Departamento de Física Aplicada III. Escuela Superior de Ingenieros Ingenieros de Telecomunicación Campos Electromagnéticos

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1 Escuel Superior de Ingenieros Ingenieros de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 1. Septiembre de 2004 Problems básicos 1.1. Exprese los siguientes cmpos vectoriles en coordends crtesins, ciĺındrics y esférics: A = r B= y x 2 + y 2 u x x + x 2 + y 2 u y C =2ρzu ρ (ρ 2 z 2 )u z D = r tg θ u θ 1.2. Describ ls superficies equipotenciles de los siguientes cmpos esclres ) φ = A r b) φ = r 2 c) φ = A r + r 2 d) φ = r 2 /(A r) donde A es un vector constnte y r es el vector de posición Si φ = φ(u), conu = u(x, y, z), demuestre que φ = dφ du u Encuentre φ si ) φ =ln r, b) φ = r n, c) φ =1/ r r Hlle el vlor de l integrl AdS con A =cotgθu r u θ y l superficie de integrción un esfer de rdio R centrd en el origen Demuestre que si r es el vector de posición y B un cmpo vectoril rbitrrio (B )r = B (B ) r =0 (B ) r = 2B Igulmente, pr el cso prticulr en que B represente un vector constnte, demuestre que (B r) =B (B r) =0 (B r) =2B 1.6. Sen φ y A un cmpo esclr y uno vectoril, respectivmente, que dependen de l posición trvés de l combinción r r, esto es φ(r, r )=φ(r r ) A(r, r )=A(r r ) Demuestre que se cumplen ls identiddes siguientes φ = φ 2 φ = 2 φ A = A A = A donde el operdor represent l derivción respecto ls componentes de r Se define l función delt de Dirc en tres dimensiones como quell distribución que verific δ(r) =0 (r 0) δ(r) dτ =1 con l últim integrl extendid todo el espcio. Pruebe que: ( ) ( ) r ) r 3 =4πδ(r) b) 2 1 = 4πδ(r r 0 ) r r 0

2 Cmpos Electromgnéticos Hlle el lplcino del cmpo vectoril A = r n r 1.9. Clcule el grdiente y el lplcino de l función φ =2z 2 x 2 y 2 en coordends crtesins, ciĺındrics y esférics. Compruebe que los resultdos son independientes del sistem de coordends elegido. Problems de nivel medio Determínese l divergenci y el rotcionl del cmpo vectoril A = ρ 2 cos ϕ u ρ + ρ 2 sen ϕ u ϕ emplendo coordends crtesins, ciĺındrics y esférics El cmpo de velociddes de un remolino puede proximrse por l expresión, en ciĺındrics, v = (C/ρ)u ϕ. () Demuestre que este cmpo es irrotcionl en todos los puntos en los que está definido. (b) Hlle un potencil esclr del que derive este cmpo. (c) Cunto vle l circulción del cmpo de velociddes lo lrgo de un circunferenci en torno l eje z? Qué consecuencis tiene esto pr el potencil esclr? De ls siguientes expresiones ) ( φ) b) ( φ) c) ( φ) d) ( φ) e) ( A) f) ( A) g) ( A) h) ( A) i) ( φ) j) ( A) k) ( )A l) (A )φ m) (φ ) A n) (A ) A o) (A )A p) (A ) A (donde φ es un cierto cmpo esclr y A uno vectoril) indique cuáles son bsurds. De ls que tienen sentido, señle ls que son idénticmente nuls. De ls que no son nuls, clcule su vlor pr los cmpos φ = xyz A = x 2 u x + xzu y xyu z Hlle el ángulo sólido subtendido desde el origen de coordends por un disco horizontl de rdio R situdo un ltur h sobre el origen: () Utilizndo coordends ciĺındrics (b) Usndo coordends esférics (Sugerenci: En lugr del disco empléese otr superficie que subtiend el mismo ángulo sólido) De los siguientes cmpos, indique cules son solenoidles,cuáles sonirrotcionlesy cuáles rmónicos () A = yzu x + xzu y + xyu z (b) B = ρu ϕ (c) C = ru r ρu ρ (d) D =2r 2 3ρ 2 (e) E = z/cos θ (f) F = r sen θu ϕ + yu x ρ cos ϕu y

3 Escuel Superior de Ingenieros Ingenieros de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 2. Octubre de 2004 Problems básicos 2.1. Un electroscopio mide l crg por l desvición ngulr de dos esfers idéntics conductors, suspendids por cuerds islntes de mss desprecibles y longitud l. Cd esfer tiene un ms m y estásometidlgrveddg. Ls crgs pueden considerrse como puntules e igules entre sí. Hlle l ecución que lig el semiángulo θ con el vlor de l crg totl Q depositd en ls esfers. Supong que l ms de cd esfer es m =10 4 kg y l longitud del cble del que penden es 20 cm. Admit simismo que los ángulosdedesviciónpueden medirse como mucho con un precisión de 1. Cuál es l crg mínim que puede medirse con este prto? Y l crg máxim? 2.2. Se disponen siete crgs igules en los vértices de un octógono regulr situdo en el plno xy, con centro el origen, quedndo vcío el octvo vértice, situdo en r = u x. Cuánto vle el cmpo eléctrico en el centro del octógono? Y en los demás puntos del eje z? 2.3. Un cble formdo por dos hilos prlelos produce un cmpo eléctrico similr l producido por dos ĺınes infinits con densidd de crg λ y λ, situds un distnci 2 un de l otr. Hlle: () El cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio. (b) Hlle el potencil eléctrico tomndo un punto equidistnte de ls ĺınes como referenci. Demuestre que ls superficies equipotenciles son cilindros rectos y hlle el centro y el rdio en función del potencil V. (c) Considere el ĺımite en que 0, λ con λ b =cte. Aqué tiende el cmpo eléctrico en este ĺımite? Y el potencil? 2.4. Un condensdor de plcs plns puede proximrse por dos dos plnos prlelos, seprdos un distnci. Uno de ellos, situdo en x = /2 posee un distribución de crg uniforme σ 0, mientrs que l del otro es σ 0. Hlle el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio. z y x Problems 2.3

4 Cmpos Electromgnéticos Hlle el cmpo eléctrico en todos los puntos del eje de un nillo de rdio R sobre el cul hy un densidd de crg uniforme λ. A prtir de este resultdo, clcule el cmpo credo por un coron circulr de rdios R 1 y R 2 (R 1 <R 2 ), sobre l cul hy un densidd de crg uniforme σ 0, en los puntos de su eje. AquesereducesiR 1 0? Y si R 2? Considere en prticulr el comportmiento en ls proximiddes de z = Se tienen dos esfers del mismo rdio, crgds uniformemente, un de ells con densidd de crg +ρ y l otr con densidd de crg ρ. Dichs esfers se colocn de form que sus centros distn un cntidd, menor que el rdio de ls esfers, por lo cul intersecn como se ve en l figur. () Clcule el cmpo eléctrico en l zon de intersección. (b) Hlle l expresión del cmpo eléctrico en puntos exteriores ls dos esfers y lejdos de ls misms. (c) En el ĺımite ρ, 0, conρ b =cteclcule l densidd de crg superficil que prece en l esfer resultnte Se tienen dos crgs puntules de vlor q situds en los puntos ±(/2)u y. Hlle el flujo del cmpo eléctrico trvés de un triángulo con vértices en los puntos u x, u y y u z Hlle el potencil credo por dos crgs q 1, q 2 situds un distnci un de l otr. Demuestre que l superficie equipotencil V =0es un esfer Hlle los momentos monopolr (crg) y dipolr de ls siguientes distribuciones de crgs. Describ el cmpo y el potencil eléctrico grn distnci de ells: () Dos crgs de vlor +q en los puntos ±u z (b) Tres crgs positivs +q en los puntos u x, u y, u z y tres negtivs q en u x, u y, u z. (c) Un vrill verticl de longitud L, centrd en el origen, con densidd de crg uniforme λ. (d) L mism vrill con un distribución de crg λ = kz. (e) Un superficie esféric sobre l cul hy un distribución de crg σ s = σ 0 cos θ. (f) L mism superficie con distribuciones σ s = σ 0 cos 2 θ, σ s = σ 0 sen θ y σ s = σ 0 sen θ cos φ (g) Un esfer con densidd de crg ρ = ρ 0 cos θ. R 2 R 1 x q z q y Problem 2.5 Problem 2.6 Problem 2.7

5 Cmpos Electromgnéticos Cutro crgs puntules se sitún en los vértices de un cudrdo de ldo. Dos de ells, situds en vértices dycentes, son de vlor +q, mientrs que ls otrs dos vlen q. Clcule el trbjo pr reunir est distribución de crgs. Supong que un de ls crgs positivs se intercmbi con l negtiv situd en el vértice opuesto, qué trbjo hy que relizr pr est operción? Si l crg positiv se permut con l negtiv situd en el vértice vecino, cuál será en este cso, el trbjo relizdo? Clcule l energí libre electrostátic de: () Un crg Q distribuid uniformemente sobre l superficie de un esfer de rdio R. (b) Un crg Q distribuid uniformemente en el volumen de un esfer de rdio R (c) Cuál de ls dos configurciones posee un menor energí lmcend? Cómo se interpret este resultdo si se us l integrl de l densidd de energí ε 0 E 2 /2? (d) El llmdo rdioclásico delelectrón seobtiene describiendoest prtícul como un pequeñ esfer de rdio, crgd uniformemente en su superficie. Suponiendo que l energí electrostátic lmcend en el sistem equivle l ms del electrón de cuerdo con l ley E = mc 2,hállese el vlor numérico del rdio que debe tener el electrón. Repítse hor el cálculo pr el cso de un protón. Es lógico el resultdo que se obtiene? Problems de nivel medio Enelmodelotómico de Bohr, el estdo fundmentl del átomo de hidrógeno consiste en un protón en el centro del átomo, y un electrón describiendo órbitscirculresderdio 0 en torno l núcleo. () Hlle l fuerz que el protón ejerce sobre el electrón y l celerción de éste. (b) Clcule l velocidd orbitl del electrón. Compre est velocidd con l de l luz. (c) Determine el periodo orbitl del electrón y l velocidd ngulr. (d) Compre l fuerz eléctric con l fuerz grvittori protón-electrón. Dtos: Crg del protón y del electrón: ±e = ± C;msdelprotón: m p = kg; ms del electrón: m e = kg; rdio de Bohr: 0 = m; k e = 1/(4πε 0 )= Nm 2 /C 2 ; velocidd de l luz c = m/s; constnte de grvitción universl: G = Nm 2 /kg Se dispone de tres crgs, un de vlor Q y ls otrs dos de vlor q. Ests crgs se ensrtn en un nillo circulr de rdio R sobre el cul pueden deslizr libremente. Determine l ecución pr los ángulos del triángulo que formn ls tres crgs. Cuál es l solución pr los csos Q q, Q = q y Q q? q q Q Problem 2.13

6 Cmpos Electromgnéticos Se tiene un distribución de crg uniforme ρ 0, que ocup un volumen ciĺındrico de rdio R y longitud infinit. En este cilindro se h horddo un hueco esférico, tmbién de rdio R. Se tom como eje z el del cilindro y origen de coordends el centro del hueco. () Hlle el cmpo eléctrico en el interior del hueco. (b) Clcule el potencil eléctrico en el hueco, tomndo como origen de potencil el centro del hueco. (c) Clcule el trbjo pr mover un crg q desde el punto Ru z l punto Ru x, lo lrgo de un rco de circunferenci sobre l superficie del hueco Se tienen dos discos plásticos de rdio 1 cm y espesor desprecible, sobre los cules se distribuyen de mner uniforme crgs de +1 nc y 1nCrespectivmente. Estos discos se disponen prlelmente en z = ±/2. Determine () El vlor proximdo de l diferenci de potencil entre los centros cundo l distnci = 1mm (b) El vlor proximdo del voltje si = 1m. (Pr ello deben tenerse en cuent tnto el potencil que un disco cre en su propio centro como el que un disco cre en el otro). (c) Determine exctmente l diferenci de potencil entre los centros pr culquier vlor de. Compre el resultdo con los dos nteriores. Cuánto es, proximdmente, el error cometido en el primer prtdo? Y en el segundo? El potencil eléctrico en todos los puntos del espcio está ddo por l función, expresd en coordends esférics (r + r )cosθ φ(r) =k (r + b + b r ) 2 siendo x el vlor bsoluto de x. () Suponiendo <b, hlle el vlor del cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio (b) Determine ls densiddes de crg que producen este cmpo. (c) Clcule l crg totl y el momento dipolr de est distribución de crg En un esfer no conductor de rdio 2R, con un crg totl inicil q distribuid uniformemente en su volumen, se hcen dos cviddes esférics de rdio R. L crg que hbí en cd hueco se concentr en form de crgs puntules en el centro de cd cvidd. () Hlle el vlor de cd un de ls crgs puntules. (b) Clcule l fuerz sobre cd crg puntul. (c) Hlle el potencil l cul se encuentr cd crg puntul. (d) Determine el trbjo pr llevr ls dos crgs puntules l infinito. 2R R Problem 2.17

7 Cmpos Electromgnéticos En un modelo muy simplificdo de l Tierr y su tmósfer, quell puede suponerse como un esfer en cuyo interior el cmpo es nulo y ést modelrse como un muy fin cp en l que existe un densidd de crg que v como ρ = ρ 0 e z/ siendo z l ltur medid desde l superficie terrestre. es un espesor típico, mucho menor que el rdio terrestre R T,( R T ). Tmbién se sbe que lturs superiores uns cunts veces el cmpo eléctrico terrestre es prácticmente nulo. () Hlle el cmpo eléctrico y el potencil en l tmósfer y en el interior de l Tierr. (b) Clcule l crg lmcend en l superficie terrestre. Si se define l cpcidd del sistem como el cociente entre est crg y l diferenci de potencil entre l superficie y ls cps superiores de l tmósfer, cunto vle est cpcidd en función de los dtos? (c) Determine l energí electrostátic lmcend en l tmósfer. (d) Clcule los vlores numéricos pr los resultdos nteriores si = 3km, ρ 0 = 3pC/m 3, R T = 6370 km, ε 0 = F/m Se tiene un dipolo puntul p 1 = pu z sobre el cul situmos el origen de coordends. Se coloc un segundo dipolo de l mism mgnitud, pero diferente orientción, en el punto u z. () Hállese l fuerz y el pr que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este está orientdo como p 2 = pu z. (b) Clcúlese el vlor numérico de est fuerz si los dos dipolos son moléculs de gu (p = C m) situds un distnci de 1nm. (c) Repítse el cálculo si p 2 = pu x Se tiene un superficie esféric huec, de rdio R, sobre l cul hy un distribución de crg σ s, no uniforme. No hy más crg en el sistem. () Pruébese que el potencil en el centro de l esfer es siendo Q l crg totl de l distribución. V = 1 Q 4πε 0 R (b) Pruébese que el cmpo eléctrico en el centro de l esfer es E = 1 4πε 0 siendo p el momento dipolr de l distribución. p R 3

8 Escuel Superior de Ingenieros Ingenieros de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 3. Diciembre de 2004 Problems básicos 3.1. Se tiene un cubo hueco de predes conductors, cinco de ls cules se encuentrn puests tierr, mientrs l sext está un potencil V. Cuánto vle el potencil en el centro del cubo? Por qué? Cuánto vldrí si cd cr estuvier un potencil distinto? Y si en vez de un cubo se trtr de un tetredro? Cómo se extiende el resultdo l cso de un esfer con un ciert distribución de potencil sobre su superficie? 3.2. Se sitún dos plcs metálics, plns y prlels, de sección S, un distnci l un de l otr. L plc inferior se pone un tensión V 0, mientrs que l superior se encuentr tierr. El espcio entre ls plcs está ocupdo por un cp de un mteril crgdo con un densidd uniforme ρ 0. () Determine el potencil y el cmpo eléctrico en todos los puntos entre ls plcs. (b) Clcule l energí eléctric lmcend en el sistem. (c) Hlle l fuerz sobre ls plcs y sobre el mteril intermedio En un esfer metálic de rdio R se hn hecho dos cviddes, tmbién esférics, de rdio R/2. Concéntrics con cd un de estos huecos se hlln sends esfers metálics de rdio R/4. Nohy más conductores en el sistem. Supóngse que l esferexterior se encuentr isld y descrgd, mientrs que ls interiores se encuentrn tensión V 0 y 0, respectivmente. Cuál es l crg en cd conductor? Y el potencil? Hlle l energí lmcend en el sistem Hlle l cpcidd por unidd de longitud de un cble coxil formdo por dos conductores ciĺındricos concéntricos de rdios y b (b >). Supong que se construye un condensdor coxil formdo por un núcleo interior ciĺındrico de rdio, rodedo de un cortez ciĺındric concéntric de rdio b (que se puede colocr un tensión V ), envuelt su vez por un blindje exterior, tmbién ciĺındrico y concéntrico de rdio d, tmbién puesto tierr. Cuál es l cpcidd por unidd de longitud de este sistem? V 0 b c Problem 3.1 Problem 3.3 Problem 3.4

9 Cmpos Electromgnéticos Dos crgs, +q y q, sesitún en los puntos r 1 =2u x y r 2 = 2u x +3u z, respectivmente. () Clcule l fuerz que experiment cd crg y el trbjo necesrio pr trerls desde el infinito hst su posición finl. Supong que se introduce un plno conductor, puesto tierr, en x =0. (b) Hlle l nuev fuerz que experiment cd crg, sí como l que sufre el plno conductor. (c) Clcule el trbjo necesrio pr introducir el plno Se tiene un superficie esféric conductor, isld y descrgd, de rdio R. En el interior de est esfer se encuentr un crg puntul q 1, situd en un punto r 1 delhueco. Enelexterior del conductor se encuentr un segund crg puntul q 2, situd en un posición r 2 (mbs posiciones medids desde el centro de l esfer). () Determine el potencil eléctrico en todos los puntos del espcio. Cómo se comport este potencil grndes distncis del sistem (r r 2 ). (b) Clcule l fuerz sobre cd un de ls crgs puntules y sobre l superficie esféric. (c) Clcule el trbjo necesrio pr trer l crg q 2 desde el infinito hst su posición finl r 2. (d) hlle el trbjo necesrio pr mover q 1 desde el centro del hueco esférico hst l posición r 1. Problems de nivel medio 3.7. Considere el sistem de conductores de l figur. Está formdo por cutro conductores, de los cules el 1 y el 2 son simétricos con el 4 y el 3, respectivmente. En este sistem, qué coeficientes de cpcidd e inducción son nulos? Cuáles positivos? Cuáles negtivos? Cuáles igules entre sí? Supong que medinte finos hilos conductores se conect el conductor 1 con el 3, y el 2 con el 4. Cómo qued l nuev mtriz de cpciddes prtir de l mtriz del sistem originl? q +q r 1 q 1 r2 q Problem 3.5 Problem 3.6 Problem 3.7 4

10 Cmpos Electromgnéticos L ruptur dieléctric se produce cundo el cmpo eléctrico entre dos conductores super un vlor crítico, sltndo un chisp en el vcío, o quemndo el dieléctrico que pued hber en medio. Un situción en l que puede producirse l ruptur es l siguiente. Supong dos plcs metálics plns de sección S situds prlelmente un distnci un de l otr. L plc inferior se encuentr tierr y l superior un potencil V 0. () Sobre l plc inferior se encuentr depositd un chp (que podemos suponer pln y de espesor desprecible) de sección S 0. Hlle l crg que se deposit en l chp. (b) Supong que est chp se sepr de l plc inferior, quedándose isld, y se cerc l superior (mnteniéndose siempre prlel mbs). Cundo se hll un distnci x de l plc inferior, cuál es su tensión? Cuánto vle el cmpo eléctrico entre l chp y l plc superior? (c) Si el cmpo pr que se produzc l chisp es E 0, cuál es l posición x en l cul se produce l chisp? (d) Cundo se produce l chisp, l tensión de l chp ps ser V 0, cuánto vrí en ese proceso l crg lmcend en l chp? Y l crg lmcend en l plc superior? Desprecie los efectos de borde Supong el sistem de l figur, formdo por un esfer metálic de rdio R, inicilmente descrgd; un cortez de rdio 2R (concéntric con l nterior) sobre l cul hy depositd un crg Q, distribuid uniformemente; y un cortez metálic, tmbién concéntric, de rdio 4R,que inicilmente se hll sin crg. De l esfer interior sle un cble que puede dejrse desconectdo, conectrse l cáscr exterior o conectrse tierr (potencil cero). () Determine el potencil l que se encuentr cd un de ls esfers en el momento inicil. (b) Admit que el interruptor se ps l posición A, conectndo los dos conductores. Hlle l nuev distribución de crgs y potenciles. (c) Si hor el interruptor se ps de l posición A lb, de form brupt, cuánto vlen los nuevs crgs y potenciles? (d) Repit los prtdos (b) y (c), suponiendo que el interruptor se hubier psdo en primer lugrlposición B ydehíla. El posible cmpo eléctrico credo por los hilos puede considerrse desprecible. V 0 S Q 1 c 2 3 x S 0 A B b w Problem 3.8 Problem 3.9 Problem 3.10

11 Cmpos Electromgnéticos Se tiene el sistem de l figur, formd por un cortez esféric (conductor 1 ) de rdio interior b y exterior c. En su interior hy dos conductores prácticmente semiesféricos ( 2 y 3 ), de rdio y seprdos un pequeñ distnci w. Desprecindo los efectos de borde, () Hlle los coeficientes de cpcidd e inducción del sistem. (b) Determine los potenciles que se ponen estos conductores cundo lmcenn crgs Q 1, Q 2 y Q 3, respectivmente. En qué cso es nulo el potencil de l cortez exterior? Supong un superficie esféric conductor elástic. Inicilmente, est superficie posee rdio R 0 y lmcen un ciert cntidd de ire, un presión igul l exterior (que es l tmosféric). Si se deposit un ciert cntidd de crg sobre l superficie, l repulsión entre crgs provoc un presión que dilt l esfer, disminuyendo l presión interior (de cuerdo con l ley de los gses ideles). () Hlle l ecución que lig el rdio de l esfer con l crg lmcend. (b) Supong que l crg es pequeñ, de form que R = R 0 + R ( R R 0 ). Hlle, en primer proximción, el vlor de R. (c) Clcule el vlor de R pr el cso de Q =1µC y R 0 =1cm Dto: p 0 = 1 tm = P Un nube de torment puede modelrse como un conjunto de dos crgs puntules, ±q, estndo l crg positiv en su prte superior y l negtiv en l inferior. L ltur medi de l nube es h 0 y el espesor de l nube h. Puede suponerse que h h 0. Pr medir el momento dipolr de l nube, se coloc un crg q 1 sujetundinmómetro en un punto sobre el plno de tierr (l crg puede suponerse en z =0 + ), situdo un distnci x de l verticl de l nube. () Hlle l fuerz que se mide, pr un distnci x dd. (b) L nube, en su movimiento, modific l distnci del observdor l verticl de l nube. Describ como vrí l fuerz con x y hlle pr que vlor de x es máxim l fuerz, sí como este vlor máximo. (c) Si h 0 =1km, h =50m, q 1 =10µC ylfuerzmáxim medid es de 0.2mN, clcule l crg lmcend en cd extremo de l nube. Dto: ε 0 =1/(36π 10 9 )F m 1 h h 0 x g E b c q 1 q Problem 3.12 Problem 3.13 Problem 3.14

12 Cmpos Electromgnéticos Se trt de hllr el cmpo eléctrico necesrio pr elevr en el ire un prtícul metálic que repos sobre un plno tierr. L prtícul conductor l podemos modelr como un hemisferio de rdio. Existe un cmpo eléctrico impuesto que, en puntos lejdos de l semiesfer, es uniforme y norml l plno conductor, E = E 0 u z. () El potencil en todos los puntos por encim del plno y l prtícul es de l form φ = E 0 z + A cos θ r 2 (z>0, r>) siendo r l distnci l centro de l semiesfer. Determine el vlor de A que hce que se stisfgn tods ls ecuciones y condiciones de contorno. (b) Hlle l densidd de crg en l superficie de l semiesfer. (c) Clcule l presión electrostátic en l superficie de l prtícul. A prtir de est presión, hlle l fuerz eléctric sobre l prtícul, emplendo l relción df = pds. (d) Si l prtícul es de luminio (ρ m = 2700 kg/m 3 )ysurdiovle =1mm, quécmpoes preciso pr levntr est prtícul? (g =9.8m/s 2 ) Se dispone de un esfer metálic, de rdio, conectd tierr. Rodendo est esfer, se encuentr un delgd cortez esféric, tmbién metálic, de rdio b. Est cortez está isldy descrgd. En el exterior existe un crg puntul q, situd un distnci c del centro de ls esfers. Determine el potencil eléctrico en todos los puntos del espcio y l fuerz que ctú sobre l crg puntul.

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14 Escuel Superior de Ingenieros Ingenieros de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 4. Febrero de 2005 Problems básicos 4.1. El estudio de ls propieddes dieléctrics de los gses puede servir pr medir el tmño de los átomos. Pr ello, supong que se model un átomo de número tómico Z como compuesto de un crg puntul Ze (el núcleo) y un nube esféric uniforme, con volumen τ (los electrones). Si un átomo de este tipo se le plic un cmpo externo uniforme E 0, cuánto vle el momento dipolr inducido en el átomo por l seprción de los centros de crg? Pr un gs monotómico (un gs noble) con un densidd de N átomos por unidd de volumen, cuánto vldrá l susceptibilidd y l permitividd? Experimentlmente se comprueb que el helio en condiciones normles tiene un permitividd reltiv ε r = , mientrs que pr el neón ε r = , yprelrgón ε r = Según esto, cuál es el tmño de un átomo de cd uno de estos gses nobles? 4.2. Se tiene un esfer dieléctric de rdio R polrizd uniformemente con P = P 0 =cte. () Hlle, por integrción direct el potencil eléctrico en todos los puntos del espcio. (b) Cuáles son los vlores de E, D y P dentro y fuer de l esfer? (c) Cuánto vlen ls densiddes de crg equivlentes l polrizción? 4.3. Se tiene un esfer de rdio R, centrd en el origen, compuest de un mteril con un polrizción dd por l expresión, en coordends ciĺındrics, P = A (ρu ρ zu z ) Hlle l distribución de crgs equivlente y el potencil eléctrico en el centro de l esfer. V 0 b V 0 b V 0 Problem 4.4 Problem 4.5

15 Cmpos Electromgnéticos Entre dos plcs metálics conductors plns y prlels un distnci d = + b se colocn dos dieléctricos de permitividdes ε 1 y ε 2 y espesores y b respectivmente, tl como muestr l figur. Hlle l cpcidd de este condensdor y constrúyse el circuito equivlente Repit el problem nterior suponiendo que l interfz que sepr los dieléctricos es perpendiculr ls plcs. Se podrí resolver un problem similr pero con cutro dieléctricos, tl como muestr l figur? Cuál serí el circuito equivlente? 4.6. El cmpo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y form un ángulo π/6 con l norml l superficie. El cmpo en el interior del medio form un ángulo π/3 con l norml. Hlle: () L permitividd reltiv del medio. (b) El módulo del cmpo en el interior del mteril. (c) L densidd de crg de polrizción en l fronter. (d) El slto en l componente tngencil de D. Problems de nivel medio 4.7. Un cortez esféric de rdio interior y exterior b está hech de dieléctrico polrizdo según l ley No hy más crgs en el sistem P = k r u r () Clcule ls densiddes de crg de polrizción en el sistem. Cuánto vle l crg totl de polrizción? (b) Hlle los cmpos D y E en todo el espcio. (c) Determine el vlor del potencil eléctrico en todo el espcio Sobre un plc metálic pln, de sección S (que supondremos en z =0), se coloc un cp de dieléctrico de permitividd ε 1 con espesor. Sobreestcpsesitú un lámin metálic, de sección S 0 <S, el resto de l superficie se dej libre y descrgdo. Se superpone un segund cp de dieléctrico de permitividd ε 2 y espesor b. Porúltimo, el sistem se cierr con un segund lámin metálic de sección S. Si ls plcs inferior, intermedi y superior se colocn, respectivmente, potenciles V 1, V 2 y V 3, Cuánto vle l crg (libre) lmcend en cd conductor? Desprecie totlmente los efectos de borde (suponiendo E = Eu z ) y los posibles cmpos exteriores l sistem. E=100 V/m S b Problem 4.6 Problem 4.8 S 0

16 Cmpos Electromgnéticos Unmedioestrtificdo es quel cuys propieddes dependen de l ltur z. Un mteril de este tipo se coloc entre dos plcs conductors plns y prlels, seprds un distnci. L permitividd del mteril vrí de ε 1 ε 2 en l form ε(z) = ε 1 ε 2 ε 1 z + ε 2 ( z) Si se plic un diferenci de potencil V 0 entre ls plcs, () Cuánto vlen los cmpos D, E y P en todos los puntos del mteril? (b) Cuál es l densidd de crg de polrizción (tnto superficil como de volumen)? (c) Hlle l energí lmcend en el sistem Desprecie los efectos de borde Se construye un recipiente ciĺındrico, con bses perfectmente conductors de sección S, seprds un distnci, y predes perfectmente dieléctrics, de espesor desprecible. El interior se llen hst l mitd con un ĺıquido dieléctrico y permitividd ε. El resto se dej vcío. El recipiente se coloc en un principio con ls bses dispuests horizontlmente. En est posición, se crg hst que l diferenci de potencil entre ls plcs es V 0. Acto seguido se bre el circuito y, sin descrgr ls plcs, el recipiente es girdo 90 lrededor de un eje horizontl. Cuál es l nuev diferenci de potencil entre ls plcs? Cómo vrí l energí lmcend? Desprecie los efectos de borde y l influenci de ls predes Se tienen dos superficies ciĺındrics conductors concéntrics entre ls cules se colocn dieléctricos tl como muestrn ls figurs. Cuáles son ls cpciddes y cuáles los circuitos equivlentes? Repit el problem pr el cso de que l figur represente esfers concéntrics Supóngse que se tiene un esfer de rdio R un mteril dieléctrico (de permitividd ε) lrededor de l cul hy vcío. En puntos lejdos de l esfer hy impuesto un cmpo eléctrico uniforme E 0. Hlle el potencil eléctrico y los cmpos eléctricos en el interior y el exterior de l esfer. Sugerenci: El cmpo eléctrico dentro de l esfer es uniforme. resultdo del problem 4.2. V 0 ( z) c b Sbiendo esto, pĺıquese el c Problem 4.9 Problem 4.11

17 Cmpos Electromgnéticos Un esfer metálic de rdio R se encuentr isld y lmcen un crg Q. L esfer se encuentrenelvcío. () Indique l energí lmcend en el sistem (b) Supong que, sin descrgr l esfer, est se recubre con un cp de espesor de un dieléctrico de permitividd ε. Determine l nuev energí lmcend en el sistem. Cómo se explic el cmbio en l energí? (c) Si en lugr de un esfer isld y descrgd tenemos un esfer conectd un generdor que fij su potencil en un vlor V 0, cuál es l energí ntes y después del recubrimiento? Cómo se interpret el cmbio en este cso? Problems de mplición En un sistem formdo por dos esfers metálics concéntrics de rdios y c, entre ls cules se encuentrn dos medios dieléctricos, con un interfz ecutoril, existe un fuerz de trcción entre los electrodos, que está usente si solo hy un medio dieléctrico que llene todo el espcio entre ls plcs. Se trt de clculr est fuerz. () Determine l densidd de crg libre en l superficie del electrodo interior. (b) Hlle el vlor del cmpo eléctrico en los mismos puntos. (c) L fuerz sobre un elemento de superficie conductor es df = 1 2 σ le ds Integrndo est fuerz elementl, determine l fuerz net sobre el electrodo interior. Hci donde v dirigid? Cuál es el origen de est fuerz? (d) De form nálog, clcule l fuerz sobre el electrodo exterior. Se verific l tercer ley de Newton? c Problem 4.14

18 Escuel Superior de Ingenieros Ingenieros de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 5. Mrzo de 2005 Problems básicos 5.1. Eltuboderyosctódicos de un osciloscopio consiste en un hz de electrones que son emitidos por un cátodo con velocidd horizontl v 0 = v 0 u x. Estos electrones psn entre dos plcs prlels, seprds un distnci b, entre ls cules existe l tensiónquesepretendemedir,deformque el cmpo eléctrico entre ells tiene el vlor V/bu z. Ests plcs tienen un longitud w. A un distnci L del fin de ls plcs se encuentr un pntll, sobre l cul inciden los electrones. Clcule l ltur del punto de impcto en función de l tensión plicd y los restntes prámetros del sistem. Cómo se consigue que el hz de electrones brr l pntll y no se muev sólo verticlmente? 5.2. Setieneuncbledecobrede1mm 2 de sección, por el cul circul un corriente de 1 A. Determine l velocidd medi de los electrones en est corriente, sí comoelnúmero de electrones que trviesn un sección del cble en l unidd de tiempo. Dtos: Densidd de ms del cobre ρ m =8.96 g/cm 3. Peso tómico P = g/mol. Número de Avogdro N A = átomos/mol Un nube esféric de crg (compuest de un distribución de crgs puntules flotndo en el vcío) se encuentr en expnsión, creciendo el rdio de l esfer como R(t) =R 0 + vt. L crg totl de l nube, Q 0, se encuentr distribuid en todo momento de form uniforme en el volumen de l esfer. A prtir de l ley de conservción de l crg, clcule l densidd de corriente de conducción en l nube. Puede suponerse que J = J(r)u r y que est densidd no es infinit en el centro de l esfer. Clcule el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio Hlle l resistenci entre los extremos de un bloque de conductor óhmico en form de rco semicirculr de sección cudrd, El rdio medio es b y el ldo de l sección es. A qué se reduce el resultdo si b? 5.5. Entre dos plcs plns y prlels, perfectmente conductors, de sección S, y seprds un distnci se encuentr un medio resistivo, de permitividd ε y conductividd σ. Entre ls plcs hy estblecid un tensión V 0. v 0 E V w h b L Problem 5.1 Problem 5.4

19 Cmpos Electromgnéticos 5.2 () Hlle l corriente que circul entre ls plcs y l crg lmcend en cd un, sí comol energí lmcend en el sistem. (b) En t =0se desconect el generdor. Determine l evolución de l crg en ls plcs prtir de ese momento. (c) Hlle l energí disipd en el medio durnte el proceso de descrg del condensdor. (d) Describ el comportmiento del sistem medinte un circuito equivlente Un esfer de rdio se despolriz según l ley P(r,t)=ke λt ru r Determine ls densiddes de crg de polrizción, sí como l densidd de corriente de polrizción. Se verific l ley de conservción de l crg pr ρ p y σ p? Problems de nivel medio 5.7. Pr determinr l conductividd σ del suelo se mide l corriente entre dos electrodos clvdos en tierr y sometidos un ciert diferenci de potencil. () Supong en primer lugr sólo un electrodo hemisférico de rdio, perfectmente conductor, puesto un potencil V 1 respecto puntos muy lejdos. En el estdo estcionrio, determínese l distribución de potencil en el suelo. Admítse que el potencil depende exclusivmente de l distnci l centro del electrodo. A prtir de este resultdo, clcúlese l resistenci entre el electrodo y el infinito. Supóngse que el suelo posee conductividd igul en todos sus puntos. (b) Supong hor dos electrodos del tipo nterior, del mismo rdio, y muy lejdos entre sí. Si se conectn por el ire medinte un cble idel y un fuente de continu de tensión V 0, qué corriente circul de un electrodo l otro? (c) Si pr un tensión de 100 V entre dos electrodos de 10 cm de rdio se mide un corriente de 0.63 A, cuánto vle l conductividd del suelo? 5.8. Los primeros sistems de distribución de corriente pr iluminción ern en serie, con tods ls bombills conectds en serie y l fuente puest l voltje necesrio. Los sistems ctules son csi siempre en prlelo. Supong que se dese clculr qué sistem es el más económico en términosdeldisipción de energí en el cble. Un clle mide L =1kmyls frols están seprds un distnci =50m, funcionndo cd un V 0 = 240 V y con un potenci P 0 = 500 W. L resistenci del hilo de cobre es mucho menor que l de ls bombills, de form que l hor de hllr ls corrientes en cd rm no es necesrio considerrl ( l hor de hllr ls pérdids sí). A V 0 L V 0 L Problem 5.5 Problem 5.7 Problem 5.8

20 Cmpos Electromgnéticos 5.3 Supong que el sistem trbj con corriente continu. () Cuál es l sección mínim necesri pr el cble en cd montje si l densidd de corriente no puede superr los J m =10 6 A/m 2 y debe tener l mism nchur en todos sus puntos (σ = S/m pr el cobre). (b) Se us el hilo clculdo en (). Hlle: (1). El peso totl de cobre usdo en el sistem en serie y en prlelo (l densidd del cobre es proximdmente ρ m = 8960 kg/m 3 ) (2). L potenci disipd en el cobre en cd cso. (c) A l vist de lo nterior, por qué se usn montjes en prlelo en lugr de en serie? Dto: Puede ser necesrio sber que n 2 +(n 1) 2 +(n 2) 2 n(n + 1)(2n +1) + +1= 6 n3 3 (n grnde) 5.9. L resistividd del ire en l tmósfer decrece exponencilmente con l ltur como donde σ 1 = r = r 1 e α 1z + r 2 e α 2z + r 3 e α 3z i r i (10 12 Ω m) α i (km 1 ) El cmpo eléctrico en zons despejds de l superficie de l Tierr vle E 0 = 100 V/m. Este cmpo es prácticmente constnte y v siempre en l dirección verticl. A prtir de estos dtos hlle () El vlor delcmpo eléctrico pr un punto situdo entre l superficie de l Tierr y l ionosfer (z = 100 km). (b) L diferenci de potencil entre l superficie y l ionosfer. (c) L distribución de crgs en l tmósfer. (d) L corriente totl que lleg l superficie de l Tierr. (e) L potenci necesri pr mntener est corriente estcionri (f) Estime el tiempo que trdrí l tmósfer en descrgrse si no existier un mecnismo generdor Se tiene un circuito impreso en form de H de un mteril de conductividd σ, concutro terminles, un de ls cules se encuentr permnentemente tierr. Los brzos de l H y el tbique centrl poseen longitud b. Los cutro brzos tienen nchur, ( b) mientrs que el trmo centrl posee nchur 2, según indic l figur. El espesor de tod l pist es c. () Determine l mtriz de los coeficientes de conductnci, G ij, correspondiente los tres terminles libres. Desprecie l pequeñ contribución de ls esquins donde confluyen los brzos. (b) A prtir de l mtriz nterior, clcule ls conductncis G ij y elbore un circuito equivlente l sistem de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios. (c) Determine l potenci consumid en l pist cundo el terminl 1 se encuentr potencil V 0 y los otros tierr.

21 Cmpos Electromgnéticos 5.4 (d) En l configurción nterior se cort l conexión tierr del electrodo 2. En el nuevo estdo estcionrio, se consume más o menos potenci que ntes de l desconexión? Cuánto? Como ejemplo ilustrtivo del concepto de fuerz electromotriz, considere el siguiente sistem: () Enelinteriordeunfluidodieléctrico de permitividd ε se introducen dos electrodos coplnres de grn nchur, que csi llegn tocrse. Determine l distribución de cmpos en el sistem cundo un de ls plcs se sitútierrylotrtensión V 0 (supong que ls ĺınes de cmpo eléctrico son rcos circulres que vn de un plc l otr). (b) Por un pequeño orificio en el electrodo positivo, situdo un distnci del borde de los electrodos, se introduce un prtícul muy liger con crg q. L prtícul se mueve por cción del cmpo eléctrico hci el otro electrodo. Además de l l fuerz eléctric, se hll sometid un fuerz de fricción viscos γv. Determine el movimiento de l prtícul y el tiempo T que trd en llegr l cátodo. Qué trbjo reliz el cmpo eléctrico durnte este tryecto? En qué seempleestetrbjo? (c) Si l llegr l otro ldo, l prtícul es recogid por un dispositivo mecánico (un especie de bomb) que se encrg de devolverl su posición inicil, describiendo un tryectori semicirculr y emplendo el mismo tiempo T en hcerlo, qué trbjo reliz este gente mecánico? En qué seemple? (d) El proceso se repite numeross veces, cunto vle l corriente eléctric promedio que fluye de un plc l otr? Cuánto l fuerz electromotriz? Y l potenci disipd? Un esfer metálic perfectmente conductor, de rdio, se encuentr roded de un cortez de mteril óhmico, de permitividd ε 0 y conductividd σ. L cortez tiene rdio interior y exterior b. Inicilmente l esfer y l cortez están descrgds. En t =0l esfer interior se conect, trvés de un cble, con un generdor que fij su potencil en V 0. () Determine l evolución en el tiempo de l crg lmcend sobre l esfer y en l superficie exterior. Admítse que l densidd de crg es siempre uniforme en cd superficie. (b) Clcule l energí totl disipd en el medio óhmico. Cuál es l energí totl proporciond por el generdor? en que cso ést es nul? b 1 3 b 2 + V 1 b 2 Problem 5.10 Problem 5.11 Problem 5.12

22 Cmpos Electromgnéticos Entre dos plcs plns y prlels seprds un distnci + b se coloc un cp de espesor de un medio de permitividd ε 1 y conductividd σ 2. El resto del espcio lo ocup un cp de espesor b de un mteril de permitividd ε 2 y conductividd σ 2. En el instnte t =0se conect un diferenci de potencil V 0. () Cuánto vlen E, D y J inmeditmente después de conectr el potencil? (b) Cuánto vlen un tiempo lrgo después de que se hy estblecido? (c) Cuánto vlen en culquier instnte? Se tiene un sistem formdo por tres plcs metálics perfectmente conductors, plns y prlels, de l mism sección S. L plc superior se encuentr un distnci b de l intermedi, y ést un distnci de l inferior. El espcio entre ls plcs inferior e intermedi está lleno de un mteril óhmico de permitividd ε y conductividd σ, mientrs que en el espcio entre l intermedi y l superior hy ire (ε = ε 0, σ =0). L plc inferior se encuentr puest tensión V 0 en todo instnte, mientrs que l superior está tierr en todo momento. L plc intermedi se encuentr inicilmente puest tierr. En t =0, est plc intermedi se desconect. () Describ l distribución de cmpos y de corrientes entre ls plcs ntes de l desconexión. Cuánto vle l energí eléctric lmcend inicilmente? (b) Describ los cmpos y corrientes en el sistem mucho tiempo después de l desconexión. Cuál es l energí eléctric lmcend en el estdo estcionrio finl? (c) Durnte el periodo trnsitorio, l plc centrl posee un tensión vrible V (t). Determine l ecución diferencil pr este potencil y hlle su solución. (d) Clcule el vlor de l energí totl disipd por efecto Joule en el periodo trnsitorio, sícomo el trbjo relizdo por el generdor. Se conserv l energí durnte este proceso? V 0 b 0 =0 b Problem 5.13 Problem 5.14 V 0

23 Cmpos Electromgnéticos 5.6 Problems de mplición Supong que se sumergen dos conductores perfectos en un mteril de permitividd ε y conductividd σ. Si se plic entre ellos un diferenci de potencil constnte V 0 l corriente que lleg uno de ellos vle I 0. Cuál será l corriente si el voltje vrí como V 0 cos ωt? Supong que en los problems 5.12, y5.13, en lugr de un señl esclón plicmos un tensión ltern V = V 0 cos(ωt). Pr cd un de ests configurciones: () Cuánto vle l corriente que lleg l elemento? Cuál es l impednci del sistem? Y el circuito equivlente? (b) Cunto vle l energí portd por el generdor en un periodo? En qué se emple est energí? Como ejemplo de situción en l que no se verific l ley de Ohm, considere el cso de un válvul de vcío. En su versión más simple, está formd por dos plcs plns y prlels, de sección S y distnci entre ells. Un de ls plcs (situd en x =0) está permnentemente tierr, mientrs que l otr (en x = ) se encuentr un tensión fijd V 0. Entre ls plcs se cre el vcío lo más perfecto posible. L diferenci entre este sistem y un condensdor, que no puede ser trvesdo por un corriente continu, es que l plc de tierr se client hst un ciert tempertur. En este cso, puede producirse el efecto termoiónico, según el cul l energí térmic de lgunos electrones es suficiente pr que puedn bndonr el mteril y fluir por el vcío intermedio () Si l tensión del electrodo frío es negtiv, hbrá corriente en el sistem? (b) Supong hor que V 0 > 0 y que un electrón vij desde el cátodo cliente l ánodo frío. A prtir de l ley de conservción de l energí mecánic, cuál es l velocidd, v del electrón en un punto en el que φ = φ(x)? Admit que los electrones son emitidos con velocidd nul. (c) Si el número de electrones emitidos es bundnte, hbrá un ciert densidd de crg ρ = ρ(x). Teniendo esto en cuent, escrib l ecución de Poisson y ls condiciones de contorno pr el potencil. (d) En el estdo estcionrio, qué se reduce l ley de conservción de l crg? Cómo se relcion J con ρ y v? (e) El sistem formdo por ls ecuciones de los prtdos nteriores dmite un solución prticulr en l que el potencil depende de l posición como ( ) x p φ = V 0 siendo p un vlor determinr. Clcule este vlor y estblezc l relción entre l tensión plicd y l corriente que trvies el elemento. Que utilidd práctic tiene este elemento?

24 Escuel Superior de Ingenieros Ingenieros de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 6. Abril de 2005 Problems básicos 6.1. Unĺıne de lt tensión está formd por dos cbles, que podemos suponer como hilos rectiĺıneos infinitos y prlelos situdos un distnci d =6mentre sí y un ltur h =10m. Por estos cbles circuln corrientes ±I, con I =2kA. () Hlle el cmpo mgnético l nivel del suelo. (b) Clcule l fuerz mgnétic, por unidd de longitud, que los hilos se ejercen entre sí Un prtícul de ms m y crg q se mueve en el interior de un cmpo mgnético uniforme B = B 0 u z.silprtícul se hll inicilmente en el origen y moviéndose con velocidd v = v 0. Cuál es l tryectori posterior? Cuál es l posición en un instnte de tiempo t? 6.3. Un espir pln de form irregulr se coloc de form que prte de ell se encuentr en un cmpo mgnético uniforme B (en l figur el cmpo ocup l región sombred y punt perpendiculrmente l plno de l espir). Por l espir circul un corriente I. Pruebe que l fuerz mgnétic net sobre l espir es F = IBs, donde s es l cuerd subtendid. Generlice este resultdo pr el cso de que l form de l región ocupd por el cmpo mgnético se tmbién irregulr. En qué dirección punt l fuerz? 6.4. Un solenoide de rdio, ltur h y n espirs por unidd de longitud, puede proximrse por un distribución de corriente superficil sobre un cilindro. () Hlle el vlor K equivlente que por ls espirs circule un corriente I. (b) Emplendo l ley de Ampère, clcule el cmpo producido por el solenoide, si h. (c) Medinte integrción direct, hlle el cmpo mgnético en los puntos del eje del cilindro si h es finito. Estudie el ĺımite h 6.5. Sobre un cilindro de rdio y longitud infinit fluye un corriente superficil de densidd uniforme K. Hlle el cmpo mgnético en todos los puntos del espcio. -I d I B s Problem 6.1 Problem 6.3 I

25 Cmpos Electromgnéticos 6.2 Problems de nivel medio 6.6. Se dese construir un blnz que en lugr de un resorte funcione por fuerzs mgnétics. Pr ello, se produce un cmpo mgnético uniforme B = B 0 u z en un región rectngulr. En el interior de este cmpo se coloc un espir, por l cul se hce circulr un corriente continu, I. () Supong que se us como espir un triángulo rectángulo de hipotenus, msm 0,resistenci eléctric R y utoinducción desprecible. En el vértice inferior se coloc un guj indicdor. Aplicndo el resultdo del problem 6.3, clcule qué distnci del borde inferior estrá l guj cundo no hy colgdo ningún peso. (b) Cuál será lposición de l guj cundo se cuelg un ms m de l blnz? Cuál es el peso máximo que puede medir est blnz? (c) Funcionrí l blnz con un espir cudrd? Y con un espir tringulr invertid? (Sugerenci: piense en lo que ocurre si l blnz se lej ligermente de su posición de equilibrio) 6.7. Se tiene un solenoide ciĺındrico de grn longitud formdo por un hilo, rrolldo formndo un hélice, de rdio R y pso de rosc (distnci entre dos espirs consecutivs) b. Por el cble circul un corriente I. Hlle el cmpo mgnético en todos los puntos del espcio, teniendo en cuent l inclinción de ls espirs. (Sugerenci: Combine los resultdos de los problems 6.4 y 6.5.) 6.8. En el plno z =0se encuentrn dos nillos coplnrios concéntricos, de rdios y b (b >). Por el nillo interior circul un corriente I 0. () Hlle l corriente I 1 que debe circulr por el nillo exterior pr que el cmpo mgnético en el centro de los nillos se nule. (b) Clcule el cmpo mgnético en todos los puntos del eje del sistem. (c) Hlle el cmpo en todos los puntos del espcio lejdos de los nillos. (d) Supong que b =2 y que nos situmos un ltur z =10. Cuál es el error reltivo cometido l proximr el vlor excto del cmpo por l proximción dipolr? 6.9. Un espir rectngulr de ldos y b, recorrid por un corriente I 1, es coplnri con un conductor rectiĺıneo, por el que circul un corriente I 2. L distnci del centro de l espir l hilo es d. Hlle l fuerz que prece entre el hilo y l espir. g B m I z y x b z I 2 I 1 d b Problem 6.6 Problem 6.8 Problem 6.9

26 Cmpos Electromgnéticos Por un cble verticl muy lrgo, se hce circulr un corriente I 0. Un pequeño imán (equivlente undipolomgnético m), de peso Mg, se suspende de un hilo idel, de longitud l, cuyo punto de sujeción se encuentr un distnci del cble. El imán está sujeto por su punto centrl, de form que puede orientrse libremente. En que dirección puntrá el imán? Clcúlese l fuerz mgnétic sobre el imán, cundo se encuentr un distnci x del cble. Hlle l ecución pr el ángulo que el hilo form con l verticl Sobre un mes horizontl se colocn dos brújuls (equivlentes dipolos mgnéticos) igules, de form que sus centros distn un cntidd. Ls dos brújuls pueden girr en el plno horizontl. Considerndo que l intercción brújul-brújul es mucho myor que l cción del cmpo mgnético terrestre, ordene ls cutro configurciones de l figur de menor myor energí. Cómo se orientrán ls brújuls? I m l () (c) (b) (d) Problem 6.10 Problem 6.11

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28 Escuel Superior de Ingenieros Cmino de los Descubrimientos s/n Sevill Cmpos Electromgnéticos. Boletín 7. Myo de 2005 Problems básicos 7.1. El momento dipolr mgnético de un átomo de hierro es proximdmente m 2.22 e h 2m e Cuál es el vlor máximo que puede tener l mgnetizción de un trozo de hierro? Supóngse que se tiene un imán ciĺındrico de grn longitud, mgnetizdo lo lrgo de su eje. Sbiendo que el cmpo en el extremo de l brr es proximdmente B μ 0 M/2, clcúlese el cmpo que producirá este imán. Estímese el vlor de ls corrientes de mgnetizción equivlentes est imnción. Dtos: Crg del electrón e = C; ms del electrón m e = kg; constnte de Plnck h = J s; peso tómico del hierro p m =55.8 dlton; densidd de ms del hierro ρ m =7.87g/cm 3 ; permebilidd del vcío μ 0 =4π 10 7 T m/a Se tiene un cilindro de longitud L yrdior, mgnetizdo según l ley M = Ayu x estndo situdo el origen de coordends en el centro del cilindro y siendo el eje z coincidente con el del imán. Hállense ls fuentes vectoriles equivlentes est mgnetizción. Clcúlese tmbién l distribución de fuentes esclres equivlente. Problems de nivel medio 7.3. Se dispone de un esfer de rdio R con un imnción permnente M = M 0 u z. () Determínese l expresión integrl del potencil vector mgnético. Clcúlese el vlor de l integrl. Hállese, prtir de A, el vlor de B ydeh en todos los puntos del espcio. (b) Descríbse culittivmente l form de B, H y M (c) Clcúlense ls corrientes de mgnetizción equivlentes, ls ecuciones y ls condiciones de contorno pr B. (d) Hállese l distribución de crgs mgnétics equivlentes y el problem de ecuciones y condiciones de contorno pr H Se construye un imán ciĺındrico de rdio R =1cmy longitud L, con un mgnetizción uniforme y prlel su eje M 0 =10 5 A/m. () Determínese proximdmente los cmpos H y B cundo L =1mm,enelcentrodelimán y en un punto ligermente por encim de su bse superior. A prtir de ls corrientes de mgnetizción. A prtir de ls crgs mgnétics. (b) Estímense H y B cundo L =1men los mismos puntos y con los mismos métodos (c) Determínense exctmente H y B en todos los puntos del eje del imán, tnto dentro como fuer de él. Compárese con los resultdos nteriores

29 Cmpos Electromgnéticos Supóngse que se tiene un esfer de rdio R un mteril mgnético linel (de permebilidd μ) lrededor de l cul hy vcío. En puntos lejdos de l esfer hy impuesto un cmpo mgnético uniforme B 0. () Sbiendo que l mgnetizción que prece en l esfer es uniforme, hállese el vlor de dich mgnetizción, del momento dipolr inducido en l esfer, y del cmpo mgnético en todos los puntos del espcio. (b) En qué se diferenci el resultdo pr un mteril dimgnético (μ < μ 0 ) de uno prmgnético? A qué se reducen los resultdos en los csos de un prmgnético idel (μ ) y un superconductor (μ =0)? (c) Hállense ls corrientes de mgnetizción que precen en l esfer. (d) Clcúlense los vlores numéricos pr los prtdos nteriores con un cmpo externo B 0 = 10 mt plicdo sobre un esfer de rdio 1 cm pr los siguientes mteriles: i. Oro, χ m = ii. Aluminio χ m = iii. Hierro χ m = 150 iv. Superconductor χ m = 1 M 0 B 0 Problem 7.3 Problem 7.4 Problem 7.5 R L m m 0

30 Escuel Superior de Ingenieros Ingenieros de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 8. Myo de 2005 Problems básicos 8.1. Se tiene un solenoide lrgo de sección S, por el cul circul un corriente vrible en el tiempo K 0 (t). Dosvoltímetros miden el voltje entre dos puntos A y B, dimetrlmente opuestos, de un circuito formdo por dos resistencis R 1 y R 2, tl como se ve en l figur. Hlle ls lecturs de los voltímetros. Coincidirán ésts? Por qué? 8.2. Se tienen dos nillos metálicos. Ambos nillos están centrdos en el origen de coordends. Uno de ellos posee rdio b y está situdo en el plno xy. Elotroesderdio está inclindo, de form que su norml form un ángulo θ conelejez. Elrdiob es mucho myor que. () Determine el coeficiente de inducción mutu entre los dos nillos prtir del flujo del cmpo del nillo exterior trvés del nillo interior (teng en cuent que éste es muy pequeño), cundo por el nillo exterior circul un corriente I 1. (b) Hlle el coeficiente de inducción mutu prtir del flujo del cmpo del nillo interior (que es prácticmente un dipolo) trvés del nillo exterior cundo por el nillo interior circul un corriente I 2. Son igules los dos coeficientes? 8.3. Supong l mism configurción geométric del problem 8.2. Por el nillo exterior se hce circulr un corriente constnte I 0. El nillo interior se hce girr en torno l diámetro común, de form que el ángulo θ vrí con velocidd constnte ω. Desprecindo los efectos de l utoinducción, hlle l corriente que circul por el nillo interior. Clcule l energí disipd en este nillo durnte un periodo de revolución. De dónde procede est energí? 8.4. Tres solenoides ciĺındricos muy lrgos se disponen concéntricmente. Dichos solenoides poseen l mism longitud L yelmismonúmero de espirs, ls cules están rrollds en el mismo sentido. Los rdios de ls bobins son, respectivmente,, b y c ( <b<c). () Determine l mtriz de inducciones mutus del sistem. A V 1 V 2 R 1 K 0 () t R 2 B u z n b c b Problem 8.1 Problems 8.2 y 8.3 Problem 8.4