Variables aleatorias

Transcripción

1 Vaables aleatoas M. e A. Vícto D. Plla Moá Facultad de Igeeía, UNAM Resume El cocepto de vaable aleatoa como abstaccó de u eveto aleatoo y su defcó. vaable aleatoa dsceta: fucó de pobabldad, sus popedades y su epesetacó gáfca. Vaable aleatoa cotua: fucó de desdad, sus popedades y su epesetacó gáfca. Valo espeado o espeaza matemátca de la vaable aleatoa dsceta y de la cotua y su tepetacó páctca. El valo espeado como opeado matemátco y sus popedades. Mometos co especto al oge y a la meda. Fucó geeatz de mometos de la vaable aleatoa dsceta y de la cotua. Paámetos de las dstbucoes de las vaables aleatoas dscetas y cotuas. Meddas de tedeca cetal: la meda, la medaa y la moda. Meddas de dspesó: el ago y aplaameto. La vaaza como el segudo mometo co especto a la meda y sus popedades..1 El cocepto de vaable aleatoa como abstaccó de u eveto aleatoo y su defcó. Es posble copoa el uso de heametas matemátcas al cálculo de pobabldades a tavés de ealza ua opeacó cosstete e busca ua egla de coespodeca que poyecte los esultados de u eveto o epemeto e la ecta de los eales. M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

2 Al asoca los esultados aleatoos a putos sobe la ecta de los eales, es dec, a la vaable depedete, esta vaable adquee u caácte aleatoo. De tal foma, se le deoma vaable aleatoa. De acuedo a la atualeza del eveto, este dos tpos de vaables aleatoas: φ φ Se dce que ua vaable aleatoa es dsceta s el úmeo de valoes que puede toma es cotable (ya sea fto e fto) y s estos puede aeglase e ua secueca que coespode co los eteos postvos. Se dce que ua vaable aleatoa es cotua s sus valoes cosste e uo o más tevalos de la ecta de los eales. A la egla de coespodeca f() se le deoma fucó de pobabldad, sempe y cuado cumpla co ua codcó que se descbá más adelate. El poceso tegal de ceacó de ua vaable aleatoa y su espectva fucó de pobabldad puede descbse e el sguete dagama a bloques: Como cometao a este pocedmeto, la asgacó de valoes e la ecta de los eales paa cada puto del epemeto o del espaco muestal se hace de acuedo a la epeeca del dseñado del epemeto, o este ua egla escta paa hacelo. No obstate se ecomeda asgale valoes que sea epesetatvos del epemeto e ámo de clasfca el epemeto. Po ota pate, u témo muy mpotate deto de la pobabldad y la Estadístca es el de Dstbucó 1. Alguos autoes deoma a todo el poceso co el ombe de Dstbucó de Pobabldad Alguos autoes deoma a este paso e el poceso E foma gáfca Aalítca Def a la vaable aleatoa y su atualeza dsceta o cotua. Def el espaco muestal del epemeto Asga valoes e la ecta de los eales al espaco muestal Asga pobabldades Def f() M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

3 Dstbucó. (Del lat.dstbuto,-os). 1. f. Accó y efecto de dstbu.. f.com. Repato de u poducto a los locales e que debe comecalzase.. f.eco. Asgacó del valo del poducto ete los dsttos factoes de la poduccó. 4. f.mat. Fucó que epeseta las pobabldades que defe ua vaable aleatoa o u feómeo aleatoo. 5. f. Ret. Fgua, espece de eumeacó, e que odeadamete se afma o ega algo aceca de cada ua de las cosas eumeadas. De acuedo a la ateo defcó, el bloque del poceso que mplca la accó de asga la pobabldad a cada uo de los valoes que puede adqu la vaable aleatoa es deomado po vaos autoes como dstbucó de pobabldad, auque otos autoes cosdea como dstbucó de pobabldad a todo el poceso.. Vaable aleatoa dsceta: Fucó de pobabldad, sus popedades y su epesetacó gáfca. Fucó de dstbucó acumulatva, sus popedades y su epesetacó gáfca. Ejemplfquemos a pat de u eveto aleatoo. Detema la dstbucó de pobabldad paa u epemeto que cosste e laza smultáeamete dados o cagados y cotablza la suma de los úmeos vsbles. Paso 1. La vaable aleatoa que deote este epemeto tedá atualeza dsceta, e vtud de que cada uo de los esultados es claamete dstguble y se defe como la suma de los úmeos vsbles de ambos dados. La vaable aleatoa dsceta se defe como la suma de las caas vsbles de ambos dados. Paso. Def el espaco muestal. (1,1) (1,) (,1) (1,) (,1) (,) (1,4) (4,1) (,) (,) (1,5) (5,1) (4,) (,4) (,) (1,6) (6,1) (5,) (,5) (4,) (,4) (,6) (6,) (4,4) (,5) (5,) (,6) (6,) (5,4) (4,5) (5,5) (6,4) (4,6) (6,5) (5,6) (6,6) Paso. Asgacó de valoes e la ecta de los eales. E vtud de que el valo asgado debe se epesetatvo del epemeto, se le asgaá a cada eveto la suma de las caas vsbles. Espaco Muestal (1,1) (1,) (,1) (1,) (,1) (,) 4 (1,4) (4,1) (,) (,) 5 (1,5) (5,1) (4,) (,4) (,) 6 (1,6) (6,1) (5,) (,5) (4,) (,4) 7 (,6) (6,) (4,4) (,5) (5,) 8 (,6) (6,) (5,4) (4,5) 9 (5,5) (6,4) (4,6) 10 (6,5) (5,6) 11 (6,6) 1 M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

4 P ( ) Paso 4. Asgacó de pobabldades. E este caso se hace bajo el cteo clásco: DISCRETO P () (1,1) 1/6 (1,) (,1) /6 (1,) (,1) (,) 4 /6 (1,4) (4,1) (,) (,) 5 4/6 (1,5) (5,1) (4,) (,4) (,) 6 5/6 (1,6) (6,1) (5,) (,5) (4,) (,4) 7 6/6 (,6) (6,) (4,4) (,5) (5,) 8 5/6 (,6) (6,) (5,4) (4,5) 9 4/6 (5,5) (6,4) (4,6) 10 /6 (6,5) (5,6) 11 /6 (6,6) 1 1/6 Paso 5. Def la fucó de pobabldad. Puede hacese de tes fomas, tabula, como se ve e la tabla ateo, gáfca: Y e foma aalítca. dce etoces que es ua vaable aleatoa. E geeal ua vaable aleatoa dsceta epeseta los esultados de u espaco muestal e foma tal que ( ) P = Se etedeá la pobabldad de tome el valo de de esta foma, al cosdea los valoes de ua vaable aleatoa es posble desaolla ua fucó matemátca que asge ua pobabldad a cada ealzacó de la vaable aleatoa, esta fucó ecbe el ombe de fucó e pobabldad (fucó masa de pobabldad) de la vaable aleatoa. Po aomas de pobabldad se tee: 1) P ( = ) 0 ) ( ) = 1 P Fucó de dstbucó acumulatva. Se defe a la fucó de dstbucó acumulada de la vaable aleatoa como la pobabldad de que sea meo o gual a u valo específco de. F() es la fucó de dstbucó acumulada P()= =,,4,...1. F() P( ) = P ( ) 0 otos casos Po aomas de pobabldad. Vaable aleatoa dsceta. Sea S u espaco muestal sobe el que se ecueta defda ua fucó de pobabldad. Sea ua fucó de valo eal, defda sobe S de maea que tasfome los esultados de S e puto sobe la ecta de los eales, se La fucó de dstbucó acumulada epeseta la suma de las pobabldades putuales hasta el valo de de clusve. P(0) = P( 0) = P(4) = P( 4) = M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

5 E geeal la fucó de dstbucó acumulatva P() de ua vaable aleatoa dsceta es ua fucó o dececete de los valoes de de tal maea que: 1) 0 P ( ) 1 ) P ( > ) = 1 P( < ) ) P( ) P( j), s j Puesto que el áea total bajo F() es 1, la pobabldad del tevalo a b, es el áea acotada po la fucó de desdad y las ectas =a y =b. Vaable Aleatoa Cotua P b ( a b) = F ( )d a f(). Vaable aleatoa cotua: Fucó de desdad, sus popedades y su epesetacó gáfca. Fucó de dstbucó acumulatva, sus popedades y su epesetacó gáfca. a b Dada la atualeza cotua del espaco muestal, esulta mposble detema el valo pecso que eactamete toma ua vaable; po este motvo, paa feómeos cotuos esulta más apopado vsualza pobabldades e tevalos. E el caso dsceto se asga pobabldades postvas a todos los valoes putuales de la vaable aleatoa, peo la suma de todas ellas es 1, aú a pesa de que el cojuto de valoes sea fto cotable. Paa el caso cotuo lo ateo o es posble, po esta azó la pobabldad de que ua vaable aleatoa cotua tome u valo específco es ceo (0). La dstbucó de pobabldad de ua vaable aleatoa cotua está caactezada po ua fucó, llamada fucó de desdad o pobabldad. Esta fucó o es la msma que paa el caso dsceto. Dado que este que la pobabldad de que tome el valo específco es ceo, esta fucó detema la pobabldad e u tevalo. P b ( a b) = F ( )d a Fucó de dstbucó Acumulatva.-La dstbucó acumulatva F() es ua fucó lsa o dececete de los valoes de la vaable aleatoa co las sguetes popedades: F F P ( ) = 0 ( ) = 1 ( a b) = F( b) F( a) d d F( ) = F ( ) Al gual que e el caso de ua v.a. dsceta la fucó de dstbucó acumulatva de ua vaable aleatoa cotua es la pobabldad de que tome u valo meo o gual a algú específco. P ( ) = F( ) = f ( t) dt e dode t es ua vaable atfcal de vaacó, po lo tato la fucó de dstbucó acumulatva es: el áea acotada po la fucó de desdad que se ecueta a la zqueda de la ecta =. Paa cualquea a y b. M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

6 Ejecco. La vaable aleatoa está dada po: F()= ke, 0 0, otos casos Detema el valo de k, la fucó de dstbucó acumulatva, la pobabldad de que <<6 y la pobabldad de que 8.S: etoces: F ( ) d = 1.4 Valo espeado o meda de la vaable aleatoa dsceta y de la cotua, y su tepetacó páctca. El valo espeado como opeado matemátco y sus popedades. Mometos co especto al oge y a la meda. Valo espeado. El valo espeado ace de la páctca de los juegos de aza. El valo espeado (o espeaza) epeseta paa los jugadoes la catdad que gaaá, o pedeá, después de juga epetdamete ceto juego. La espeaza o valo espeado debe tepetase como u pomedo. Imagíese que u epemeto, po ejemplo, u volado, se epte u úmeo gade de veces; alguos volados se gaa, otos se pede. La peguta que se hace el jugado es: Después de la joada de juego Cuáto espeo habe gaado? Ota tepetacó cosste e deoma al valo espeado como u pomedo podeado. A dfeeca del pomedo atmétco, el pomedo podeado toma e cueta la esteca de los elemetos además de su valo a pomeda. Obsévese el sguete ejemplo: E ua teda de autosevco se epede botellas de vo. E u pme embaque, se poe a la veta 60 botellas de las cuales se vede 5, quedado e esteca 5 a u M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

7 peco de $ Posteomete, el poveedo sute 15 botellas más e u segudo embaque, co la salvedad de que el costo de cada botella aumetó a $ El cotado de la teda debe paga mpuesto sobe vetaos a azó de 10% po el valo de los actvos. La peguta es: cómo debe calcula el peco de las botellas paa paga el meo mpuesto posble? El cotado tee tes opcoes: 1. Paga el mpuesto coespodete po cada botella de acuedo co su costo. Este es u caso deal debdo a que cuado las botellas se poe a la veta o se hace dfeeca de las botellas peteecetes al embaque uo que las peteecetes al embaque dos. No obstate, este esultado seá el esultado deal. Impuesto = [(5botellas $150.00) + (15 botellas $00.00)] 10% Impuesto = $ Esta catdad debeía paga el cotado de se posble la dfeecacó e los elemetos de los embaques.. Paga el mpuesto coespodete co base e el pomedo atmétco de los pecos de las botellas. Paa este caso el peco seá: $150.00$00.00 = = $ Impuesto = (40 botellas $175.00) 10% = $ Paga el mpuesto co base e el pomedo podeado de los pecos de las botellas. Paa este caso el peco seá: (5)($150.00) + (15)($00.00) = = $ Impuesto = (40 Botellas $168.75) 10% = $ Este esultado cocde co el caso deal y o equee de dfeeca los pecos de las botellas de acuedo co el embaque al que peteece. Puede obsevase que el pomedo podeado cosdea la catdad de elemetos además del valo de cada uo de ellos. Po tal motvo, se cosdea al pomedo podeado ua catdad más epesetatva que el pomedo atmétco. Este msmo cocepto se aplca a la pobabldad. El valo espeado es el esultado pomedo de ua see de evetos (valoes de ua vaable aleatoa), cosdeado la pobabldad de cada uo de ellos. Defcó: El valo espeado de ua vaable aleatoa se defe como: E{ } = P ( ) γ paa ua V.A. Dsceta E{ } = f ( ) d paa ua V.A. Cotua E geeal, es posble obtee el valo espeado de ua fucó g(): E{ } = g( ) P ( ) γ paa ua V.A. Dsceta E{ } = g( ) f ( ) d paa ua V.A. Cotua dode g() es ua fucó de la vaable aleatoa. M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

8 Es ecesao aclaa que el valo espeado es ua costate y es ua popedad de la dstbucó de pobabldad de la vaable aleatoa. Popedades. Pmea popedad: E { c} = c dode c cte Demostacó: cf ( ) d = c f ( ) d = c(1 = c ) Seguda popedad: E { a + b} = ae{ } + b dode a, b ctes Demostacó: El valo espeado de ua vaable aleatoa cotua puede se tepetado como la abscsa del cetode de la fgua fomada po la fucó F() juto co el eje (y los etemos de F() s los hubea). Mometos de la vaable aleatoa. So los valoes espeados de cetas fucoes de ; que foma ua coleccó de meddas descptvas que puede emplease paa caacteza la dstbucó de pobabldad de y especfcalo s todos los mometos de so coocdos. A pesa de que los mometos de puede defse alededo de cualque puto de efeeca, geealmete se defe alededo del ceo o del valo espeado de. Mometos de ode co especto al oge. Se defe como la espeaza matemátca de h ( ) = y se epeseta μ '. Tecea popedad: E { g( ) + h( )} = E{ g( )} + E{ h( )} μ γ = P ( ) f ( ) d V.A. Dsceta V.A. Cotua Mometo ceo co especto al oge: 0 μ ' = E{ } 1 0 = E { g( ) + h( )} = E{ g( )} + E{ h( )} De los tes ateoes esultados se despede que el valo espeado es u opeado leal. El valo espeado de ua vaable aleatoa dsceta puede se tepetado como el ceto de masa P() colocadas e los putos del eje. Pme mometo co especto al oge: μ ' 1 = E{ } = γ b a P ( ) f ( ) d M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe 009 5

9 Al pme mometo alededo del ceo se le cooce como meda o valo espeado de la dstbucó y se deota: μ = μ = E{ } ' 1 Paa el caso dsceto Segudo mometo co especto al oge: μ ' = E{ } = γ b a f P ( ) ( ) d De la msma foma se obtee mometos co especto al oge de ode supeo. Mometos co especto a la meda. Se defe como la espeaza matemátca de g ( ) = ( μ ) y se epeseta po μ. Mometo ceo co especto a la meda: μ 0 {( μ ) } = {} = E E = Pme mometo co especto a la meda: μ1 = E{( μ )} = γ b a V.A. Dsceta V.A. Cotua ( μ ) P ( ) ( μ ) f ( ) d Segudo mometo co especto a la meda: μ = E{( μ ) } = γ b a ( μ ) ( μ ) P ( ) Al segudo mometo co especto a la meda se le cooce como vaaca ó vaaza y se deota po σ ó σ. La vaaza de ua vaable aleatoa es ua medda de dspesó de la dstbucó de pobabldades de ésta. Po ejemplo, paa el caso cotuo, s la mayo pate del áea po debajo de la cuva de dstbucó se ecueta cecaa a la meda, la vaaza es pequeña; s la mayo pate del áea se ecueta muy dspesa al ededo de la meda, la vaaza es gade. A la aíz cuadada postva de la vaaza ecbe el ombe de desvacó estáda y se deota po σ. S se desea compaa la vaaza co la desvacó estáda de vaas vaables co dfeetes udades ete sí, la compaacó esultaá justa debdo a que las dstbucoes de vaables aleatoas co udades pequeñas tedá apaetemete meos vaacó. Paa hace este tpo de compaacoes se defe oto dcado deomado coefcete de vaacó: como el cocete de la desvacó estáda ete la meda y la desvacó estáda tee las msmas udades que el coefcete de vaacó po lo tato es admesoal. f ( ) d Cv = σ μ M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe 009 5

10 Mometos de ode supeo. Como e el caso de la vaaza, cualque mometo de la vaable aleatoa co especto de la meda puede epesase e témos de esta msma y de mometos alededo del ceo. Epesado e fucó de la meda y mometos: ' ' = μ μ μ μ μ + Aplcado el bomo de Newto: ( μ ) = ( 1) ( μ ) = 0! ( )!! Paa obtee la fómula de los mometos aplco el valo espeado: Bomo de Newto E s E! +! ( a b) = ( 1) a b ( ) {( μ) } = 0 = E! = ( 1) μ E{ } = 0 ( )!! 1 E{ } = μ 1 {( μ) } = ( 1) μ μ = o = O ( )!!! ( 1) ( )!! μ.5 Paámetos de las dstbucoes de las vaables aleatoas dscetas y cotuas. Meddas de tedeca cetal: meda, medaa y moda. Meddas de dspesó: ago, desvacó estáda, vaaca y coefcete de vaacó. Medda de smetía. La vaaca como el segudo mometo co especto a la meda y sus popedades. Meddas descptvas. Estos ídces pemte caacteza a las dstbucoes de fecuecas paa pode hace ua tepetacó acetada de la msma. Meddas de Tedeca Cetal. So aquellas meddas que os popocoa u dato que, co cetos matces, puede cosdease epesetate de los datos obtedos del muesteo. Meda. Tadcoalmete se cosdea a la meda como u pomedo atmétco de datos. E ealdad es más que esto. La meda petede epeseta de la mejo foma a los datos de los cuales povee. Paa calcula el tece mometo especto a la meda: M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

11 Esta epesetacó puede logase de vaas fomas. Meda Atmétca = = 1 dode es el úmeo total de datos. Como dato epesetate de ua muesta, la meda atmétca peseta el poblema de los datos ubcados e los etemos de la muesta, los más pequeños y los más gades, que e la geealdad suele se pocos, sesga o duce u eo e el esultado. La meda atmétca uca debe utlzase po sí sola paa hace algua coclusó sobe la muesta, esulta coveete acompañala de algua medda de dspesó como se veá más adelate. Meda Podeada. A dfeeca del pomedo atmétco, el pomedo podeado toma e cueta la esteca de los elemetos además de su valo a pomeda. Es dec, al toma e cueta el úmeo de elemetos epetdos mmza la posbldad de uo o dos datos etemos modfque damátcamete el esultado. La meda podeada coespode dectamete al valo espeado o espeaza matemátca estudada e Pobabldad. Meda geométca. = 1... E la páctca suele obteese a tavés de logatmos. Meda amóca. La meda amóca de ua see de úmeos es el ecípoco de la meda atmétca de los ecípocos de los úmeos. = 1 = = 1 = 1 M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

12 e la páctca se utlza: 1 = = 1 1 Medaa. Es el dato que dvde eactamete a la mtad a la muesta. Vaaza. Tal y como la defe la pobabldad, la vaaza de ua vaable aleatoa es el segudo mometo de la msma co especto a la meda. Asmsmo, se tepeta de la msma foma, como u pomedo de las dstacas de cada dato haca la meda. mpa Paa su cálculo como dato agupado, la medaa se obtee detemado cual es la clase que cluye a la medaa, la cual se dstgue poque tee ua fecueca acumulada elatva mayo o gual a 0.5 (50% de los datos). F ( ) = 0.5 pa Moda. Es el elemeto de la muesta que más se epte. Ua muesta puede tee ua o más modas. Cuado todos los elemetos de la muesta so dfeetes, o tee setdo habla de ella. E foma gáfca, la moda se obseva e el mámo de la cuva, de tal foma que su obtecó se loga co las heametas que el cálculo dfeecal popocoa paa obtee el mámo de ua fucó. Meddas de dspesó. Estas meddas efleja la sepaacó o alejameto de los elemetos de ua muesta. Estas meddas debe acompaña a las meddas de tedeca cetal, patculamete a la meda, paa evta los efectos que los datos etemos tee sobe ellas. La medda de dspesó más seclla es el Rago, ampltud o ecodo, que como ya se mecoó es la dfeeca ete el dato mayo y del meo. Desvacó estáda. Es fácl de pecb, a pat de u aálss dmesoal, que la vaaza posee las udades de la vaable muesteada elevada al cuadado. Esta stuacó o pemte ua ápda vsualzacó o tepetacó de la dspesó de los datos. E vtud de lo ateo, la desvacó estáda es la aíz cuadada de la vaaza: σ = σ La desvacó estáda també es coocda como desvacó típca o eo estáda. Desvacó meda. Cetos autoes opa que paa obtee el pomedo de las dstacas de cada dato co especto a la meda debe obteese el valo absoluto de la dstaca ete ambos putos y después obteese su pomedo. De tal foma, la desvacó meda se defe como: Desvacó Meda = = 1 Asmsmo, alguos autoes utlza como efeeca a la medaa e luga de la meda. Desvacó Meda = = 1 med M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

13 Es ecesao cometa que debdo a las complejdades que mplca el maejo del valo absoluto, estos coceptos o so muy socodos. Esto mplca que debe cumplse la sguete elacó: < med < mod Asmetía. Esta medda, també llamada sesgo, tee como faldad mosta haca qué lado de le meda se ubca más datos. Coespode al tece mometo co especto a la meda detema esta stuacó. No obstate, e stuacó smla a lo que ocue co la vaaza, el tece mometo posee las udades de la vaable muesteada elevada al cubo. Co el f de volve admesoal al tece mometo, se defe al coefcete de asmetía de la sguete foma: α > 0 α = 0 α = m ( m ) ( ) = σ m α <0 Este coefcete tee como efeeca al valo ceo. S: α = 0 La dstbucó es smétca, es dec, este la msma catdad de datos a ambos lados de la meda. Esto mplca que debe cumplse la sguete elacó: = med = mod S: α < 0 La dstbucó es asmétca egatva, es dec, este más datos a deecha de la meda. Esto mplca que debe cumplse la sguete elacó: mod > med > S: α > 0 La dstbucó es asmétca postva, es dec, este más datos a zqueda de la meda. Aputameto. Coespode al cuato mometo co especto a la meda detfca a ua medda que aula dectamete a las meddas de dspesó. El aputameto o cutoss detalla lo putagudo o aplastado de ua dstbucó. Ua dstbucó putaguda mplca que los datos está más cecaos a la meda lo que a su vez aoja ua vaaza pequeña. E caso cotao, ua dstbucó aplastada mplca que los datos se aleja de la meda, lo que mplca ua vaaza gade. El cuato mometo co especto a la meda posee las udades de la vaable muesteada elevadas a la cuata poteca. Paa mejoa ua posble tepetacó, se defe al coefcete de aputameto o coefcete de cutoss: 4 α = m 4 = 4 ( m ) ( ) σ m M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe

14 El valo de efeeca de este coefcete es tes. Alguos autoes, paa homologa el uso de este coefcete co el de smetía, dsmuye e tes udades el valo obtedo y así loga que el valo de efeeca sea ceo. 4 α = m 4 = m 4 ( m ) ( σ ) El lecto debeá esta ateto a esta stuacó, ya que la ga mayoía de los pogamas de computadoas ealza su compaacó cota el ceo. La tepetacó es la sguete: S α 4 = 0 (o tes), se tata de ua dstbucó mesocútca. S α 4 > 0 (o tes), se tata de ua dstbucó Leptocútca (o putaguda). S α 4 < 0 (o tes), se tata de ua dstbucó Platcútca (o aplastada). Fucoes de desdad de pobabldad típcas de dstbucoes: a) leptocútcas, b) platcútcas, y c) mesocútcas. Bblogafía Caavos,, Edt. Mc Gaw Hll, Méco Boas, et. al. Aputes de Pobabldad y Estadístca, Facultad de Igeeía UNAM, Méco Vllaeal, Pobabldad y Modelos Pobablístcos, UAEM, Méco Hes, Motgomey; Pobabldad y Estadístca, Edt. CECSA, ª edcó, Méco 199. Captua y Edcó: M.A. Maía Toes Heádez. M.A. Vícto Damá Plla Moá. Novembe