TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TEMAS DE MATEMÁTICAS (Ooscoes de Secudaa TEMA 6 DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEV. COEFICIENTE DE VARIACION. VARIABLE NORMALIZADA. ALICACIÓN AL ANÁLISIS, INTERRETACIÓN Y COMARACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS.. Vaable Aleatoa... Coceto de Vaable Aleatoa... Vaable Aleatoa Dsceta..3. Vaable Aleatoa Cotua.. Eseaza Matemátca... Mometos... Vaable Nomalzada.3. Coefcete de Vaacó. 3. Desgualdades de Makov y Tchebychev. 4. Teoemas de Beoull y Move. 5. Alcacó al Aálss, Iteetacó y Comaacó de Datos Estadístcos. 5.. Ejemlos. Bblogafía Recomedada. /4

2 TEMA 6 DESIGUALDAD DE TCHEBYSCHEV. COEFICIENTE DE VARIACION. VARIABLE NORMALIZADA. ALICACIÓN AL ANÁLISIS, INTERRETACIÓN Y COMARACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS.. VARIABLES ALEATORIAS... Coceto de Vaable Aleatoa. DEF Sea u exemeto E y sea Ω el esaco muestal asocado co el exemeto. Llamaemos Vaable Aleatoa a ua fucó X que asga a cada elemeto s Ω u úmeo eal X(s. DEF Demos que ua vaable aleatoa es Dsceta s sólo toma u úmeo fto de valoes o u úmeo fto eo umeable. S la vaable aleatoa es dsceta, eumeaemos los valoes que toma como x, x, x 3,... DEF Demos que ua vaable aleatoa es Cotua s toma u úmeo fto o umeable de valoes.. Vaables Aleatoas Dscetas. DEF Defmos la fucó de obabldad de la vaable aleatoa dsceta X como aquella fucó que asga a cada úmeo eal x la obabldad de que la vaable aleatoa tome ese valo, Xx. f(x (Xx Tegamos e cueta que la vaable aleatoa X estaba defda sobe u esaco muestal Ω, el cual es dsceto. E cambo, la fucó de obabldad f(x esta defda sobe. Así ues, s el úmeo eal x o eteece al cojuto de valoes que toma X, se vefcaá f(x (Xx 0 E cambo, s eteece al cojuto de los valoes asumbles o X, se vefcaá: f(x (Xx > 0 E este caso, f(x seá la suma de las obabldades de todos los sucesos elemetales a los que X asga el valo x. Las oedades fudametales de la fucó de obabldad o so más que la taduccó de los axomas de la obabldad. RO S x, x,..., x so los valoes que toma la vaable aleatoa X, se vefca: /4

3 f x ( X x ( X x K ( X x ( f(x >0 :,,..., 3 S a<b<c, y defmos los sucesos mutuamete excluyetes A{aXb} y B{b<Xc}. S C{aXc}, es clao que CA B y, o tato: (axc (axb (b<xc DEF Defmos la fucó de Dstbucó de ua vaable aleatoa dsceta X como F(x(Xx. Esta clao que esa obabldad seá la suma de las obabldades de todos los sucesos elemetales de Ω a los que X asga valoes meoes o guales que x. RO La fucó de dstbucó de ua vaable aleatoa vefca las sguetes oedades: F(- 0 F( 3 F(x es cecete. 4 (a<xb F(b F(a. 5 F(x es Cotua o la Deecha. Dem. Sea x, x,..., x los úcos valoes que uede toma la vaable aleatoa X y sea x 0 u valo meo que el más equeño de los valoes ateoes. Es clao que el suceso {Xx 0 } es u suceso mosble. o tato su obabldad es ceo, mateedose dcho valo cuado más equeño sea x 0. Luego se vefca. Aáloga a la ateo. 3 o oa Defcó, ya que todos los sumados so o egatvos. 4 Los sucesos {Xa} y {a<xb} so mutuamete excluyetes, y su uó es el suceso {Xb} (Xb (Xa (a<xb Es dec (a<xb (Xb - (Xa F(b F(a 5 o Defcó..3. Vaables Aleatoas Cotuas. DEF Llamamos fucó de Desdad de obabldad de ua vaable aleatoa cotua X a ua fucó f(x que vefca las dos codcoes sguetes: f(x 0 f ( x dx 3/4

4 DEF Llamaemos fucó de Dstbucó de la vaable aleatoa cotua X a ua fucó que asga a todo úmeo eal x, la obabldad de que X sea gual o meo que x. x F ( x ( X x f ( t dt RO La fucó de dstbucó de ua vaable aleatoa cotua X vefca: F( Lm F( x 0 x F( Lm F ( x x 3 F(x es ua fucó o dececete. 4 (a<xb F(b F(a. df( x 5 S F(x es devable, f ( x dx Dem. Imedata.. ESERANZA MATEMÁTICA. DEF Sea X ua vaable aleatoa co fucó de obabldad f(x. Llamaemos Eseaza Matemátca de X a µ, sedo: Caso Dsceto: µ E ( X x f ( x Caso Cotuo: µ E ( X xf ( x dx La eseaza matemátca, deotada o E(X, també ecbe el ombe de Meda o Valo Eseado. Cuado ua vaable aleatoa se exesa medate ua fucó YG(X, co X ota vaable aleatoa, odemos exesa la eseaza matemátca de Y utlzado X como sgue: Caso Dsceto. µ E ( Y E( G( X g( x f ( x yh( y Caso Cotuo. µ E ( Y E( G( X g( x f ( x dx yh( y dy S teemos que ua vaable aleatoa Z se exesa como oducto de otas dos vaables aleatoas, ZX Y, su eseaza matemátca seá: E( Z E( XY, j x y j f ( x, y E ( Z E( XY xyf ( x, y dxdy j 4/4

5 RO Sea a y b costates y X ua vaable aleatoa co meda µ. S YaXb etoces E(Y aµb. RO El valo eseado de la suma o dfeeca de dos o más fucoes de ua vaable aleatoa X, es la suma o dfeeca de los valoes eseados de las fucoes. E[g(X±h(X] E[g(X] ± E[h(X] RO La Eseaza Matemátca es ua fucó leal. E(aXbY ae(x be(y... Mometos. DEF Sea X ua vaable aleatoa Dsceta co fucó de obabldad f(x. Llamaemos Mometo de Ode Resecto al Oge de la vaable aleatoa X, y lo deotamos o α, a la exesó: E( X x f ( x α DEF Sea X ua vaable aleatoa Cotua co fucó de desdad de obabldad f(x. Llamaemos Mometo de Ode Resecto al Oge de la vaable aleatoa X, y lo deotamos o α, a la exesó: α E( X x f ( x dx odemos destaca a µ que coesode ecsamete co E(X, la meda de la vaable aleatoa. DEF Sea X ua vaable aleatoa Dsceta co fucó de obabldad f(x. Llamaemos Mometo Cetal de Ode de la vaable aleatoa X, y lo deotamos o µ, a la exesó: µ [( X E X ] ( X E( X E ( f ( x DEF Sea X ua vaable aleatoa Cotua co fucó de desdad de obabldad f(x. Llamaemos Mometo Cetal de Ode de la vaable aleatoa X, y lo deotamos o µ, a la exesó: µ [( X E( X ] ( X E( X E f ( x dx DEF Sea X ua vaable aleatoa co dstbucó de obabldades f(x y meda µ. Defmos la Vaaza de X, y se deota o Va(X, como µ, Mometo Cetal de Ode. E el caso dsceto [ ( X E ( X E( X ] ( x Va µ µ f ( x E el caso cotuo ( X E[ ( X E( X ] Va µ ( x µ f ( x dx 5/4

6 DEF Llamamos Desvacó Tíca o Estáda de ua vaable aleatoa X, y se deota o σ, a la aíz cuadada de la Vaaza. σ Va( X µ RO La vaaza de ua vaable aleatoa X se uede exesa como la meda de los cuadados meos el cuadado de la meda. [( X E( X ] E( X E( Va( X E X RO S a y b so costates y X es ua vaable aleatoa co meda µ y vaaza σ. Se vefca: Va(aXb a Va(X.. Vaable Nomalzada. DEF S e la ooscó ateo, tomamos como caso atcula los valoes a y σ µ X µ b, la vaable, que exesa la desvacó de la vaable aleatoa X σ σ esecto de su meda y medda e udades de la desvacó tíca, ecbe el ombe de Vaable Nomalzada o Tfcada. Nótese que la meda de la vaable omalzada es ceo y su desvacó tíca uo. X µ X µ X µ E 0 Va σ E σ σ.3. Coefcete de Vaacó. DEF Llamaemos Coefcete de Vaacó de la vaable aleatoa X al cocete de la desvacó tíca o la meda. σ E(X aa ode comaa las medas atmétcas de dos dstbucoes que vega dadas e udades dfeetes teemos el coefcete de vaacó de easo. DEF Defmos el coefcete de vaacó de easo como la elacó o cocete ete la desvacó tíca y la meda atmétca. V σ µ 6/4

7 E me luga, teemos que dcha medda es admesoal. E segudo luga, V eeseta el úmeo de veces que σ cotee a µ. Cuato mayo sea V, más veces cotedá σ a µ, luego elatvamete a mayo V meo eesetatvdad de µ. Este coefcete se suele exesa e tato o ceto, sedo σ V 00 µ Como tato e σ como e µ ha tevedo todos los valoes de la dstbucó, V eseta la gaatía de que utlza toda la fomacó. La cota feo de V es ceo, al se éste el meo valo que uede toma σ, y es el valo de V que dca la máxma eesetatvdad de µ. E caso de que la meda atmétca sea ula, el valo de V o es sgfcatvo, ya que su esultado uméco os uede hace toma coclusoes estadístcamete equvocadas. 3. DESIGUALDADES DE MARKOV Y TCHEBYCHEV. E este aatado vamos a ve las desgualdades de Makov y Tchebychev. Ambas se basa e el coceto de valo eseado aa establece acotacoes sobe la obabldad. La desgualdad de Makov establece ua acotacó de la obabldad de ua fucó o egatva de ua vaable aleatoa X. Co la desgualdad de Tchebychev, s coocemos la dstbucó de obabldades de ua vaable aleatoa X, odemos calcula su eseaza E(X y su vaaza Va(X, s exste. S embago, el ecíoco es falso. Es dec, coocedo la meda y la vaaza de la vaable aleatoa X o odemos ecostu la dstbucó de obabldades de X. Debdo a esto, es coveete obtee uas cotas sueo e feo aa la fucó de obabldad. DESIGUALDAD DE MARKOV. Dadas ua fucó g o egatva de la vaable aleatoa X y ua costate t ostva, se vefca que E [ ] [ g( X ] g( X t t Dem. La demostacó vamos a ealzala aa el caso de que la vaable aleatoa X sea cotua. El caso dsceto es aálogo. Sea D el domo e el que g(x t. Etoces: E [ g( X ] g( x f ( x dx g( x f ( x dx tf ( x dx t D D D f ( x dx Teedo ahoa e cueta las oedades que vefca la fucó de desdad: 7/4

8 esulta que y oeado llegamos a f ( x dx y f ( x dx [ g( X t] D E [ g( X ] t[ g( X t] E ( [ g X t] [ g( X ] U caso atcula que meece la ea destaca es cuado la fucó g sea la detdad, g(xx. E este caso [ X t] t E[ X ] t seme que X 0. Esta exesó os va a emt demosta la desgualdad de Tchebychev. DESIGUALDAD DE TCHEVYCHEV. Sea X ua vaable aleatoa co meda µ y vaaza σ. Etoces, k>0 se vefca: Dem. k ( µ kσ < X < µ kσ ( X µ < kσ Defamos la vaable aleatoa Y[X-E(X]. Como (Y 0 odemos alca la desgualdad de Makov, aa obtee: E( Y σ ( X µ kσ ( Y k σ k σ k σ k vefcado su comlemetao la desgualdad que queemos demosta: k ( X µ < kσ Veamos ahoa ota maea de euca la desgualdad de Tchevybech, y vamos a ealza su demostacó aa el caso de ua vaable dsceta. DESIGUALDAD DE TCHEVYBECH. Sea X ua vaable aleatoa. k>o se vefca: Dem. E( X k ( X k 8/4

9 Sea X ua vaable aleatoa dsceta. Etoces E( X E( X x x x k x x k kx x x k< x< k k x k kx x k x E( X E( X k ( X k ( X k S e la desgualdad ateo susttumos la vaable aleatoa X o ota vaable que X µ esté tfcada, obteemos la desgualdad de Tchevychev demostada e me σ luga. La desgualdad de Tchevychev os va a sev aa ode justfca la toduccó del coceto fecuecalsta de obabldad. Sea A u suceso aleatoo, co obabldad, (A. Sea f la vaable aleatoa que mde el úmeo de aacoes de A e ua see de obsevacoes deedetes. k f X X... X dode X 0 s se vefca A s o se vefca A e la -ésma exeeca E(X (A 0 ( (A Va(X E[(X ] ( ( (0 ( Como los exemetos so deedetes: E(f E(X E(X... E(X Va(f Va(X Va(X... Va(X ( 4. TEOREMAS DE BERNOUILLI Y MOIVRE. TEOREMA DE BERNOUILLI. Dado k>0, la obabldad de que la desvacó absoluta de la fecueca elatva de A sea mayo que k e la eetcó de exeecas deedetes esecto a la obabldad de A tede a 0 cuado tede a. Dem. 9/4

10 Alquemos la desgualdad de Tchebychev a la vaable aleatoa f. f E σ Va f ( ( f k ( k 4k ya que ( [ 0, ] 4 Etoces: Lm f k 0 U caso algo más geeal fue obtedo o osso, que hacía vaa la obabldad de A de u exemeto a oto. S la obabldad de A e el exemeto -ésmo es, teemos que y etoces sedo la obabldad meda. E ( f Va( f f k ( ( k 4 k El teoema de Beoull se ublco e el año 73, 50 años desués que la desgualdad de Tchebychev. Ogalmete se demostó calculado dectamete la obabldad f k ( f k ( k ( k ( Beoull tadó vete años e calcula el sumatoo ateo, y oba que tede a cuado tede a. S embago, hoy e día uede deducse u esultado mucho más geeal que el de Beoull y que fue dado o De Move e 733, y que se odía euca como: La Dstbucó Bomal es Astótcamete omal també coocdo como Teoema Cetal del Límte, e foma educda. 0/4

11 /4 E la demostacó de De Move, se utlzaba la vaable tfcada ( f Etoces: < < ( ( ( ( ues be < < ( π du e Lm u sedo la exesó de la deecha la fucó de dstbucó omal. El cálculo de la obabldad ( ( ( ateo, cuado uede hacese de foma lgeamete dstta, lo que oocoa ota dstbucó límte, llamada de osso, muy útl cuado es muy gade y es muy equeña. Sea u aámeto tal que y q X! ( ( ( K! L Tomado límtes cuado os queda la dstbucó de osso e X! ( Se vefca que! 0 e, la eseaza es y la vaaza es σ E la áctca, se suele utlza cuado es suceso A es ao y 5

12 5. ALICACIÓN AL ANÁLISIS, INTERRETACIÓN Y COMARACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS. La ocó de ley de obabldad coesodete a ua vaable aleatoa se toduce e Estadístca como u modelo de las eguladades que se obseva al cosdea sees estadístcas. Al gual que sucede co todas las teoías de las Matemátcas, la seguda ate es ve como se adata los modelos matemátcos a la ealdad. Igualmete, s llegamos a establece cteos que emta afma que ua see estadístca se uede cosdea como ua ceta aoxmacó de ua ley de obabldad, odemos admt que el mecasmo que coduce a estas obsevacoes seá aálogo al de los exemetos magados aa obtee valoes del uveso que tee dcha ley de obabldad. Cocetamete, al alca métodos estadístcos aa obtee uevos coocmetos de los feómeos atuales, se uede cosdea cuato etaas: a Desccó. ooe la ecogda, clasfcacó y esetacó esumda de datos elatvos a u feómeo. b Modelos. aa exlca los hechos obsevados se fomula hótess, teoías o se busca modelos, que exese e foma matemátca las elacoes que se ha obsevado e los datos estadístcos. c Vefcacó. També llamado Cotaste del Modelo, Se ealza medate la ecogda de uevos datos estadístcos elatvos al feómeo estudado. S la ley se cofma, odá utlzase e lo sucesvo. S o, se descata. d edccó. La teoía o modelo establecdo emte establece edccoes. 5.. Ejemlos. a Ley de Medel. Desccó. Medel estudó el cuce de ua vaedad de gusates amallos co otos vedes. Los gusates vedes, al eoducse, da seme vedes, eo los amallos da uos sólo amallos y otos amallos y vedes. Estos amallos da ua aza ua que da /4

13 defdamete amallos. S se cuza vedes co amallos de aza ua, se obtee ua mea aza de híbdos vedes. S éstos se cuza ete sí, se obtee gusates amallos y vedes aoxmadamete e ua oocó 3 a. Modelo Matemátco. Este modelo fue sugedo o el oo Medel. E los comosomas del gusate hay u coúsculo otado del colo. E la aza híbda, uos gametos lleva el ge V y otos el A e la msma oocó. Al fomase las células, se uede tee los sguetes tos: V V A V V A A A Como A es domate, etoces la oocó de amallos es de ¾. 3 Vefcacó. E este caso, la comobacó de la Ley debe hacese co test de hótess, o ejemlo la χ de easo. 4 edccó. Ua vez cofmada la ley, se uede sabe co ceta obabldad cual seá el esultado del cuzameto de dos latas de gusates e las codcoes ateoes. b Caldad e la oduccó de Iyectables. Desccó. Se ha obsevado que ua máqua oduce yectables co u ocetaje de defectuosos del % e u lote de udades. Modelo. El úmeo de yectables defectuosos e ua caja de 00 udades es vaable, eo ua teoía basada e la obsevacó y e u modelo del cálculo de obabldades emte cosdea el úmeo de defectuosos como ua vaable de osso 3 Vefcacó. S este modelo es cofmado o la exeeca, se uede utlza aa la edccó. S o es cofmado, se evsa la hótess del aso. 4 edccó. La hótess y teoía ateo emte edec que es áctcamete seguo que e ua caja de 00 udades de yectables aaezca, a lo sumo, cuato defectuosos. 3/4

14 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA. Itoduccó a la Teoía de la Estadístca. Aut.: Mood/Gaybll. Ed. Agula. Itoduccó a la obabldad y la Medda. Aut. ocoo Zooa. Ed. U Algotmo. Matemátcas II. Cou. Aut.: Vzmaos y Azola. Edt. SM. Cuso Básco de Estadístca Ecoómca. Aut.: M.. Matí y F.J. Matí. Edt.: AC. 4/4