25 ANIVERSARIO 1ª PRUEBA. 21 de febrero de Subvenciona: Departamento de Educación, Universidad, Cultura y Deporte

Transcripción

1 5 ANIVESAIO 1ª PUEBA 1 de febrero de 014 Subvencion: Deprtmento de Educción, Universidd, Cultur y Deporte

2 P1.- El Zodico, l Tierr, un Stélite y el Ptio de l Infnt. Los stros, sus movimientos y sus posiciones respecto L Tierr hn sido uno de los principles motivos de curiosidd científic en tods ls culturs, desde los tiempos más remotos. Est curiosidd propició el ncimiento de un Cienci, l Astronomí, pero tmbién h ddo lugr otros enfoques esotéricos, rbitrrios e inciertos, nd científicos, rodedos siempre de un crácter divintorio y envueltos en un hlo de misterio, que constituyen l strologí. Sin embrgo, l strologí se hn dedicdo y se dedicn ríos de tint, y está fuer de duds su influenci en l litertur y en el rte lo lrgo de los siglos. A este respecto, en Zrgoz existe un excepcionl obr del rencimiento rgonés que, entre su profus decorción escultóric, present numerosos símbolos strles y zodicles. Se trt del Ptio de l Infnt, del siglo XVI, que se encuentr en l Sede Centrl de IberCj, (figurs 1 y ). Precismente este recinto h sido el lugr que IberCj h ofrecido pr relizr el Acto de Entreg de Premios de l Olimpid Argones de Físic, desde hce 5 ños! Columns Fig. 1 Ptio de l Infnt Fig. Plnt del Ptio. Símbolos strológicos. El Zodico es un zon o fj celeste por el centro de l cul ps l eclíptic 1. Comprende ls 1 constelciones, signos o css que recorre el Sol en su curso nul prente. Ests constelciones se considern regulrmente espcids cd 30º, y están representds con su símbolo hbitul en l figur 3. Sus nombres son Aries, Turo, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo, Libr, Escorpio, Sgitrio, Cpricornio, Acurio y Piscis. L distnci de l Tierr culquier constelción del Zodico es enorme, en comprción con el tmño de l Tierr. Por ejemplo, l distnci Aldebrán, un de ls estrells de Turo, es del orden de 65 ños luz. Fig. 3 1 Círculo formdo por l intersección del plno de l órbit terrestre con l esfer celeste, y que prentemente recorre el Sol, visto desde l Tierr, durnte un ño. 5 ANIVESAIO

3 Un observdor terrestre está situdo en un punto A de l superficie de l Tierr. En su cénit se encuentr l constelción Aries, como se observ en l figur 4, que no está representd escl. Desde el punto A se observ un stélite rtificil, S, que describe un órbit circulr de rdio OP =, donde O es el centro de l Tierr. Tnto el punto A como l órbit del stélite se encuentrn en el plno de l eclíptic. Turo S O T ϕ A P Q θ Aries Tierr Fig. 4 ) Determin l expresión del periodo de revolución del stélite, T, en función del rdio de su órbit, del rdio de l Tierr, T, y de l celerción de l grvedd en l superficie de l Tierr, g. El ángulo θ, indicdo en l figur 4, es el que form l dirección de l visul desde A l stélite cundo está en P, linedo con l constelción Turo, y l visul cundo el stélite está en Q, linedo con Aries. b) Demuestr que el ángulo θ está relciondo con el rdio de l Tierr, T, el rdio de l órbit del stélite,, y el ángulo ϕ que form OP con OA, en l form senϕ t g θ = cosϕ T c) Qué vlor proximdo tiene el ángulo θ? d) Clcul el rdio de l órbit del stélite en el cso de que ϕ = 1,94º. e) Cuánto tiempo trnscurre desde que el observdor en A ve psr el stélite por P hst que lo ve psr por Q? Dtos: dio de l Tierr: T = 6, m Acelerción de l grvedd en l superficie de l Tierr: g =9,81m/s. 5 ANIVESAIO

4 P1 Solución ) Ddo que el stélite describe un órbit circulr de rdio en torno l Tierr, se verific que M m = mω (1) G T Donde M T es l ms de l Tierr, m l ms del stélite, G l constnte de Grvitción universl y ω = π / T, siendo T el periodo de revolución del stélite. Como l celerción de l grvedd en l superficie de l Tierr es g = GM T / T, en l que T es el rdio de l Tierr, l expresión (1) se puede escribir g T π = T T = 3 1 / π T g () b) De l figur 5, que es un mplición de un prte de l figur 4, se deduce AP senθ = senϕ (3) AP cosθ = cosϕ T Dividiendo miembro miembro en (3), se obtiene l relción buscd O T ϕ Fig. 5 A P Q θ senϕ t g θ = (4) cosϕ T c) L distnci entre l Tierr y culquier de ls constelciones del zodico es muchísimo myor que el rdio de l Tierr ( 6, km ). Por ejemplo, l estrell Aldebrán, representtiv de Turo, está ños luz, que equivle 6,1 10 km. En consecuenci, ls direcciones de ls visules Turo desde A y desde el centro de l Tierr, pueden considerrse prlels. Por otr prte, tl como indic el enuncido, ls css del zodico están regulrmente espcids cd 30º. En definitiv, se tiene que θ = 30º d) De (4) se deduce que tgθ = T tg θ cosϕ senϕ Con θ = 30º, ϕ = 1,94º y 6,37 10 m, result = 6, m T = 6 e) Como l velocidd ngulr orbitl del stélite es constnte, el tiempo τ que trnscurrirá desde que el observdor A ve psr el stélite por P hst que lo hce por Q, viene ddo por ϕ (rd) π ϕ ( rd) ϕ (º ) = τ = T = T τ T π 360 El vlor numérico del periodo T se obtiene de () En totl 3 T = 5,55 10 τ = 9,9s s 5 ANIVESAIO

5 P.- Se puede medir l ltur de un grut con l fotogrfí de un got? Un montñero ib hcer un fotogrfí desde el interior de un grut 3 hci el exterior, y l enfocr el pisje vio que en el borde superior de l entrd hbí un incipiente estlctit de l que estb punto de cer un got de gu. Cundo observó que l got se desprendí, dispró su cámr fotográfic, con un tiempo de exposición Δt = ( 1/45)s (tiempo durnte el que lleg luz l fotosensor). L fotogrfí obtenid se muestr en l figur 1. Aproximdmente en su centro se observ el trzo de l got durnte l exposición, reforzdo pr que se visulice mejor. A l derech de l foto se h ñdido un regl, grdud en uniddes rbitrris, pr poder medir ls distncis que consideres oportuns Fig. 1 Desprecindo l resistenci del ire y el empuje hidrostático, y sbiendo que l grvedd es g = 9,8 m / s, hz un estimción de: ) El tiempo de rección del montñero, es decir el tiempo que trnscurre desde que se desprende l got hst que dispr l cámr. b) L distnci recorrid por l got durnte el tiempo nterior. c) L ltur de l entrd de l grut. 3 Este ejercicio está inspirdo en un cuestión propuest en l Olimpid Argones de Físic en el ño 003. Est grut está situd en ls inmediciones de Esclon, en l comrc del Serrblo (Huesc). 5 ANIVESAIO

6 P Solución En primer lugr, hciendo uso de l regl de l figur 1, pueden determinrse ls distncis crcterístics del proceso de cíd de l got: l longitud de l trz de l got durnte l exposición, Δ z, l distnci recorrid por l got hst el instnte del dispro de l cámr, z 0, y l ltur de l grut, h. Ests distncis se indicn en l figur y sus medids, expresds en uniddes rbitrris (u..), vn ser los dtos del problem. Los resultdos de ls medids son: 1 3 z h Δ z Fig. Δ z = 0, 6 u.. z 0 = 6,3 u.. h =1,8 u.. Expresds en metros, ls nteriores longitudes son, respectivmente, Δ Z = f Δ z Z 0 = f z0 H = f h Donde f es el fctor de conversión de ls uniddes rbitrris metros, en principio desconocido. ) Desprecindo l resistenci del ire, l got ce desde el reposo con celerción g. Si t 0 es el tiempo que trnscurre desde que se desprende l got hst que se dispr l cámr (tiempo de rección del montñero), l velocidd de l got en el instnte del dispro es v 0 = gt 0 (1) El espcio recorrido por l got en este tiempo es 1 Z 0 = gt 0 () 5 ANIVESAIO

7 Por otr prte, como Δ Z << Z 0 y el tiempo de exposición es muy breve, podemos considerr que l got se mueve con velocidd proximdmente constnte v 0 durnte l exposición, de form que ΔZ = v0 Δt (3) Ls relciones () y (3) pueden expresrse en función de los dtos y del fctor de conversión 1 f z 0 = gt 0 (4) f Δ z = v0 Δ t (5) Dividiendo miembro miembro (4) y (5) y teniendo en cuent (1), result z t = 0 0 Δ t Δ z Est expresión es independiente de f. Con los dtos numéricos nteriores y Δ t = ( 1/ 45 ) s se obtiene t 0 =0,47 s b) Sustituyendo directmente t 0 en () se clcul l distnci Z 0 Z 0 =1,1m c) Pr clculr l ltur de l entrd de l grut, H, se necesit el fctor de conversión f. Su vlor es Z f = f = 0,17 m/ u.. z 0 0 Por lo que l ltur es H = f h H =, m Not: ls medids sobre l fotogrfí tienen un precisión muy bj. En prticulr, l medid de h es muy imprecis porque no está muy clro dónde está el suelo de l grut. Tmbién tiene un precisión reltiv muy bj l medid de Δ z, por ser un distnci sólo un poco myor que l resolución de l regl. Por todo ello, los resultdos numéricos son simples estimciones de los vlores reles. 5 ANIVESAIO

8 P3.- Un juguete sorprendente: el generdor de Vn de Grff. Cundo los físicos quieren visulizr en ls uls, o en los museos de ls ciencis, los efectos de los cmpos y ls fuerzs eléctrics, utilizn veces un dispositivo llmd generdor de Vn de Grff. En esenci, es un esfer metálic sobre l que, por procedimientos mecánicos, se v depositndo un crg Q que produce un intenso cmpo eléctrico en el exterior. Uno de los experimentos típicos consiste en crgr pultinmente l esfer hst que slt un espectculr chisp. Lo que h ocurrido es que el cmpo eléctrico exterior es tn intenso que lleg ionizr ls moléculs del ire, de form que se produce un brusc corriente eléctric con emisión de luz visible por colisiones de ls crgs libres con otrs moléculs del ire. El cmpo de ruptur dieléctric del ire seco, es decir el máximo cmpo eléctrico que soport ntes de ionizrse, es E mx = 3 MV/m. ) Determin l crg máxim, Q mx, que se puede suministrr l esfer de un Vn de Grff, de rdio = 10 cm, pr que no se produzc l ruptur dieléctric del ire en su entorno. Qué potencil lcnz l esfer en est situción? Ayud: un conductor en equilibrio electrostático constituye un volumen equipotencil, y l crg eléctric se distribuye exclusivmente sobre su superficie. El cmpo y el potencil electrostáticos en su exterior son los mismos que los credos por un prtícul con l mism crg net que l esfer y situd en su centro. Otro de los experimentos que se puede relizr con un Vn de Grff consiste en colocr encim de l esfer vrios moldes de ppel de luminio, que se crgn conjuntmente con l esfer, y ver cómo el cmpo eléctrico los lnz hci rrib de uno en uno (Figurs 1 y 1b). El estudio riguroso del movimiento de los moldes es complejo. Pr poder hcer cálculos proximdos, vmos hcer lguns suposiciones: - Cundo el molde se sepr de l esfer se llev un prte de l crg del sistem, pero el generdor port csi instntánemente es mism crg l esfer, de form que se mntiene constnte su potencil. - El molde es mucho más pequeño que l esfer, y puede considerrse puntul. - L distribución de crg sobre l esfer mntiene siempre un simetrí esféric. No se consider por tnto l influenci de l crg del molde, que cundo está próximo l esfer perturb ligermente est simetrí. - No se consider el rozmiento con el ire. - Cundo el molde slt, sigue un tryectori rect en dirección verticl. Fig. 1 Fig. 1b Suponiendo que l esfer se crg un potencil V 0 = 5 kv, y que sobre ell se pone un único molde de ms m =3,0g y con crg q = 7,5 10 μc, determin y clcul: b) L crg que dquiere l esfer, Q. 5 ANIVESAIO

9 c) L celerción del molde, 0, cundo se sepr de l superficie de l esfer (punto A de l figur ). v = 0 B d) L máxim distnci l centro de l esfer que lleg lcnzr, r B, ntes de cer. e) L distnci r C l punto donde l velocidd del molde es máxim. f) El vlor de est velocidd máxim, v mx. v mx q v = 0 C A r C r B Supón hor que se colocn vrios moldes, uno encim de otro, sin rozmiento entre ellos. g) Explic por qué los moldes sltn de uno en uno, y no todos l vez. Q Fig. 1 Dtos: Constnte de Coulomb, k = = 9,0 109 Nm /C. 4 πε 0 Acelerción de l grvedd, g = 9,8m/s. 5 ANIVESAIO

10 P3 Solución ) Como se indic en el enuncido, l crg de l esfer conductor se distribuye en l superficie, pero el cmpo eléctrico en el exterior de l esfer es el mismo que si tod l crg Q estuviese concentrd en el centro de l esfer, es decir con dirección rdil y módulo E = k Q r L myor intensidd de este cmpo se tiene junto l superficie del conductor, es decir cundo r =. En el límite de que este cmpo se igul l de ruptur dieléctric Qmx E mx = k Q mx = Emx Q mx =3,3 μc k El potencil de l esfer es, en este cso b) L crg de l esfer es Qmx Vmx = k = Emx V 3,0 105 mx = V Q V = k V Q = Q =,5 μc k c) Dos crgs de igul signo se repelen. Sobre el molde situdo en l prte superior de l esfer ctú un fuerz resultnte hci rrib F = F e Fg, siendo F e l fuerz eléctric de repulsión y F g l fuerz grvittori, es decir, el peso del molde. Pr clculr l fuerz de intercción entre l esfer y un molde, supuesto puntul, podemos utilizr l ley de Coulomb, como si fuesen dos prtículs crgds. Q q Q q F = k mg = m = k g = 46 m/s m d) En un primer fse del recorrido el molde prte del reposo y se celer hci rrib, y que F e > Fg. En un punto determindo, C, ls fuerzs se iguln y prtir de entonces F e < Fg, por lo que el molde reduce su velocidd hst que, en el punto más lto, l velocidd vuelve nulrse. Ls fuerzs F e y F g son conservtivs, por lo que l energí mecánic del molde se conserv. Tnto en el punto inicil, A, como en el más lto, B, l energí cinétic es nul, luego Qq Qq k + mg = k + mgrb rb Operndo, se obtiene l siguiente ecución de segundo grdo en r B Qq Qq rb k + r + k = 0 mg B mg Sustituyendo los dtos (en el SI), se obtiene r 0,674r + 0,0574 = 0 B B De ls dos soluciones de l ecución, un de ells es l trivil, r B = 0,10 m =, que corresponde l posición inicil. L otr, correspondiente l punto más lto B, result r B = 0,57 m 5 ANIVESAIO

11 e) L velocidd scendente del molde ument hst el punto C, en el que se iguln en módulo ls fuerzs grvittori y electrostátic. En este punto l celerción del molde es nul y l velocidd es máxim, v mx. Por tnto, en C se cumple Qq k = mg r C Qq r C = k r C = 0,4 m mg f) L conservción de l energí mecánic entre los puntos A y C permite escribir Qq Qq 1 k + mg = k + mgr mv C + mx rc Qq 1 1 vmx = k g ( rc ) m rc v mx =,0 m/s g) Podrí pensrse que, cundo hy vrios moldes superpuestos, se crgn todos l vez y el conjunto es repelido en bloque por l esfer. Esto no es correcto porque, como se indic en l yud del enuncido, l crg de un cuerpo conductor en equilibrio se distribuye en su superficie. En nuestro cso el cuerpo conductor totl es l esfer más los moldes pildos en su vértice superior, de form que únicmente el molde más exterior form prte de l superficie del conjunto. Por tnto, el único que se crg inicilmente es el que está en el exterior, es decir el más lto. Cundo este molde slt y se lej, el que er segundo molde ps formr prte de l superficie del conductor, se crg y es repelido por l esfer, y sí sucesivmente. 5 ANIVESAIO