UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES Humao es errar; pero sólo los ecios persevera e el error. Ciceró. ACADEMIA DE MATEMÁTICAS Uidad II: Datos Bivariados Apredizajes. Costruye diagramas de dispersió para represetar gráficamete la relació etre dos variables. Calcula e iterpreta los valores estimados de la pediete y la ordeada al orige de la recta de míimos cuadrados. Grafica la recta de regresió. Datos de dos variables Defiició. U cojuto de datos de dos variables cosiste e parejas de úmeros obteidos por la medició de dos características diferetes del mismo elemeto de la població. E los problemas e que iterviee dos variables cuatitativas, los datos de la muestra se preseta gráficamete e u diagrama de dispersió. Defiició. U diagrama de dispersió es la gráfica de todas las parejas ordeadas de datos de dos variables que está e u sistema de ejes coordeados. La variable de etrada, x, se grafica e el eje horizotal y la variable de salida y, se grafica e el eje vertical. Ejemplo. Supoga que u gerete de vetas de ua compañía de copiadoras, desea determiar si existe ua relació etre el úmero de llamadas telefóicas de vetas hechas e u mes, y la catidad de copiadoras vedidas durate ese lapso. El gerete seleccioa al azar ua muestra de 10 represetates, y determia el úmero de tales llamadas que hizo cada uo el mes aterior y la catidad de productos vedidos. La iformació aparece e la tabla siguiete: Represetate de vetas No. de llamadas No. de copiadoras vedidas Adrés López 0 30 Beito Gómez 0 60 Carlos García 0 0 Daiel Valdez Eresto Herádez Federico Ortiz 10 0 Gerardo Cabrera 0 0 Hilario Guadarrama 0 0 Igacio Acosta 0 50 Javier Rojo Para determiar si hay ua relació etre el úmero de llamadas y la catidad de copiadoras vedidas primero elabora u diagrama de dispersió. Solució. Es práctica comú marcar la variable idepediete (úmero de llamadas a clietes) e el eje horizotal, o eje x, y la variable depediete (copiadoras vedidas) e el eje vertical o eje y. 1 Fracisco Javier Herádez Velasco. Ferado Fabiá Herádez Velasco.

2 Copiadoras Llamadas Diagrama de dispersió que muestra las llamadas de vetas y las copiadoras vedidas. El diagrama de dispersió idica que los represetates de vetas que hace más llamadas telefóicas, tiede a veder más copiadoras. El método de míimos cuadrados El propósito del aálisis de regresió es determiar ua recta que se ajuste a los datos muestrales mejor que cualquier otra recta que pueda dibujarse, la recta del mejor ajuste se ecuetra aplicado el método de míimos cuadrados. Supoga que ŷ= A+ Bx es la ecuació de ua recta, dode ŷ (que se lee y gorro ) represeta el valor estimado de y que correspode a u valor particular de x. El criterio de míimos cuadrados requiere ecotrar las costates A y B tales que la suma ( y yˆ ) sea lo más pequeña posible. La ecuació de la recta del mejor ajuste es determiada por su pediete ( B ) y su ordeada al orige ( A ). Los valores de las costates, pediete y ordeada al orige, que satisface el criterio de míimos cuadrados se ecuetra aplicado las ( x x)( y y) fórmulas siguietes: Pediete: B = ( x x) Ordeada al orige = A y ( B x) = Deducir las fórmulas ateriores requiere el coocimieto de cálculo avazado, por lo que o se justifica e esta tarea. Para determiar la pediete B se usará la siguiete otació y sus equivalecias: SC( xy ) = ( x x y x) ( y y) = xy ( x) y SC( x ) = ( x x) = x Fracisco Javier Herádez Velasco. Ferado Fabiá Herádez Velasco.

3 Luego, Nota: SC = Suma de Cuadrados. Pediete: SC( xy) B = SC( x) Ejemplo. Determia la pediete y la ordeada al orige de la recta del mejor ajuste de los datos siguietes. x (publicidad e miles) y (vetas e miles) Tabla. Publicidad y vetas: relació o lieal Los cálculos para determiar la pediete y la ordeada al orige se muestra e la tabla siguiete. Datos Publicidad ( x ) x Vetas ( y ) xy x = x = y = 515 xy = Ahora, SC( x ) = SC( xy ) = ( ) x x = = 5 x y xy = 00-18(515) = 8.5 SC( xy) B = = 8.5 SC( x) 5 = 16.5 A y ( B x) = = (18) = 5.5 Luego, la ecuació de la recta de mejor ajuste es: ŷ = x Ahora que teemos ua fórmula para las vetas, podemos usarla para hacer proósticos. Por ejemplo para proosticar vetas totales si se gasta $3,500 e publicidad, sustituimos x = 3.5 e la recta de regresió: y = (3.5) = 11.5 La recta de regresió proostica vetas de $11,50, por supuesto si gastamos $3,500 e publicidad, es probable que las vetas o sea exactamete $11, 50. La ecuació de regresió os permite hacer proósticos, pero o da resultados exactos. 3 Fracisco Javier Herádez Velasco. Ferado Fabiá Herádez Velasco.

4 Si hacemos proósticos para x =.5 y x = 9.8. Teemos más cofiaza e la precisió de la predicció cuado x =.5 porque estamos iterpolado detro de u itervalo del que ya coocemos algo. El proóstico para x = 9.8 es meos cofiable porque estamos extrapolado fuera del itervalo defiido por los valores de la tabla. E geeral la iterpolació es más segura que la extrapolació EJERCICIOS 1. Es posible predecir la estatura de ua mujer usado la estatura de su madre? A cotiuació se eumera las estaturas de alguas parejas madre-hija; x es la estatura de la madre y y es la estatura de la hija. x y x y a. Usa la misma escala para trazar dos gráficas de putos que muestre los dos cojutos de datos, uo al lado del otro. b. Qué puede cocluir al observar los dos cojutos de estaturas mostrados como cojutos ajeos de esta maera? Explica tu respuesta. c. Elabora u diagrama de dispersió para los dos cojutos de estaturas y escríbelos como parejas ordeadas. d. Qué puede cocluir al observar los datos como parejas ordeadas? Explica tu respuesta.. a) Ajusta ua líea de regresió a los siguietes datos. Sea x = Estatura de u estudiate e cetímetros. y = Peso el estudiate e Kilogramos x y b) Estima el peso de u estudiate cuya estatura es de 17 cetímetros. 3. Sea x = Velocidad de u auto e Km. /h y = Distacia que recorre el auto e parar, e metros x y Ajusta ua líea de regresió co los datos ateriores. E los ejercicios del al 6 determia la recta de regresió y dibuja tato los datos como dicha líea.. Sea x = Número de revolucioes por miuto Fracisco Javier Herádez Velasco. Ferado Fabiá Herádez Velasco.

5 y = potecia e kilowatts de ua máquia diesel x y Sea x = Estatura de u bebé al acer. y = Período de embarazo e días x y Sea x = Número de errores (por hora) cometidos por 11 radiotelegrafistas. y = Grados cetígrados ( C). x y La gete o es sólo más logeva e la actualidad, sio que tambié lo es de maera idepediete. E el úmero de mayo/juio de 1989, de Public Health Reports, apareció el artículo A Multistate Aálisis of Active Life Expectacy. Dos de las variables estudiadas, fuero la edad actual de ua persoa y el úmero esperado de años restates por vivir. Edad x Años Restates y a. Elabora u diagrama de dispersió. b. Determia la ecuació de la recta de regresió. c. Traza la recta del mejor ajuste e el diagrama de dispersió. d. Cuátos so los años restates por vivir esperados para ua persoa de 70 años? 8. La oficia del director de ua preparatoria desea determiar si existe algua relació etre la marca ACT y la putuació promedio por grado de los recié igresados a la escuela. El director toma ua muestra aleatoria, la cual produce los datos siguietes. Cuál sería la PPG que se pediría para ua marca ACT de 80? Marca ACT PPG Fracisco Javier Herádez Velasco. Ferado Fabiá Herádez Velasco.