CAPÍTULO 6 TEOREMAS ENERGÉTICOS

Transcripción

1 CPÍTULO 6 TEORES ENERGÉTICOS

2 L ENERGÍ ELÁSTIC EXPRESD EN UNCIÓN DE LS CRGS PLICDS Hasta ahoa, habíamos utlao la sguete epesó e la esa e eegía elástca: ( σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ ) ω Que, tegaa a lo lago e too el sólo, os popocoaba la eegía elástca almaceaa po éste. Poíamos epesa cha eegía e fucó e las cagas aplcaas al sólo o e fucó e los esplaametos que e él se pouce?

3 Supogamos que las cagas aplcaas al sólo cece, pogesvamete, ese ceo hasta su valo fal e ua maea cotua. E ese caso, el tabao W ealao po toas las cagas que actúa sobe el sólo queaía almaceao como eegía elástca e efomacó U e el sólo, po tato: U W

4 El tabao ealao po las cagas eteoes aplcaas a u sólo es la mta e la suma el poucto e chas cagas po los esplaametos e sus putos e aplcacó (e las eccó e las msmas, po supuesto). W Geometía s efoma Geometía efomaa S ete las cagas aplcaas estea algú mometo, bastaía co tee e cueta que: - oe se ea fuea se ebeía ec mometo - oe se ea esplaameto se ebeía ec go - oe se epesaa tabao (W, e el caso e fueas) se ebeía escb Wθ.

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6 EJEPLOS: P W/ P. θ W/.θ

7 ENERGÍ ELÁSTIC LCEND POR UN RR TRCCIÓN W o o E L U W E L L E L σ ε σ L

8 COEICIENTES DE INLUENCI Coseemos os putos el sólo sobe los que actúa, espectvamete, las cagas: Repesetemos po los vectoes esplaametos, e maea tal que: vecto esplaameto el puto cuao sólo actúa la caga: vecto esplaameto el puto cuao sólo actúa la caga:

9 S sobe el sólo actúa u sstema e cagas:,,... e los putos:,,, el vecto esplaameto total... e el puto seá: coefcete e flueca: poeccó el esplaameto que epemeta el puto, sobe la ecta e accó e cuao se aplca ua caga ua e el puto co la msma eccó seto que poeccó el vecto esplaameto el puto, segú la eccó e la fuea cuao actúa toas las cagas...

10 ÓRULS DE CLPEYRON Emle CLPEYRON ( ) W U... Como: W U Cabe ota epesó alteatva a la ateo s coseamos que, el sstema e ecuacoes: espeáamos las fueas:... k k k... m m m k W U

11 PRINCIPIO DE LOS TRJOS VIRTULES Se eoma esplaameto vtual e u puto a u esplaameto abtao, cocebo matemátcamete que o tee luga e la eala, peo que es geométca físcamete posble. El sstema al que se aplca este Pcpo ebe ecotase e equlbo Caso e ua patícula putual Jea aptste Le Ro D LEERT (77-783) P P esplaameto vtual 3 3 R 3 R k R Rk T R 0 3 como R 0, T 0

12 Caso e u sólo ígo fuea eteo aplcaa al sólo e el puto fuea teo que eece el puto sobe el k k R R R R O k k θ θ θ θ θ θ θ θ θ 0, R R R R T O et 0 0, 0 R θ θ θ 0 0 R R R

13 . W G? N N. W G? N N EJEPLO. G. G. G. G ( ) ( ) L G G et W W W T 0

14 Caso e u sólo efomable

15 Coseemos u sólo e equlbo bao la accó e u sstema e cagas, como se muesta e la fgua. E cualque puto geéco (Q) el sólo, el teso e tesoes vefcaá las ecuacoes e equlbo teo. Sea u los esplaametos, e los putos el sólo. u 5, u [ T ] Q u Sstema e fueas eales:, 3 u 3 Sstema e esplaametos eales: u u 7, 4 u 4 u 6 Sólo elástco e equlbo bao la accó e u sstema e fueas uas lgauas

16 Sometamos al sólo ateo a u seguo sstema e fueas vtuales como se muesta e la fgua. Sea u los esplaametos vtuales e los putos el sólo, los cuales o vola las cocoes e cotoo el sólo. 5 u Sstema e tesoes vtuales: Sstema e efomacoes vtuales: σ ε, u σ ε Q, 3 u 3 7 u 4 6 Sólo elástco e equlbo bao la accó e u sstema e fueas vtuales

17 Tabao ealao po las fueas eteoes eales: T Et u Eegía tea vtual almaceaa e el sólo: U v σ ε V Se puee emosta que, estos os tabaos vtuales so guales: T Et U Lógcamete, s el cuepo coseao fuese u sólo ígo: T Et U 0

18 De ua maea más fomalsta. f V f Ω [T], [D] u Campo e esplaametos vtuales (físcamete posbles) mpuestos al sólo: k se llega a: T U Et V V f V Vol f Ω Ω Ω ( σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ )Vol T Et U

19 Tabao vtual ealao po las fueas eales (po ua e volume e el cotoo) aplcaas al sólo cuao se le mpoe los esplaametos vtuales V f V Vol Ω f Ω Ω V ( σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ )Vol Tabao vtual e las tesoes teas caso e que el sólo sufea el campo e esplaametos vtuales supuesto (las compoetes e tesó so las que, ealmete, este eto el sólo, metas que las compoetes e efomacó ε, γ que apaece se euce el campo e esplaametos vtuales)

20 TEORE DE RECIPROCIDD DE XWELL-ETTI G P Q James Clek XWELL (83-879) SISTE I SISTE II E u sólo elástco, el tabao ealao po u sstema e cagas { } paa los esplaametos esultates e aplca oto sstema e cagas { G } stto es étco al tabao ealao po el sstema e cagas G paa los esplaametos esultates e aplca el sstema e cagas. q q { } { } Q P P Q q q q Sstema I Sstema II

21 EJEPLO DE PLICCIÓN DEL TEORE DE RECIPROCIDD Ua baa e logtu L se ecueta empotaa e su etemo someta, e foma epeete, a os sstemas e cagas feetes (Sstema Sstema ), tal como se epeseta e la fgua. Cuao actúa el sstema e cagas, las flechas (esplaametos vetcales, ) que epemeta los putos e la baa vee aos po la ecuacó (efea al sstema e ees e la fgua): ( L ) ( L ), oe C C es ua costate cooca. Detema la flecha el puto cuao actúa sobe la baa el sstema e cagas. Sstema Sstema L L/ L/ Sstema : flecha e el puto meo: Teoema e ecpoca: f II 3 f 5L I 8 C I 5L f 8C 3 f II 5L 8C 3

22 TEORES DE CSTIGLINO PRIER TEORE DE CSTIGLINO: Calo lbeto CSTIGLINO ( ) U ΣΣ ΣΣ k m m U La evaa e la eegía elástca especto e ua e las cagas aplcaas al sólo es gual a la poeccó el esplaameto el puto e aplcacó e la caga coseaa segú la eccó e la msma

23 SEGUNDO TEORE DE CSTIGLINO: U m k m m La evaa e la eegía elástca e u sólo especto el esplaameto e uo e los putos e los que actúa ua fuea, popocoa la compoete e cha fuea segú la eccó el esplaameto coseao

24 EJEPLO DE PLICCIÓN DEL SEGUNDO TEORE DE CSTIGLINO Sabeo que la eegía elástca almaceaa e la vga e la fgua toma el valo: EI U, [ ] 0, 3 0, etema el valo e la caga aplcaa e la seccó. P P m 3 m 6 m U EI [ 0, 3 0, 555 ] P (Ve Ec.())

25 TEORE DE ENRE (O DEL TRJO ÍNIO) L.. ENRE ( ) P C D E R C R D R E Las tes eaccoes hpeestátcas R C, R D R E puee calculase lbeao toas las coaccoes ecepto la e los apoos e e, po tato, esolveo la estuctua, a sostátca, e fucó e las tes eaccoes mecoaas. S calculásemos la eegía elástca U almaceaa e la pea (que esultaía se fucó e las tes eaccoes cógtas), poíamos aplca el pme teoema e Castglao teeo e cueta que, e la estuctua ogal, los putos C, D E o sufe esplaametos vetcales, po lo que: U RC U RD U RE Los valoes e las eaccoes hpeestátcas que actúa sobe u sólo hace míma su eegía elástca 0