Santiago de la Fuente Fernández. Regresión Lineal Múltiple

Transcripción

1 atago de la Fuete Feádez egesó Leal Múltple

2 atago de la Fuete Feádez egesó Leal Múltple

3 EGEIÓN LINEAL MÚLTIPLE egesó Leal Múltple Las téccas de egesó leal múltple pate de (k+) vaables cuattatvas, sedo Y la vaable de espuesta y,, L, ) las vaables eplcatvas. ( L k e tata de etede a las 'k' vaables las téccas de la egesó leal smple. E esta líea, la vaable Y se puede epesa medate ua fucó leal de las vaables,, L, ) ( L k Y β L + β + β + + βk k Paa ello, dspodemos de ua modelo de pobabldad (la Nomal). El estadístco fja los valoes de las vaables egesoas k y obtee 'al aza' los coespodetes valoes Y Modelo: Y β + β + β + L + βk k + U ea la muesta aleatoa: Y β + β + β + L + β + u (,, L,) K K Y ε N( β + β + β + L + β, σ ) depedetes, (,, L,) u ε N(, σ ) depedetes, (,, L,) k k E foma matcal: Y Y M M M M y M M L L L L L k k M M k β β M M β k + u u M M u Y β + U sedo ' matz del dseño'. Las hpótess comues ete las egesoes leal y múltple so: a) Nomaldad: u ε N(, σ ) b) Lealdad: E(u ) c) Homocedastcdad: Va(u ) d) Idepedeca: u so depedetes (,, L,) equstos adcoales de la egesó múltple: a) > k+. El modelo depede de (k+) paámetos. Paa que la egesó tega sgfcado debe habe u úmeo sufcete de datos. b) Ngua de las vaables eplcatvas es combacó leal de las otas (Colealdad). algua de las es combacó leal eacta de algua de las otas, el modelo puede smplfcase co meos vaables eplcatvas. També hay que cosdea s algua de las está fuetemete coelacoada co otas. atago de la Fuete Feádez

4 ETIMACIÓN DE LO PAÁMETO egesó Leal Múltple ea la muesta aleatoa: Y β + β + β + L + β + u (,, L,) K K E foma matcal: Y β + U sedo 'matz del dseño'. Datos Y K La ube de putos está e u espaco de dmesó (k+). Y k Y k M M M M M Es dfícl de vsualza paa k> [ '] ' Y ˆ β dode ' es la matz taspuesta del dseño Y k dode, ' M k M k k k k M, 'Y M Y Y ky Cada uo de los coefcetes β epeseta el efecto de la vaable depedete sobe la vaable eplcada. Es dec, el valo estmado ˆβ dca la vaacó que epemeta la vaable depedete cuado la vaable depedete vaía e ua udad y todas las demás pemaece costates. Cuado el modelo tee témo depedete, las matces ateoes se smplfca co las sguetes epesoes: ' M k M k k k M k, 'Y Y Y M ky [ βˆ + βˆ + βˆ + + βˆ ] u Y Ŷ Y L K K σ ˆ u k atago de la Fuete Feádez

5 egesó Leal Múltple E u pcpo, paa estma la vaaza del eo aleatoo U, paece azoable utlza la vaaza de los eoes de pedccó, també deomados esduos del modelo. Es dec, paece azoable utlza σˆ u. embago, este estmado es sesgado E(ˆ σ ) σ, po tato, se utlza como estmado u. k ˆ ) DEMOTACIÓN ( Y β + U β [ '] ' Y Y β + U. El coespodete modelo ajustado seá Ŷ β ˆ, co lo cual, Û Y Ŷ Y βˆ Deomado a la suma de los cuadados de los esduos: û Û' Û [ ] û û,û, L L,û û M û ( U ' matz taspuesta de U) ' Y βˆ Y βˆ Y'Y βˆ''y Y'β +βˆ''bˆ Y'Y βˆ''y βˆ''y +βˆ''bˆ Y'Y ˆ''Y β +βˆ'' u escala es gual a su taspuesto βˆ''y 'Yβˆ [ ] [ ] Bˆ Paa mmza se aplca el cteo mímo cuadátco, devado especto de βˆ : 'Y + 'Bˆ ϑβˆ 'Bˆ 'Y a [ '] ( ') Bˆ [ '] 'Y a Bˆ [ '] ' Y DITIBUCIÓN DE βˆ ˆ a) Las estmacoes de los paámetos vee dada po la epesó [ '] ' Y matz taspuesta del dseño). β (sedo ' la b) El vecto de obsevacoes Y se dstbuye segú ua omal multvaate de meda β y de matz de vaazas y covaazas σ I, es dec, Y N(β, σ I). c) βˆ es combacó leal de las compoetes del vecto Y, po lo que se dstbuye segú ua vaable aleatoa omal, dode su meda y matz de vaazas y covaazas seá: E(ˆ) β E [ '] ( 'Y) [ '] 'E(Y) [ '] 'β β βˆ es u estmado sesgado de β Va(ˆ) β Va [ '] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ' Y ' ' Va(Y) ' ' ' [ '] [ ' σ σ ] ( ) de dode, β ˆ N β, σ [ '] atago de la Fuete Feádez 3

6 egesó Leal Múltple Y Ŷ Y βˆ + βˆ + βˆ + L + βˆ Co el ajuste de mímos cuadados: u [ ] ˆ ( β, σ q ) β N +, +, dode q, + + so los elemetos de la dagoal pcpal [ ] K ' K. Aálogamete, la covaaza ete ˆβ y ˆβ seá j σ q +, + La estmacó de la vaaza esdual σ se hace medate compoba que el estmado es sesgado: E[ ] σ De foma que estmaemos la vaaza de ˆ N( β, σ q ) u k, pudédose β +, + medate q +, +. e demuesta que ( k ) σ χ k βˆ β e obtee N(,). σ q +, + Como la vaable t tudet co k gados de lbetad se defe: βˆ β σ q ˆ +, + β β esulta que, t t k ( k ) q+, + ( k ) σ t k N(,) χ k k d) CONTATE DE HIPÓTEI [t tudet] Nos plateamos s la vaable fluye sobe la vaable de espuesta Y. E otas palabas, s el valo del paámeto e la poblacó es ceo o o. Paa ello, se establece la hpótess ula H : β fete a la hpótess alteatva H : β. βˆ β βˆ El estadístco obsevado t, bajo la hpótess ula esulta, t q q +, + e acepta la hpótess ula H cuado estadístco epemetal βˆ q +, + estadístc teóco o α ; ( k ) +, t. E caso cotao, se echaza. > 3, se acepta la hpótess ula H cuado t. E caso cotao, se acepta la hpótess alteatva H, cocluyedo que la vaable ésma fluye e la espuesta. atago de la Fuete Feádez 4

7 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE COELACIÓN PACIAL egesó Leal Múltple E u modelo de egesó leal múltple, Y β + β + β + L + βk k, se puede calcula fáclmete el coefcete de coelacó pacal ete la vaable de espuesta Y y ua vaable egesoa, cotolado po el esto de vaables egesoas. Paa ello se utlza el cotaste dvdual de la t especto a la vaable, y que se defe como: t βˆ,,...,k, q+, + Obteédose la sguete elacó: t t + (k + ) YC dode C {,,...,,+,...,k } ídce ésmo. cojuto de ídces de todas las vaables egesoas ecepto el e) INTEVALO DE CONFIANZA DE LO PAÁMETO Las estmacoes de los paámetos vee dada po la epesó [ '] ' Y matz taspuesta del dseño). Po ota pate, β ˆ N ( β, σ q ) dode q, + +, + βˆ, dode la vaaza esdual ' + so los elemetos de la dagoal pcpal [ ] [ βˆ t ] IC α ( β ) ± α /, ( k ) q +, + ˆ β (sedo ' la σ se estma po. (y ŷ ) k, CONTATE DE HIPÓTEI INTEVALO DE CONFIANZA Hpótess ula H : Hpótess alteatva H : β β o fluye e Y fluye e Y e acepta la hpótess ula H, o fluye e Y, co u vel de cofaza ( α) cuado el ceo se ecueta e el tevalo de cofaza. E caso cotao, cuado el ceo o cae e el tevalo de cofaza, se acepta la hpótess alteatva H, y e cosecueca, fluye e Y. Este cotaste es equvalete al cotaste de la t tudet paa cada β atago de la Fuete Feádez 5

8 f) INTEVALO DE CONFIANZA PAA LA VAIANZA DE LO EIDUO egesó Leal Múltple ( k ) IC σ χα,( k ) ; ( k ) C χ α χ,( k ) α,( k ) ; C χ α,( k ) DECOMPOICIÓN DE LA VAIABILIDAD CT (Y Y) [ (Y Ŷ ) + (Ŷ Y) ] (Y Ŷ ) + (Ŷ Y) + (Y Ŷ ).(Ŷ Y) (Y Y) (Y Ŷ ) + (Ŷ Y) CT CE C suma cuadados total suma cuadados eplcada suma cuadados esdual ( ) gados lbetad k gados lbetad ( k ) gados lbetad (Y Y) (Y Ŷ ) + (Ŷ Y) (Y Ŷ ) (Y Y) 443 C/CT + (Ŷ Y) (Y Y) 443 CE/CT Ua vez estmado el modelo es coveete obtee ua medda aceca de la bodad del ajuste ealzado. U estadístco que faclta esta medda es el Coefcete de Detemacó ( ), que se defe: CE CT (Y Ŷ ) (Y Y) El Coefcete de Detemacó pemte, además, seleccoa ete modelos cláscos que tega el msmo úmeo de egesoes, ya que la capacdad eplcatva de u modelo es mayo cuato más elevado sea el valo que tome este coefcete. Po ota pate, el valo coefcete de detemacó cece co el úmeo de egesoes del modelo. Po ello, s los modelos que se compaa tee dstto úmeo de egesoes, o puede establecese compaacó ete sus. E este caso debe emplease el coefcete de detemacó coegdo, que depua el cemeto que epemeta el coefcete de detemacó cuado el úmeo de egesoes es mayo. C k CT k [ ] atago de la Fuete Feádez 6

9 ANÁLII DE LA VAIANZA: TABLA ANOVA egesó Leal Múltple Vaacó uma cuadados Gados lbetad Meda cuadátca F edeco Eplcada CE CE (Y Ŷ ) k k CE/k F esdual C C/( k ) C (Ŷ Y) k k Total CT (Y Y) CONTATE DE HIPÓTEI: Hpótess ula H : β β L L β el modelo o es eplcatvo k : almeos u Hpótess alteatva H β el modelo es eplcatvo A u vel de cofaza ( α) se echaza H s F F ; k,( k ) α F edeco COEFICIENTE DE DETEMINACIÓN El coefcete de detemacó se defe: De ota pate, la dstbucó F edeco: CE CT (Y Ŷ ) (Y Y) CE/k C/( k ) CE CT k CT C k k C k CT CT CE CT k k F k k k k a F k k EUMEN DE CONTATE Cotaste Cojuto Cotastes Idvduales F edeco t tudet Coclusó Modelo eplcatvo Todas las so eplcatvas Tomamos todas las Modelo eplcatvo Alguas so eplcatvas Nos quedamos co las eplcatvas Modelo eplcatvo Ngua es eplcatva Posble Multcolealdad (evsa el Modelo) Modelo o eplcatvo Todas las so eplcatvas Posble Multcolealdad (evsa el Modelo) Modelo o eplcatvo Alguas so eplcatvas Posble Multcolealdad (evsa el Modelo) Modelo o eplcatvo Ngua es eplcatva El Modelo o eplca Y atago de la Fuete Feádez

10 PEDICCIÓN EN EL MODELO DE EGEIÓN egesó Leal Múltple Ua vez estmado y valdado el Modelo, ua de sus aplcacoes más mpotates cosste e pode ealza pedccoes aceca del valo que tomaía la vaable depedete e el futuo o paa ua udad etamuestal. Esta pedccó se puede ealza tato paa u valo dvdual como paa u valo medo, o espeado, de la vaable depedete, sedo posble efectua ua pedccó putual o po tevalos. u cálculo se ealza medate las sguetes epesoes: Itevalo de cofaza paa u valo medo de Y paa los valoes (,, L L, k) de las vaables eplcatvas. Ŷ ˆ ˆ ˆ β + β + β + L + βk K ˆ IC E(Y ) Ŷ ± t α /, ( k ) ( L k) (') M Itevalo de cofaza paa u valo dvdual de Y paa los valoes (,, L L, k) de las vaables eplcatvas. K IC Y Ŷ ± t α /, ( k ) + ( L k ) (') M K MATIZ DE COVAIANZA La matz de vaazas covaazas se defe: σy VC y y σ σ y y Los coefcetes ( β ˆ, β ˆ ) vee dados, espectvamete, co sgo egatvo ( ), po el cocete de los adjutos, ) ete el adjuto de σ y : ( VC ˆ β VCy VC ˆ β βˆ Y βˆ ˆ β VCy σ dode, VCy σ y y VCy VC y y σ y σ atago de la Fuete Feádez 8

11 Coefcete de detemacó múltple: σ CV y C yy egesó Leal Múltple Coefcetes de coelacó pacal: VC y VC yy VC VC σ σ VC σ VC. VC VC yy VC. VC VC yy VC MATIZ DE COELACIONE La matz de coelacoes de las vaables eplcatvas está fomada po los coefcetes de coelacó leal smple: y σy σ y dode y y σy σ Coefcetes de coelacó pacal:.. ( ( )( )( ) ) + Coefcete de detemacó múltple: atago de la Fuete Feádez 9

12 egesó Leal Múltple Ejecco. e petede estma los gastos e almetacó de ua famla e base a la fomacó que popocoa las vaables egesoas 'gesos mesuales y 'úmeo de membos de la famla'. Paa ello se ecoge ua muesta aleatoa smple de 5 famlas, cuyos esultados se faclta e la tabla adjuta. (El gasto e geso se epesa e ce ml euos). Gasto Almetacó Igesos Tamaño,43, 3,3, 4,3,9 5,46,6 4,5 6, 4,44,3 3,5,8 6,9, 5,9 8,9 3,35,4,35, 4,8 4, 3,43 3,5,4,9 3,38,4 4 olucó: E foma matcal:, β [ '] ' Y Y β + U ˆ, dode ' matz taspuesta,43,3,3,46,5,44,5 Y,9 β + U,9,35,35,8,43,4,38,,,9,6 6,,3,8 8,9,4, 4, 3,5,9, β β β + u u u 3 Aplcado el cteo de los mímos cuadados odaos MCO, la fucó que mejo se ajusta a los datos es la que mmza la vaaza del eo U, lo que colleva a u sstema de ecuacoes omales: atago de la Fuete Feádez

13 ecuacoes omales MCO Y Nβ +β +β Y β +β +β Y β +β +β egesó Leal Múltple Co estos datos, se obtee: 5 Y,43, 3 4,4 9 6,3,93,9,3, 4, 6 4,4,34,4,3,9 5,8 5 4,5,88,6,46,6 4,56 6 6,4,36,84,5 6, 4 38,44 6 4,8,5 5,44,3 3 5,9 9 6,9,,3,5,8 6 3,4 36,8,936 3,, ,9,45,9 8,9 3 9, 9 6,,48 3,8,35,4 5,6 4 4,8,84,,35, 4,44 6 4,8,4,4,8 4, 3,9 9 4, 3,666,34,43 3,5,5 4,55,86,4,9 3 8,4 9 8,,363,4,38,4 4,96 6 5,6,53,5 Y 8, , ,8 Y 5 Y 3,63 Y 5 Y 8,96 co lo cual, 5 Y Nβ 5 5 +β Y β 5 Y β 5 5 +β +β +β β 5 +β 5 4β + 55β 5β + 4β + 55β 8, 88,8β + 4,8β 3,63 + 4,8β + 9β 8,96 e foma matcal, ' ' Y ˆ β 8, β,36,9,8 8, 4 88,8 4,8 β ˆ 3,63 β,9,6,3 3, ,8 9 ˆ 8,96,8,3,6 8,96 β β [ '] βˆ βˆ βˆ,6,49 Y,6 +,49 +, + esduo (Modelo egesó leal), atago de la Fuete Feádez

14 A pat de la ecuacó Y,43 ;, ; egesó Leal Múltple Ŷ βˆ + βˆ + βˆ se obtee las pedccoes y esduos asocados u Y Ŷ a las obsevacoes muestales. De este modo, paa la pmea obsevacó ( 3 ), se tee: Y,6 +,49 (,) +, (3),3839 u Y Ŷ,43,3839,46 E esta líea, cosdeado todos los putos muestales, se obtee: Pedccoes: Ŷ esduos: u Y Ŷ u (Y Ŷ,3839,46,,39,,,359,39,5,3864,4,54,8,8,38,43,6,,5,5,5,34,84,,39,,5,356,,,368,3,5,3,9,,555,86,3,53,33,,3566,3,5 5 (Y ) Ŷ ), de dode, la suma de cuadados EIDUAL, es dec, la vaabldad de Y especto a la ecta ajustada seá: C 5 (Y Ŷ ), C,,6 5,6,5 INTEVALO DE CONFIANZA PAAMÉTO DEL MODELO ( α), 9 Itevalo de cofaza paa la vaaza k 5,6, χ,5,,6 χ,95, IC ( k ) ( k ) C C,, ; ; ;,6 5,6 σ χα χ,( k ),( k ) χ χ α α,( k ) α,( k ),34 σ,38 ( ) La vaaza de los estmadoes del modelo ˆ N β, σ [ '] Va(ˆ β ) σ [ '] [ '] (,6) q β : +, + elemeto de [ ' ] ,36,6,6 atago de la Fuete Feádez 5,6 [,34 ;,38] q +, ,86,96,4

15 egesó Leal Múltple de dode se deduce, Va( β),86 σβ,86,93 Va( β),96 σβ,96,98 Va( β),4 σ β,4, Itevalo de cofaza paa los paámetos: ( β ) [ βˆ t ] IC α ( β ) IC + α ± α /, ( k ) q +, βˆ ˆ,49 ˆ,6 β β, t,5,,8 [,6 ± (,8),86 ] [,3 ;, ] [,49 ± (,8),96 ] [,35;,665] IC α ( β ) (Igeso) [, ± (,8),4 ] [,44 ;,6 ] IC α ( β ) (Tamaño) Cotaste de Hpótess dvdual paa (tamaño famla) Nos plateamos s la vaable (tamaño) fluye sobe la vaable de espuesta Y (gastos). E otas palabas, s el valo del paámeto e la poblacó es ceo o o. Paa ello, se establece la hpótess ula H : β fete a la hpótess alteatva H : β. βˆ β βˆ El estadístco obsevado t, bajo la hpótess ula esulta: t q33 q33 Po tato, βˆ, q33 (,5),4,55 t,5,,8 βˆ, El estadístco epemetal t 49, 6 q,55 33 edo t > t,5, se echaza la hpótess ula, afmado, co u 9% de fabldad, que el úmeo de membos de la famla fluye e los gastos de almetacó. * Obsévese que e el Itevalo de Cofaza paa : IC α ( β ),44 ;,6 el ceo o se ecueta e el tevalo, co lo que se echaza la hpótess ula H : β, cocluyedo que el úmeo de membos de la famla (tamaño) s fluye e los gastos de almetacó (Y). β [ ] atago de la Fuete Feádez 3

16 MODELO LINEAL DE EGEIÓN MÚLTIPLE: HEAMIENTA DE OFTWAE egesó Leal Múltple ECEL Y LA EGEIÓN MÚLTIPLE e puede utlza el aálss de la egesó leal múltple paa estma el gasto de famlas e almetacó (Y) basádose e las vaables 'Igesos mesuales' y 'úmeo de membos de la famla'. Ecel dspoe de aálss de egesó paa ajusta el modelo de egesó múltple, smultáeamete popocoa las estmacoes de los paámetos, la cotastacó dvdual, y el aálss de los esduos. E el meú Heametas, teemos el dálogo Aálss de datos, dode elegmos egesó, obteédose u cuado de dálogo que pemte ealza u ajuste paa la egesó múltple. Los Campos de Etada tee las fucoaldades: ago Y de etada: Itoduc la efeeca coespodete al ago de datos depedetes. El ago debe esta fomado po ua úca columa. ago de etada: Itoduc la efeeca coespodete al ago de datos depedetes. Ecel odeaá las vaables depedetes de este ago e ode ascedete de zqueda a deecha. El úmeo mámo de vaables depedetes es 6. atago de la Fuete Feádez 4

17 egesó Leal Múltple ótulos: Actva esta caslla cuado la pmea fla o la pmea columa del ago (o agos) de etada tee ótulos. No actva e el caso de que el ago de etada caezca de ótulos. Ecel geea los ótulos de datos coespodetes paa la tabla de esultados. Nvel de cofaza: Actva esta paa clu más veles de cofaza e la tabla de esúmees de esultados. Itoduc el vel de cofaza a aplca además del vel pedetemado del 95%. Costate gual a ceo: Actva esta caslla paa que la líea de egesó pase po el oge. ago de salda: Itoduc la efeeca coespodete a la celda supeo zqueda de la tabla de esultados. Deja po lo meos sete columas dspobles paa la tabla de esultados sumaos, dode apaece: tabla de aálss, úmeo obsevacoes, coefcetes, eo típco del poóstco Y, valoes de y eo típco de coefcetes. E ua hoja ueva: Hace clc e esta opcó paa seta ua hoja ueva e el lbo actual y pega los esultados, comezado po la celda A de la ueva hoja de cálculo. Paa da u ombe a la ueva hoja de cálculo, aotalo e el cuado. E u lbo uevo: Hace clc paa cea u uevo lbo y pega los esultados e ua hoja ueva del lbo ceado. desea copoa la opcó gáfca tee que teclea esta opcó. esduos: Actva esta caslla paa clu los esduos e la tabla de esultados. esduos estádaes: Actva esta caslla paa clu esduos estádaes e la tabla de esultados de esduos. Gáfcos de esduos: actva esta caslla se geea u gáfco po cada vaable depedete fete al esduo. Cuva de egesó ajustada: actva esta caslla se geea u gáfco co los valoes poostcados fete a los valoes obsevados. Tazado de pobabldad omal: Actvado esta caslla se geea u gáfco co pobabldad omal. Falmete, co las opcoes actvadas e la fgua ateo, e la tabla de esultados apaece los estadístcos de egesó, cuado de aálss de la vaaza del modelo, estmadoes, cotastes de sgfcacó de F edeco y de t tudet co sus p valoes asocados, tevalos de cofaza paa los paámetos y paa las pedccoes al 9% y 95%, y esduos. atago de la Fuete Feádez 5

18 egesó Leal Múltple La sguete fgua peseta el gáfco de cada vaable depedete (, ) cota los esduos, lo que se utlza paa detecta el poblema de o lealdad, heteoscedastcdad, y autocoelacó e el modelo del ajuste. Lo mejo es que todas las gáfcas pesete ua estuctua aleatoa de putos. La fgua adjuta peseta el gáfco paa detecta la hpótess de omaldad e el modelo. La gáfca deal es la dagoal del pme cuadate. atago de la Fuete Feádez 6

19 egesó Leal Múltple Las sguetes gáfcas vsualza cada vaable depedete cota los valoes pedchos, lo que sve paa detecta poblemas de heteoscedastcdad. Lo deal es que todas las gáfcas pesete ua estuctua aleatoa de putos. P Y LA EGEIÓN MÚLTIPLE Co datos toducdos e P, tetamos ajusta u modelo medate Mímos Cuadados Odaos (MCO). Paa ello, se elge e el Meú Aalza / egesó / Leal, como se dca e la fgua adjuta. E el cuado de la egesó leal se toduce la vaable depedete (Y) y las vaables depedetes gesos () y tamaño famla (). E el botó [Opcoes]: atago de la Fuete Feádez

20 egesó Leal Múltple E las opcoes [Estadístcos y Gáfcos], se pocede como apaece e las seleccoes adjutas. E el botó [Gáfcos] se seleccoa esduos cota valoes pedchos. Al pulsa Acepta se obtee el ajuste del modelo. E el Vso de PP, el ajuste del Modelo: especto a la autocoelacó, el estadístco de Dub Watso de, o deja clao la peseca o o de autocoelacó: (u u DW u ) ( ρ) DW DW DW 4 s ρ s ρ s ρ El aálss de la vaaza dca que el modelo de egesó es sgfcatvo (p valo apomadamete ceo, F, 3,4, p valo <,). Po tato, se echaza la hpótess ula de que la vaabldad obsevada e la vaable espuesta sea eplcada po el aza, admtedo que hay algú tpo de asocacó ete la vaable depedete y las depedetes. atago de la Fuete Feádez 8

21 El Modelo estmado seía: Y,6 +,49 +, egesó Leal Múltple E la fgua del hstogama de los esduos se obseva que se ajusta be a ua dstbucó omal. E la fgua se peseta el gáfco de omaldad que se ajusta muy be a la dagoal del pme cuadate. E el gáfco de esduos tpfcados cota valoes pedchos este dudas sobe la aleatoedad poque los putos se coceta sguedo ectas paalelas, lo que pemte vslumba poblemas de heteoscedastcdad. atago de la Fuete Feádez 9

22 ANÁLII DE LA VAIANZA: TABLA ANOVA egesó Leal Múltple Descomposcó de la vaabldad: (Y Y) (Y Ŷ ) + (Ŷ Y) CT CE C suma cuadados total suma cuadados eplcada suma cuadados esdual ( ) gados lbetad k gados lbetad ( k ) gados lbetad Vaacó uma de Cuadados G. lbetad Meda cuadátca F edeco Eplcada CE (Ŷ Y), esdual C 5 (Y Ŷ ), Total CT (Y Y), CE, 69 5 C, CT, 3 5 CE/ F 3,8 C/(5 ) Cálculos Y Y Y) ( Ŷ u (Y Ŷ ) ( Ŷ Y),43,664,3839,,3,3,5984,39,,5,3,454,359,5,3,46,684,3864,54,3,5,56944,8,38,849,44,964,43,,55,5,34,5,5,,9,654,34,,69,9,56554,39,5,38,35,35344,356,,34,35,35344,368,5,446,8,58564,3,,544,43,664,555,3,5,4,464,53,,,38,4964,3566,5, Y 8, CT (Y Y),436 C (Y Ŷ ), CE (Ŷ Y),3646 A u vel de cofaza ( α) se echaza la hpótess ula, H : β β (el modelo o es eplcatvo), cuado Fk, ( k ) Fα ; k,( k ) CE/ F C/(5 ), 3,8 > 3,8853 F,5;, Así, pues, se echaza la hpótess ula, el cotaste cojuto de la F edeco dca claamete la flueca del modelo e la vaable espuesta. atago de la Fuete Feádez

23 Cálculo de los coefcetes de coelacó (múltple y smple) egesó Leal Múltple Estmado el modelo es coveete obtee ua medda aceca de la bodad del ajuste ealzado. U estadístco que faclta esta medda es el Coefcete de Detemacó ( ), que se defe: (Y Ŷ ) CE,3595, 9496 CT (Y Y),436 Coefcete de Coelacó múltple:,9496, 945 Coefcete de Detemacó coegdo po el úmeo de gados de lbetad C k,6,943 CT,3 Coefcete de Coelacó múltple coegdo:,943, 9 Coefcete de coelacó smple ete las vaables (Gasto, Igeso): Cov(Gasto,Igeso) ρ(gasto,igeso),944 σ σ Gasto Igeso També se puede calcula el coefcete de detemacó de la egesó (Gasto, Igeso). La tabla ANOVA del modelo seá: CE,,888 CT,43 ρ( Gasto,Igeso),888,944 Cov(Gasto, Tamaño) Aálogamete, ρ(gasto, Tamaño), 6 σ σ Gasto Tamaño Coefcetes de Coelacó pacal: Coefcete de coelacó smple ete (Gasto, Igeso): ρ( Gasto,Igeso), 94 atago de la Fuete Feádez

24 egesó Leal Múltple Coefcete coelacó pacal ete vaables (Gasto, Igeso): ρ( Gasto,Igeso; Tamaño), 94 βˆ,49 medate la epesó: tgeso 5, 5.q,96 +, + El coefcete de detemacó, tgeso 5,5 (Gasto,Igeso;Tamaño), 9496 t + (k + ) 5,5 + Coefcete de coelacó. Este coefcete mde la elacó ete las vaables Gasto e Igeso lbes de la flueca de la vaable Tamaño. geso Aálogamete, el Coefcete coelacó pacal ete las vaables (Gasto, Tamaño): ρ( Gasto, Tamaño;Igeso),4 Estmacó de la meda codcoada upogamos que se tata de estma el gasto medo de ua famla co uos gesos de teta ml euos ( 3) co cuato membos famlaes ( 4) Aplcado el modelo de egesó: Ŷ,6 +,49(3) +,(4), 595 IC E(Y ) Ŷ ± t α /, ( k ) ( ) (') IC (,595) ± (,8)(,5) ( 3,36 4),9,8,9,6,3,8,3,6 3 4 E(Y ),6,5 t,5;, 8 α, 9 [,55;,633] 5 ' ,8 4,8 55 4,8 9 [ '],36,9,8,9,6,3,8,3,6,36,9,8 ( 3 4),9,6,3 3,8,3,6 4 4 (,44,8,5) 3, 8 atago de la Fuete Feádez

25 Ejecco. Patedo de la fomacó: egesó Leal Múltple y j j j (a) Estma el modelo de egesó (b) Obtee ua medda de fabldad del ajuste leal (c) Qué pate de la vaabldad de Y queda eplcada a tavés del plao de egesó? (d) Calcula los coefcetes de coelacó leal smple (a) E foma matcal:, β [ '] ' Y Y β + U ˆ, dode matz taspuesta β + Y U β β β + u u u 3 Los coefcetes β estmados bajo la codcó mímo cuadátca, vee dados po: β [ '] ' Y [ '] ' atago de la Fuete Feádez 3

26 egesó Leal Múltple Advétase que cuado la matz es sgula, es dec, cuado ', o este matz vesa y, E cosecueca, las estmacoes de los coefcetes β queda detemadas. Esto ocue poque este multcolealdad ete y, esto es, que este ua elacó leal ete estas vaables. Paa ello se calcula la egesó de sobe y su coespodete coefcete de coelacó leal seá [ '] Adj [ '] 45 Adj [ '] ,9 53,8 96,698,8,63,55,698,55,48 De ota pate, [ 'Y] β β β β [ '] 'Y , , ,6 El modelo de egesó seá: y,3+,93,6 També se podía habe ealzado teedo e cueta las ecuacoes omales mímo cuadátcas: Y Nβ +β +β ecuacoes omales MCO Y β +β +β Y β +β +β Co estos datos, se obtee: atago de la Fuete Feádez 4

27 Tabla I Y Y Y egesó Leal Múltple Y co lo cual, Y Nβ +β Y β Y β +β +β +β +β +β β + 6 β + 9 β 6 β + 54 β + 45 β β + 45 β + 4 β 6 e foma matcal, ' ' Y ˆ 6 9 β β ˆ β β ˆ β β [ '] βˆ βˆ βˆ,3,93,6,3+,93,6 esduo (Modelo egesó leal) Y + (b) La fabldad del ajuste se efleja medate A pat de la ecuacó u Y Ŷ a las obsevacoes muestales. coefcete de detemacó leal: Ŷ βˆ + βˆ + βˆ se obtee las pedccoes y esduos asocados De este modo, paa la pmea obsevacó ( ; ; ), se tee: Y Ŷ,3+,93 (),6 (),9 u Y Ŷ,9, E esta líea, cosdeado todos los putos muestales, se obtee: atago de la Fuete Feádez 5

28 egesó Leal Múltple Y Ŷ u Y Ŷ Y) ( Y u (Y Ŷ ) ( Ŷ Y),9, 8,44 84,84 3,,8 49 3,4,44 4 4,4,4 36,6 3,36 6,34,34 6,956,56 8,94,94 9 3,636,36,4,4 5,6 5,6 5,8,9 5 4,96, ,34,66 36,4356 8, ,54,54 64,96,936 8,8,,44,44 46,66 394,3666 CT (Y Y) 46 C Ŷ ),66 (Y CE (Ŷ Y) 394,3666 (Y Ŷ ) CE 394,3666,948 coefcete de detemacó leal CT (Y Y) 46 Coefcete de detemacó leal coegdo po el úmeo de gados de lbetad C k,66/,933 CT 46/9 (c) La pate de vaabldad coteda e Y que queda eplcada po el método es pecsamete,948 94,8%, que es sufcetemete alta. (d) Paa calcula los coefcetes de coelacó leal smple, se ecue a la tabla I, paa calcula medas, vaazas y covaazas y 46 σ y 4, 6 y y y N N , σ 6,, N N σ 9, 4 N 9 y 843 y y (6,).,3 N m y 6 y y 9.,9 N m 45 (6,).9 5,3 N m N atago de la Fuete Feádez 6

29 egesó Leal Múltple Los coefcetes de coelacó leal smple seá: y my σ σ y,3,96 4,6,96 y my σ σ y,9,4 4,6,96 m σ σ 5,3,96,4,94 Páctca e P E el Vso de P, se efleja los esultados: atago de la Fuete Feádez

30 egesó Leal Múltple Ejecco 3. El geete de ua empesa estuda las posbles elacoes ete beefcos auales, gastos e publcdad auales y hoas etaodaas auales de los empleados. Paa ello utlza datos, de estas tes vaables, popocoadas po alguas empesas del secto. e desea sabe: Beefcos (mlloes) Gastos Publcdad (mlloes),3,3 4 3,5,5 9,8, 6 3,,5 3,3, 8 4 3, 8 Hoas etas ( hoas) a) Matz de vaazas covaazas. b) Matz de coelacó. c) Qué pocetaje de la vaaza de los beefcos eplcaía ua fucó leal de los gastos e publcdad? d) Qué pocetaje de la vaaza de los beefcos eplcaía ua fucó leal de las hoas etaodaas auales de los empleados? e) Establece ua elacó leal que eplque aualmete los beefcos medate los gastos e publcdad y hoas etas. f) Halla el coefcete de coelacó múltple. Qué pocetaje de la vaaza de beefcos queda eplcado po el modelo leal obtedo e el apatado ateo? g) ua empesa desta 9. euos a publcdad y sus empleados ealza 5 hoas etaodaas al año, cuál seía la estmacó de los beefcos de dcha empesa? h) Coefcetes de coelacó pacal de beefcos co gastos e publcdad y de beefcos co hoas etas de los empleados. g) Coefcete de coelacó múltple. atago de la Fuete Feádez 8

31 egesó Leal Múltple a) La matz de vaazas covaazas vee defda: σy VC y y σ σ y y Y Y Y Y,3,3 4,69,9 6,39 5,, 3,5,5 9,5,5 8 5,5 3,5 3,5,8, 6,84,49 36,96 6,8 4, 3,,5 9, 56,5 3,3,5 8,5 3,3, 8,89, ,96 6,4 9, , 8 3, ,4 9,6 6,6 8,8 49,5,36 3,48 366,5 3,6 6 66,5 Tabla opeacoes y,6 y y,36 3,85 σ y 3,85, N N 6 y 8,8 3,48,5 σ,5, N N ,5 366,5,4 σ,4, N N 36 y 3,6 y (3,86).(,5),4438 N y 6 y (3,86).(,4),369 N 66,5 (,5).(,4),646 N E cosecueca, la matz de vaazas covaazas:,6 VC,4438,369,4438,3454,646,369,646,36 b) La matz de coelacoes de las vaables eplcatvas está fomada po los coefcetes de coelacó leal smple: y y dode y y,4438,369,9, σ σ,6,3454,6, σ σ y atago de la Fuete Feádez 9 y

32 ,646 σ σ,3454,36,4 egesó Leal Múltple Po tato, la matz de las coelacoes seá:,9,836,9,4,836,4 NOTA. E la egesó leal múltple suge el poblema de que esta ua coelacó leal smple pefecta ete dos (o más vaables) eplcatvas, ya que esto mplca que ua (o más) columa(s) de la matz de obsevacoes so combacó leal de ota(s), co lo que el ago de esta matz se educe. E u pcpo el ago de [ '] es p (úmeo de vaables eplcatvas), peo s este algua combacó leal ete las columas de, etoces el ago es meo que p, co lo que el detemate de ', lo que mpde calcula la matz vesa [ '], y e cosecueca el vecto de coefcetes [ '] ' Y β queda detemado. Aalzado la matz de las coelacoes se decde s este o o multcolealdad: í a Este multcolealdad í a Este cuas multcolealdad o multcolealdad mpefecta E caso de multcolealdad se equee modfca el modelo o ealza algú tpo de tasfomacó que la elme. c) e equee halla el coefcete de detemacó ete ( Y, ) :,9, 84 Es dec, el 84,% de la vaaza de los beefcos (Y) queda eplcado po ua fucó leal del gasto e publcdad ) ( d) e equee halla el coefcete de detemacó ete ( Y, ) :,836, 6899 Es dec, el 68,99% de la vaaza de los beefcos (Y) queda eplcado po ua fucó leal de las hoas etas de los empleados ) ( e) Hay que detema el plao de egesó de los beefcos (Y) sobe el gasto e publcdad ( ) y las hoas etas de los empleados ) Ŷ βˆ + βˆ ( + βˆ e tee como efeeca la matz de las vaazas covaazas: σy VC y y σ σ,6,4438,369,4438,3454,646,369,646,36 atago de la Fuete Feádez 3

33 egesó Leal Múltple Los coefcetes ( β ˆ, β ˆ ), espectvamete, co sgo egatvo ( ), vee dados po el cocete de los adjutos, ) ete el adjuto de σ y : ( VC ˆ β VCy VC ˆ β βˆ Y βˆ ˆ β VCy,4438,646,4438,3454,369,36,358 β ˆ ( ),936,3454,646,386,369,646,4 β ˆ ( ), 866,3454,646,386,646,36,646,36 βˆ ˆ ˆ Y β β 3,85 (,936)(,5) (,866)(,4),5895 La ecuacó del plao de egesó es: Y,5895+,936 +,866 Ota foma de efoca la stuacó, desde la Tabla de opeacoes, medate las ecuacoes MCO: co lo cual, β β Nβ +β +β Y +β +β Y +β +β Y β + 8,8 β + 49,5 β,6 8,8 β + 3,48 β + 66,5 β 3,6 49,5 β + 66,5 β + 366,5 β 6 e foma matcal, ' ' Y ˆ 8,8 49,5 β,6 β 3,668,68,685,6 8,8 3,48 66,5 ˆ 3,6,68,8648,4 β β 3,6 49,5 66,5 366,5 ˆ 6,685,4,89 6 β β βˆ,5895 βˆ,936 Y,5895 +,936 +,866 (Modelo egesó leal) βˆ,866 Co el modelo de egesó, a pat de la ecuacó, Y,5895+,936 +,866, se obtee las pedccoes y esduos asocados u Y Ŷ a las obsevacoes muestales. De este modo, paa la pmea obsevacó (,3 ;,3 ; 4 ), se tee: [ ' ] Y Ŷ,5895+,936 (,3) +,866 (4),66 u Y Ŷ,3,66,36 atago de la Fuete Feádez 3

34 Cosdeado todos los putos muestales, se obtee: Y Ŷ u Y Ŷ Y) ( Y u (Y Ŷ ) ( Ŷ Y),3,3 4,66,36 3,88,3,58 3,5,5 9 3,69,9,6,99,3448,8, 6,3643,435,86,898,54 3,,5 3,86,86,3,3,45 3,3, 8 3,55,945,459,89,44 4 3,6,33,8359,54,465 3, 8 3,9543,543,34,64,545,6 8,8 49,5 4,86,449 4,66 (Y Ŷ ) CE 4,66,95 coefcete de detemacó leal CT (Y Y) 4,86 C,449, k 4 vaaza esdual egesó Leal Múltple CT (Y Y) 4,86 C (Y Ŷ ),449 CE (Ŷ Y) 4,66 Coefcete de detemacó leal coegdo po el úmeo de gados de lbetad C k,449/ 4,853 CT 4,86/6 h) El coefcete de coelacó pacal ete los Beefcos (Y) y el Gasto e Publcdad ( ) se puede obtee medate la epesó:. VC VC yy VC VC j so los adjutos de la matz de las vaazas covaazas: σy VC y y σ σ,6,4438,369,4438,3454,646,369,646,36 VC,4438,369,646,36,358,3454,646,6,369 VC yy,386 VC, 4833,646,36,369,36 VC,358 El coefcete de coelacó pacal ete Y e :, 833. VC VC (,386)(,4833) yy atago de la Fuete Feádez 3

35 egesó Leal Múltple El coefcete de coelacó pacal ete los Beefcos (Y) y el Gasto e Publcdad ( ) se puede obtee també medate la epesó:. ( )( ) Dode los j so los elemetos de la matz de coelacoes smples de la vaable eplcatva y y,9,836,9,4,836,4,9 (,836)(,4) co lo cual,., 833 ( )( ) (,836 )(,4 ),836 (,9)(,4) Aálogamete,., 63 ( )( ) (,9 )(,4 ) També, los Coefcetes de coelacó pacal se calcula medate la epesó: t βˆ.q +, + t (Y, ; ) t + (k + ) coefcete de detemacó pacal se teía: t βˆ,936 gastos _ publ.q (,) (,8648) +, + El coefcete de detemacó pacal: 3,5 gasto _ publ. (Beefcos,Gastos_Publ;Hoas etas) t gasto _ publ 3,5 + (k + ) 3,5 + 4 El coefcete de coelacó pacal: (Beefcos,Gastos_Publ;Hoas etas),6933,833. βˆ,866 Aálogamete, thoas _ etas, 553.q (,) (,89) +, +,6933 atago de la Fuete Feádez 33 t

36 egesó Leal Múltple El coefcete de detemacó pacal: thoas _ etas,553. (Beefcos,Hoas etas;gastos_publ),365 t + (k + ), El coefcete de coelacó pacal: hoas _ etas (Beefcos,Hoas etas; Gastos_Publ),365,633. f) El Coefcete de coelacó múltple vee defdo po: σ CV y C yy + matz de vaazas covaazas: σy VC y y σ σ,6,4438,369,4438,3454,646,369,646,36,6,4438,369,3454,646 CV,4438,3454,646,45 VC yy, 386,646,36,369,646,36 CV,45,95, o be, σ C (,6)(,386) y yy +,9 +,836.,9.,836.,4,4,95 atago de la Fuete Feádez 34

37 egesó Leal Múltple Guía Páctca e P Estmacoes Ofece las estmacoes de los coefcetes de egesó pacal o estadazados (B) y estadazados (Beta), juto co las puebas de sgfcacó dvduales paa cotasta las hpótess de que el valo poblacoal de esos coefcetes es ceo. E la columa ecabezada po [Coefcetes o estadazados] se ecueta los coefcetes β que foma pate de la ecuacó e putuacoes dectas: Beefcos,59 +,936 (Gastos_Publcdad) +,8 (Hoas _ etas) Estos coefcetes o estadazados se tepeta e los témos ya coocdos. eñala que estos coefcetes o so depedetes ete sí. De hecho, ecbe el ombe de coefcetes e egesó pacal poque el valo coceto estmado paa coefcete se ajusta teedo e cueta la peseca del esto de vaables depedetes. Covee, po tato, tepetalos co cautela. El sgo del coefcete de egesó pacal de ua vaable puede o se el msmo que el del coefcete de coelacó smple ete esa vaable y la depedete. Esto se poduce a los ajustes que se lleva a cabo paa obtee la mejo ecuacó posble. Auque este dfeetes eplcacoes paa justfca el cambo de sgo de u coefcete de egesó, ua de las que debe atago de la Fuete Feádez 35

38 egesó Leal Múltple de se más seamete cosdeadas es la que se efee a la peseca de u alto gado de asocacó ete algua de las vaables depedetes (Colealdad). Los Coefcetes Beta está basados e las putuacoes típcas y, po tato, so dectamete compaables ete sí. Idca la catdad de cambo, e putuacoes típcas, que se poducá e la vaable depedete po cada cambo de ua udad e la coespodete vaable depedete (mateedo costates el esto de vaables depedetes). Estos coefcetes popocoa ua psta muy útl sobe la mpotaca elatva de cada vaable depedete e la ecuacó de egesó. E geeal, ua vaable tee tato más peso (mpotaca) e la ecuacó de egesó cuato mayo (e valo absoluto) es su coefcete de egesó estadazado. Obsevado los coefcetes Beta del ejecco, la vaable Gastos_Publcdad es la más mpotate. Puebas de sgfcacó Las puebas t y sus veles cítcos (últmas dos columas de la tabla) sve paa cotasta la hpótess ula de que u coefcete de egesó vale e la poblacó. Nveles cítcos (g) muy pequeños (geealmete meoes que,5) dca que debemos echaza la hpótess ula. U coefcete de ceo dca auseca de elacó leal, de modo que los coefcetes sgfcatvamete dsttos de ceo foma sobe qué vaables so elevates e la ecuacó de egesó. Obsevado el vel cítco asocado a cada pueba t, las dos vaables utlzadas (Gastos_Publcdad, Hoas_etas) tee coefcetes sgfcatvamete dsttos de ceo (e todas, g<,5). Po tato, las dos vaables depedetes cotbuye sgfcatvamete a eplca lo que ocue co la vaable depedete (Beefcos). Ajuste del modelo Muesta el coefcete de coelacó múltple, su cuadado coegdo y o coegdo, y el eo típco de los esduos. També cluye la tabla esume de ANOVA, que cotee al estadístco F de Fshe edeco paa cotasta la hpótess ula de que el coefcete de coelacó múltple,95 coefcete detemacó múltple,95 coefcete detemacó múltple coegdo El estadístco F cotasta la hpótess ula de que el valo poblacoal de es ceo. E cosecueca, pemte decd s este elacó leal sgfcatva ete la vaable depedete y el cojuto de vaables depedetes tomadas jutas. El valo de u vel cítco (g <,5) dca que este elacó leal sgfcatva, pudedo afma que el hpeplao defdo po la ecuacó de egesó ofece u bue ajuste a la ube de putos. atago de la Fuete Feádez 36

39 E este caso, CE C CT (Ŷ Y) (Y Ŷ ) (Y Y) 4,6,448 4,9 gl k gl k 4 gl 6 egesó Leal Múltple (Y Ŷ ) CE 4,6,95 coefcete de detemacó múltple CT (Y Y) 4,9 C,448, k 4 vaaza esdual C k,448/4,85 coefcete de detemacó múltple coegdo CT 4,9/6 CE k 4,6/ F 9,3 C k,448/4 estadístco obsevado F de Fshe edeco Advétase la elacó ete el coefcete de detemacó múltple y el estadístco F: k,95 9,3 k (,95) F H : β β Cotaste de la Hpótess ula e echaza H s F F α ;k,( k ) 9,3 > 6,9443 F,5;,4 Itevalos de cofaza tuados e la tabla [Coefcetes de egesó], pemtedo que además de obtee ua estmacó putual de los coefcetes de egesó pacal, se pueda obtee el tevalo de cofaza paa estos coefcetes. Estos tevalos foma sobe los límtes e que se ecueta el valo poblacoal de cada coefcete. Los límtes se obtee sumado y estado,96 (P tabaja po defecto co u vel de sgfcacó,95) eoes típcos al valo del coespodete coefcete de egesó. Ua ampltud gade e los tevalos de cofaza dca que las estmacoes obtedas so poco pecsas y, pobablemete, estables (coas que puede ocu, po ejemplo, cuado este poblemas de colealdad). atago de la Fuete Feádez 3

40 egesó Leal Múltple Matz de covaazas Muesta ua matz co las covaazas y coelacoes estetes ete los coefcetes de egesó pacal. Descptvos Ofece la meda y la desvacó típca de cada vaable y el úmeo de casos utlzados e el aálss. Además, ofece la matz de coelacoes ete el cojuto de vaables utlzadas e el aálss, E la matz de coelacoes, cada coefcete de coelacó apaece acompañado de su coespodete vel cítco (que pemte decd sobe la hpótess de que el coefcete de coelacó vale e la poblacó) y del úmeo de casos sobe el que se ha calculado cada coefcete. Lógcamete, e la dagoal de la matz de coelacoes apaece uos, pues la elacó ete ua vaable y ella msma es pefecta. atago de la Fuete Feádez 38

41 egesó Leal Múltple Coelacoes pacal y sempacal Esta opcó pemte obtee los coefcetes de coelacó pacal y sempacal ete la vaable depedete y cada vaable depedete U coefcete de coelacó pacal epesa el gado de elacó estete ete dos vaables tas elma de ambas el efecto debdo a teceas vaables. Es dec, los coefcetes de coelacó pacal epesa el gado de elacó estete ete cada vaable depedete y la vaable depedete tas elma de ambas el efecto debdo al esto de vaables depedetes cludas e la ecuacó. U coefcete de coelacó sempacal epesa el gado de elacó estete ete dos vaables tas elma de ua de ellas el efecto debdo a teceas vaables. Es dec, estos coefcetes epesa el gado de elacó estete ete la vaable depedete y la pate de cada vaable depedete que o está eplcada po el esto de vaables depedetes. Co los coefcetes de coelacó pacal y sempacal, apaece las coelacoes de ode ceo, es dec, los coefcetes de coelacó calculados s tee e cueta la peseca de teceas vaables (se tata de los msmos coefcetes que apaece e la tabla ateo de coelacoes). Compaado ete sí estos coefcetes (de ode ceo, pacal y sempacal), puede ecotase pautas de elacó teesates: E los datos de la tabla se obseva, po ejemplo: La elacó ete la vaable depedete Beefcos y la vaable depedete Gastos_Publctaos vale,9. Al elma de las vaables (Beefcos, Gastos_Publctaos) el efecto atbuble a las Hoas_etas, la elacó baja a,833 (pacal). Cuado el efecto atbuble a Hoas_etas se elma sólo de la vaable Beefcos, la elacó baja a,464 (sempacal). Aálss que dca que la elacó ete las vaables (Beefcos, Hoas_etas) tee mucho meo peso e la elacó. Colealdad Este ua colealdad pefecta cuado ua de las vaables depedetes se elacoa de foma pefectamete leal co ua o más del esto de las vaables depedetes de la ecuacó. e dce que este ua colealdad pacal, o smplemete, colealdad, cuado ete las vaables depedetes de ua ecuacó este coelacoes altas. atago de la Fuete Feádez 39

42 egesó Leal Múltple La colealdad es u poblema, poque e el caso de colealdad pefecta, o es posble estma los coefcetes de la ecuacó de egesó; y e el caso de colealdad pacal, aumeta el tamaño de los esduos tpfcados y esto poduce coefcetes de egesó muy estables (pequeños cambos e los datos, como quta o añad u caso, poduce cambos muy gades e los coefcetes de egesó). Esta es ua de las azoes de ecotase co coefcetes co sgo cambado: <coelacoes postvas puede tasfomase e coefcetes de egesó egatvos (cluso sgfcatvamete egatvos)>. Cuosamete, la medda de ajuste o se altea po la peseca de colealdad, peo los efectos atbudos a las vaables depedetes puede se egañosos. Al evalua la esteca o o de colealdad, la dfcultad estba e detema cuál es el gado mámo de elacó pemsble ete las vaables depedetes. obe esta cuestó o este u coseso geealzado, auque puede sev de guía la peseca de dcos que se puede ecota e los esultados de u aálss de egesó (auque estos dcos puede tee su oge e otas causas): El estadístco F que evalúa el ajuste geeal de la ecuacó de egesó es sgfcatvo, peo o lo es guo de los coefcetes de egesó pacal. Los coefcetes de egesó pacal estadazados (coefcetes Beta) está flados tato e postvo como e egatvo (al msmo tempo, adopta valoes mayoes que y meoes que ) Este valoes de toleaca pequeños (pómos a,). La toleaca de ua vaable depedete es la popocó de vaaza de esa vaable que o está asocada (que o depede) del esto de vaables depedetes cludas e la ecuacó. Po ejemplo, ua vaable co ua toleaca de, es ua vaable que compate el 99% de su vaaza co el esto de vaables depedetes, lo que sgfca que se tata de ua vaable edudate cas po completo. Los coefcetes de coelacó estmados so muy gades (po ecma de,9 e valo absoluto). P ofece la posbldad de obtee alguos estadístcos que puede ayuda a dagostca la peseca de colealdad. e tata de estadístcos oetatvos que, auque puede sev de ayuda paa detema s este mayo o meo gado de colealdad, o pemte toma ua decsó claa sobe la peseca o o de colealdad. Los estadístcos de colealdad se ecoge e la tabla de coefcetes de egesó pacal ya aalzada ateomete, peo ahoa cotee fomacó adcoal sobe los veles de toleaca y sus vesos (FIV). El vel de toleaca de ua vaable se obtee estado a el coefcete de detemacó múltple ( ) que esulta al egesa esa vaable sobe el esto de vaables depedetes. Valoes de toleaca muy pequeños dca que esa vaable puede se eplcada po ua combacó leal del esto de vaables, lo que sgfca que este colealdad. atago de la Fuete Feádez 4

43 egesó Leal Múltple Los factoes de flacó de la vaaza (FIV) so los vesos de los veles de toleaca. ecbe este ombe poque so utlzados e el cálculo de las vaazas de los coefcetes de egesó. Cuato mayo es el FIV de ua vaable, mayo es la vaaza del coespodete coefcete de egesó. De ahí, que uo de los poblemas de la peseca de colealdad (toleacas pequeñas, FIVs gades) sea la establdad de las estmacoes de los coefcetes de egesó. La sguete tabla del Vso de P muesta la solucó esultate de aplca u aálss de compoetes pcpales a la matz estadazada o cetada de poductos cuzados de las vaables depedetes: Los Autovaloes foma sobe cuátas dmesoes o factoes dfeetes subyace e el cojuto de vaables depedetes utlzadas. La peseca de vaos autovaloes pómos a ceo dca que las vaables depedetes está muy elacoadas ete sí (colealdad). E este caso, o este el poblema. Los Ídces de codcó so la aíz cuadada del cocete ete el autovalo más gade (,889) y cada uo del esto de los autovaloes (po ejemplo,,889,9 5, 453 ). E codcoes de o colealdad, estos ídces o debe supea el valo de 5. Ídces mayoes que 5 dca u posble poblema, ídces mayoes que 3 foma de u seo poblema de colealdad. Las Popocoes de la vaaza ecoge la popocó de vaaza de cada coefcete de egesó pacal que está eplcada po cada dmesó o facto. E codcoes de o colealdad, cada dmesó (facto) suele eplca ga pate de la vaaza de u solo coefcete (ecepto e lo que se efee al coefcete β o costate, que sempe apaece asocado a uo de los otos coefcetes. E el ejecco, el témo costate apaece asocado a las Hoas_etas. La Colealdad es u poblema cuado ua dmesó o facto co u Ídce de codcó alto, cotbuye a eplca ga pate de la vaaza de los coefcetes de dos o más vaables. Cuado e u cojuto de datos se detecta la peseca de colealdad, hay que aplca algú tpo de actuacó: (a) Aumeta el tamaño de la muesta (es útl cuado este pocos casos e elacó co el úmeo de vaables). (b) Cea dcadoes múltples combado vaables (pomedado vaables, efectuado u aálss de compoetes pcpales paa educ las vaables a u cojuto de compoetes depedetes y aplca después el aálss de egesó sobe esos compoetes. (c) Eclu vaables edudates (vaables que coelacoa muy alto co otas), quedado co las que se cosdea más mpotates. (d) Utlza ua técca de estmacó sesgada, como la egesó dge. atago de la Fuete Feádez 4

44 esduos: Dub Watso egesó Leal Múltple El aálss de los esduos popocoa fomacó cucal sobe el cumplmeto de vaos supuestos del modelo de egesó leal: depedeca, homocedastcdad, omaldad y lealdad. El estadístco de Dub Watso (95) popocoa fomacó sobe el gado de depedeca estete ete ellos: (u u DW u ) ( ρ) DW DW DW 4 s s s ρ ρ ρ El estadístco de Dub Watso oscla ete y 4, toma el valo cuado los esduos so depedetes. Los valoes meoes que dca autocoelacó postva y los mayoes que autocoelacó egatva. e puede asum depedeca ete los esduos cuado,5 DW, 5 DW,933, valo que se ecueta ete,5 y,5, se puede asum que los esduos so depedetes. Dagóstcos po caso Valoes atípcos a más de... Co esta opcó, P dca los valoes que poduce u eo gade, cocetamete a más de veces la desvacó típca de la vaable esduos. E este caso, s toducmos o 3 desvacoes típcas o se obtee gú valo atípco (pudea ocu que al poe,5 desvacoes típcas, sí estea). La foma de pocede es seleccoa [Cambo e ] y [Valoes atípcos a más de...], el Modelo dca el úmeo de pasos dados paa costu el modelo de egesó (pasos que sea). També dca s e alguo de los pasos se ha elmado algua vaable pevamete seleccoada; e el ejemplo que os ocupa o se elma gua vaable. La tabla ecoge el valo de e cada paso, el cambo epemetado po e cada paso, y el estadístco F y su sgfcacó. El estadístco F pemte cotasta la hpótess de que el cambo e vale ceo e la poblacó. Al seleccoa la pmea vaable (Modelo ), el valo de es,95. Lógcamete, e el pme paso,. Al cotasta la hpótess de que el valo poblacoal de es ceo se obtee cambo atago de la Fuete Feádez 4 cambo

45 egesó Leal Múltple u estadístco F de 9,3 que, co y 4 gados de lbetad, tee ua pobabldad asocada de,9 (como este valo es meo que,5), pudedo afma que la popocó de vaaza eplcada po la vaable Gastos_Publcdad (vaable seleccoada e el pme paso) es sgfcatvamete dstta de ceo. Las vaables que apaece pemte obtee dsttos gáfcos de dspesó. Las vaables peceddas po u astesco so vaables ceadas po P. Todas las vaables puede cease e la opcó [Guada] macado las opcoes petetes del ecuado DEPENDNT: Vaable depedete de la ecuacó de egesó. ZPED (poóstcos tpfcados): poóstcos dvddos po su desvacó típca. o poóstcos tasfomados e putuacoes z (meda ceo y desvacó típca ) ZEID (esduos tpfcados): esduos dvddos po su desvacó típca. El tamaño de cada esduo tpfcado dca el úmeo de desvacoes típcas que se aleja de su meda, de modo que, s está omalmete dstbudos (cosa que se asume e el aálss de egesó). El 95% de estos esduos se ecotaá e el ago [,96,,96], lo que pemte detfca fáclmete casos co esduos gades. atago de la Fuete Feádez 43

46 egesó Leal Múltple DEID (esduos elmados o coegdos): esduos obtedos al efectua los poóstcos elmado de la ecuacó de egesó el caso sobe el que se efectúa el poóstco. El esduo coespodete a cada caso se obtee a pat del poóstco efectuado co ua ecuacó de egesó e la que o se ha cludo ese caso. o muy útles paa detecta putos de flueca (casos co ga peso e la ecuacó de egesó). ADJPED (poóstcos coegdos): poóstcos efectuados co ua ecuacó de egesó e la que o se cluye el caso poostcado (ve esduos elmados o coegdos). Dfeecas mpotates ete PED y ADJPED delata la peseca de putos de flueca (casos co ga peso e la ecuacó de egesó). EID (esduos estudetzados): esduos dvddos po su desvacó típca, basada ésta e cómo de pómo se ecueta u caso a su(s) medas(s) e la(s) vaable(s) depedete(s). Al gual que ocue e los esduos estadazados (a los que se paece mucho), los estudetzados está escalados e udades de desvacó típca. e dstbuye segú el modelo de pobabldad t tudet co ( p ) gados de lbetad (p se efee al úmeo de vaables depedetes). Co muestas gades, apomadamete el 95% de estos esduos debeía ecotase e el ago [, ]. DEID (esduos coegdos estudetzados): esduos coegdos dvddos po su desvacó típca. Útles també paa detecta putos de flueca. Alguas de estas vaables pemte detecta putos de flueca, peo, ete todas, hay dos vaables (ZPED, ZEID) cuyo dagama de dspesó foma sobe el supuesto de homocedastcdad o gualdad de vaazas. El supuesto de gualdad de vaazas mplca que la vaacó de los esduos debe de se ufome e todo el ago de valoes poostcados. O, lo que es lo msmo, que el tamaño de los esduos es depedete del tamaño de los poóstcos, de dode se despede que el dagama de dspesó o debe mosta gua pauta de asocacó ete los esduos y los poóstcos. Paa obtee u dagama de dspesó co las vaables (ZPED, ZEID): E el dagama de dspesó se obseva que auque los esduos y los poóstcos paece se depedetes (la ube de putos o sgue gua pauta de asocacó claa, leal de gú oto tpo), o está clao que las vaazas sea homogéeas. Más be, paece que a medda que va aumetado el valo de los poóstcos va dsmuyedo la dspesó de los esduos. atago de la Fuete Feádez 44

47 egesó Leal Múltple Los poóstcos meoes que la meda (co putuacó típca po debajo de ceo) está más cocetados que los poóstcos mayoes que la meda (co putuacó típca mayo que ceo). Cuado u dagama de dspesó delata la peseca de vaazas heteogéeas, puede utlzase ua tasfomacó de la vaable depedete paa esolve el poblema (tal como ua tasfomacó logaítmca o ua tasfomacó aíz cuadada). No obstate, al utlza ua tasfomacó de la vaable depedete, debe cudase el poblema de tepetacó que añade el cambo de escala. El dagama de dspesó de las vaables (ZPED, ZEID) posee la utldad adcoal de pemt detecta elacoes de tpo o leal ete las vaables. Cuado la elacó es o leal, el dagama puede cotee dcos sobe oto tpo de fucó de ajuste (los esduos estadazados podía e luga de esta homogéeamete dspesos segu u tazado cuvlíeo). Nomaldad El ecuado de Gáfcos de los esduos tpfcados cotee dos opcoes que foma sobe el gado e que los esduos tpfcados se apoma a ua dstbucó omal: Hstogama y Gáfco de pobabldad omal. HITOGAMA: Ofece u hstogama de los esduos tpfcados co ua cuva omal supepuesta. La cuva se costuye tomado ua meda de ceo y ua desvacó típca de uo. Es dec, la msma meda y la msma desvacó típca que los esduos típcos tpfcados. E el hstogama del ejecco se obseva que la pate cetal acumula más casos de los que este e ua cuva omal. La dstbucó es algo asmétca a la deecha. La dstbucó de los esduos o paece segu el modelo de pobabldad omal, de modo que los esultados del aálss debe de tepetase co cautela. GÁFICO DE LO EIDUO TIPIFICADO. Pemte obtee u dagama de pobabldad omal. E el eje de abscsas esta epesetada la pobabldad acumulada que coespode a cada esduo tpfcado. El de odeadas epeseta la pobabldad acumulada teóca que coespode a cada desvacó típca e ua cuva omal N(, ). atago de la Fuete Feádez 45

48 egesó Leal Múltple Los putos o se ecueta aleados sobe la dagoal del gáfco, dcado el posble cumplmeto del supuesto de omaldad. E el Gáfco de valoes obsevados fete a los pedchos (DEPENDNT, ZPED), los valoes se debe alea e la dagoal del cuadate, s hubea mucha dspesó, mplcaía que o se vefca las hpótess de homocedastcdad. E este caso este gualdad de vaazas. eleccoado la opcó Geea todos los gáfcos pacales, P muesta la gáfca de la vaable depedete fete a todas las vaables depedetes, compobado s este lealdad ete las vaables. Obsevado los gáfcos, se podía maga u compotameto leal. atago de la Fuete Feádez 46

49 egesó Leal Múltple Pulsado el botó [Guada] se abe u abaco de opcoes. Todos los casos cotbuye a la obtecó de la ecta de egesó, peo o todos lo hace co la msma fueza. Los putos de flueca so casos que afecta de foma mpotate al valo de la ecuacó de egesó. La peseca de putos de flueca o tee po qué costtu u poblema e egesó, de hecho lo omal es que e u aálss de egesó o todos los casos tega la msma mpotaca (desde el puto de vsta estadístco). No obstate, el aalsta debe de se coscete de tales putos, poque, ete otas cosas, podía tatase de casos co valoes eóeos. edo coscetes de s este o o putos de flueca es posble coeg el aálss. e maca todas las opcoes de los ecuados Dstacas y Estadístcos de flueca (todas estas opcoes cea vaables uevas e el achvo de datos). Dstacas Este ecuado ecoge tes meddas que epesa el gado e que cada caso se aleja de los demás. Mahalaobs. Mde el gado de dstacameto de cada caso especto de los pomedos del cojuto de vaables depedetes. E egesó smple, esta dstaca se obtee elevado al cuadado la putuacó típca de cada caso e la vaable depedete. E egesó múltple se obtee multplcado po ( ) el valo de flueca de cada caso. Cook. Mde el cambo que se poduce e las estmacoes de los coefcetes de egesó al elmado cada caso de la ecuacó de egesó. Ua dstaca de Cook gade dca que ese caso tee u peso cosdeable e la estmacó de los coefcetes de egesó. Paa evalua estas dstacas puede utlzase la dstbucó F co (p+) y ( p ) gados de lbetad, dode p es el úmeo de vaables depedetes y el tamaño de la muesta. E geeal, u caso co ua dstaca de Cook supeo a debe de se evsado. Valoes de flueca. epeseta ua medda de la flueca potecal de cada caso. especto a las vaables depedetes, u valo de flueca es ua medda omalzada del gado de dstacameto de u puto del ceto de su dstbucó. Los putos muy alejados puede flu de foma muy mpotate e la ecuacó de egesó, peo o tee po qué hacelo ecesaamete. Co más de 6 vaables y al meos casos, se cosdea que u valo de flueca debe de se evsados s es mayo que (3p/). Los valoes de flueca tee u mámo de ( )/. Como egla geeal, paa oeta decsoes, los valoes meoes que, se cosdea poco poblemátcos; los valoes compeddos ete, y,5 se cosdea aesgados; y los valoes mayoes que,5 debea evtase. atago de la Fuete Feádez 4