02) Mediciones. 0202) Mediciones

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1 Págia 02) Medicioes 0202) Medicioes Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas

2 Págia 2 A) Teoría de Errores e Icertezas Si usted puede medir lo que está cosiderado y expresarlo e úmeros, usted sabe algo sobre ello; pero cuado o puede cuatificarlo, su coocimieto es vago e isatisfactorio. Podría ser el comiezo de u coocimieto, auque si alcazar el ivel de ciecia. Lord Kelvi Tal como se mecioó ateriormete, el quehacer cietífico se basa e la observació y e la experimetació. A partir de ellos se puede aalizar los feómeos de forma cualitativa (a través de percepcioes) o de forma cuatitativa (a través de medicioes). Las medicioes se obtiee a través de u istrumeto de medició (regla, balaza, etc), el cual tiee graduada la uidad patró correspodiete y permite compararla co la variable a medir. Es u hecho atural e ievitable que toda medició vaya siempre acompañada de icertezas. E todo feómeo atural, por más simple que sea, uo o puede cotrolar i predecir todas las variables, por lo que hay u cierto grado de icertidumbre e el resultado exacto. Ello explica que, e muchas ocasioes, se obtega resultados distitos al repetir varias veces ua misma medició. Co el fi de maximizar la cofiabilidad y utilidad de las medicioes, y e cosecuecia la validez del experimeto, es ecesario reducir lo más posible las ifluecias de estos factores, y para ello se hace ecesario aalizar las fuetes de icertezas. Figura ) Coceptos de exactitud y precisió Lo ideal es que las medicioes sea lo más precisas y exactas posibles. Y ambos coceptos so diferetes. Mietras la exactitud se refiere a que los valores esté e toro al valor exacto o esperado, la precisió se refiere a que la dispersió etre las medicioes y el valor esperado o sea muy Figura 2) Comparació de 4 reglas de 20 [cm], de diferetes fabricates

3 Págia 3 grade. E la figura queda claramete explicitados estos coceptos. U istrumeto mal calibrado puede dar u cojuto de medicioes precisas (todas cocetradas e u puto), pero iexactas. U experimeto llevado a cabo co descuido puede dar lugar a medicioes exactas (e toro al valor esperado), pero imprecisas (muy dispersas). Cosidere las cuatro reglas de 20 [cm] de la figura 2. omialmete, todas debería teer la misma graduació, pero se observa claramete que existe pequeñas diferecias de logitud. Esto implica que si, por ejemplo, medimos la logitud de u lápiz co cada ua de ellas, obtedremos resultados diferetes. E este caso, teemos diferecia de calibració etre las reglas. E geeral, existe tres tipos de icertezas o errores de medició: a) Sistemáticos: Se produce por factores ideseables (exteros o iteros) que iteractúa cosistetemete co el sistema e estudio. o puede ser detectados y elimiados por simple repetició del experimeto. Ejemplos: Mala calibració de istrumetos. Malos hábitos de trabajo del cietífico. Errores de paralaje (mala ubicació del observador al leer los istrumetos) Efectos de factores o cosiderados e el experimeto. Como se evita: Cotrolado el estado de los istrumetos. Estableciedo claramete las codicioes de observació y/o experimetació. b) Accidetales o Aleatorios: So usualmete los más resposables de que se obtega valores distitos al repetir ua medició. Ejemplos: Errores de apreciació. Errores por codicioes fluctuates. Errores por características del objeto medido. Como se evita: Repitiedo la medició varias veces y tomado el promedio de los valores obteidos como el resultado de la medició. Usado sistemas de medició e dode los datos observados sea registrados automáticamete por medio de máquias especializadas. Estas puede evetualmete trazar gráficos para que el cietífico los aalice. c) Burdos: Errores producto de equivocacioes de procedimieto de parte del cietífico. Ejemplos: Leer mal u istrumeto. Cotar mal u úmero de sucesos. Errores de cálculo Como se evita

4 Págia 4 Procediedo e las medicioes co rigurosidad, preocupádose costatemete de hacer bie cada cosa. El tomar e cueta los errores de medició tiee ua gra importacia práctica e muchos casos. Cosideremos el siguiete ejemplo: Se ecesita aillos que se ajuste alrededor de cilidros de 8,7 [cm] de diámetro: Tato para los aillos como para los cilidros, los valores está medidos co u 0,2% de error. Los diámetros omiales del aillo DA y del cilidro DC so tales que D D 8,7[ cm] El 0.2% de error sigifica que: El diámetro de los aillos varía etre DA y.002 DA. El diámetro de los cilidros varía etre DC y.002 DC. Se puede dar los siguietes casos extremos Cilidro de diámetro máximo y aillo de diámetro míimo ep ep D' C DC + DC + DC,002 8,7 cm ep ep D' A DA DA DA 0,998 8,7 cm E este caso, los aillos o etraría e los cilidros Cilidro de diámetro míimo y aillo de diámetro máximo ep ep D' C DC DC DC 0,998 8,7 cm ep ep D' A DA + DA + DA,002 8,7 cm E este caso, los aillos tedría juego co el cilidro.. A C [ ] 8,9[ cm] [ ] 8,5[ cm] [ ] 8,5[ cm] [ ] 8,9[ cm]

5 Págia 5 B) Error experimetal Cosidere el siguiete ejemplo: Dos estudiates A y B midiero el valor e [ohm] de ua resistecia usado u voltímetro aalógico. Cada estudiate obtuvo ua serie distitas de 2 medicioes, las cuales se muestra e la tabla Para expresar los datos, existe dos formas típicas: Tablas de medicioes v/s frecuecia (º de veces que se repite el dato) Gráficos de barras o Histogramas E las figuras 3 y 4 se muestra las tablas e histogramas para los datos tomados por ambos estudiates Tabla ) Lista de datos tomados por los estudiates A y B Resistecia [ohm] º SERIE A SERIE B 47,5 43,0 2 48,5 56,0 3 53,5 47,5 4 44,8 50,2 5 55,6 57,3 6 50,2 49,4 7 50,2 43, 8 50,2 50,2 9 5, 56,6 0 48,5 50,2 50,2 54,0 2 49,7 42,5 Figura 3) Tabla de medicioes e histograma para los datos del estudiate A

6 Págia 6 Figura 4) Tabla de medicioes e histograma para los datos del estudiate B. Para poder caracterizar estos cojutos de medicioes, ecesitamos al meos dos parámetros. Uo que etregue u valor represetativo del cojuto de medicioes PROMEDIO Uo que permita cuatificar el grado de dispersió del cojuto de medicioes respecto al valor represetativo DESVIACIÓ STADARD. Promedio El promedio es igual a la suma total de los valores medidos, dividida por el úmero total de medicioes. prom i i E la tabla 2 se muestra los promedios calculados para las series de medicioes obteidas por los estudiates A y B. Se aprecia que el promedio es el mismo e ambas series, siedo que so diferetes etre sí. Así, el promedio por sí solo o es suficiete para caracterizar ua serie de medicioes. Echado u vistazo a los respectivos histogramas, os damos cueta que, auque el promedio es el mismo para ambas series, la distribució de los datos respecto al promedio es diferete. Por lo mismo, ecesitamos otro parámetro que os permita cuatificar el grado de dispersió o desviació del cojuto de medicioes. Ituitivamete podemos aticipar que, mietras meor sea la dispersió, más podemos cofiar e la iformació proporcioada por las medicioes. Tabla 2) Cálculo de promedio para las medicioes de los estudiates A y B Resistecia [ohm] º SERIE A SERIE B 47,5 43,0 2 48,5 56,0 3 53,5 47,5 4 44,8 50,2 5 55,6 57,3 6 50,2 49,4 7 50,2 43, 8 50,2 50,2 9 5, 56,6 0 48,5 50,2 50,2 54,0 2 49,7 42,5 Suma 600,0 600,0 Promedio 50,0 50,0

7 Págia 7 Parámetros de Desviació. Sea u cojuto de medicioes, 2,, cuyo promedio es. Para cualquier medició i de ese cojuto se puede defiir los siguietes parámetros: Error absoluto o desviació absoluta: Es la diferecia etre i y el promedio calculado. error absoluto i Error porcetual: Es u parámetro que os da ua medida comparativa de la magitud del error cometido e la medició de i respecto del promedio. error porcetual Tabla 3) Cálculo de Desviació estádar para los datos del estudiate A i 00% Tabla 4) Cálculo de Desviació estádar para los datos del estudiate B E las tablas 3 y 4 se muestra el cálculo de error absoluto para todos los datos tomados por los estudiates A y B. U primer parámetro de desviació que podría ser cosiderado sería el promedio de las desviacioes absolutas. Supogamos que se defie el parámetro de desviació como dev ( ) Desarrollado la expresió aterior

8 Págia 8 dev Es decir, este parámetro de desviació siempre tomaría el valor cero, idepedietemete de los datos.e las tablas 3 y 4 se observa que las desviacioes absolutas puede tomar valores positivos y egativos, que al sumarse se aula etre sí. Este parámetro o es de igua utilidad, pues da siempre el mismo valor idepediete de los datos. U parámetro de desviació igual a cero sólo puede proveir de u cojuto de medicioes e la que todos los datos sea iguales al promedio. Para evitar este efecto de compesació de errores absolutos, resulta coveiete cosiderar el promedio de las desviacioes al cuadrado. Así, se defie la variaza como dado por Var σ 2 ( ) 2 Por otra parte, como e este caso estamos midiedo resistecias y o resistecias al cuadrado, hay que obteer la raíz cuadrada de este promedio de desviacioes al cuadrado. Al valor que resulta se le deomia desviació stadard, y se simboliza co la letra griega σ. Es u parámetro que idica la precisió co que se efectuaro las medicioes. σ ( ) 2 Comparado los resultados obteidos para desviació estádar e las tablas 3 y 4, el mayor valor obteido refleja u mayor grado de dispersió e la serie B. Luego, la medició de la serie A es la más cofiable. Las medicioes se expresa e el formato etre σ y + σ. Así: ± σ, que sigifica que el valor medido está Para los datos de la serie A, ( 50 ± 2,63)[ Ω] R A resistecia está etre 47,37 [Ω] y 52,63 [Ω]. R B 50 ± 5,07 resistecia está etre 44,93 [Ω] y 55,07 [Ω]. Para los datos de la serie B, ( )[ Ω], que sigifica que el valor de la, que sigifica que el valor de la

9 Págia 9 Cosideracioes de simetría e histogramas Cosidere el histograma de la figura 9, e el cual la distribució de los datos es simétrica respecto del promedio. 3 Si se quita o agrega datos iguales al promedio, éste se matedrá ivariate, pues se agrega o quita datos cuyo aporte a la sumatoria de desviacioes al cuadrado es cero. Si se agrega datos iguales al promedio, aumeta el úmero total de medicioes, por lo que dismiuye la desviació estádar del cojuto de medicioes. Si se quita datos iguales al promedio, dismiuye el úmero total de medicioes, por lo que aumeta la desviació estádar del cojuto de medicioes. Si se agrega 4 medicioes iguales a κ, para mateer el promedio igual a, se debe agregar 4 medicioes iguales a + κ, mateiédose así la simetría del histograma. 2 ε δ 2 δ 2ε + δ + ε Figura 9) Cosideracioes de simetria e histogramas