Polinomios. El servidor del califa

Transcripción

1 Polinomios El servidor del califa Mohamed recorría nervioso las salas de la Casa de la Sabiduría buscando al sabio Al-Khwarizmi, el cual le había enseñado un método para contar y operar con cantidades desconocidas que el joven aplicaba en su trabajo como funcionario de abastos del palacio del califa. Por fin, sentado al lado de una fuente encontró a su maestro. Maestro, podemos repasar los cálculos de ayer? Me alegra tu afán de conocimiento. Al-Khwarizmi se etrañaba de que Mohamed dedicara cada rato libre a aprender. La riqueza de los pobres es la bondad y el conocimiento, y como cualquier hombre, yo deseo ser rico; además, ningún ladrón puede robártela repuso Mohamed con una sonrisa. Está bien, está bien! contestó, y entre asombrado y divertido el sabio le propuso unos ejercicios aritméticos mientras él estudiaba el lenguaje algebraico y las ecuaciones. En la tablilla podía leerse: «Un cuadrado y diez raíces son igual a treinta y nueve unidades». 66

2 SOLUCIONARIO DESCUBRE LA HISTORIA Investiga sobre las aportaciones de la cultura árabe al estudio de las matemáticas y sobre la vida y obra de Al-Khwarizmi. Una biografía con los aspectos más importantes de su vida se puede encontrar en la página: En esta página puedes profundizar más sobre las repercusiones de sus estudios en la Europa medieval: A qué se llamó Casa de la Sabiduría de Bagdad? Qué relación tiene con Al-Khwarizmi? La historia de la Casa de la Sabiduría de Bagdad y su relación con Al-Khwarizmi se puede hallar en esta página: Busca información sobre las aportaciones de Al-Khwarizmi al álgebra. Una etensa relación de todos los estudios y descubrimientos matemáticos de Al-Khwarizmi está en: EVALUACIÓN INICIAL Transforma en epresiones algebraicas. a) El doble del cuadrado de un número. b) Un número más la mitad de otro. a) b) + Epresa el resultado de la operación como una sola potencia. a) (4? 4 ) 5 e) [(4,) 4? (4,) 5 ] 4 y b) [(-5) : (-5) ] f) (7 : 7 5 ) c) (9 7 : 9 5 ) g) (? 9 4 ) d) (4 : 4 ) h) [(-) 5? 4 5 ] a) (4 5 ) 5 = 4 5 e) [(4,) 9 ] 4 = (4,) 6 b) [(-5) ] = (-5) f) (7 6 ) = 7 c) (9 ) = 9 4 g) (? 8 ) = 0? = 0 d) (4 ) = 4 h) (-) 0? 4 0 = [(-)? 4] 0 = (-) 0 Aplica la propiedad distributiva en las siguientes epresiones. a) 7? (4 + ) c) 9? ( - 4) b)? ( - 5) d) (-)? ( ) a) 7? 4 + 7? = = 4 c) 9-6 b)? -? 5 = - 5 d)

3 Polinomios EJERCICIOS 00 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de estos monomios. a) - y z 4 b) -5b c c) 5 y d) - 5 y a) Coeficiente: - Parte literal: y z 4 Grado: = 9 b) Coeficiente: -5 Parte literal: b c Grado: + = 5 c) Coeficiente: Parte literal: 5 y Grado: 5 + = 6 d) Coeficiente: - Parte literal: y 5 Grado: + 5 = 6 00 Determina si los monomios son semejantes. a) y z 5 y -5z 5 y c) y y -y b) 6 y 4 y 6 4 y d) 7 y - a) Son semejantes. c) Son semejantes. b) No son semejantes. d) Son semejantes. 00 Escribe el monomio opuesto. a) y z b) -4a b c) -5 9 d) 9 a) - y z b) 4a b c) 5 9 d) Escribe, si se puede, un monomio: a) De coeficiente y parte literal y 6. b) De coeficiente - y semejante a -. c) De grado 7 y semejante a -4 y. d) De parte literal y 4 y opuesto a -4 y. a) y 6 b) - c) No es posible. No puede ser de grado 7 y a la vez. d) No es posible. No puede ser de grado 7 y 4 a la vez. 005 Realiza las operaciones. a) d) (-8 y)? (-4y ) b) y - y + 6 y - y e) (5y) : (-) c) (-5ab)? (6abc) f) (yz) : (-y) a) 9 d) y b) 6 y e) -5y c) -0a b c f) -z 68

4 SOLUCIONARIO 006 Simplifica las siguientes epresiones. a) b) 5 - ( + ) c) 7 y + 4y y + y 5 - a) - + ( ) + ( ) = b) (- - ) + (- + ) + (5 + ) = c) ( - 9) 7 y + (4 + )y 5 - = 7 y + 5y Calcula: - y - (-? 7y) + (6 y z : 4y z) - y + y + 4 y = 4 y 008 Determina el grado, las variables y el término independiente de estos polinomios. a) P(, y) = y b) Q(, y) = y c) R(, y) = 9-7 y + y - 4 d) S(, y, z) = 7 yz - y z + 8yz a) Grado: 5. Variables:, y. Término independiente: - =. b) Grado: + 4 = 7. Variables:, y. Término independiente: -9. c) Grado:. Variables:, y. Término independiente: -4. d) Grado: + + = 4. Variables:, y, z. Término independiente: 0, es decir, no tiene término independiente. 009 Reduce este polinomio y calcula su opuesto. R() = R() = , y su opuesto es: -R() = Escribe un polinomio de dos variables, de grado 7, que tenga un término de grado, que sea reducido y no tenga término independiente. Por ejemplo: 5 5 y - y 0 Calcula el valor numérico del polinomio en cada caso. a) P() = , para = 0. b) P(, y) = - 4 y - y + 7y -, para =, y =. a) P(0) =? 0 +? 0 -? ? 0 - = - b) P(, ) = -? -? + 7?? - = 8 69

5 Polinomios 0 Dados los polinomios: P(, y) = y + y y - Q(, y) = -y + 4y - halla los valores numéricos: P(0, 0) P(, ) Q(0, -) Q(0, ) P(0, 0) =? 0? 0 + 0? 0-7? = - P(, ) =?? +? - 7? + - = -4 Q(0, -) = -0? (-) + 4? (-) -? 0 = 4 Q(0, ) = -0? + 4? -? 0 = 6 0 Reduce los siguientes polinomios y calcula su valor numérico para =. a) P() = b) Q() = a) P() = = "P() = -4? = -9 b) Q() = = " Q() = -? 4-4? -? - = = Calcula el valor de a para que el polinomio P() = - a + cumpla que P() = 5. P() =? - a? + = 8 - a + = 5 " 9 - a = 5 " 4 = a " a = 05 Determina si los números - y son raíces del polinomio P() = -. Sabrías hallar otra raíz del polinomio? P(-) = (-) - = - = 0 " - es una raíz. P() = - = - = 0 " es una raíz. Las únicas raíces del polinomio P() son - y. 06 Halla la suma, la resta y el producto de cada par de polinomios. a) R() = S() = + b) R() = + S() = + - c) R() = S() = d) R() = S() = + e) R() = S() = f) R() = 7 + S() = a) R() + S() = ( ) + ( + ) = R() - S() = ( ) - ( + ) = R()? S() = ( )? ( + ) = b) R() + S() = ( + ) + ( + - ) = + R() - S() = ( + ) - ( + - ) = - + R()? S() = ( + )? ( + - ) =

6 SOLUCIONARIO c) R() + S() = ( ) + ( ) = R() - S() = ( ) - ( ) = R()? S() = ( )? ( ) = = d) R() + S() = ( ) + ( + ) = = R() - S() = ( ) - ( + ) = R()? S() = ( )? ( + ) = = e) R() + S() = ( ) + ( ) = = R() - S() = ( ) - ( ) = = R()? S() = ( )? ( ) = = f) R() + S() = ( 7 + ) + ( ) = R() - S() = ( 7 + ) - ( ) = R()? S() = ( 7 + )? ( ) = = Calcula -A() + B() y -A() - B() con los polinomios: A() = B() = A() + B() = -( ) + ( ) = = A() - B() = -( ) - ( ) = = Calcula el valor de a para que: ( + - 4)? a = a = = ( + - 4) = Calcula. a) ( - + ) : b) ( ) : ( - ) c) ( ) : ( + - ) d) ( ) : ( - 5) e) ( ) : (4 + + ) f) ( 8 - ) : ( ) g) ( - ) : h) ( - ) : ( + ) i) ( ) : ( - ) 7

7 Polinomios a) - + b) c) d) e) f) g) h)

8 SOLUCIONARIO i) Haz las siguientes divisiones, y comprueba que están bien realizadas. a) ( ) : ( - ) b) ( ) : ( ) a) ( - )? ( - 4) + (7-0) = ( ) + (7-0) = = b) ( )? ( - ) + (8 + ) = = ( ) + (8 + ) = Calcula el resto de esta división sin realizarla. Dividendo " P() = Divisor " Q() = + - Cociente " C() = R() = P() - Q()? C() = ( ) - ( + - )? = = ( ) - ( ) = = 5-0 Saca factor común en los siguientes polinomios. a) 8-4 d) -ab + 4b - 6b 4 b) 8 y - y e) 4a 4-4a b + 8ab c) 0a b - 5ab + 5a b f) 0a 4 b c + 6a b - 8a b a) 4? ( - ) d) b? (-6ab + - b ) b) 6 y? ( - y) e) a? (7a - 7a b + 4b ) c) 5ab? (6a - b + ab) f) a b? (0a bc + 8-9ab) 7

9 Polinomios 0 Etrae factor común en estos polinomios. a) - b)? (y - y) + y? (4y - y) c) a)? ( - ) b) y [? (y - ) + y (4 - )] c) - - e - o Calcula a para que el factor común de a y y - 6 a y sea y. Observando el tercer término, si a > el factor común de los tres términos tendría elevado a, lo cual no es posible; y si a < el factor común de los tres términos tendría elevado a un número menor que. Por tanto, la única solución es a =. 05 Desarrolla los siguientes cuadrados. a) ( + 7) e) ( - 4) b) ( + ) f) (a - b) c) (6 + ) g) (5 - a) d) ( + y) h) (b - 5b ) a) e) b) f) 9a - 6ab + b c) g) 5-0a + a d) y + 4y h) 4b 4-0b 5 + 5b 6 06 Desarrolla. a) ( - a ) b) ( + ) c) ( + ) d) (6ab - y) a) a + a 4 c) b) d) 6a b 4-4ab y + 4y 07 Epresa como cuadrado de una suma o una diferencia, según convenga. a) c) + 4y + 4y b) 4 - y + 9y d) a) ( + 4) c) ( + y) b) ( - y) d) ( + ) 08 Calcula los siguientes productos. a) ( + 7)? ( - 7) b) (7 + 4y)? (7-4y) a) - 49 b) 49-6y 74

10 SOLUCIONARIO 09 Estudia si estas epresiones se pueden epresar como suma por diferencia. a) - b) 4-9 c) 6 - a) ( + )? ( - ) b) ( + )? ( - ) c) (4 - )? (4 + ) 00 Epresa en forma de producto. a) c) 00-4z 6 b) 9a - 0ab + 5b a) ( - ) b) (a - 5b) c) (0 + z )? (0 - z ) 0 Observa el ejemplo y calcula mentalmente = ( )? ( ) = 999? = 999 a) b) 0-9 c) a) = 9 b) = 9 c) = Simplifica las fracciones algebraicas. 5 y a) b) c) y y 6 y y d) 4 y 4y a) b) y 5 y c) y d) Simplifica. a) b) a) ( - ) = - b) - ( + )? ( - ) + = ( - ) 4 + 4a+ a 04 Calcula a para que = a + a = ( + ) = " a = ACTIVIDADES 05 Indica si las siguientes epresiones son o no monomios. a) + yz c) 5 5 y e) + y y -4 b) d) yz f) ab + a a) No es monomio. c) Es monomio. e) No es monomio. b) Es monomio. d) No es monomio. f) No es monomio. 75

11 Polinomios 06 Di si los monomios son semejantes. a) z, y, -6y c) 4c 9 d, c 7 d, cd 4 b) ab, a b, 7b d) 8y, 7y En a) son semejantes: y, -6y; z no es semejante a los anteriores. No hay ningún monomio semejante en los apartados b), c) y d). 07 Realiza estas sumas de monomios. a) z + z + 6z c) 9c 9 + c 9 + c 9 b) a b + 9a b + 7a b d) 8y + 7y + 4y + y a) 0z b) 7a b c) c 9 d) 8y 08 Efectúa las siguientes restas de monomios. a) z - 6z c) 8y - 7y - y - y b) 9a b - a b d) a) -z c) 5y b) 7a b d) 9 09 Realiza las operaciones e indica el grado del monomio resultante. a) b) 5y - y + 7y - y + y c) abc - abc + 6abc + 9abc - 4abc d) 5z - z + 5z - z + 8z - z e) (yz)? ( yz ) f) (-abc)? (a b c )? (-bc) g) 7? (y)? (-y 5 )? (y) h) (6ac )? (-a c )? (-ac)? (-4a c ) i) ( y ) : (7y ) j) (9abc) : (bc) k) (6 4 y 5 a b 6 ) : (8 y a b 5 ) l) (5m n g 4 ) : (mng) a) 5 Grado g) -4 4 y 7 Grado b) 9y Grado 4 h) -44a 7 c 9 Grado 6 c) abc Grado i) y Grado d) z Grado j) a Grado e) 4 y z 4 Grado 9 k) y ab Grado 6 5 f) 6a b 4 c 4 Grado l) m ng Grado 6 76

12 SOLUCIONARIO Haz las siguientes operaciones. a) -z + 6z + yz - 8z c) 9c 9 - c 9 - c 9 + 0c 9 b) 9a b - a b + 8a b - a b d) 8y + 7y - y + y - y a) -z + yz b) 4a b c) 7c 9 d) 6y Realiza estas multiplicaciones. a) y? y? (-6y) c) 8y? 7y b) ab? a b? 7b? ab d) 5 9? (- 9 ) a) -8 y b) 7a 4 b 4 c) 56 y d) Efectúa las siguientes divisiones de monomios. a) 9y : y c) 5 8 : 5 8 e) 5 9 : 9 b) 9ab : ab d) 8y : y f) 7 : 8 4 a) b) 9 c) d) 4 e) 5 f) 4 Calcula y simplifica el resultado todo lo que puedas. a) - 5(- ) ()? () b)? (-y) + 7y - y + (-4)? (-5y) c) - (-) + (- ) + (-)? (-) d) (y - y + 7y)? (ab) e) ( )? (-5z) a) = 9 d) (6y)? (ab) = yab b) -y + 7y - y + 0y = 4y e) ( )? (-5z) = -0 z c) = -4 Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. a) = b) - = c) 4 = 7 d) 5 = 5 e) ( ) = 4 f) = - a) Verdadera:?? = ++ = b) Falsa, pues no podemos restar potencias con la misma base y distinto eponente. c) Verdadera:? 4 = +4 = 7 d) Falsa, ya que una potencia consiste en multiplicar un determinado número de veces la base, y no sumarla. e) Verdadera: ( ) =? = 4 f) Falsa: - = 77

13 Polinomios Indica el grado, el término independiente y el polinomio opuesto de los polinomios. a) P() = d) S() = 8 b) Q() = e) T() = c) R() = + f) U () = -- 6 a) Grado Término independiente: - Opuesto: b) Grado Término independiente: 6 Opuesto: c) Grado Término independiente: Opuesto: - - d) Grado 0 Término independiente: 8 Opuesto: -8 e) Grado 4 Término independiente: 0 Opuesto: f) Grado Término independiente: - Opuesto: Razona si es cierto o falso. a) Un polinomio es la suma de dos monomios. b) El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. c) Los coeficientes de un polinomio son siempre números naturales. d) Cualquier polinomio tiene un término donde aparece. a) Falso. Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios. b) Verdadero. c) Falso. Los coeficientes son cualquier tipo de número. d) Falso. La variable no tiene por qué ser, y no es necesario que tenga un término de grado. 047 Reduce los siguientes polinomios. a) P() = b) Q() = c) R() = d) S() = e) T() = f) U () = a) P() = b) Q() = c) R() = + d) S() = e) T() = f) U() =

14 SOLUCIONARIO 048 Calcula el valor numérico de cada polinomio para los valores de la variable. a) A() = +, para =. b) B() = 4 +, para =. c) C() = , para = -. d) D() = , para =. e) E() = + + +, para = -. f) F() = , para = 0. g) G() = -4, para = -. a) A() = + = e) E(-) = = -4 b) B() = 8 + = f) F(0) = - c) C(-) = = - g) G(-) = -4 d) D() = = 049 Halla los valores numéricos para el polinomio: P(, y) = y + y - y + 5-6y + 9 a) P(0, 0) c) P(-, ) e) P(, ) b) P(, ) d) P(, -) f) P(, ) a) P(0, 0) =? 0? 0 + 0? 0 -? 0? 0 + 5? 0-6? = 9 b) P(, ) =?? +? -?? + 5? - 6? + 9 = 8 c) P (-, ) =? (-)? + (-)? -? (-)? + 5? (-) - 6? + 9 = d) P (,-) =??(-) +?(-) -??(-) + 5? - 6?(-) + 9 = e) P(, ) =?? +? -?? + 5? - 6? + 9 = 4 f) P(, ) =?? +? -?? + 5? - 6? + 9 = HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA UN COEFICIENTE DE UN POLINOMIO CONOCIENDO UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS? Calcula el valor de k en el polinomio P() = - + k, si P() = 5. PRIMERO. Se sustituye, en el polinomio, la variable por su valor. P() = F P() = - + k = + k " + k = 5 P() = 5 SEGUNDO. Se despeja k en la ecuación resultante. + k = 5 k = 5 - = 79

15 Polinomios 05 Calcula el valor de k en cada polinomio, sabiendo que P() = 6. a) P() = k d) P() = k 6 - k + k + k b) P() = k 4 + k + 4 e) P() = k c) P() = k + k - k a) k = 6 " k = d) k - k + k + k = 6 " k = b) k + k + 4 = 6 " k = e) k = 6 c) 9 + k + k - k = 6 " k = 05 Dados los polinomios: P() = R() = - + Q() = S() = + calcula. a) P() + Q() c) P() - S() e) P() + R() g) Q() - R() b) Q() + P() d) Q() - P() f) R() + S() h) R() - P() a) ( ) + ( ) = = b) ( ) + ( ) = = c) ( ) - ( + ) = = d) ( ) - ( ) = = e) ( ) + ( - + ) = = f) ( - + ) + ( + ) = g) ( ) - ( - + ) = = h) ( - + ) - ( ) = = Suma y resta los siguientes polinomios. a) P() = Q() = + 5 b) P() = - + Q() = - + c) P() = - + Q() = d) P() = Q() = e) P() = - y - y Q() = - y - y f) P() = - y - y Q() = - y - y g) P() = - - Q() = h) P() = Q() =

16 SOLUCIONARIO a) Suma: Resta: -9 - b) Suma: Resta: c) Suma: Resta: d) Suma: Resta: -0-5 e) Suma: - y - y Resta: - - y - y 5 f) Suma: - 4y - y 6 6 Resta: y g) Suma: Resta: h) Suma: Resta: Dados los polinomios: P() = R() = - + Q() = S() = + calcula. a) P() + Q() + R() + S() c) [P() + Q()] - [R() + Q()] b) P() - R() + S() - Q() d) [P() - Q()] - [R() - Q()] a) ( ) + ( ) + + ( - + ) + ( + ) = b) ( ) - ( - + ) + ( + ) - - ( ) = c) [( ) + ( )] + + [( - + ) + ( )] = = ( ) - ( ) = = d) [( ) - ( )] + + [( - + ) - ( )] = = [ ] - [ ] = = Halla cuál es el polinomio Q() que hay que sumar a P() = + - para obtener como resultado R(). a) R() = - d) R() = -7 - b) R() = e) R() = - c) R() = f) R() = - Q() = R() - P() a) Q() = - - d) Q() = b) Q() = e) Q() = c) Q() = f) Q() =

17 Polinomios 056 Dados los polinomios: P() = Q() = R() = - + calcula. a) P()? Q() b) Q()? R() c) P()? R() d) R()? R() a) ( )? ( ) = = b) ( )? ( - + ) = = c) ( )? ( - + ) = = d) ( - + )? ( - + ) = Dados los polinomios: P() = R() = - + Q() = S() = + calcula. a) [P() - Q()]? S() c) [P() + Q() + R()]? S() b) [R() - Q()]? S() d) [P() + Q() - R()]? S() a) [( ) -( )]? ( + ) = = ( )? ( + ) = = b) [( - + ) - ( )]? ( + ) = = ( )? ( + ) = = c) [( ) + ( ) + + ( - + )]? ( + ) = ( )? ( + ) = = d) [( ) + ( ) - - ( - + )]? ( + ) = ( )? ( + ) = = Realiza las siguientes operaciones a) e + o- e + 7o+ e - + o b) e o? e -o 5 c)? ( - + -) -? e - + o d)? ( - + -) -? e - + o 6 8

18 SOLUCIONARIO a) e + o -e - - o+ ^- 7+ h = b) c) e o -d - + n = = d) e o -d- + n = = Divide. a) ( ) : ( - ) b) ( ) : ( + ) c) ( ) : ( + ) d) ( ) : ( + + ) e) ( ) : ( - - ) a) b)

19 Polinomios c) d) e) Desarrolla. a) ( + ) d) (7 + 4 ) g) ( )? ( 4-5 ) b) ( - ) e) ( + 7)? ( - 7) h) e - o c) ( - ) f) ( + )? ( - ) a) e) 4-49 b) f) c) g) d) h) Desarrolla estos cuadrados. a) ( + 5) c) (-y - 8) e) (- - y) b) (y - 7) d) (y - 6) f) ( + y) a) d) y - y + 6 b) 4y - 8y + 49 e) + y + y c) y + 6y + 64 f) + 4 y + 4 y 84

20 SOLUCIONARIO 06 Completa las siguientes igualdades. a) ( + ) = c) (9 + 7)? (9-7) = 4-4 b) (5 - ) = d) (4 + 4) = a) ( + ) = () +?? + = b) (5 - ) = 5 -? 5? + () = c) (9 + 7)? (9-7) = 9 - (7) = 8-49 d) = ( ) +?? + = ( + ) 06 HAZLO ASÍ CÓMO SE OPERA UTILIZANDO LAS IGUALDADES NOTABLES? Realiza la siguiente operación: ( - ) - ( + ) PRIMERO. Se desarrolla el polinomio, aplicando los resultados de las igualdades notables. ( - ) - ( + ) = ( ) - ( ) SEGUNDO. Se quitan los paréntesis, teniendo en cuenta los signos. ( ) - ( ) = TERCERO. Se reduce el polinomio = Por tanto: ( - ) - ( + ) = Desarrolla y simplifica las siguientes epresiones. a) 5 + ( + ) ( - ) b) ( - ) - ( + + ) c) (5 + 5) - (5-5) d) ( - ) - ( + )? ( - ) e) ( + 6) - ( - 6) - ( - 5)? ( + 5) f) ( + ) - ( - ) + ( + )? ( + ) a) 5 + ( + ) ( - ) = = = b) ( - ) - ( + + ) = = - c) (5 + 5) - (5-5) = = 00 d) ( - ) - ( + )? ( - ) = = ( ) -?? + ( ) - [() - ] = = e) ( + 6) - ( - 6) - ( - 5)? ( + 5) = = = f) ( + ) - ( - ) + ( + )? ( + ) = = () +? + - [() -? + ] = = =

21 Polinomios 065 Epresa estos polinomios como el cuadrado de una suma o una diferencia. a) c) b) d) a)? +?? + = ( + ) b) 4? -? 4? + = (4 - ) c)? +?? = ( + 8) d)? +?? + = ( + ) 066 Epresa el área de cada figura mediante un polinomio. Simplifica su epresión. a) c) b) d) a) ( + 4) + = ( - )? ( + 5) 5 b) = - - c) ( + 5)? ( + ) - ( - ) = = ( +4) d)? = Escribe los polinomios como producto de dos factores. a) - 6 d) b) 4-6 e) 6-4y + 9y c) 4-5 f) a) ( + 4)? ( - 4) d) ( - ) b) ( + 6)? ( - 6) e) (4 - y) c) ( + 5)? ( - 5) f) (4 + ) 068 Fíjate en el ejemplo resuelto y completa. [( + ) + ]? [( + ) - ] = ( + ) - 9 a) [( - y) + 4]? [( - y) - 4] b) [(a + b) + c]? [(a + b) - c] a) ( - y) - 6 b) (a + b) - c 86

22 SOLUCIONARIO 069 Etrae factor común en estas epresiones. a) - 4 c) y - 6yz - 5yzt b) ( + ) + ( + ) d) a) ( - 4) c) y( - 6z - 5zt) b) ( + )? ( + ) = 4( + ) d) ( ) 070 Simplifica estas epresiones, aplicando las igualdades notables y etrayendo factor común. a) e) ( + 4)? ( - ) b) f) ( - 5)? ( + 5) c) - + g) (- - 7)? ( - 7) d) h) (- + 5)? (- - 5) a) 7( - + ) = 7( - ) b) 6( ) = 6( + ) c) ( - + ) = ( - ) d) ( ) = ( - ) e) ( + )? ( - ) = ( - 4) f) ( - 5)? ( + 5) = ( - 5) g) -( + 7)? ( - 7) = -( - 49) = 49 - h) ( - 5)? ( + 5) = HAZLO ASÍ CÓMO SE SIMPLIFICAN FRACCIONES ALGEBRAICAS? 4 ( y -y )? ( - + ) Simplifica. y ( - ) PRIMERO. Se descomponen el numerador y el denominador en tantos factores como sea posible. 4 ( y -y )? ( - + ) y ( y-)? ( - + ) = = y ( - ) y ( - ) F F Se saca factor común a y : y 4 - y = y (y - ) Cuadrado de una diferencia: - + = ( - ) y ( y-)? ( -) = y ( - ) SEGUNDO. Se dividen el numerador y el denominador entre los factores comunes a ambos. y? ( y-)? ( -) yy ( -)( -) =? y? ( - ) 87

23 Polinomios 07 Simplifica las fracciones algebraicas. a) b) + + c) ( + ) ( - 4) d) ( - ) a) b) c) d) ( + ) = + ( + ) ( + )? ( - ) = ( + ) ( - ) y ( - ) y ( - ) = ( - ) y ( ) ( - ) ( -9)( y -6) y( - 6)( y + 4) ( + )? ( - )? ( y+ 4)? ( y- 4) ( + )? ( y-4) = y( - )? ( y + 4) y( y + 4) 07 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. ( - 6) a) d) ( - ) ( + 4) 9-4 b) c) ( - 6+ ) ( - 6) ( - ) a) b) c) d) e) f) ( - 4)? ( + 4) = ( - 4) ( + 4) ( - 4) ( - 4) = ( - 4)? ( + 4) ( + 4) 8( - ) 9 ( - ) e) f) ( 6 + 8) 7-48 ( + )( -4) - 8( - )? ( + ) ( + ) = = 9 ( - ) ( + ) + = ( + )? ( -) - 4 ( + 4) = (+ 4)? (-4) ( + 4)? ( - 4) = ( + 4)? ( -4) 4 ( + 4) ( - 4) 074 Si P() tiene grado 5 y Q() tiene grado, determina, cuando sea posible, los grados de los polinomios: a) P() + Q() c) P()? Q() b) P() - Q() d) Cociente y resto de P() : Q(). Haz lo mismo si P() y Q() tienen grado 5. 88

24 SOLUCIONARIO a) Grado 5 b) Grado 5 c) Grado 7 = 5 + d) Cociente " Grado = 5 - Resto " Grado menor que Si P() y Q() tienen grado 5: a) No se puede saber, porque puede ocurrir que algunos de los términos se anulen en la suma, si los coeficientes son opuestos. b) No se puede saber, porque quizá algunos de los términos se anulen en la resta, si los coeficientes son opuestos. c) Grado 0 = d) Cociente " Grado 0 = 5-5 Resto " Grado menor que Estas sumas son cuadrados perfectos. + + = + + = = 9 A la vista de los resultados, sabrías determinar a qué cuadrado es igual la siguiente epresión? + ( + ) + ( + ) Verifica que tu igualdad es correcta. + ( + ) + ( + ) = [( + ) + ] Para demostrar esta fórmula, partimos del segundo miembro: [ ( + ) + ] = [ ( + )] + ( + ) + = = ( + ) + ( + ) + = = ( + ) = = ( + ) = = + ( + ) + ( + ) 076 Comprueba con algunos ejemplos que el producto de tres números enteros consecutivos, sumado con el número del medio, es siempre un cubo perfecto. Demuéstralo para cualesquiera tres números enteros consecutivos: -, y +. Ejemplos:?? 4 + = 7 = 4? 5? = 5 = 5 9? 0? + 0 = 000 = 0 ( - )?? ( + ) + = ( - ) + = 89

25 Polinomios 077 Siguiendo el método aplicado para hallar el desarrollo de las igualdades notables, averigua los desarrollos de: a) (a + b) b) (a - b) c) (a + b)? (a - b) d) (a - b) 4 a) (a + b) = (a + b)? (a + b) = (a + ab + b )? (a + b) = = a + a b + ab + a b + ab + b = = a + a b + ab + b b) (a - b) = (a - b)? (a - b) = (a - ab + b )? (a - b) = = a - a b + ab - a b + ab - b = = a - a b + ab - b c) (a + b)? (a - b) = [(a + b)? (a - b)]? [(a + b)? (a - b)] = = (a - b ) = [(a ) - a b + (b ) ] = = a 4 - a b + b 4 d) (a - b) 4 = (a - b)? (a - b) = (a - a b + ab - b )? (a - b) = = a 4 - a b + a b - ab - a b + a b - ab + b 4 = = a 4-4a b + 6a b - 4ab + b 4 PON A PRUEBA TUS CAPACIDADES 078 Una fábrica produce mesas elaboradas a mano. El dueño de la fábrica ha observado que los costes de fabricación por unidad varían ecesivamente dependiendo del número de mesas producidas. Además, ha llegado a la conclusión de que el coste total, en euros, de la producción de mesas, a partir de 0 unidades, viene dado por la fórmula: C() = ERES CAPAZ DE COMPRENDER a) Cuánto cuesta fabricar 0 mesas? Y mesas? Y 5 mesas? 90

26 SOLUCIONARIO ERES CAPAZ DE RESOLVER b) Si fabrico 40 mesas, cuánto cuesta producir cada unidad? c) Y si fabrico 0 mesas, cuánto cuesta producir cada unidad? ERES CAPAZ DE DECIDIR Me han hecho un pedido de 8 mesas y tengo dos opciones: Fabricar 8 mesas y venderlas al precio de catálogo: 700 por mesa. Ofrecer a mi cliente una oferta de 0 mesas a 640 cada una. d) Qué opción le reportará mayor beneficio? e) Crees que la fórmula vale para calcular el precio de fabricación de cualquier número de mesas? a) C(0) = 0 + 5? = cuesta fabricar 0 mesas. C() = + 5? = cuesta fabricar mesas. C(5) = 5 + 5? = cuesta fabricar 5 mesas. b) El coste de fabricación de 40 mesas es: C(40) = ? = y la unidad cuesta producirla: : 40 = 005 c) Fabricar 0 mesas cuesta: C(0) = 0 + 5? = 4 00 y la unidad cuesta producirla: 4 00 : 0 = 05 d) Fabricar 8 mesas cuesta: C(8) = 8 + 5? = 9 Los ingresos son: 700? 8 = Las ganancias son: = Fabricar de 0 mesas cuesta: C(0) = 0 + 5? = 4 00 Los ingresos son: 640? 0 = 800 Las ganancias son: = Obtiene mayor beneficio vendiendo 0 mesas a 640. e) La fórmula no es válida para valores pequeños (,, ) porque el precio por unidad sería muy caro. 9

27 Polinomios 079 EMBALAJES CARTILLA fabrica cajas de cartón para embalar. Tienen tres tipos diferentes de cajas y cada cliente puede elegir el formato y las dimensiones según sus necesidades. EMBALAJE CÚBICO EMBALAJE ALARGADO + 0 Todas las medidas están epresadas en centímetros y, por eigencias de producción y de resistencia del cartón, los valores de la variable tienen que ser mayores que 0 cm y menores que 50 cm. EMBALAJE TRADICIONAL ERES CAPAZ DE COMPRENDER a) Cuáles pueden ser las dimensiones mínimas y máimas de un embalaje cúbico? Y de un embalaje tradicional? ERES CAPAZ DE RESOLVER b) Epresa con un monomio la superficie de las caras del embalaje cúbico. Cuál será la epresión de la superficie de las caras del embalaje alargado? c) Utiliza un polinomio para epresar la cantidad de cartón que se necesita para fabricar cada embalaje. Si el precio del cartón es 0,0 /m, cuál será el precio del cartón necesario para fabricar 00 cajas de embalaje tradicional de cm? ERES CAPAZ DE DECIDIR d) Qué tipo de cajas será más barato para embalar tres esferas? a) Embalaje cúbico Mínimas: 0 cm 0 cm 0 cm Máimas: 50 cm 50 cm 50 cm Embalaje tradicional Mínimas: 0 cm 0 cm 40 cm Máimas: 00 cm 50 cm 0 cm 9

28 SOLUCIONARIO b) La superficie de las caras del embalaje cúbico es. El embalaje alargado tiene caras de superficie y 4 caras de superficie. c) Embalaje cúbico: 6 caras de superficie. S() = 6 Embalaje alargado: caras de superficie y 4 caras de superficie. S( ) = + = 4 Embalaje tradicional: caras de superficie, caras de superficie + 0 y caras de superficie S( ) = ( ) = = 0 " La superficie de cada caja con embalaje tradicional es: S(0) = 6? 0 + 0? 0 = cm " cm =,8 m Las 00 cajas tienen una superficie de: 00?,8 = 60 m, y un coste de: 60? 0,0 = 7,0. d) La medida del diámetro de la esfera no debe eceder de 50 cm. Si queremos que el embalaje sea individual, lo haremos en tres cajas cúbicas. Si queremos embalar las tres esferas juntas, sin que sobre espacio, usaremos el embalaje alargado. Y si queremos embalar las tres esferas juntas, y que sobre espacio, utilizaremos el embalaje tradicional. El embalaje más económico es el alargado. 9