Analogía para derivar un teorema extendido de Pitágoras para N dimensiones

Transcripción

1 Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, ISSN FI-UNM atículo abtado alogía paa deva u teoema exteddo de Ptágoas paa N dmesoes alogy to Deve a Exteded Pytagoea Teoem to N Dmesos costa-robledo J.U. Dvsó de Igeeía Mecáca e Idustal Facultad de Igeeía Uvesdad Nacoal utóoma de Méxco Coeo: ulses@gmal.com Ifomacó del atículo: ecbdo: mazo de, aceptado: febeo de Resume Este atículo demuesta que es posble extede el teoema de Ptágoas a N dmesoes. Esta demostacó se basa pcpalmete e el álgeba leal, sobe todo e el poducto vectoal e N dmesoes. Descptoes teoema de Ptágoas algeba leal aálss vectoal geometía alítca espacos vectoales matemátcas bstact Ts atcle demostates tat t s possble to exted te Pytagoea Teoem to N dmesos. Ts demostato s maly doe based o lea algeba, especally te vecto poduct of N dmesos. Keywods Pytagoea Teoem lea algeba vecto aalyss aalytc geomety vecto spaces matematcs

2 alogía paa deva u teoema exteddo de Ptágoas paa N dmesoes Itoduccó Uo de los teoemas más mpotates de la geometía, s o es que el más mpotate, es el teoema de Ptágoas. Este teoema es u legado acestal que a poddo pedua asta uestos días. Ptágoas acó e la sla gega de Samos, alededo del año 58 a.c. y muó alededo del 57 a.c. Fue o de u mecade feco establecdo e Saos, estudó co Pecedas, axmade y pobablemete co Tales. aó a Geca y a Feca, estudado tes años e Sdó, To y Babloa. Posteomete vaó a Egpto acedo escala e Hafa y vstado templos e el Mote Camel. Estudó años e Egpto y pemaecó 3 e Babloa al cae cautvo e su egeso a Samos. Cuado llegó a su cudad atal, Polycates le mpdó cotua sus estudos, así que vaó a Cotoa, al su de Itala y fudó su comudad cátca dedcada al estudo de la flosofía, las matemátcas y las cecas de la atualeza. Se dce que e esta comudad podía patcpa tato ombes como muees. l fal, el movmeto ptagóco pogesó, se popagó e fluyó e todos los campos de la socedad de aquella época. La comudad ptagóca llegó a su f po la oposcó de cetos úcleos de la olgaquía Cotoa. No se sabe s Ptágoas muó e la destuccó de su comudad, peo se sabe que Flolao, uo de sus dscípulos, sobevvó. Este se zo dueño de ga pate de la documetacó de la comudad. Posteomete la vuda de Flolao le vedó a Plató esta documetacó, co lo cual este flósofo se covtó e uo de los eedeos de Ptágoas. ctualmete muca de la sabduía ptagóca se a peddo e el tempo, y aú así a sdo la base de ga pate de la ceca y la tecología modea. Nuesto debe como eedeos de los gades maestos es oalos, apovecado y desaollado su legado paa el beesta de la umadad. Este atículo petede oa a Ptágoas y a ms maestos al desaolla ua geealzacó del teoema de Ptágoas paa N dmesoes. teomete se a ealzado tabaos e dode se expoe que este teoema se puede geealza a tes y cuato dmesoes Muay, 3. Este atículo va a segu los msmos pasos, peo se aá uso de ua ga eameta legado de ms maestos: el álgeba vectoal. Pcpalmete, la base es el poducto cuz de N dmesoes expuesto po Muay 4. La teoía básca es elatvamete smple. El teoema de Ptágoas ogalmete expoe que: El cuadado de la poteusa de u tágulo ectágulo es gual a la suma del cuadado de sus otos dos lados. Y H oa supogamos que cada uo de los lados del tágulo es u vecto. S es así, los vectoes y Y se defe de la sguete maea: [ ], Y [ Y ] El vecto H seía la esta de los vectoes y Y : H [ Y ] Hasta aoa o se a vsto ada uevo espectacula, peo e este mometo empezaemos a mosta paulatamete los secetos de este atículo. El paso sguete o paece muy mpesoate e dos dmesoes, peo su ga potecal se cemeta cofome las dmesoes aumeta. oa se obtedá u vecto pepedcula a cada vecto del tágulo, po medo del poducto vectoal e dos dmesoes como lo popoe Muay 3. Este vecto e dos dmesoes es de la msma logtud que el vecto ogal, lo que camba e más dmesoes, peo el vecto sgue sedo popocoal. ' det Y' det Y Y Y H' det Y Y Y Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, 75-84, ISSN FI-UNM

3 costa-robledo J.U. oa sólo esta obtee la magtud al cuadado de cada uo de estos últmos vectoes. Esto se faclta al obtee el poducto de cada vecto cosgo msmo. 5 [ ] [ ] ' ' ' Y ' Y ' Y ' Y Y Y [ ] [ ] ' H ' H ' [ Y ] [ Y ] H Y Como ', Y ' y H ' so de la msma magtud que, Y y H, espectvamete, llegamos a la coclusó que ya sabíamos: La suma del cuadado de los catetos es gual al cuadado de la poteusa. quí lo teesate es que este pocedmeto es aplcable desde dos asta N dmesoes. Y co ello podemos geealza el teoema de Ptágoas. 7 Demostacó Paa desolla la demostacó utlzamos el cálculo del áea de cada supefce po medo del poducto vectoal. El poducto vectoal ete dos vectoes da como esultado u vecto cuyo módulo es el doble del áea del tágulo defdo po esos vectoes. Como lo que os teesa es el áea al cuadado, la obteemos dvdedo el vecto ete dos y obteedo el poducto puto cosgo msmo: Desaollo Teoema de Ptágoas e tes dmesoes El teoema de Ptágoas e su foma ogal es aplcable a dos dmes oes, cua do se aplca a tes dmesoes el teoema se edefe de la sguete maea: El cuadado del áea del plao que se foma po u plao cotado po los plaos Y, YZ y Z es gual a la suma del cuadado de cada ua de las áeas que se foma po estos tes últmos plaos delmtadas po el pme plao. 9 sto lo ateo, el pocedmeto que se va a utlza paa la demostacó es el cálculo del áea al cuadado de la supefce delmtada po los plaos Y, YZ y Z. Posteomete, calculaemos el áea de las supefces al cuadado e los plaos Y, YZ y Z, y veemos s la suma de estas últmas áeas al cuadado es gual al áea del la pmea supefce. Cálculo del áea al cuadado de la pmea supefce Paa el cálculo del áea al cuadado de esta supefce pmeo ecestamos obtee dos vectoes que defa esta áea. Paa acelo se toma como ee el puto de cote del plao co el ee, y se le esta los putos de cote del plao e los ees Y y Z, co lo cual se obtee los dos vectoes buscados: xy yz zx 8 Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, 75-84, ISSN FI-UNM 77

4 alogía paa deva u teoema exteddo de Ptágoas paa N dmesoes Y [ ] [ Y ] [ ] [ ] [ Z] [ Z] Ya co estos vectoes pocedemos a obtee el poducto cuz: k det Y Z Y Y k Z Z 3 Pocedemos al cálculo del poducto cuz: k det Y Y Y k Y Y Yk Después obteemos el áea al cuadado: Y Y Y YZ Z Yk 4 Y 4 Y Paa obtee el áea al cuadado, dvdmos el vecto ete dos y obteemos el poducto puto cosgo msmo. Se puede ve claamete que la ecuacó es gual al últmo témo de la ecuacó. YZ Z Y Obtecó del áea al cuadado de la supefce e el plao YZ quí se ealza el msmo pocedmeto que paa la supefce ateo, peo e este caso los vectoes va a esta sobe los ees Y y Z. Obtecó del áea al cuadado de la supefce e el plao Y Paa el cálculo del áea e este plao se ace lo msmo que e el plao ateo, co la úca dfeeca de que los vectoes que defe esta supefce se ecueta sobe los ees y Y, y su magtud está defda po los putos de cote de estos ees co el plao que geea la pmea supefce. 78 Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, 75-84, ISSN FI-UNM

5 costa-robledo J.U. Cálculo del poducto cuz: k Y Y det Y k YZ Z Z Z YZ YZ Pocedemos a obtee el áea al cuadado: YZ YZ YZ 3 YZ 4 YZ 4 Se puede ve claamete que la ecuacó 4 es gual al pme témo de la ecuacó. Obtecó del áea al cuadado de la supefce e el plao Z quí se ealza el msmo pocedmeto que paa la supefces ateoes, peo e este caso los vectoes va a esta sobe los ees Z y. Se puede ve claamete que la ecuacó 8 es gual al témo estate de la ecuacó. Resultado Co las ecuacoes,, 4 y 8 de las subseccoes ateoes podemos coclu que la sguete ecuacó es ceta paa tes dmesoes: Y YZ Z Teoema de Ptágoas e cuato dmesoes 9 El caso tetadmesoal del teoema de Ptágoas es gual al caso e dos dmesoes. La úca dfeeca es que e vez de maea supefces detemadas po dos vectoes, se utlza volúmees detemados po tes vectoes. Paa este caso, vamos a supoe u plao e u espaco de cuato dmesoes que cota a los ees otogoales, Y, Z y. Estos últmos ees so los ees de efeeca e este espaco de cuato dmesoes, gual que los ees, Y y Z e tes dmesoes. Demostacó Paa la demostacó de este caso se sgue el msmo pocedmeto que se ealzó paa tes dmesoes, co la vaate de que los volúmees está defdos po tes vectoes y po lo tato, los po ductos cuz se ace co tes vectoes. Ota vaate es que e luga de dvd el vecto esultate ete dos, se dvde ete ses. 3 3 Cálculo del poducto cuz: 3 k Z Z det Z k 5 Z Z Z Pocedemos a obtee el áea al cuadado: Z 7 Z Z Cálculo del cuadado del pme volume Paa el cálculo del cuadado de este volume pmeo ecestamos obtee tes vectoes que lo defa. Paa ace esto tomamos como ee al puto de cote del plao co el ee y se esta los putos de cote del plao e los ees Y, Z y, co lo cual se obtee los vectoes buscados: Y Y 3 Z 4 Z 8 Z Z 33 Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, 75-84, ISSN FI-UNM 79

6 alogía paa deva u teoema exteddo de Ptágoas paa N dmesoes 3 34 Pocedemos al cálculo del poducto cuz: Ya co estos vectoes se pocede a obtee el poducto cuz: k l Y det 35 Z Y Z Z Y Y k l Z Z Y Z Z Yk Yl YZ Z Yk YZl Paa obtee el volume al cuadado, se dvde el vecto ete ses y se obtee el poducto puto cosgo msmo. 39 YZ det Y Z l Y YZ Z Z YZ Después se obtee el volume al cuadado: YZ YZ YZ YZ YZ Podemos ve claamete que la ecuacó 45 es gual al últmo témo de la ecuacó 4. Obtecó del cuadado del volume YZ k k Y l Y Z YZl quí se ealza el msmo pocedmeto que paa el volume ateo, peo e este caso los vectoes va a esta sobe los ees Y, Z y. Cálculo del poducto cuz: YZ Z 3 3 Y YZ YZ det Y k Z l Y Z 4 Obtecó del cuadado del volume YZ Paa el cálculo de este volume se ace lo msmo que e el paso ateo, co la úca dfeeca que los vectoes que defe este volume se ecueta sobe los ees, Y y Z, y su magtud está defda po los putos de cote e estos ees co el plao que geea la pmea supefce. YZ YZ Pocedemos a obtee el volume al cuadado: YZ YZ YZ Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, 75-84, ISSN FI-UNM

7 costa-robledo J.U. YZ YZ Se puede ve claamete que la ecuacó 49 es gual al pme témo de la ecuacó 4. Obtecó del cuadado del volume Z quí se ealza el msmo pocedmeto que paa el volume ateo, peo e este caso los vectoes va a esta sobe los ees Z, y. Cálculo del poducto cuz: Z Z Z Pocedemos a obtee el volume al cuadado: Z Z Z Z Z Podemos ve claamete que la ecuacó 53 es gual al segudo témo de la ecuacó 4. Obtecó del cuadado del volume Y quí se ealza el msmo pocedmeto que paa los volúmees ateoes, peo los vectoes va a esta sobe los ees, y Y. Cálculo del poducto cuz: k l det k Y Y Y Yk Y Pocedemos a obtee el volume al cuadado: Y det Y k Z l Y Z Y 57 Se puede ve claamete que la ecuacó 57 es gual al tece témo de la ecuacó 4. Resultado Co lo ateo, queda demostado que el teoema de Ptágoas es váldo paa cuato dmesoes. YZ YZ Z Y Teoema de Ptágoas paa N dmesoes 58 El teoema de Ptágoas se puede geealza a N dmesoes sguedo la msma lógca que paa cuato dmesoes. Sedo, e este caso, los volúmees de dmesó N. Demostacó Paa esta demostacó se ealzaá u pocedmeto smla al de tes y cuato dmesoes, co la vaate de que se va a tabaa e N dmesoes y co los volúmees defdos po N vectoes y po lo tato, los poductos cuz se ace co N vectoes. Ota vaate es que e luga de dvd el vecto esultate ete dos o ses, se dvde ete N Paa faclta el pocedmeto algebaco se susttuye N po e los cálculos de esta seccó po lo tato, la demostacó se va a ace paa N dmesoes. N 59 Los vectoes de poscó que defe los putos de cote de la supefce co cada uo de los ees e uesto espaco vectoal so los sguetes: [ ] [ ] [ ] 3 3 Y [ ] Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, 75-84, ISSN FI-UNM 8

8 alogía paa deva u teoema exteddo de Ptágoas paa N dmesoes Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, 75-84, ISSN FI-UNM 8 Cálculo del cuadado del pme volume Paa el cálculo del cuadado del pme volume se ealza el msmo pocedmeto que paa las dmesoes 3 y 4. Pmeo se obtee el poducto vectoal de los vectoes que defe el volume. Luego se obtee el volume al cuadado: 3 4 Obtecó del cuadado del pme volume Desde este puto vamos a utlza a como el ídce que dca qué columa de la matz de vectoes va tee úcamete ceos. quí vamos a obtee el pme volume fomado po los pmeos vectoes que dca los putos de cote de la supefce co los ees. Pmeo obteemos el poducto cuz de los pmeos vectoes. 5 Luego se obtee el volume al cuadado: E este caso podemos ve que la ecuacó 9 es smla al últmo elemeto de la ecuacó 4, sólo vaado e el sgo de los valoes de los elemetos teos de la sumatoa. Esta vaacó sólo ace que el témo e la ecuacó 4 que se ecuete e los paétess pueda se postvo o egatvo, peo al esta elevado al cuadado, páctcamete la ecuacó 9 es gual al últmo témo de la ecuacó 4 paa valoes que o cotega compoete magaa. Obtecó de los volúmees al atepeúltmo << Obteemos el poducto cuz: det det

9 83 costa-robledo J.U. Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, 75-84, ISSN FI-UNM 7 7 Pocedemos a obtee el volume al cuadado: S se suma los volúmees al cuadado desde el segudo asta el atepeúltmo, queda lo sguete: 75 E este caso podemos ve que la ecuacó 75 es gual al tece témo de la ecuacó 4 paa valoes que o cotega compoete magaa. Obtecó del cuadado del peúltmo volume Obteemos el poducto cuz: 7 77 Se obtee el volume al cuadado: E este caso podemos ve que la ecuacó 79 es gual al segudo témo de la ecuacó 4 paa valoes que o cotega compoete magaa. Obtecó del cuadado del últmo volume Se obtee el poducto cuz: 8 8 Pocedemos a obtee el volume al cuadado: 8 det < < det det

10 alogía paa deva u teoema exteddo de Ptágoas paa N dmesoes 83 E este caso se obesva que la ecuacó 83 es gual al pme témo de la ecuacó 4 paa valoes que o cotega compoete magaa. Resultado Co lo ateo se demuesta que el teoema de Ptágoas es váldo paa N dmesoes N, sempe y cuado, los putos de cote e los ees de la dmesó popuesta, o cotega compoete magaa. Coclusoes 84 Podemos dec que el teoema de Ptágoas es geealzable a N dmesoes de la sguete maea: Sedo u espaco de N dmesoes, se puede dec que el cuadado del volume de dmesó N- geeado po el cote de u plao N-dmesoal sobe los N ees otogoales, es gual a la suma de los cuadados de los volúmees de dmesó N- que esulta de las c ombacoes de los N vectoes de poscó que defe los putos de cote de los ees co dco plao, tomados de N- e N-. Es ecesao aclaa que lo ateo es vedad, sempe y cuado los cotes co los ees o cotega compoetes magaas. gadecmetos gadezco a ms pades, a ms acestos, a ms maestos, a ms gades maestos y a los gades maestos. Espeo oalos a todos ellos co este tabao y segulos oado e el futuo. Refeecas Muay-Lasso M.. Sobe el poducto cuz e espacos vectoales N-dmesoales. Igeeía Ivestgacó y Tecología. : Muay-Lasso M.. Sobe la aplcacó de la aalogía paa deva u teoema exteddo de Ptágoas paa el tetaedo. Educacó matemátca. 5: Bblogafía sugeda Kle F. Elemetay Matematcs fom a dvaced Stadpot, 3a ed., New Yok, Coue Dove Publcatos, 4, 44 p. Rcte S. Ptágoas [e líea] [feca de cosulta o de mazo ]. Dspoble e: <ttp:// Semblaza del auto Jesús Ulses costa-robledo. Es geeo cvl egesado de la Facultad de Igeeía de la Uvesdad Nacoal utóoma de Méxco. Es estudate de la maestía e plaeacó e la msma uvesdad. Ha sdo stucto de vaos cusos de softwae lbe y pogamacó po pate de la Dvsó de Igeeías Cvl y Geomátca de la Facultad de Igeeía de la UNM y po pate de vaos clubes estudatles de la msma Facultad. Ha tabaado como admstado de cómputo e la UNM y ealzado vaos desaollos paa la catva pvada, pcpalmete, sstemas sobe softwae lbe. 84 Igeeía Ivestgacó y Tecología. ol. III, Núm.,, 75-84, ISSN FI-UNM