mesurado Y. Esto es válido si las magitudes X i so idepedietes. Si o lo fuese, habría que realizar el cálculo teiedo e cueta su depedecia, lo cual implica el cálculo de correlacioes y de térmios de covariaza: f f f u y u x u x x N N 1 N, c i i j i1 xi i1 ji1 xi x j (10) dode x i y x j so las estimacioes de X i y X j, y u(x i, x j ) = u(x j, x i ) es la covariaza estimada asociada a x i y x j. El grado de correlació etre x i y x j viee dado por el coeficiete de correlació: dode r xi, x j r x j, x i y i j u xi, x j i j r xi, x j u x u x 1 r x, x 1. (11) 4) Fialmete, se idica el resultado de la medició e la forma: Y y u (1) idicado las uidades de y y de u c. Por ejemplo : m S = (1,73 ± 0,035) kg. c 4. Icertidumbre expadida. Auque u c (y) puede ser utilizada uiversalmete para expresar la icertidumbre de u resultado de medida, frecuetemete es ecesario, e ciertas aplicacioes comerciales, idustriales o reglametarias, o e los campos de la salud o la seguridad, dar ua medida de la icertidumbre que defia, alrededor del resultado de medida, u itervalo e el iterior del cual pueda esperarse ecotrar gra parte de la distribució de valores que podría ser razoablemete atribuidos al mesurado. Esto es especialmete importate e el caso de laboratorios de calibració, elaboració de patroes y certificados, etc. Es cada vez más frecuete ecotrar el resultado expresado uc etre parétesis: ms = 1,73(35) kg, para evitar la cofusió co el itervalo de cofiaza que proporcioa la icertidumbre expadida U. 9

10 ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Este itervalo lo proporcioa la icertidumbre expadida U, que se obtiee multiplicado la icertidumbre típica combiada uc y por u factor de cobertura k, habitualmete etre y 3, elegido e fució del ivel de cofiaza requerido para u itervalo y U, y U e toro al resultado de la medida: U y k u y (13) Para ello es ecesario haber obteido u úmero suficietemete grade de medidas del valor de la magitud que se quiere estimar, o que se pueda hacer algua suposició sobre la distribució de estos valores (ormal, rectagular, etc.). Muy frecuetemete puede supoerse ua distribució ormal para los resultados de la estimació del valor de y, de maera que k = 1 proporcioa u itervalo correspodiete a u ivel de cofiaza del 68,3 %, para k =, del 95,4 %, y para k = 3, del 99,7%. E el caso se usar la icertidumbre expadida, el resultado de la medició se expresa e la forma: Y y U (14) idicado las uidades de y y de U, lo que se iterpreta como que la mejor estimació del valor atribuible al mesurado Y es y, y que puede esperarse que e el itervalo que va de y U a y + U esté compredida ua fracció importate de la distribució de valores que podría ser razoablemete atribuidos a Y. Es ecesario idicar asimismo el valor de k utilizado para obteer U y el ivel de cofiaza asociado al itervalo yu (p. ej. m = (100,47 ± 0,78) g, co u factor de cobertura de cobertura de 3, que represeta u ivel de cofiaza del 99,7%). c 5. Resolució de los istrumetos. Casi todas las medidas directas implica la lectura de ua escala o de la patalla digital de u istrumeto. Ua de las fuetes de icertidumbre del istrumeto es la resolució de su dispositivo idicador. Se deomia resolució a la míima variació de la magitud medida que da lugar a ua variació perceptible de la idicació correspodiete. Si la medida se ha hecho co u aparato aalógico, es decir, basado e ua escala graduada, se toma como resolució la meor uidad que pueda medir el aparato (distacia etre dos divisioes), esto es, la meor divisió de escala. E cuato al valor de la magitud medida, éste sería el de la marca más cercaa a la posició de la aguja. V Por ejemplo, e el voltímetro de la figura, cuya escala tiee itervalos de 1 V, se tomaría como resolució 1 V. 10

11 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA Si la medida se ha hecho co u aparato digital, tomaremos como resolució ua uidad del último dígito de la lectura del aparato. Por ejemplo, si u voltímetro digital da u valor de 9,7 mv, la resolució es de 0,1 mv. La resolució cotribuye a la icertidumbre de medida, por cuato supoe u límite a la apreciació del valor de la magitud. Si la resolució del dispositivo idicador es δx, el valor de señal de etrada (estímulo) que produce ua idicació dada X puede situarse co igual probabilidad e cualquier puto detro del itervalo [X δx/, X+δx/]. La señal de etrada puede describirse etoces mediate ua distribució rectagular de probabilidad, de amplitud δx, lo que supoe ua icertidumbre típica: para cualquier idicació. 1 u x 0,9x (15) 1 Ejemplo: Se dispoe de u croómetro que idica hasta la décima de segudo co el que se realiza 10 medidas de la caída libre de u cuerpo siempre desde ua misma altura, y se obtiee u valor medio del tiempo de caída (ecuació (4)) de t = 8,358 s, co ua desviació típica de la media de 0,057 s (ecuació (5)), asociada a la repetibilidad de la medida, como falta de sicroizació al pulsar el croómetro, tato al iicio como al fial. De esta maera, como la resolució del croómetro es x 0,1 s, la icertidumbre asociada a la resolució del istrumeto es u t 0,9 x 0,09 s, mietras que la icertidumbre típica, asociada a la resol repetibilidad de la medida, es 0,057 s u t. La icertidumbre asociada a la determiació de t tiee estas repet dos cotribucioes, de forma que resulta: resol repet i u t u t u x 0,064 s Tomado u ivel de cofiaza del 95 % (k = ), la icertidumbre expadida es Ut 0,064 s 0,18 s. Usado las técicas de redodeo que veremos a cotiuació, el resultado fial del valor medido de t sería: t 8,36 0,13 s co u ivel de cofiaza del 95 % (k = ) Si quisiéramos usar el valor de t e otro cálculo posterior e el que itervega t y su icertidumbre u(t) hay que teer e cueta que su valor estimado es 8,358 s y su icertidumbre, 0,064 s. 6. Iterpolació e tablas El valor de la magitud A puede veir dado e fució de otras magitudes x, y, mediate ua tabla que relacioa los valores de x, y, co el correspodiete de A. E geeral, los valores medidos de estas magitudes o tiee por qué correspoder exactamete co los que aparece e la tabla, por lo cual habrá que recurrir a métodos de iterpolació (e la mayoría de los casos so métodos de iterpolació lieal) para calcular el valor de A. Normalmete el valor de A depede solamete del valor de ua variable x, o a lo sumo de los valores de 11

12 ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS dos variables x, y. E cada uo de estos casos el método de iterpolació lieal se aplica de la siguiete maera: 6.1. Tablas de simple etrada. Supogamos que ua fució A = f(x) viee tabulada como se idica: x x 1 x x 3 x 4 A A 1 A A 3 A 4 Si se quiere calcular el valor de A correspodiete a x = x 0, siedo x 1 < x 0 < x, se opera de la siguiete maera, cosiderado ua depedecia lieal e el itervalo compredido etre x 1 y x : A( x ) A A A x x x x (16) La icertidumbre típica combiada u c (A(x 0 )) se calculará aplicado las ecuacioes (10) y (11). Las icertidumbres asociadas a A i y x i se podrá tomar, como e el caso de la resolució istrumetal, salvo que e la tabla se idique otra cosa, como u(x i ) = 0,9δx i y u(a i ) = 0,9 δa i, dode δx i sería el míimo itervalo que separa dos etradas de x i e la tabla, y δa i represeta ua uidad de la última cifra sigificativa del valor tabulado. 6.. Tablas de doble etrada. Supogamos que la fució A(x,y) viee dada por la siguiete tabla: y y 1 y y 3 x x 1 A 11 A 1 A 13 x A 1 A A 3 x 3 A 31 A 3 A 33 El valor de A correspodiete a (x 0, y 0 ), que se ha medido co uas cotas de error de Δx 0 y Δy 0, y siedo x 1 < x 0 < x e y 1 < y 0 < y, cosiderado de uevo la variació lieal, viee dado por:.. (17) La icertidumbre típica combiada u c (A(x 0, y 0 )) se calculará aplicado las ecuacioes (10) y (11). 7. Relacioes lieales. Ajuste de ua ube de putos por el método de los míimos 1

13 cuadrados. DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA E los experimetos físicos es frecuete ecotrar relacioes lieales etre magitudes, expresádose, por tato, por la ecuació de ua recta. Por ejemplo, la relació etre la diferecia de potecial V y la itesidad de corriete eléctrica I que circula por u tramo de u circuito, por la ley de Ohm, es: A( x ) A A A x x x x es ua relació lieal, siedo la pediete de la recta la resistecia R, y la ordeada e el orige igual a 0. Otro ejemplo puede ser el del período de oscilació T del pédulo simple para oscilacioes pequeñas, que si bie la relació etre las magitudes T y L (logitud del pédulo) o es directamete lieal: T L g se puede expresar de forma lieal: 4 T L g Así, si midiésemos el período de oscilació para cada logitud del pédulo, su cuadrado ( T ) variaría liealmete co su logitud, siedo 4 g la costate de proporcioalidad etre ellas. La represetació gráfica de los valores de T frete a L seguiría u comportamieto aproximadamete lieal, siedo la pediete de la recta la costate de proporcioalidad. Sucesivas medidas de esta variació os podría permitir estimar el valor de la aceleració de la gravedad. E estos casos de relació lieal etre magitudes, al represetar e ua gráfica los pares de valores (x, y) se busca la recta de mejor ajuste a la ube de putos: y m x b (18) tambié coocida como recta de regresió lieal, dode m represeta la pediete y b, la ordeada e el orige de dicha recta. El problema es ecotrar los valores de m y b. Auque el método riguroso es el deomiado de míimos cuadrados, a veces, para simplificar los cálculos, se usa otros que da co bastate aproximació la recta de mejor ajuste. E el laboratorio usaremos el ajuste por el método de míimos cuadrado que cosiste e buscar la recta que mejor ajuste a ua ube de putos. Para ello se impoe la codició de que la suma de las distacias al cuadrado etre los distitos valores y i medidos de la variable depediete y los que se obtedría por la ecuació lieal: i b d y i mx (19) sea u míima ( d / m= 0; d / b= 0 ). Se puede así demostrar que el valor de la pediete m y de la 13

14 ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS ordeada e el orige b de dicha recta: x y x y m y m x i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 1 ; i b i i i1 i1 x x (0) siedo el úmero de medidas, m la pediete de la recta a determiar y b su ordeada e el orige. Dado u valor x, podemos calcular su y correspodiete a partir de la recta de mejor ajuste (18). Partiedo de las expresioes de la pediete m y de la ordeada e el orige b, se puede determiar sus icertidumbres típicas combiadas correspodietes 3, u c (m) y u c (b):. (1). La icertidumbre típica combiada de los valores previstos por la recta de regresió se puede calcular a partir de las (10) y (11) 4. El método descrito e los párrafos ateriores parte de la idea de optimizar el ajuste respecto de la variable depediete. Así, obteemos lo que se llama la recta de regresió de y sobre x. Si hiciéramos lo propio co la variable idepediete, obtedríamos otra recta de regresió (de x sobre y) co otra pediete distita. El parámetro que da la bodad del ajuste, esto es, de la liealidad del comportamieto de y(x), es el llamado coeficiete de correlació lieal r. Éste, se calcula obteiedo la media geométrica de las pedietes de las dos rectas de regresió ates descritas. La expresió matemática útil para este parámetro es: r x y x y i i i i i1 i1 i1 xi xi yiyi i1 i1 i1 i1 () El coeficiete de correlació lieal, puede demostrarse que es u úmero compredido etre 1 y +1. Cuato más cerca esté r de la uidad, iterpretaremos que más fuertemete lieal es la relació etre las variables. Por ello es importate calcular, previamete al ajuste de míimos cuadrados, el valor del coeficiete de correlació y comprobar que su módulo es cercao a la uidad, y de esta maera asegurar que la curva que mejor se ajusta a la ube de putos es ua recta. Para valores de r iferiores a 0,85, debe buscarse otro tipo 3 Estas expresioes cosidera que las icertidumbres de xi e yi so despreciables frete a la icertidumbre que geera la propia dispersió de los datos e el cálculo de míimos cuadrados. uc y( x) uc b x uc m xuc b uc m r( b, m) dode r( b, m) xi x i. 4 E cocreto: 14 i1 i1

15 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA de depedecia fucioal etre las variables. Si el coeficiete de correlació lieal es mayor o igual que 0,9 y meor que 1, siempre se debe expresar co todas sus cifras hasta la primera que o sea 9, redodeádola e su caso (por ejemplo, si resulta ser 0, , habría que expresarlo como 0,9997). Por debajo de 0,9, se puede expresar co cifras sigificativas. Por ello es importate calcular, previamete al ajuste de míimos cuadrados, el valor del coeficiete de correlació y comprobar que su módulo es cercao a la uidad, y de esta maera asegurar que la curva que mejor se ajusta a la ube de putos es ua recta. Para valores de r iferiores a 0,85, debe buscarse otro tipo de depedecia fucioal etre las variables. Si el coeficiete de correlació lieal es mayor o igual que 0,9 y meor que 1, siempre se debe expresar co todas sus cifras hasta la primera que o sea 9, redodeádola e su caso (por ejemplo, si resulta ser 0, , habría que expresarlo como 0,9997). Por debajo de 0,9, se puede expresar co cifras sigificativas. Para realizar los cálculos correspodietes al ajuste por míimos cuadrados, es coveiete programar estas ecuacioes. 8. Presetació de resultados. Técicas de redodeo. El valor umérico de ua magitud y y de su icertidumbre típica combiada u c (y) o, e su caso, de su icertidumbre expadida U, o debe darse co u úmero excesivo de cifras. El valor de la magitud debe expresarse co u úmero de cifras que viee determiado por el valor de la icertidumbre, ya que sería absurdo presetar ua medida hasta la diezmilésima cuado la icertidumbre afecta a las décimas (por ejemplo, m S = (1, ± 0,035) kg). Ese úmero de cifras es lo que se deomia úmero de cifras sigificativas, y determia el valor de u úmero auque o su orde de magitud. Habitualmete basta co dar u c (y) y U (así como las icertidumbres típicas u(x i ) de las estimacioes de etrada x i ] co dos cifras sigificativas, auque e ciertos casos, pueda ser ecesario mateer cifras suplemetarias para evitar la propagació de errores de redodeo e cálculos posteriores. U resultado o estará correctamete expresado si o se aplica adecuadamete las técicas de redodeo. Partiedo de la magitud y de su icertidumbre co todas sus cifras, el procedimieto de redodeo se resume e los siguietes pasos: a. Se coserva las dos primeras cifras sigificativas de la icertidumbre (esto es, descotado los ceros a la derecha e izquierda del úmero, idepedietemete de la posició de la coma decimal). A cotiuació, se procede de la siguiete maera: i. Redodeo al itegral múltiple más próximo: la última cifra coservada se redodea aumetádola e ua uidad si la primera de las cifras a descartar es mayor que 5, y o alterádola si es meor que 5. Ej. 1.: u c = 6, ; los itegrales múltiples sería 6,9 y 7,0, siedo éste último el más próximo, de forma que redodeado queda: u c = 7,0; Ej..: u c = 0, ; los itegrales múltiples sería 0,003 y 0,0033, 15

16 ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS siedo éste último el más próximo, de forma que redodeado queda redodeado es: u c = 0,003. ii. Redodeo al par múltiple más próximo: si las cifras a descartar empieza por 5 y todas las demás so 0, la última cifra coservada o cambia si es par o se icremeta e 1 uidad si es impar (redodeo al úmero par más próximo). Ej.1: u c = 6,95; el par múltiple más cercao es 7,0, de maera que redodeado es: u c =7,0. Ej.: 0,0035, el par múltiple más cercao es 3, pues 33 es impar, de maera que redodeado es: u c = 0,003). El redodeo al úmero par más próximo asegura que uas veces se redodeará por exceso, otras por defecto. Si las demás cifras que sigue al 5 o fuese 0, se aumeta el valor de la última cifra coservada: (Ej.1: 6,95 redodeado es: 7,0; Ej.: 0,00351, redodeado 0,0033). b. A cotiuació, se expresa la magitud de forma que su última cifra sea del mismo orde que la de la icertidumbre, descartado las demás y redodeádola de la misma forma que la icertidumbre. Por ejemplo, si se ha realizado ua experiecia e la que se ha calculado el valor de la gravedad, y los resultados fiales da el valor de 9,684 m/s co ua icertidumbre típica combiada de 0,3454 m/s, la presetació del resultado sería: g = (9,68 ± 0,35) m/s E ocasioes hay que teer e cueta que alguos ceros o se puede suprimir, ya que está idicado cuál es el orde de magitud correcto o simplemete que la cifra idicada es efectivamete 0 y o cualquier otra (por ejemplo, escribir,1 ± 0, cm es icorrecto, ya que lo correcto sería,10 ± 0,0 cm, puesto que esos ceros so sigificativos). Para úmeros muy grades o muy pequeños coviee usar la otació cietífica, esto es, e potecias de 10, respetado el úmero sigificativo de cifras, expresado el valor y su icertidumbre co la misma potecia de 10. Por ejemplo, ó 1, Cuado los cálculos se realiza mediate calculadora u ordeador, coviee coservar siempre todas las cifras que éstos permita, procediédose al redodeo SÓLO e el resultado fial, NUNCA redodeado resultados itermedios. Si e la fórmula o ley que permite el cálculo de ua magitud aparece algua costate matemática o física (como, N A, g, c, etc.), coviee cosiderar, e el mometo de operar, el máximo úmero sigificativo de cifras, de forma que el error cosiderado sea despreciable frete a los de las magitudes que iterviee e la fórmula. 16

17 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA A cotiuació se preseta alguos ejemplos de redodeo, aplicados a medidas de itesidad (I) dadas e amperios (A): Medida (A) u c (A) Resultado 1, ,0139 I = (1,439 ± 0,01) A 4, ,04661 I = (4,813 ± 0,047) A 13, , I =(13,33 ± 0,9) 10 3 A I = 5130 ± 30 A 0, ,00996 I = 0,538 ± 0,010 5, ,0574 I = 5,036 ± 0,06 A 9. Represetacioes gráficas. A la hora de realizar represetacioes gráficas se debe respetar las siguietes ormas (figura ): a) Ejes Abscisa y Ordeada U coveio bie establecido e Física para todas las prácticas es represetar e el eje de abscisas (horizotal) la variable idepediete (aquella que elige el experimetador e cada medida), y e el eje de ordeadas (vertical) la variable depediete (aquella cuyo valor se determia); brevemete, se trata de represetar efecto (e el eje vertical) frete a causa (e el eje horizotal). Papel Los papeles más utilizados e las gráficas de Física so el lieal (ormalmete graduado e milímetros y por eso comúmete llamado papel milimetrado), y el logarítmico, que puede ser semilogarítmico (de rayado logarítmico e u solo eje y lieal e el otro) y logarítmico sobre ambos ejes. Idetificació de cada eje Los ejes debe marcarse siempre co el ombre y símbolo de la magitud represetada juto a las uidades e que se expresa. Tambié debe idicarse, e su caso, la potecia de 10 correspodiete, por la que va multiplicada la uidad. De este modo, las divisioes e u eje puede eumerarse 1,, 3,... e lugar de , 0.000, 17

18 ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Figura ,... ó de 0,001, 0,00, 0,003,... etc., si e el eje se idica 10 4 ó 10-3, respectivamete. E los ejes se marcará los valores de las variables represetadas, a itervalos regulares, de acuerdo co la escala escogida. Escalas La selecció de la escala utilizada e cada eje debe hacerse de modo que: Los putos experimetales o quede todos jutos, debiedo cubrir toda la zoa del papel. La escala debe ser secilla. Lo más secillo es represetar por u milímetro ua potecia de 10 de la uidad; la siguiete simplicidad es aquella e que u milímetro (ó u cetímetro) represeta ó 5 uidades. El orige de la represetació o tiee por qué ser el puto (0, 0). Salvo e casos especiales la escala y el orige se tomará de maera que la curva a represetar quede cetrada e el papel y ocupe la mayor parte de éste. Cada puto se represeta por u puto (.), u asterisco (*), u otro símbolo parecido. Si existe varias curvas e la misma gráfica co diferetes sigificados, los putos de cada ua se represeta co distitos símbolos. 18

19 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD DE SEVILLA b) Represetació gráfica de la icertidumbre de las medidas E ocasioes es ecesario represetar las icertidumbres e las medidas. E este caso se represetaría el itervalo de cofiaza mediate la icertidumbre expadida U. Para ello se traza ua cruz o u rectágulo cetrados e el puto y de dimesioes horizotales y verticales correspodietes a la icertidumbre expadida e cada direcció. c) Ajuste de líeas a los putos represetados Si se traza ua curva para uir ua serie de putos se debe de respetar las siguietes ormas: Debe de ser lo más regular posible. Debe de pasar lo más cerca posible de los putos, auque o tiee que pasar ecesariamete por todos ellos (icluso puede que o pase por iguo). Si existe algú puto aislado lo más ormal es que se trate de u error y puede que sea coveiete repetir la medida correspodiete a ese puto. No uir uca los putos mediate ua líea quebrada. Bibliografía - Recomedacioes del CEM para la Eseñaza Metrología. Cetro Español de Metrología, Eero de 011. ( omedacioes%0cem%0eseaza%0metrologia.pdf) - GUM DIGITAL 010. Cetro Español de Metrología, 008. ( - ISO :009, Quatities ad Uits, Part 1: Geeral. 19