Departamento de Física Aplicada III

Transcripción

1 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic Superior de Ingenierí Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 5. Ferero de Por el interior de un tuerí ciĺındric de rdio fluye un ĺıquido con un velocidd, dependiente de l distnci l eje, ρ, como ( ) v = v 0 1 ρ2 2 u z El ĺıquido posee un densidd de crg uniforme ρ 0, de form que l densidd de corriente es J = ρ 0 v. En el exterior del tuo no hy corriente. () Clcule l intensidd de corriente que trvies un sección por l tuerí. () Si se dese que por l superficie del tuo circule un corriente superficil K, deformquel corriente totl se nul, cuánto dee vler K? 5.2. Hlle l velocidd de rrstre de los electrones en un cle de plt de 0.5 mm 2 de sección por el cul circul un corriente de 100 ma Un nue esféric de crg (compuest de un distriución de crgs puntules flotndo en el vcío) se encuentr en expnsión, creciendo el rdio de l esfer como R(t) =R 0 + vt. L crg totl de l nue, Q 0, se encuentr distriuid en todo momento de form uniforme en el volumen de l esfer. A prtir de l ley de conservción de l crg, clcule l densidd de corriente de conducción en l nue. Puede suponerse que J = J(r)u r y que est densidd no es infinit en el centro de l esfer. Clcule el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio Se un tuo ciĺındrico, de rdio interior y exterior, y longitud L, de un mteril de conductividd σ. Clcule l resistenci eléctric () Entre ls dos ses. () Entre l cr interior y l exterior Se tiene un cle coxil rectiĺıneo de longitud L =20mformdo por un núcleo ciĺındrico de core de rdio =4mm, rodedo de un cp de dieléctrico idel de rdio exterior =7mm. Por fuer del dieléctrico se encuentr un coron, tmién de core, de rdio exterior c =9mm. El cle está termindo en un cortocircuito que conect el núcleo interior con l coron exterior. En el extremo inicil del cle se estlece un diferenci de potencil V 0 =3mV. Clcule l intensidd de corriente que circul por el núcleo de core, sí como l densidd de corriente y el cmpo eléctrico en todos los puntos del core. A V 0 L L Prolem 5.4 Prolem 5.6 Prolem 5.7

2 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Entre los distintos tipos de cle empledos en l industri, se encuentr el de luminio revestido de core. Está formdo por un núcleo de luminio de rdio (supong =2mm), rodedo por un cp de core, de rdio exterior (se =3mm). () Clcule l resistenci de cle de est clse de longitud L =10km. () Determine l corriente que circul por cd metl cundo se plic un diferenci de potencil V 0 = 100 V l cle nterior Pr determinr l conductividd σ del suelo se mide l corriente entre dos electrodos clvdos en tierr y sometidos un ciert diferenci de potencil. () Supong en primer lugr sólo un electrodo hemisférico de rdio, perfectmente conductor, puesto un potencil V 1 respecto puntos muy lejdos. En el estdo estcionrio, determínese l distriución de potencil en el suelo. Admítse que el potencil depende exclusivmente de l distnci l centro del electrodo. A prtir de este resultdo, clcúlese l resistenci entre el electrodo y el infinito. Supóngse que el suelo posee conductividd igul en todos sus puntos. () Supong hor dos electrodos del tipo nterior, del mismo rdio, y muy lejdos entre sí. Si se conectn por el ire medinte un cle idel y un fuente de continu de tensión V 0, qué corriente circul de un electrodo l otro? (c) Si pr un tensión de 100 V entre dos electrodos de 10 cm de rdio se mide un corriente de 0.63 A, cuánto vle l conductividd del suelo? 5.8. Trs un rotur de un cle de core (de resistividd r 1 ) de sección S y grn longitud, se procede unir los dos pedzos medinte un solddur. Como consecuenci de l presenci de óxido l resistividd del cle ument hst un vlor r 2 en un región lrededor del punto de contcto, pudiéndose descriir mtemáticmente según l ley r(x) =r 1 + r 2 r 1 1+(x/) 2 () Clcule el umento de l resistenci totl del cle. Apĺıquese l cso S = 1mm 2, r 1 = Ω m, r 2 = Ω m, =2mm. () Si l potenci máxim por unidd de volumen que soport el hilo ntes de fundirse es p = 700 W/m 3, determine l intensidd de corriente máxim que puede circulr por el cle ntes de l solddur y después de ell =0.5mm 1 3 =0.1mm L=1cm 0 h=0.5cm 2 2 Prolem 5.9 Prolem 5.10 Prolem 5.11

3 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Pr construir un fusile se intercl un hilo de plomo (σ = S/m) enelcminodeun hilo de core de 0.5 mm de rdio. L piez de plomo está formdo por un hilo de 0.1 mm de rdio y 1 cm de longitud, unido l core por dos troncos de cono, tmién de plomo, de 0.5 cm de longitud. () L condición de fusión l d el que en un intervlo de tiempo de 1 s, en l piez de plomo se disipe un energí de 700 mj/mm 3. Clcule l intensidd máxim que puede circulr por el hilo de core pr que no se lcnce este ĺımite. () Clcule l resistenci de l piez de plomo, dmitiendo que el sistem se comport como un conductor filiforme de sección vrile Un interseccióndedospistsen un circuito integrdosepuedemodelrcomo un cruzcon rzos de igul longitud l cul están conectdos tres electrodos ctivos ( 1 3 ) y uno de tierr ( 0 ), según se indic en l figur. Se se que cundo el electrodo 1 se encuentr un tensión de +12V y el resto tierr, por el electrodo 1 entr un corriente de ma, mientrs que por el conductor 2 entr (según el criterio usul de signos) un de 2.63 ma. () Determine l corriente que entr (siguiendo el mismo criterio) por el electrodo 3 en l situción nterior. () Hlle l mtriz de coeficientes de conductnci del sistem de tres electrodos ctivos. (c) Construy un circuito equivlente pr el sistem de electrodos, que no emplee nodos intermedios. Hlle los vlores de ls resistencis de este circuito. (d) Si el electrodo 1 se dej +12 V y el 3 tierr, pero el 2 se pone 5V. Cuánt corriente entrrá por cd electrodo ctivo? (e) Pr el cso originl y pr el del prtdo nterior, cuánt potenci se disip en el sistem? Se tiene un circuito impreso en form de H de un mteril de conductividd σ, concutro terminles, un de ls cules se encuentr permnentemente tierr. Los rzos de l H y el tique centrl poseen longitud. Los cutro rzos tienen nchur, ( ) mientrs que el trmo centrl posee nchur 2, según indic l figur. El espesor de tod l pist es c. () Determine l mtriz de los coeficientes de conductnci, G ij, correspondiente los tres terminles lires. Desprecie l pequeñ contriución de ls esquins donde confluyen los rzos. () A prtir de l mtriz nterior, clcule ls conductncis G ij y elore un circuito equivlente l sistem de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios. (c) Determine l potenci consumid en l pist cundo el terminl 1 se encuentr potencil V 0 y los otros tierr. (d) En l configurción nterior se cort l conexión tierr del electrodo 2. En el nuevo estdo estcionrio, se consume más o menos potenci que ntes de l desconexión? Cuánto? Como modelo idel de generdor supong el siguiente sistem: un esfer de rdio de conductividd σ 1 se encuentr inmers en un medio de conductividd σ 2 que se extiende hst el infinito. En el interior de l esfer ctú un fuerz no electrostátic por unidd de crg E = E 0 u z,constnte y uniforme. () Escri ls ecuciones y condiciones de slto pr l densidd de corriente, el cmpo y el potencil eléctrico en todo el espcio. () Siendo que en el interior de l esfer el potencil es de l form φ 1 = Ar cos θ (r <)

4 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos 5.4 yenelexteriordeell φ 1 = B r 2 cos θ (r >) clcule ls constntes A y B. (c) Hlle l potenci desrrolld por el cmpo eléctrico en el interior y el exterior de l esfer. (d) Considerndo que l corriente es l que trvies el plno ecutoril de l esfer (z =0, r<) determine l fuerz electromotriz, l resistenci intern y l extern del circuito equivlente. (e) A qué tienden los resultdos cundo σ 1 σ 2? Y cundo σ 1 σ 2? Por un hilo rectiĺıneo de grn longitud y resistenci eléctric R 1 circul un corriente vrile en el tiempo, tl que su vlor es { I 1 (t) = I0 t(t t)/t 2 0 <t<t 0 t<0ó t>t () Hlle l crg que ps por un punto del hilo entre t yt. () Clcule l energí disipd en el cle en el mismo tiempo Entre dos plcs plns y prlels, perfectmente conductors, de sección S, y seprds un distnci se encuentr un medio resistivo, de permitividd ε y conductividd σ. Entre ls plcs hy estlecid un tensión V 0. () Hlle l corriente que circul entre ls plcs y l crg lmcend en cd un, sí comol energí lmcend en el sistem. () En t =0se desconect el generdor. Determine l evolución de l crg en ls plcs prtir de ese momento. (c) Hlle l energí disipd en el medio durnte el proceso de descrg del condensdor. (d) Descri el comportmiento del sistem medinte un circuito equivlente Entre dos plcs plns y prlels seprds un distnci + se coloc un cp de espesor de un medio de permitividd ε y conductividd σ. El resto del espcio lo ocup un cp de espesor vcí. En el instnte t =0se conect un diferenci de potencil V 0. () Cuánto vlen E, D y J inmeditmente después de conectr el potencil? () Cuánto vlen un tiempo lrgo después de que se hy estlecido? (c) Cuánto vlen en culquier instnte? Dos esfers metálics, perfectmente conductors, de rdio, se encuentrn muy lejds l un de l otr (de form que no se influyen entre sí). Ls dos esfers se encuentrn conectds medinte un cle de resistenci R. Un de ls esfers se encuentr conectd un generdor de tensión V 0, trvés de un interruptor que inicilmente se encuentr ierto. Ams esfers están inicilmente descrgds. () Supong que el interruptor se cierr durnte un periodo de tiempo muy corto (el imprescindile pr que se crgue l esfer conectd él) y se vuelve rir. Justo trs este intervlo cómo es l distriución de crgs y potenciles en ls esfers? Cuánto vle l energí electrostátic lmcend en el sistem? () Si se dej trnscurrir un periodo de tiempo lrgo, cómo qued l distriución de crgs y potenciles? Cuál es l energí electrostátic lmcend en el sistem en el estdo finl?

5 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos 5.5 (c) Determine l evolución en el tiempo de ls crgs y potenciles en cd esfer, sí comol corriente que circul por el cle. (d) Hlle l energí disipd en el cle durnte el periodo trnsitorio y verifique que se stisfce el lnce energético. (e) Supong hor que, en el proceso nterior, el generdor no se desconect, sino que se dej permnentemente conectdo l primer esfer. En ese cso, cómo vrí l crg en cd esfer? Y l corriente por el cle? Y l energí disipd y l energí lmcend? Se tiene un condensdor con pérdids formdo por dos plcs cudrds de ldo L =20cm,situds prlelmente un distnci =5mm. Entre ells se encuentr un mteril de permitividd reltiv ε r =2.6 y conductividd σ = S/m. Un plc se encuentr permnentemente tierr, mientrs que l otr experiment un pulso de tensión de form gussin V (t) =V 0 e t2 /T 2 ( <t< ) con V 0 =5VyT =3s. Pr culquier instnte de tiempo, clcule... () l distriución de cmpo eléctrico y de corriente entre ls plcs. Desprecie los efectos de orde. () l crg en cd un de ls plcs y l corriente que lleg cd un. (c) l energí electrostátic lmcend, l potenci disipd en el medio, y l potenci desrrolld por el generdor. (d) Clcule igulmente l energí totl disipd lo lrgo del tiempo, sí como el trjo totl relizdo por el generdor. Hlle el vlor numérico de los resultdo sólo pr el último prtdo. Dto: Un esfer de rdio se despolriz según l ley e x2 dx = π P(r,t)=ke λt ru r Determine ls densiddes de crg de polrizción, sí como l densidd de corriente de polrizción. Se verific l ley de conservción de l crg pr ρ p y σ p? Supong que se sumergen dos conductores perfectos en un mteril de permitividd ε y conductividd σ. Si se plic entre ellos un diferenci de potencil constnte V 0 l corriente que lleg uno de ellos vle I 0. Cuál será l corriente si el voltje vrí como V 0 cos ωt? V 0 V 0 R Prolem 5.15 Prolem 5.16

6 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Supong que en los prolems 5.14, 5.15 y 5.16, en lugr de un señl esclón plicmos un tensión ltern V = V 0 cos(ωt). Pr cd un de ests configurciones: () Cuánto vle l corriente que lleg l elemento? Cuál es l impednci del sistem? Y el circuito equivlente? () Cunto vle l energí portd por el generdor en un periodo? En qué se emple est energí?