Departamento de Física Aplicada III

Transcripción

1 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 1. Septiembre de Exprese los siguientes cmpos esclres en coordends crtesins, ciĺındrics y esférics () φ =(x 2 + y 2 + z 2 )/2 (b) φ =(2z 2 x 2 y 2 )/2 (c) φ =(zcos ϕ)/ρ (d) φ =cotgθ tg θ 1.2. Exprese los siguientes cmpos vectoriles en coordends crtesins, ciĺındrics y esférics: () A = r (b) B = y x 2 + y 2 u x x + x 2 + y 2 u y (c) C =2ρzu ρ (ρ 2 z 2 )u z (d) D = r tg θ u θ 1.3. Ddos los vectores A = u ρ u z B =5u r +12u θ evludos en el punto de coordends crtesins x =3, y =4, z =12, clcule () A + B (b) A B (c) A B 1.4. Describ ls superficies equipotenciles de los siguientes cmpos esclres () φ = A r (b) φ = r 2 (c) φ = A r + r 2 d) φ = r 2 /(A r) donde A es un vector constnte y r es el vector de posición Describ gráficmente ls superficies equiesclres de los cmpos ( ) x () φ = x 2 + y 2 (b) φ =rctg 2 + y 2 z (c) φ = x x 2 + y Pr los cmpos esclres () φ =(x 2 + y 2 + z 2 )/2 (b) φ =(2z 2 x 2 y 2 )/2 clcule su grdiente en coordends crtesins, ciĺındrics y esférics Si φ = φ(u), conu = u(r), demuestre que φ = dφ du u Encuentre φ si () φ =ln r, (b) φ = r n, (c) φ =1/ r r Hlle el vlor de l integrl AdS con A =cotgθu r u θ y l superficie de integrción un esfer de rdio R centrd en el origen.

2 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Pr los cmpos vectoriles () A = r (b) B = yu x + xu y (c) C = xu x yu y +2zu z (d) D = ρ 2 cos ϕ u ρ + ρ 2 sen ϕ u ϕ clcule su divergenci y su rotcionl, emplendo en cd cso, coordends crtesins, ciĺındrics y esférics. Cuáles son irrotcionles y cuáles solenoidles? Pr el cmpo vectoril A =(x y)u x +(x + y)u y + zu z clcule su flujo trvés de ls siguientes superficies cerrds: () Un cubo de rist, conunvértice en el origen y rists u x, u y y u z. (b) Un cilindro circulr de ltur h yrdior, con el eje Z como eje y sus bses situds en z =0 y z = h. (c) Un esfer de rdio R en torno l origen de coordends. Hlle el flujo por integrción direct y por plicción del teorem de Guss Pr el cmpo vectoril A =(x y)u x +(x + y)u y + zu z clcule su circulción lo lrgo de ls siguientes curvs cerrds: () Un cudrdo de ldo 2, convértices ±u x ± u y. (b) Un circunferenci de rdio R situd en el plno z =0yconcentro el origen de coordends. (c) Un circunferenci verticl, situd en el plno x = y y con centro el origen de coordends. Hlle l circulción por integrción direct y por plicción del teorem de Stokes Demuestre que si r es el vector de posición y B un cmpo vectoril rbitrrio (B )r = B (B ) r =0 (B ) r = 2B Igulmente, pr el cso prticulr en que B represente un vector constnte, demuestre que (B r) =B (B r) =0 (B r) =2B Se define l función delt de Dirc en tres dimensiones como quell distribución que verific δ(r) =0 (r 0) δ(r) dτ =1 con l últim integrl extendid todo el espcio. Pruebe que: ( ) ( ) r ) r 3 =4πδ(r) b) 2 1 r r Clcule el lplcino de los cmpos esclres () φ =(x 2 + y 2 + z 2 )/2 (b) φ =(2z 2 x 2 y 2 )/2 (c) φ = ρ 3 cos ϕ (d) φ = r 3 sen θ emplendo coordends crtesins, ciĺındrics y esférics. = 4πδ(r r 0 )

3 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Hlle el lplcino del cmpo vectoril A = r n r Demuestre que integrndo lrededor de un curv cerrd, Γ, del plno XY, se cumple que 1 r dr 2 = S Γ donde r es el vector de posición y S el áre encerrd por Γ. Aprtirdequí, deduzc que pr un curv rbitrri en el espcio 1 r dr = S 2 donde S es un vector cuys componentes son ls áres de ls proyecciones de l curv sobre los plnos coordendos De ls siguientes expresiones () ( φ) (b) ( φ) (c) ( φ) (d) ( φ) (e) ( A) (f) ( A) (g) ( A) (h) ( A) (i) ( φ) (j) ( A) (k) ( )A (l) (A )φ (m) (φ ) A (n) (A ) A (o) (A )A (p) (A ) A (donde φ es un cierto cmpo esclr y A uno vectoril) indique cuáles son bsurds. De ls que tienen sentido, señle ls que son idénticmente nuls. De ls que no son nuls, clcule su vlor pr los cmpos φ = xyz A = x 2 u x + xzu y xyu z De los siguientes cmpos, indique cules son solenoidles,cuáles sonirrotcionles y cuáles rmónicos () A = yzu x + xzu y + xyu z (b) B = ρu ϕ (c) C = ru r ρu ρ (d) D =2r 2 3ρ 2 (e) E = z/cos θ (f) F = r sen θu ϕ + yu x ρ cos ϕu y

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5 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 2. Octubre de Supongmos un protón y un electrón situdos un distnci de un rdio de Bohr () Clcule l fuerz eléctric entre ls dos prtículs. (b) Hlle l fuerz grvittori entre ells. (c) Clcule el cociente entre ls fuerz eléctric y l grvittori. (d) Supong que en lugr un distnci de un rdio de Bohr el protón se encuentr en el centro de l Tierr y el electrón en el centro de l Lun ( km), cómo cmbin ls fuerzs eléctric y grvittori? Y el cociente entre ells? De cuerdo con este resultdo, cómo se explic que l fuerz dominnte en el sistem Tierr-Lun se l grvedd? 2.2. Un electroscopio mide l crg por l desvición ngulr de dos esfers idéntics conductors, suspendids por cuerds islntes de mss desprecibles y longitud l. Cd esfer tiene un ms m y estásometidlgrveddg. Ls crgs pueden considerrse como puntules e igules entre sí. Hlle l ecución que lig el semiángulo θ con el vlor de l crg totl Q depositd en ls esfers. Supong que l ms de cd esfer es m =10 4 kg y l longitud del cble del que penden es 20 cm. Admit simismo que los ángulosdedesviciónpueden medirse como mucho con un precisión de 1. Cuál es l crg mínim que puede medirse con este prto? Y l crg máxim? 2.3. Tres crgs q 1, q 2 y q 3, se encuentrn en los vértices de un triángulo equilátero de ldo =1cm. Determine l fuerz sobre cd crg cundo: () q 1 = q 2 = q 3 =1μC. (b) q 1 = q 2 = q 3 = 1 μc. (c) q 1 = q 2 =1μC, q 3 = 1 μc. (d) q 1 = q 2 =1μC, q 3 = 2 μc. DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA III Universidd de Svill 2.4. Un crg puntul q 1 = 108 nc se encuentr situd en el origen de coordends. En x =25mm, y = z =0se hll un segund crg q 2. En x =16mm, y =12mmse encuentr un tercer crg q 3. Clcule el vlor que deben tener q 2 y q 3 si, ocupndo ls posiciones indicds, se dese que se nul l fuerz sobre un crg q 4 =10nCsitud en x =9mm, y = 12 mm, z =0. +Q -Q l L P Q/2 Q/2 mg D Problem 2.2 Problem 2.5

6 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Dos vrills rectiĺınes de longitud L están situds prlelmente un distnci D. Ls vrills poseen crgs ±Q distribuids uniformemente. () Hlle proximdmente el cmpo eléctrico en un punto P equidistnte dembs vrills,pr el cso D L. (b) Clcule, tmbién de form proximd, el vlor del cmpo en el mismo punto P, pr el cso D L. (c) Clcule el vlor excto del cmpo eléctrico en dicho punto P, pr un vlor rbitrrio de D. (d) Compre los vlores exctos y proximdos pr el cso Q =1mC, L =2cm,y D =2mm D =40cm 2.6. Clcule l fuerz entre dos vrills colineles, de longitudes L 1 y L 2, que lmcenn respectivmente crgs Q 1 y Q 2, cundo sus extremos más próximos distn un cntidd Hlle el cmpo eléctrico en todos los puntos del eje de un nillo de rdio R sobre el cul hy un densidd de crg uniforme λ. A prtir de este resultdo, clcule el cmpo credo por un coron circulr de rdios R 1 y R 2 (R 1 <R 2 ), sobre l cul hy un densidd de crg uniforme σ 0, en los puntos de su eje. AquesereducesiR 1 0? Y si R 2? Considere en prticulr el comportmiento en ls proximiddes de z = Un condensdor de plcs plns puede proximrse por dos dos plnos prlelos, seprdos un distnci. Uno de ellos, situdo en x = /2 posee un distribución de crg uniforme σ 0, mientrs que l del otro es σ 0. Hlle el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio Un esfer de rdio R lmcen un crg Q distribuid uniformemente en su superficie () Clcule el cmpo eléctrico producido por l esfer en todos los puntos del espcio. (b) Clcule el potencil eléctrico en el centro de l esfer. (c) Hlle el potencil eléctrico en todos los puntos del espcio. Clcule igulmente el cmpo y el potencil si en lugr de estr sobre l superficie, l crg está distribuid uniformemente en el volumen de l esfer. DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA III Universidd de Svill L 2 Q L 1 Q 2 R 2 Q 1 R 1 P Z Problem 2.6 Problem 2.7 Problem 2.11

7 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Hlle el flujo del cmpo eléctrico debido un crg puntul q trvés de un disco cuyo eje ps por el punto donde se encuentr l crg. El disco tiene rdio R y l distnci de l crg l plno del disco es h. () Utilizndo coordends ciĺındrics (b) Usndo coordends esférics (Sugerenci: En lugr del disco emplee otr superficie que brque el mismo ángulo sólido) En un volumen en form de esfer (de rdio 3R) en l que se hn hecho dos huecos (tmbién esféricos, uno de rdio 2R y otro de rdio R) se distribuye uniformemente un crg Q. () Clcule el cmpo eléctrico en el punto P, de tngenci de los dos huecos. (b) Hlle el potencil eléctrico en el mismo punto P. (c) Clcule los dos primeros momentos multipolres del sistem, tomndo como origen de coordends el centro de l esfer grnde En el plno xy se encuentr un distribución de crg linel, formndo un nillo, de rdio R y con un distribución de crg no uniforme dd, en coordends ciĺındrics, por λ = λ 0 cos ϕ ϕ ( π, π] () Hlle el potencil eléctrico producido por el nillo en los puntos del eje Z. (b) Clcule el cmpo eléctrico producido por el nillo en el mismo eje. (c) Demuestre que, pr puntos lejdos, su cmpo se comport como el de un dipolo, cuál serí el vlor y l orientción de dicho dipolo? Hlle el potencil credo por dos crgs q 1, q 2 situds un distnci un de l otr. Demuestre que l superficie equipotencil V =0es un esfer Se tienen dos discos plásticos de rdio 1 cm y espesor desprecible, sobre los cules se distribuyen de mner uniforme crgs de +1 nc y 1nCrespectivmente. Estos discos se disponen prlelmente en z = ±/2. Determine DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA III Universidd de Svill () El vlor proximdo de l diferenci de potencil entre los centros cundo l distnci = 1mm (b) El vlor proximdo del voltje si =1m. (c) Determine exctmente l diferenci de potencil entre los centros pr culquier vlor de. Compre el resultdo con los dos nteriores. Cuánto es proximdmente el error cometido en el primer prtdo? Y en el segundo? Determine el potencil eléctrico credo en todos los puntos del espcio por un ĺıne rect infinit, crgd con un densidd uniforme λ 0, estndo el origen de potencil situdo un distnci de l ĺıne. Por qué no puede tomrse el infinito como origen de potencil? A prtir de este resultdo, clcule el potencil credo por dos ĺınes infinits de crg, con densiddes uniformes +λ 0 y λ 0, situds prlelmente un distnci 2, tomndo como origen de potencil un punto equidistnte de mbs ĺınes Clcule l energí electrostátic lmcend en cd un de ls cutro configurciones del problem Pr l configurción del problem 2.4, clcule el trbjo necesrio pr llevr l crg q 4 desde el infinito hst su posición finl.

8 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Cutro crgs puntules se sitún en los vértices de un cudrdo de ldo. Dos de ells, situds en vértices dycentes, son de vlor +q, mientrs que ls otrs dos vlen q. Clcule el trbjo pr reunir est distribución de crgs. Supong que un de ls crgs positivs se intercmbi con l negtiv situd en el vértice opuesto, qué trbjo hy que relizr pr est operción? Si l crg positiv se permut con l negtiv situd en el vértice vecino, cuál será en este cso, el trbjo relizdo? Un cilindro de rdio y longitud indefinid, mucho myor que el rdio, está relleno de sends distribuciones de crg eléctric de signo opuesto y densiddes volumétrics constntes ρ 0 y ρ 0, según se muestr en l figur. Además, en l superficie de seprción entre mbs distribuciones, ρ = /2, existe un distribución superficil uniforme de crg. () Clcule el vlor de dich densidd superficil de crg si el cmpo eléctrico es nulo en los puntos exteriores l cilindro (b) Obteng l expresión del cmpo eléctrico en todo el espcio (c) Clcule l diferenci de potencil entre el centro de l distribución y l superficie exterior. (d) Hlle l densidd de energí electrostátic en culquier punto del espcio, sí comolenergí lmcend entre dos plnos z =0y z = h En el espcio vcío se h detectdo un cmpo electrostático con simetrí esféric respecto de un punto fijo O, cuy función de cmpo viene dd por l expresión E(r) =E(r)u r,con r E 0 E(r) = E 0 0 r< <r<b ( ) 2 E 0 b<r r siendo r l distnci desde O l punto donde se evlú el cmpo y E 0, y b son constntes conocids. DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA III Universidd de Svill () Determine cómo es l distribución de crg eléctric que d lugr l cmpo descrito. (b) Clcule l crg totl de dich distribución. (c) Obteng el vlor del potencil eléctrico en O (r = 0). (d) Cuánto vle l energí electrostátic del sistem? Z B σ s ρ 0 ρ 0 /2 2 A Problem 2.19 Problem 2.25 O Q Q

9 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos El potencil eléctrico en todos los puntos del espcio viene ddo por l ecución con k y V 0 constntes. φ = V 0 e k y cos(kx) () Hlle el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio. (b) Clcule l densidd de crg que cre este cmpo eléctrico Clcule l energí libre electrostátic de: () Un crg Q distribuid uniformemente sobre l superficie de un esfer de rdio R. (b) Un crg Q distribuid uniformemente en el volumen de un esfer de rdio R (c) Cuál de ls dos configurciones posee un menor energí lmcend? Cómo se interpret este resultdo si se us l integrl de l densidd de energí ε 0 E 2 /2? Se tiene un dipolo puntul p 1 = pu z sobre el cul situmos el origen de coordends. Se coloc un segundo dipolo de l mism mgnitud, pero diferente orientción, en el punto u z. () Hlle l fuerz y el pr que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este está orientdo como p 2 = pu z. (b) Clcule el vlor numérico de est fuerz si los dos dipolos son moléculs de gu (p = C m) situds un distnci de 1nm. (c) Repit el cálculo si p 2 = pu x Hlle los momentos monopolr (crg) y dipolr de ls siguientes distribuciones de crgs. Describ el cmpo y el potencil eléctrico grn distnci de ells: () Dos crgs de vlor +q en los puntos ±u z (b) Tres crgs positivs +q en los puntos u x, u y, u z y tres negtivs q en u x, u y, u z. (c) Un vrill verticl de longitud L, centrd en el origen, con densidd de crg uniforme λ 0. (d) L mism vrill con un distribución de crg λ = kz. DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA III Universidd de Svill (e) Un superficie esféric sobre l cul hy un distribución de crg σ s = σ 0 cos θ. (f) L mism superficie con distribuciones σ s = σ 0 cos 2 θ, σ s = σ 0 sen θ y σ s = σ 0 sen θ cos φ (g) Un esfer con densidd de crg ρ = ρ 0 cos θ Un crg eléctric Q está uniformemente distribuid lo lrgo de un segmento rectiĺıneo de longitud 2. A un distnci del punto medio de dicho segmento y en dirección perpendiculr éste, se hll un crg puntul Q. () Clcule el flujo del cmpo eléctrico trvés de un superficie esféric de rdio /2 centrd en el punto medio del segmento crgdo (punto O). (b) Obteng l fuerz que ctú sobre l crg puntul. (c) Clcule los momentos monopolr y dipolr de l distribución de crg descrit. Propong expresiones proximds pr el potencil y el cmpo eléctrico en puntos suficientemente lejdos de l distribución. (d) Qué trbjo hbrí que relizr pr mover l crg puntul entre los puntos A l B? (ver figur)

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11 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 3. Diciembre de Un esfer metálic de rdio se encuentr potencil V 0 respecto l infinito. No hy más conductores en el sistem. Determineelpotencilyelcmpoeléctrico en todos los puntos del espcio, sí como l crg lmcend en l esfer conductor Se tiene un sistem de dos conductores. Uno de ellos es un esfer metálic mciz de rdio. El otro es un fin cortez esféric metálic, de rdio b, concéntric con l nterior. Clcule el potencil en todos los puntos del espcio en los csos siguientes. () L esfer interior se encuentr potencil V 1 y l exterior potencil V 2. (b) L esfer interior lmcen un crg Q 1 y l exterior un crg Q 2. (c) L esfer interior lmcend un crg Q 1 y l exterior se encuentr un potencil V 2. Clcule simismo l energí lmcend en el sistem de dos esfers, pr ls tres situciones indicds Se tiene un conductor formdo por dos esfers de rdios R 1 y R 2 (R 1 <R 2 ), muy lejds entre sí (de form que l influenci de un sobre l otr es desprecible), pero unids por un cble conductor idel. El conductor lmcen un crg Q. () Cuánt crg se v cd esfer? En cuál de ls dos es myor l crg lmcend? (b) En cul de ls dos esfers es myor l densidd de crg? superficie? Y el cmpo eléctrico en l 3.4. Un cilindro mcizo de grn longitud L y rdio se encuentr rodedo de un cortez ciĺındric concéntric, l mism longitud L, rdio interior b y exterior c, tmbién metálic. L cortez exterior se encuentr permnentemente tierr. Determine l distribución depotencil y decmpo eléctrico entre los dos cilindros cundo el cilindro interior se encuentr potencil V 1. Clcule l crg lmcend en el cilindro interior. Desprecie los efectos de borde. Universidd de Sevill Deprtmento de Físic Aplicd III 3.5. Dos plcs conductors cudrds de ldo L se sitún prlelmente un distnci l un de l otr ( L). Los potenciles de mbs plcs son V 1 y V 2, respectivmente. Clcule el vlor proximdo de () El potencil en los puntos entre mbs plcs. (b) El cmpo eléctrico en el espcio intermedio. V 0 b c b L V 1 V 2 V 1 V 2 Problem 3.2 Problem 3.4 Problem 3.5

12 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos 3.2 (c) L crg lmcend en l crs de ls plcs enfrentds l otr plc. Desprecie los efectos de borde En un esfer metálic de rdio R se hn hecho dos cviddes, tmbién esférics, de rdio R/2. Concéntrics con cd un de estos huecos se hlln sends esfers metálics de rdio R/4. Nohy más conductores en el sistem. Supóngse que l esferexterior se encuentr isld y descrgd, mientrs que ls interiores se encuentrn tensión V 0 y 0, respectivmente. Cuál es l crg en cd conductor? Y el potencil? Hlle l energí lmcend en el sistem Se tiene un sistem de cutro conductores tl como se indic en l figur. Uno de ellos (conductor 4 ) es un prism cudrdo hueco de ldo 43 mm y longitud 50 mm. Este conductor se encuentr siempre tierr. En su interior se encuentrn tres conductores. El conductor 1 es un prlelepípedo de ldos 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los conductores 2 y 3 son sendos prisms cudrdos de ldo 20 mm y ltur 50 mm. l distnci entre superficies conductors vecins es de 1 mm. () Teniendo en cuent l pequeñez reltiv de ls diferentes distncis clcule, proximdmente, ls crgs que lmcenn los conductores1,2y3,cundosus tensiones son V 1 =10V, V 2 =20Vy V 3 = 10 V. (b) Pr l configurción nterior, clcule l energí electrostátic lmcend en el sistem. (c) Si el conductor 1 se encuentr tensión V 0 = 100 V, el 2 isldo y descrgdo y el 3 tierr, cuáles son ls crgs y los potenciles de los tres conductores? Y l energí electrostátic lmcend en el sistem? (d) Si, en el estdo del prtdo nterior, se desconect el conductor 3 de tierr y se conect l conductor 2, cómo cmbi l energí lmcend? 3.8. Se tiene un sistem formdo por cutro plcs conductors, tods ells cudrds y de ldo L, situds prlelmente. Ls distncis entre plcs consecutivs son, respectivmente,, 3 y 2 ( L). Ls plcs exteriores se encuentrn tierr en todo instnte. Universidd de Sevill Deprtmento de Físic Aplicd III () Inicilmente l segund plc lmcen un crg Q, mientrs que l tercer está isldy descrgd. determine el potencil l que se encuentr cd plc, sí como l crg que lmcen cd un. (b) Pr el cso nterior, determine el cmpo eléctrico en todos los puntos entre ls plcs. V 0 43mm Profundidd: 50mm mm mm 1mm 20mm Problem 3.6 Problem 3.7 Problem 3.8 Q

13 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos 3.3 (c) Si hor se conectn ls dos plcs intermedis, cómo cmbin ls crgs y los potenciles de ls distints plcs? Y los cmpos eléctricos entre ls plcs? (d) Determine l vrición de energí entre el estdo nterior y el posterior l conexión Cinco plcs cudrds de ldo L, conductors, se encuentrn en l disposición indicd en l figur. L distnci entre cd pr de plcs prlels es ( L). Ls dos plcs exteriores se encuentrn permnentemente tierr, de form que funcionn como referenci de potencil. En todo momento, l segund plc se encuentr puest potencil V 0 mientrs que l curt lmcen un crg Q 0. L plc centrl se encuentr isld y descrgd. () Considerndo el sistem de 3 conductores formdo por ls tres plcs intermedis, hlle l mtriz de coeficientes de cpcidd, (b) Hlle l crg lmcend en cd un de ls cinco plcs cudrds, sí como l tensión de cd un. (c) Clcule l energí electrostátic del sistem. (d) Clcule el vlor del cmpo eléctrico en cd uno de los condensdores que se formn. (e) Si l plc centrl se conect tierr, cómo cmbin ls crgs, los voltjes y l energí lmcend? Desprecie los efectos de borde Se tiene un sistem de dos conductores formdo cd uno de ellos por un esfer de rdio y un cortez esféric de rdio 2, de espesor desprecible, unids por un cble muy lrgo. Cd cortez recubre concéntricmente l esfer del otro conductor. Los dos subsistems están muy lejdos, de form que el cmpo de cd uno de ellos produce un influenci desprecible en el otro. () Determine l mtriz de coeficientes de cpcidd del sistem, sí como ls cpciddes y utocpciddes del circuito equivlente. Universidd de Sevill Deprtmento de Físic Aplicd III (b) Si el conductor 1 se encuentr potencil V 0 y el 2 está isldo pero lmcen un crg Q 0, qué crg lmcen el conductor 1? A qué potencil se encuentr el conductor 2? (c) Determine l energí lmcend en el sistem pr el cso nterior. (d) Supong que el conductor 2 se conect tierr, cómo cmbin ls crgs y potenciles de los dos conductores? Cuánto vrí l energí lmcend en el sistem? En qué cso l energí no cmbi? Q V 0 V 0 Q 0 Problem 3.9 Problem 3.10

14 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Un esfer de rdio R posee un crg Q 1 distribuid en su volumen de modo que l densidd volumétric es ρ(r) =Ar. A su lrededor se dispone un cortez esféric metálic concéntric, de rdio interior R y exterior 2R. Est cortez está isld y descrgd. () Clcule l constnte A en función de l crg de l esfer y de su rdio. (b) Clcule el cmpo eléctrico en todo el espcio y el potencil l que se encuentr el conductor. (c) Hlle l energí electrostátic lmcend en el sistem. (d) Se conect l cortez conductor un fuente de tensión V 0. Cómo es l nuev distribución de cmpo en todo el espcio? Cuánto vle l nuev energí lmcend? Se tienen tres superficies esférics conductors concéntrics, de rdios R, 2R y 4R. L superficie intermedi y l exterior están descrgds, mientrs que l interior lmcen un crg Q. () Hlle l distribución de potencil eléctrico en todo el espcio. (b) Clcule l energí de l distribución. (c) Se conectn entre sí ls superficies interior y exterior. Cuál es l crg y el potencil de cd esfer trs l conexión? Y el nuevo vlor de l energí? (d) Se desconectn bruscmente ls esfers y se conect l exterior tierr. Cuál es el nuevo vlor de ls crgs, los potenciles y l energí lmcend? Se conserv l energí en estos procesos? Se tiene un sistem formdo por dos conductores hemisféricos de rdio R. Ests dos semiesfers están seprds un pequeñ distnci 2 ( R). En el espcio entre ls dos semiesfers se encuentr un fin chp circulr de rdio R y seprd un distnci de cd hemisferio. Ls dos semiesfers están conectds por un hilo conductor en todo momento. () Supong que l chp se encuentr un tensión V 0 mientrs que el conjunto de ls dos semiesfers está isldo y descrgdo. Cuánto vlen l crgs lmcends y ls tensiones de cd conductor? (b) Pr el cso nterior de ls expresiones proximds pr el cmpo entre l chp y los hemisferios, y en el exterior de estos. (c) Clcule l energí electrostátic lmcend en este sistem. (d) Supong que se desconect l fuente V 0 y, cto seguido, se ponen los hemisferios tierr. Cuáles son ls nuevs crgs, tensiones y energí lmcend? Desprecie los efectos de borde. Universidd de Sevill Deprtmento de Físic Aplicd III R 2R 4R ρ R Q V 0 V 0 2R Problem 3.11 Problem 3.12 Problem 3.13

15 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 4. Febrero de El estudio de ls propieddes dieléctrics de los gses puede servir pr medir el tmño de los átomos. Pr ello, supong que se model un átomo de número tómico Z como compuesto de un crg puntul Ze (el núcleo) y un nube esféric uniforme, con volumen τ (los electrones). Si un átomo de este tipo se le plic un cmpo externo uniforme E 0, cuánto vle el momento dipolr inducido en el átomo por l seprción de los centros de crg? Pr un gs monotómico (un gs noble) con un densidd de N átomos por unidd de volumen, cuánto vldrá l susceptibilidd y l permitividd? Experimentlmente se comprueb que el helio en condiciones normles tiene un permitividd reltiv ε r = , mientrs que pr el neón ε r = , yprelrgón ε r = Según esto, cuál es el tmño de un átomo de cd uno de estos gses nobles? 4.2. Se tiene un esfer dieléctric de rdio R polrizd uniformemente con P = P 0 =cte. () Hlle por integrción direct el potencil eléctrico en todos los puntos del espcio. (b) Cuáles son los vlores de E, D y P dentro y fuer de l esfer? (c) Cuánto vlen ls densiddes de crg equivlentes l polrizción? 4.3. Entre dos plcs metálics plns y prlels, de sección S y seprds un distnci, se encuentr un dieléctrico que present polrizción remnente, de form que en él P = P 0 siendo P 0 un vector uniforme, en l dirección perpendiculr ls plcs. El dieléctrico es perfectmente islnte. () Inicilmente ls plcs están descrgds. Si se conectn medinte un voltímetro, cuánto medirá éste? (b) Supong que ls dos plcs se conectn medinte un hilo conductor, cuánt crg se lmcen en cd plc metálic? 4.4. Clcule cómo cmbin los resultdos del problem 4.3 si l polrizción del dieléctrico no es constnte, sino que depende del cmpo como P = P 0 + ε 0 χ e E 4.5. Se tiene un esfer de rdio R, centrd en el origen, compuest de un mteril con un polrizción rdil P = P 0 u r () Clcule l distribución de crgs equivlente est polrizción. (b) Determine los cmpos D y E en todo el espcio Entre dos plcs metálics conductors plns y prlels un distnci d = + b se colocn dos dieléctricos de permitividdes ε 1 y ε 2 y espesores y b respectivmente, tl como muestr l figur. Hlle l cpcidd de este condensdor y construy el circuito equivlente.

16 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Repit el problem nterior suponiendo que l interfz que sepr los dieléctricos es perpendiculr ls plcs. Se podrí resolver un problem similr pero con cutro dieléctricos, tl como muestr l figur? Cuál serí el circuito equivlente? 4.8. El cmpo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y form un ángulo π/6 con l norml l superficie. El cmpo en el interior del medio form un ángulo π/3 con l norml. Hlle: () L permitividd reltiv del medio. (b) El módulo del cmpo en el interior del mteril. (c) L densidd de crg de polrizción en l fronter. (d) El slto en l componente tngencil de D Un cortez esféric de rdio interior y exterior b está hech de dieléctrico polrizdo según l ley No hy más crgs en el sistem P = k r u r () Clcule ls densiddes de crg de polrizción en el sistem. Cuánto vle l crg totl de polrizción? (b) Hlle los cmpos D y E en todo el espcio. (c) Determine el vlor del potencil eléctrico en todo el espcio Sobre un plc metálic pln, de sección S (que supondremos en z =0), se coloc un cp de dieléctrico de permitividd ε 1 con espesor. Sobreestcpsesitú un lámin metálic, de sección S 0 <S, el resto de l superficie se dej libre y descrgdo. Se superpone un segund cp de dieléctrico de permitividd ε 2 y espesor b. Porúltimo, el sistem se cierr con un segund lámin metálic de sección S. Si ls plcs inferior, intermedi y superior se colocn, respectivmente, potenciles V 1, V 2 y V 3, Cuánto vle l crg (libre) lmcend en cd conductor? Desprecie totlmente los efectos de borde (suponiendo E = Eu z ) y los posibles cmpos exteriores l sistem Unmedioestrtificdo es quel cuys propieddes dependen de l ltur z. Un mteril de este tipo se coloc entre dos plcs conductors plns y prlels, seprds un distnci. L permitividd del mteril vrí de ε 1 ε 2 en l form V 0 V 0 V 0 b b Problem 4.6 Problem 4.7

17 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos 4.3 ε 1 ε 2 ε(z) = ε 1 z + ε 2 ( z) Si se plic un diferenci de potencil V 0 entre ls plcs, () Cuánto vlen los cmpos D, E y P en todos los puntos del mteril? (b) Cuál es l densidd de crg de polrizción (tnto superficil como de volumen)? (c) Hlle l energí lmcend en el sistem Desprecie los efectos de borde El espcio entre dos plcs metálics circulres de 26 cm de diámetro, situds prlelmente un distnci 2 mm está vcío. Entre ls plcs se estblece un diferenci de potencil de 20 V () Cuánto vle l energí lmcend en el sistem? (b) Supong que, un vez crgdo el condensdor se desconect l fuente y se introduce entre ls plcs un lámin de metcrilto (ε r =3.3) de 2 mm de espesor. Cuánto cmbi l energí lmcend en el sistem? Cómo se explic l diferenci? (c) Suponiendo que el proceso nterior se hubier efectudo sindesconectr l fuente, cuál serí en ese cso l vrición en l energí? Cuánto trbjo relizrí l fuente de tensión? Se construye un recipiente ciĺındrico, con bses perfectmente conductors de sección S, seprds un distnci, y predes perfectmente dieléctrics, de espesor desprecible. El interior se llen hstlmitdconunĺıquido dieléctrico y permitividd ε. El resto se dej vcío. El recipiente se coloc en un principio con ls bses dispuests horizontlmente. En est posición, se crg hst que l diferenci de potencil entre ls plcs es V 0. Acto seguido se bre el circuito y, sin descrgr ls plcs, el recipiente es girdo 90 lrededor de un eje horizontl. Cuál es l nuev diferenci de potencil entre ls plcs? Cómo vrí l energí lmcend? Desprecie los efectos de borde y l influenci de ls predes Lruptur dieléctric condicion l tensión máxim que se puede estblecer entre ls plcs de un condensdor. Si el cmpo mínimo entre ls plcs super un vlor crítico (llmdo cmpo de ruptur), slt un chisp que perfor el condensdor. Supongmos el cso de un cble coxil RG-58/U de rdio interior =0.9mm y exterior b = 3.8mm, entre ls cules hy polietileno con permitividd ε r = 2.3 y cmpo de ruptur E c = 0.5kV/mm, V 0 E=100 V/m S ( z) b S 0 Problem 4.8 Problem 4.10 Problem 4.11

18 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos 4.4 () Cuál es l myor diferenci de potencil que se puede estblecer entre el núcleo y el conductor exterior? (b) Si tenemos 2 m de cble RG-58/U cuánto vle l crg máxim que se lmcen en este condensdor? (c) Cuánto vle l energí máxim lmcend en estos 2 metros de cble? Supóngse que se tiene un esfer de rdio R de un mteril dieléctrico (de permitividd ε) lrededor de l cul hy vcío. En puntos lejdos de l esfer hy impuesto un cmpo eléctrico uniforme E 0. Hlle el potencil eléctrico y los cmpos eléctricos en el interior y el exterior de l esfer. Sugerenci: El cmpo eléctrico dentro de l esfer es uniforme. Sbiendo esto, plique el resultdo del problem Un esfer metálic de rdio R se encuentr isld y lmcen un crg Q. L esfer se encuentrenelvcío. () Indique l energí lmcend en el sistem (b) Supong que, sin descrgr l esfer, est se recubre con un cp de espesor de un dieléctrico de permitividd ε. Determine l nuev energí lmcend en el sistem. Cómo se explic el cmbio en l energí? (c) Si en lugr de un esfer isld y descrgd tenemos un esfer conectd un generdor que fij su potencil en un vlor V 0, cuál es l energí ntes y después del recubrimiento? Cómo se interpret el cmbio en este cso? Entre dos plcs metálics, plns y prlels de sección S y seprds un distnci 3 se encuentrn tres cps de dieléctrico, de espesor cd un. Ls cps poseen permitividdes ε 1, ε 2 y ε 3. Ls dos cps dycentes ls plcs son dieléctricos ideles, mientrs que l cp centrl posee un conductividd σ. Se estblece bruscmente un diferenci de potencil V 0 entre ls plcs conductors () Determine l distribución del cmpo eléctrico en todos los puntos entre ls plcs, en los instntes inmeditmente posteriores l conexión. (b) Clcule l energí electrostátic lmcend en el sistem en estos instntes iniciles. (c) Psdo un tiempo lrgo trs l conexión, cuál es l distribución de cmpos en el sistem? Cuánto vle l energí lmcend? (d) Cuánto vlen ls crgs lmcends en ls plcs inmeditmente después de l conexión y mucho tiempo después de ell? Qué trbjo h relizdo el generdor en el periodo trnsitorio? (e) Sin resolver l evolución temporl de los cmpos en el sistem, cuánto vle l energí disipd durnte el periodo trnsitorio? Desprecie los efectos de borde. ε 1 εσ 2. ε 3 V 0 Problem 4.17

19 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 5. Febrero de Por el interior de un tuberí ciĺındric de rdio fluye un ĺıquido con un velocidd, dependiente de l distnci l eje, ρ, como ( ) v = v 0 1 ρ2 2 u z El ĺıquido posee un densidd de crg uniforme ρ 0, de form que l densidd de corriente es J = ρ 0 v. En el exterior del tubo no hy corriente. () Clcule l intensidd de corriente que trvies un sección por l tuberí. (b) Si se dese que por l superficie del tubo circule un corriente superficil K, deformquel corriente totl se nul, cuánto debe vler K? 5.2. Hlle l velocidd de rrstre de los electrones en un cble de plt de 0.5 mm 2 de sección por el cul circul un corriente de 100 ma Un nube esféric de crg (compuest de un distribución de crgs puntules flotndo en el vcío) se encuentr en expnsión, creciendo el rdio de l esfer como R(t) =R 0 + vt. L crg totl de l nube, Q 0, se encuentr distribuid en todo momento de form uniforme en el volumen de l esfer. A prtir de l ley de conservción de l crg, clcule l densidd de corriente de conducción en l nube. Puede suponerse que J = J(r)u r y que est densidd no es infinit en el centro de l esfer. Clcule el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio Se un tubo ciĺındrico, de rdio interior y exterior b, y longitud L, de un mteril de conductividd σ. Clcule l resistenci eléctric () Entre ls dos bses. (b) Entre l cr interior y l exterior Entre los distintos tipos de cble empledos en l industri, se encuentr el de luminio revestido de cobre. Está formdo por un núcleo de luminio de rdio (supong =2mm), rodedo por un cp de cobre, de rdio exterior b (se b =3mm). () Clcule l resistenci de cble de est clse de longitud L =10km. (b) Determine l corriente que circul por cd metl cundo se plic un diferenci de potencil V 0 = 100 V l cble nterior. b b A V 0 L L Problem 5.4 Problem 5.5 Problem 5.6

20 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Pr determinr l conductividd σ del suelo se mide l corriente entre dos electrodos clvdos en tierr y sometidos un ciert diferenci de potencil. () Supong en primer lugr sólo un electrodo hemisférico de rdio, perfectmente conductor, puesto un potencil V 1 respecto puntos muy lejdos. En el estdo estcionrio, determínese l distribución de potencil en el suelo. Admítse que el potencil depende exclusivmente de l distnci l centro del electrodo. A prtir de este resultdo, clcúlese l resistenci entre el electrodo y el infinito. Supóngse que el suelo posee conductividd igul en todos sus puntos. (b) Supong hor dos electrodos del tipo nterior, del mismo rdio, y muy lejdos entre sí. Si se conectn por el ire medinte un cble idel y un fuente de continu de tensión V 0, qué corriente circul de un electrodo l otro? (c) Si pr un tensión de 100 V entre dos electrodos de 10 cm de rdio se mide un corriente de 0.63 A, cuánto vle l conductividd del suelo? 5.7. Trs un rotur de un cble de cobre (de resistividd r 1 ) de sección S y grn longitud, se procede unir los dos pedzos medinte un solddur. Como consecuenci de l presenci de óxido l resistividd del cble ument hst un vlor r 2 en un región lrededor del punto de contcto, pudiéndose describir mtemáticmente según l ley r(x) =r 1 + r 2 r 1 1+(x/) 2 () Clcule el umento de l resistenci totl del cble. Apĺıquese l cso S = 1mm 2, r 1 = Ω m, r 2 = Ω m, =2mm. (b) Si l potenci máxim por unidd de volumen que soport el hilo ntes de fundirse es p = 700 W/m 3, determine l intensidd de corriente máxim que puede circulr por el cble ntes de l solddur y después de ell Pr construir un fusible se intercl un hilo de plomo (σ = S/m) enelcminodeun hilo de cobre de 0.5 mm de rdio. L piez de plomo está formdo por un hilo de 0.1 mm de rdio y 1 cm de longitud, unido l cobre por dos troncos de cono, tmbién de plomo, de 0.5 cm de longitud. () L condición de fusión l d el que en un intervlo de tiempo de 1 s, en l piez de plomo se disipe un energí de 700 mj/mm 3. Clcule l intensidd máxim que puede circulr por el hilo de cobre pr que no se lcnce este ĺımite. (b) Clcule l resistenci de l piez de plomo, dmitiendo que el sistem se comport como un conductor filiforme de sección vrible b=0.5mm 1 3 =0.1mm L=1cm 0 h=0.5cm 2 b b 2 Problem 5.8 Problem 5.9 Problem 5.10

21 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Un interseccióndedospistsen un circuito integrdosepuedemodelrcomo un cruzcon brzos de igul longitud l cul están conectdos tres electrodos ctivos ( 1 3 ) y uno de tierr ( 0 ), según se indic en l figur. Se sbe que cundo el electrodo 1 se encuentr un tensión de +12V y el resto tierr, por el electrodo 1 entr un corriente de ma, mientrs que por el conductor 2 entr (según el criterio usul de signos) un de 2.63 ma. () Determine l corriente que entr (siguiendo el mismo criterio) por el electrodo 3 en l situción nterior. (b) Hlle l mtriz de coeficientes de conductnci del sistem de tres electrodos ctivos. (c) Construy un circuito equivlente pr el sistem de electrodos, que no emplee nodos intermedios. Hlle los vlores de ls resistencis de este circuito. (d) Si el electrodo 1 se dej +12 V y el 3 tierr, pero el 2 se pone 5V. Cuánt corriente entrrá por cd electrodo ctivo? (e) Pr el cso originl y pr el del prtdo nterior, cuánt potenci se disip en el sistem? Se tiene un circuito impreso en form de H de un mteril de conductividd σ, concutro terminles, un de ls cules se encuentr permnentemente tierr. Los brzos de l H y el tbique centrl poseen longitud b. Los cutro brzos tienen nchur, ( b) mientrs que el trmo centrl posee nchur 2, según indic l figur. El espesor de tod l pist es c. () Determine l mtriz de los coeficientes de conductnci, G ij, correspondiente los tres terminles libres. Desprecie l pequeñ contribución de ls esquins donde confluyen los brzos. (b) A prtir de l mtriz nterior, clcule ls conductncis G ij y elbore un circuito equivlente l sistem de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios. (c) Determine l potenci consumid en l pist cundo el terminl 1 se encuentr potencil V 0 y los otros tierr. (d) En l configurción nterior se cort l conexión tierr del electrodo 2. En el nuevo estdo estcionrio, se consume más o menos potenci que ntes de l desconexión? Cuánto? Como modelo idel de generdor supong el siguiente sistem: un esfer de rdio de conductividd σ 1 se encuentr inmers en un medio de conductividd σ 2 que se extiende hst el infinito. En el interior de l esfer ctú un fuerz no electrostátic por unidd de crg E = E 0 u z,constnte y uniforme. () Escrib ls ecuciones y condiciones de slto pr l densidd de corriente, el cmpo y el potencil eléctrico en todo el espcio. (b) Sbiendo que en el interior de l esfer el potencil es de l form yenelexteriordeell φ 1 = Ar cos θ φ 1 = B r 2 cos θ (r <) (r >) clcule ls constntes A y B. (c) Hlle l potenci desrrolld por el cmpo eléctrico en el interior y el exterior de l esfer. (d) Considerndo que l corriente es l que trvies el plno ecutoril de l esfer (z =0, r<) determine l fuerz electromotriz, l resistenci intern y l extern del circuito equivlente. (e) A qué tienden los resultdos cundo σ 1 σ 2? Y cundo σ 1 σ 2? Entre dos plcs plns y prlels, perfectmente conductors, de sección S, y seprds un distnci se encuentr un medio resistivo, de permitividd ε y conductividd σ. Entre ls plcs hy estblecid un tensión V 0.

22 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos 5.4 () Hlle l corriente que circul entre ls plcs y l crg lmcend en cd un, sí comol energí lmcend en el sistem. (b) En t =0se desconect el generdor. Determine l evolución de l crg en ls plcs prtir de ese momento. (c) Hlle l energí disipd en el medio durnte el proceso de descrg del condensdor. (d) Describ el comportmiento del sistem medinte un circuito equivlente Entre dos plcs plns y prlels seprds un distnci + b se coloc un cp de espesor de un medio de permitividd ε y conductividd σ. El resto del espcio lo ocup un cp de espesor b vcí. En el instnte t =0se conect un diferenci de potencil V 0. () Cuánto vlen E, D y J inmeditmente después de conectr el potencil? (b) Cuánto vlen un tiempo lrgo después de que se hy estblecido? (c) Cuánto vlen en culquier instnte? Dos esfers metálics, perfectmente conductors, de rdio, se encuentrn muy lejds l un de l otr (de form que no se influyen entre sí). Ls dos esfers se encuentrn conectds medinte un cble de resistenci R. Un de ls esfers se encuentr conectd un generdor de tensión V 0, trvés de un interruptor que inicilmente se encuentr bierto. Ambs esfers están inicilmente descrgds. () Supong que el interruptor se cierr durnte un periodo de tiempo muy corto (el imprescindible pr que se crgue l esfer conectd él) y se vuelve brir. Justo trs este intervlo cómo es l distribución de crgs y potenciles en ls esfers? Cuánto vle l energí electrostátic lmcend en el sistem? (b) Si se dej trnscurrir un periodo de tiempo lrgo, cómo qued l distribución de crgs y potenciles? Cuál es l energí electrostátic lmcend en el sistem en el estdo finl? (c) Determine l evolución en el tiempo de ls crgs y potenciles en cd esfer, sí comol corriente que circul por el cble. (d) Hlle l energí disipd en el cble durnte el periodo trnsitorio y verifique que se stisfce el blnce energético. (e) Supong hor que, en el proceso nterior, el generdor no se desconect, sino que se dej permnentemente conectdo l primer esfer. En ese cso, cómo vrí l crg en cd esfer? Y l corriente por el cble? Y l energí disipd y l energí lmcend? Se tiene un condensdor con pérdids formdo por dos plcs cudrds de ldo L =20cm,situds prlelmente un distnci =5mm. Entre ells se encuentr un mteril de permitividd reltiv ε r =2.6 y conductividd σ = S/m. Un plc se encuentr permnentemente tierr, mientrs que l otr experiment un pulso de tensión de form gussin V (t) =V 0 e t2 /T 2 ( <t< ) con V 0 =5VyT =3s. Pr culquier instnte de tiempo, clcule... () l distribución de cmpo eléctrico y de corriente entre ls plcs. Desprecie los efectos de borde. (b) l crg en cd un de ls plcs y l corriente que lleg cd un.

23 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos 5.5 (c) l energí electrostátic lmcend, l potenci disipd en el medio, y l potenci desrrolld por el generdor. (d) Clcule igulmente l energí totl disipd lo lrgo del tiempo, sí como el trbjo totl relizdo por el generdor. Hlle el vlor numérico de los resultdo sólo pr el último prtdo. Dto: Un esfer de rdio se despolriz según l ley e x2 dx = π P(r,t)=ke λt ru r Determine ls densiddes de crg de polrizción, sí como l densidd de corriente de polrizción. Se verific l ley de conservción de l crg pr ρ p y σ p? Supong que se sumergen dos conductores perfectos en un mteril de permitividd ε y conductividd σ. Si se plic entre ellos un diferenci de potencil constnte V 0 l corriente que lleg uno de ellos vle I 0. Cuál será l corriente si el voltje vrí como V 0 cos ωt? Supong que en los problems 5.12, 5.13 y Heldo? y 5.14, en lugr de un señl esclón plicmos un tensión ltern V = V 0 cos(ωt). Pr cd un de ests configurciones: () Cuánto vle l corriente que lleg l elemento? Cuál es l impednci del sistem? Y el circuito equivlente? (b) Cunto vle l energí portd por el generdor en un periodo? En qué se emple est energí? b V 0 R V 0 Problem 5.13 Problem 5.14

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25 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 6. Abril de Dos crgs puntules igules +q se mueven con l mism celeridd v de form que en un instnte se encuentrn situds en r 1 = 0 y r 2 = u x, respectivmente. Si ls dos crgs se mueven con velociddes pequeñs v = vu z, clcule el vlor proximdo de l fuerz eléctric y de l fuerz mgnétic que ejerce cd crg sobre l otr. Cuál es l proporción entre ests dos fuerzs? Cómo cmbin ests fuerzs si se cmbi el signo de un de ls crgs, el sentido de un de ls velociddes, o mbs coss l vez? Clcule el vlor de ests fuerzs si v 1 = vu z, v = vu x. Se verific l tercer ley de Newton? 6.2. Un espir pln de form irregulr se coloc de form que prte de ell se encuentr en un cmpo mgnético uniforme B (en l figur el cmpo ocup l región sombred y punt perpendiculrmente l plno de l espir). Por l espir circul un corriente I. Pruebe que l fuerz mgnétic net sobre l espir es F = IBs, donde s es l cuerd subtendid. Generlice este resultdo pr el cso de que l form de l región ocupd por el cmpo mgnético se tmbién irregulr. En qué dirección punt l fuerz? 6.3. Clcule el cmpo mgnético credo en todos los puntos del espcio por un segmento de longitud L por el cul circul un corriente continu I. () A prtir del resultdo nterior, clcule el cmpo mgnético debido un hilo rectiĺıneo de longitud infinit por el cul circul un corriente I. (b) Por l espir de form irregulr de l figur circul un corriente I. Hlle el vlor del cmpo en el punto P. (c) Clcule el cmpo en el origen de coordends pr l espir tridimensionl descrit en el problem Supong un espir rectngulr de ldos y b, por l cul circul un corriente continu I. () Hlle el cmpo mgnético en el centro de l espir. A qué se reduce el resultdo si = b? Y si b? Pr el cso de un espir de ldos =3cm, b =4cmpor l que circul un corriente I 0 = 100 ma (b) Hlle el cmpo excto en el centro de l espir. (c) Emplendo l proximción dipolr, clcule el cmpo un distnci de 40 cm del centro, en el eje de l espir. (d) A un distnci de 40 cm del centro, lo lrgo de un digonl de l espir. B b v v I s q q P I Problem 6.1 Problem 6.2 Problem 6.3 β

26 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Un ĺıne bifilrestá formdopor dos hilos rectiĺıneos de longitud indefinid situdos prlelmente un distnci 2. () Suponiendo que por los hilos circuln corrientes I 1 e I 2 hlle el cmpo mgnético en todos los puntos del espcio. (b) En prticulr, cómo qued el cmpo mgnético en el plno de los dos hilos en los csos I 1 = I 2 e I 1 = I 2? Se nul el cmpo en un punto medio entre los dos hilos? (c) Clcule l fuerz que uno de los hilos produce sobre un trmo de longitud L del otro. (d) Hlle l fuerz sobre un dipolo mgnético m situdo en un punto equidistnte entre los dos hilos Un espir rectngulr de ldos y b, recorrid por un corriente I 1, es coplnri con un conductor rectiĺıneo, por el que circul un corriente I 2. L distnci del centro de l espir l hilo es d. Hlle l fuerz que prece entre el hilo y l espir Hlle el cmpo mgnético en todos los puntos del eje de un espir circulr de rdio por l cul circul un corriente continu I En el plno z =0se encuentrn dos nillos coplnrios concéntricos, de rdios y b (b >). Por el nillo interior circul un corriente I 0. () Hlle l corriente I 1 que debe circulr por el nillo exterior pr que el cmpo mgnético en el centro de los nillos se nule. (b) Clcule el cmpo mgnético en todos los puntos del eje del sistem. (c) Hlle el cmpo en todos los puntos del espcio lejdos de los nillos. (d) Supong que b =2yque nos situmos un ltur z =10. Cuál es el error reltivo cometido l proximr el vlor excto del cmpo por l proximción dipolr? 6.9. Un solenoide de rdio, ltur h y n espirs por unidd de longitud, puede proximrse por un distribución de corriente superficil sobre un cilindro. () Hlle el vlor K equivlente que por ls espirs circule un corriente I. (b) Emplendo l ley de Ampère, clcule el cmpo producido por el solenoide, si h. (c) Medinte integrción direct, hlle el cmpo mgnético en los puntos del eje del cilindro si h es finito. Estudie el ĺımite h Sobre un cilindro de rdio y longitud infinit fluye un corriente superficil de densidd uniforme K. Hlle el cmpo mgnético en todos los puntos del espcio. z I I 1 2 b h I Problem 6.6 Problem 6.8 Problem 6.9

27 Deprtmento de Físic Aplicd III Cmpos Electromgnéticos Por el interior de un tuberí ciĺındric de rdio fluye un ĺıquido con un velocidd, dependiente de l distnci l eje, ρ, como ( ) v = v 0 1 ρ2 2 u z El ĺıquido posee un densidd de crg uniforme ρ 0, de form que l densidd de corriente es J = ρ 0 v. En el exterior del tubo no hy corriente. () Hlle el cmpo mgnético que se produce tnto en el interior de l tuberí como en el exterior de ell. (b) Clcule l fuerz que el cmpo mgnético ejerce sobre un crg q quesemueveconel ĺıquido, un distnci /2 del eje Clcule el momento mgnético de l espir en form de cudrilátero del problem 6.3 y de l espir tridimensionl de l figur, formd por seis rists de un cubo Por un cble verticl muy lrgo, se hce circulr un corriente I 0. Un pequeño imán (equivlente un dipolo mgnético m), de peso Mg, se suspende de un hilo idel, de longitud l, cuyo punto de sujeción se encuentr un distnci del cble. El imán está sujeto por su punto centrl, de form que puede orientrse libremente. En que dirección puntrá el imán? Clcule l fuerz mgnétic sobre el imán, cundo se encuentr un distnci x del cble. Hlle l ecución pr el ángulo queelhiloformconlverticl Sobre un mes horizontl se colocn dos brújuls (equivlentes dipolos mgnéticos) igules, de form que sus centros distn un cntidd. Ls dos brújuls pueden girr en el plno horizontl. Considerndo que l intercción brújul-brújul es mucho myor que l cción del cmpo mgnético terrestre, ordene ls cutro configurciones de l figur de menor myor energí. Cómo se orientrán ls brújuls? Se tiene un pequeño imán, modelble como un dipolo mgnético puntul de momento mgnético m 0 = m 0 u z, situdo un ciert ltur z sobre el eje de un espir circulr de rdio por l que circul un corriente eléctric continu de intensidd I 0. Clcule l fuerz que l espir ejerce sobre el dipolo, y l que el dipolo produce sobre l espir. Se verific l tercer ley de Newton? () (b) I l m (c) (d) Problem 6.12 Problem 6.13 Problem 6.14