5. PÉNDULO SIMPLE. MEDIDA DE g

Transcripción

1 5. PÉNDULO SIMPLE. MEDIDA DE g OBJETIVO El objetivo de la práctica es medir la aceleració de la gravedad e el laboratorio, g, a partir del estudio del movimieto armóico de u pédulo simple. MATERIAL Pédulo Croómetro Dispositivo para variar la logitud del pédulo Regla graduada

2 FUNDAMENTO TEÓRICO El pédulo simple está formado por ua masa m, suspedida de u puto fijo O por medio de u hilo iextesible de masa despreciable y logitud l, que oscila alrededor de otro puto fijo e la misma vertical que O. Se trata de u sistema que trasforma la eergía potecial (relativa a su altura vertical) e eergía ciética (relativa a su velocidad) y viceversa, debido a la acció de la fuerza gravitatoria mg que ejerce la Tierra sobre la masa m (más cocretamete, a la compoete de esta fuerza perpedicular al hilo, tambié llamada restauradora porque se dirige hacia la posició de equilibrio del pédulo; la otra compoete, e la direcció del hilo, tiee igual módulo pero co setido opuesto a la tesió que el hilo produce sobre la masa, por lo que o iterviee e el movimieto del pédulo). El movimieto oscilatorio resultate queda caracterizado por los siguietes parámetros: Oscilació completa o ciclo: es el desplazamieto de la esfera desde uo de sus extremos más alejados de la posició de equilibrio hasta su puto simétrico (pasado por la posició de equilibrio) y desde este puto de uevo hasta la posició iicial, es decir, dos oscilacioes secillas. Periodo: es el tiempo empleado por la esfera e realizar u ciclo u oscilació completa. Frecuecia: es el úmero de ciclos realizados e la uidad de tiempo. Amplitud: es el máximo valor de la elogació o distacia hasta el puto de equilibrio, que depede del águlo α etre la vertical y el hilo. Para pequeñas amplitudes (seα α), el movimieto oscilatorio del pédulo es armóico simple, y el periodo de oscilació T viee dado por la fórmula: T l = π [5-] g Es decir, el tiempo de oscilació o depede i de la masa m i (para amplitudes pequeñas) de la amplitud iicial, por lo que puede calcularse g a partir de medidas de tiempos ( T ) y logitudes ( l ): g l T = 4π [5-] El valor de g dismiuye co la profudidad (hacia el iterior de la Tierra) y co la altura (hacia el espacio exterior) tomado su valor máximo para u radio igual al terrestre. E la superficie terrestre, g varía co la latitud (la tierra o es esférica sio que posee ua forma más irregular deomiada geoide): el valor de g es meor e el ecuador que e los polos (g e = m/s ; g p = 9.83 m/s ). Tambié g varía co la altitud respecto al ivel del mar y co las aomalías de desidad de la corteza terrestre.

3 La fuerza cetrífuga tambié varía el módulo y la direcció de la aceleració de la gravedad a distitas latitudes (es máxima e el ecuador, dode ω R 0.03 m/s ). El pédulo simple, además de servir para calcular el valor de g co ua cosiderable precisió, tiee muchas otras aplicacioes. Se utiliza geeralmete e la fabricació de relojes para la medició del tiempo. Pero tambié sirve, puesto que u pédulo oscila e u plao fijo, como prueba efectiva de la rotació de la Tierra, auque estuviera siempre cubierta de ubes: E 85 Jea Leo Foucault colgó u pédulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Iválidos e Paris (latitud 49º). U recipiete que coteía area estaba sujeto al extremo libre; el hilo de area que caía del cubo mietras oscilaba el pédulo señalaba la trayectoria: demostró experimetalmete que el plao de oscilació del pédulo giraba º 5 cada hora, y por tato que la Tierra rotaba. MÉTODO Se mide la logitud l del pédulo, esto es, desde el extremo fijo O al cetro de masa de la esfera. Observa las irregularidades de tu esfera y traslada el cetro de masa estimado de la esfera a la escala vertical milimetrada. Procura observar la esfera perpedicularmete al plao de la escala milimetrada para evitar efectos de paralaje, y comprueba si existe algú error de cero e el puto fijo del pédulo. Se separa el pédulo de su posició de equilibrio y se deja oscilar libremete, procurado que el movimieto se produzca e u plao. Cuado la oscilació sea de amplitud pequeña, se croometra la duració t de 40 oscilacioes completas (ida y vuelta). El periodo experimetal T vedrá dado por: T = t / 40. [5-3] Sobre la precisió de los aparatos de que dispoes, establece la icertidumbre de tu medida persoal para croometrar tiempos y precisar la logitud del pédulo. (Recuerda que solo debes usar ua cifra sigificativa para el valor de la icertidumbre). Se realizará 0 medidas de t para otras tatas logitudes diferetes, modificado la logitud l del pédulo co ayuda de los gachos de la escala (dispuestos de 0 cm e 0 cm aproximadamete). Aota e la tabla adjuta las medidas obteidas, expresado los valores de t y de l que mides de forma cocordate a las icertidumbres Δt y Δl establecidas para tus correspodietes medidas directas. Para cada par de valores de logitud y periodo, calcula los correspodietes valores de T y T y, utilizado la ecuació [5-], el respectivo valor de g. Los valores de las diferetes icertidumbres idirectas ΔT, ΔT y Δg las calcularás posteriormete. Dibuja e el papel milimetrado que se te adjuta ua gráfica de T e fució de la logitud del pédulo l, e la que se refleje tus resultados experimetales. Utiliza e la gráfica ua escala coveiete y uidades adecuadas e sus ejes. Comprueba que tus datos experimetales guarda ua relació lieal, ya que teóricamete: T = (4π /g) l. Observa si algú puto se desvía de esa tedecia, o si su valor calculado para g difiere cosiderablemete del resto. Si es así prueba a repetir el experimeto para la logitud correspodiete. La fuerza de Coriolis es la resposable de la rotació del plao del pédulo de Foucault, la circulació del aire alrededor de los cetros de baja o alta presió, la desviació de la trayectoria de proyectiles de largo alcace, la rotació del agua cuado sale por el desagüe de la bañera, etc. Ver simulació e: 3

4 Nombre Curso Fecha : Apellidos Grupo Letra de prácticas Tabla (5.): DATOS EXPERIMENTALES APARATO DE MEDIDA Precisió del aparato Icertidumbre de la medida (variable a medir) (uidades) (uidades) Croómetro (t) Δt = Δt = Escala milimetrada (l) Δl = Δl = Logitud del pédulo, (l ± Δl) uidades Tiempo de 40 oscilacioes, (t ± Δt) uidades i Periodo de ua oscilació, T (uidades) Cuadrado del periodo, T (uidades) Valor experimetal de g (uidades) Medidas repetidas (opcioal) Represeta gráficamete, reflejado la escala y las uidades correspodietes, los datos experimetales obteidos para el cuadrado del período (ordeadas) e fució de la logitud del pédulo (abscisas) 4

5 Nombre Curso Fecha : Apellidos Grupo Letra de prácticas RESUMEN DE RESULTADOS (A) Deduce las expresioes geerales de las icertidumbres de medida idirecta ΔT, ΔT y Δg, a partir de su depedecia de las medidas directas realizadas. ΔT = ΔT = FÓRMULAS GENÉRICAS Δ g = Calcula uméricamete ΔT : ΔT = Para cada par de valores de logitud y periodo, calcula las icertidumbres ΔT i y Δg i, (si redodear a ua cifra sigificativa), idicado las uidades respectivas e los parétesis. Adjuta ua hoja co los cálculos si es ecesario. I ΔT i ( ) Δg i ( ) Dibuja para cada puto de la gráfica de la págia 4 sus itervalos de icertidumbre asociada ΔT i y Δl.. Expresa, para cada par de valores de logitud y periodo, los valores obteidos e las medidas idirectas de T i y g i, e cocordacia decimal co las icertidumbres de medida idirecta ΔT, ΔT i y Δg i, (que previamete redodearás a ua sola cifra sigificativa). Idica las uidades utilizadas e cada caso. Tabla (5.): Logitud del pédulo, (l ± Δl) uidades i Cuadrado del periodo, (T ± ΔT ) uidades Valor experimetal de la gravedad, (g ± Δg) uidades 5

6 (B) Ajusta a ua recta por el método de la regresió lieal los valores experimetales obteidos para el cuadrado del periodo, T, e fució de la logitud del pédulo, l. Rellea e los respectivos parétesis las uidades que asigas a las variables X i e Y i, teiedo e cueta que T = (4π /g) l. i Y i (uidades) X i (uidades) X i Y i X i Σ Co la ayuda de la tabla aterior, calcula los valores de la pediete, m, y de la ordeada e el orige, c, de la recta de ajuste y=mx+c, idicado sus respectivas uidades: ( Recuerda que la pediete m y la ordeada e el orige c de dicha recta viee dadas por las siguietes expresioes: m = E / D ; c = Y mx ; dode E = X iyi X Y ; D = X i X, siedo : X = X, i= i= i Y = Y ) i i= i= Variable Valor Uidades m c Represeta la recta de ajuste sobre la gráfica de la pág. 4, calculado parejas de valores. Es coherete tu valor de c? Por qué? (C) A partir del valor de la pediete m de la recta de ajuste y=mx+c, calcula el valor de la gravedad g m, co sus uidades, que se obtiee comparado la regresió lieal co la fórmula T = (4π /g) l. g m = 6

7 CUESTIONES Por qué crees que o es coveiete medir directamete el periodo midiedo el tiempo de ua sola oscilació e vez de medir el tiempo de 40 oscilacioes? (a) Compara críticamete todos los valores de g obteidos (los g i obteidos a partir de las medidas idividuales y el calculado a partir de la pediete, g m ) co el valor teórico de 9.8 m/s. (b) Observado tus resultados, se ve algua depedecia de la icertidumbre de medida idirecta Δg i respecto a la logitud del pédulo, l? Piesa: Afectaría al periodo de u pédulo que su masa variase mietras oscila, como el de la experiecia de Foucault que perdía area? Usado la ecuació [5.], idica qué efectos (atraso, adelato, iguo) produciría los siguietes viajes sobre u reloj de pédulo que fucioe correctamete a uestras latitudes: u viaje al polo orte, al Ecuador, ua ascesió e globo y u desceso a grades profudidades. Razoa, co ayuda de los siguietes textos sobre los estudios gravimétricos, si la correcció luisolar hubiera afectado a la precisió de tus medidas experimetales de g. [...] o podemos abrir de forma sistemática y hasta sus más recóditas etrañas uestro plaeta, pero sí medir parámetros físicos que, de forma idirecta, os permita deducir su estructura, composició, actividad, etc. La desidad es uo de estos parámetros y precisamete del que trata la gravimetría. Observamos que la aceleració de la gravedad, g, depede: de u valor costate (costate de gravitació); de u valor coocido e cada lugar de la tierra (el radio); y de la masa de la Tierra. La masa es, a su vez, fució del volume de la tierra (tambié costate) y de la desidad. Luego las variacioes de g, ua vez realizadas todas las correccioes y tratamietos que o creemos ecesario detallar ahora, so e defiitiva fució de las variacioes de la desidad que se deriva de las distitas composicioes o estructuras que costituye uestro plaeta. So, por tato, idicadores de zoas de alta y baja desidad, co rápido o suave paso de uas a otras, de heterogeeidades profudas (de gra logitud de oda) o superficiales (geeralmete de corta logitud). Su posterior trasposició a iformació geológica, os permite deducir situació de cuecas sedimetarias; itrusioes volcáicas, cuerpos mieralizados, fallas, zoas de subducció, etc. [...] Para ello los gravímetros tiee que alcazar elevados iveles de precisió. Las variacioes de g a detectar so de uas pocas uidades (o icluso décimas o cetésimas) de las aproximadamete e que se covierte los 9.8 m/seg clásicos si los expresamos e milésimas de cm/seg. Al cm/seg se le deomia gal, e hoor a Galileo, y las uidades de trabajo so, por tato, los miligales, y sus correspodietes submúltiplos [...] Correcció por marea luisolar: Esta correcció es debida a la atracció que ejerce el Sol y la Lua sobre el puto de estació e el mometo de efectuar la medida, depede del lugar, hora y fecha de observació, o es lieal, y segú la precisió de las medidas deberá teerse e cueta ya que alcaza valores de hasta 0.30 mgal. 7