REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA. Problema Teórico 2

Transcripción

1 REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Proble eórico

2 Proble. El experiento de Cvendish. Henry Cvendish ( ) fue un notble físico y quíico británico. rbjó en prácticente tods ls áres de l físic de su tiepo, destcndo prticulrente en sus investigciones sobre l electricidd y l deterinción de práetros de l ierr. Concretente, vos nlizr su célebre experiento pr pesr l ierr. Desde tiepos de Newton ( ) se conocí que l fuerz de trcción grvittori entre dos cuerpos er proporcionl l producto de sus ss e inversente proporcionl l cudrdo de l distnci, pero se desconocí l constnte de proporcionlidd y tbién l s de l ierr. Cvendish, cundo relizó su foso experiento, utilizó un blnz de torsión que previente hbí diseñdo y fbricdo John ichell, que urió ntes de poder probrl. L figur 1 es un fotogrfí de un odern blnz de este tipo que se utiliz pr relizr práctics de lbortorio. ) Un blnz de torsión consiste en un liger vrill con dos esfers de s en sus extreos, que se ntiene horizontl cundo está suspendid por su punto edio O edinte un hilo sujeto por su extreo superior P, coo se uestr en perspectiv en l figur. Supondreos que l seilongitud de l vrill es y que su s es desprecible frente ls de ls esfers. En ests condiciones, cundo se prt l vrill del equilibrio nteniéndol siepre horizontl y girándol un pequeño ángulo, ls esfers se ueven describiendo un tryectori circulr de rdio. Si en un cierto instnte l velocidd ngulr del oviiento de ls esfers es ω d / dt, deterine l expresión del ódulo del oento ngulr L de ls dos esfers respecto l centro O de l vrill. Fig. 1 P Hilo b) Al girr un ángulo respecto su posición de equilibrio el siste vrill-esfers, el hilo del cul está suspendido se opone que lo retuerzn ejerciendo un oento de torsión, τ, que es proporcionl l ángulo girdo, siepre que se pequeño. Es decir, τ donde es l lld constnte de torsión del hilo y el signo tiene en cuent l oposición del hilo l giro. En consecuenci, si se prt el siste un pequeño ángulo respecto l posición de equilibrio y después se dej libre, relizrá oscilciones torsionles rónics en torno dich posición de equilibrio. Deuestre 1 que el periodo de dichs oscilciones rónics viene ddo por: ( ) 1/ O Fig. 8π / Posición de equilibrio 1 Recuerde que el oento respecto un punto de ls fuerzs que ctún sobre un siste es igul l vrición teporl r r del oento ngulr respecto l iso punto dl / dt.

3 c) Si,73 g y 9,c y se observ que el periodo de ls oscilciones es 43s Clcule el vlor de l constnte de torsión del hilo,. d) A continución, sobre cd esfer se plicn fuerzs F r r r y F F respectivente, coo se indic en l figur 3, en l que se uestr l blnz vist desde rrib. El siste lcnzrá un nuevo estdo de equilibrio correspondiente F r un pequeño ángulo, cundo el oento que ejercen dichs fuerzs se equilibre con el oento de torsión del hilo. Ddo que O es pequeño puede suponerse que ls fuerzs son siepre perpendiculres l vrill. r r F F Deterine l expresión del ódulo de l fuerz F plicd en Fig. 3 cd extreo, en función de, y. e) En el experiento de Cvendish, l fuerzs F r r r y F F plicds en ls bols de s ern ls correspondientes fuerzs de intercción grvittori, F r b F g que ejercín otrs bols de g O grn s colocds uns distncis b, coo se uestr en l figur 4. F g b Obteng l expresión de l s de l ierr,, en función de,,, b,, del rdio de l ierr R y de l celerción de l grvedd g. Fig. 4 f) Con los dtos dicionles siguientes: g ; 9, 9 1 rd ; b 3, c ; R 6, 37 1 ; g 9,81/s Clcule l s de l ierr,, y el vlor de l constnte de Grvitción Universl G. 6

4 Solución Proble 1. El experiento de Cvendish. ) Cundo l siste vrill-bols se prt del equilibrio, los centros de ls esfers describen tryectoris circulres idéntics de rdio, coo se uestr en l figur 5. Si l velocidd ngulr es ω, el ódulo de ls velociddes lineles de cd bol es v ω. El oento ngulr del siste respecto O es l su de los oentos ngulres de cd bol, es decir v O v L v L ω b) De cuerdo con l not pie de págin del enuncido, Fig. 5 dl τ dω (1) dt dt Coo l celerción ngulr es α d ω / dt, de (1) result que α Ω con Ω Es decir, l celerción ngulr α es proporcionl (con signo enos) l ángulo girdo, lo que signific que t es un función rónic con el tiepo, cuyo periodo viene ddo por π / Ω. Por tnto () 8π c) Con los dtos del enuncido,,73 g, 9, c y 43s, N, l constnte de torsión es d) De cuerdo con l figur 3, el ódulo del oento resultnte de ls fuerzs que ctún sobre ls bols tiene que estr equilibrdo con el oento de torsión. Esto es F F e) Ahor F Fg es l fuerz de intercción grvittori entre ls bols de ss y que se encuentrn ás próxis. Sin tener en cuent l intercción entre ls bols grndes y ls pequeñs ás lejns G () b Aunque se supone que G no es conocid, sí se sbe que l celerción de l grvedd g viene dd por g G (3) R donde y R son l s y el rdio de l ierr respectivente. Eliinndo G entre () y (3) y despejndo se obtiene

5 g R L b f) Con los dtos dicionles siguientes: g ; 9, 9 1 rd ; b 3, c ; R 6, 37 1 ; g 9,81/s 6 6, 1 4 g Por otr prte, conocid y G 6, , l constnte de Grvitción Universl G puede deducirse de (3) y result ser N /g