Universidad del Cauca. TEORÍA DE TELECOMUNICACIONES I Sistemas Analógicos Ing. Víctor Fabián Miramá Pérez Departamento de Telecomunicaciones FIET

Transcripción

1 Uiversidad del Caua EOÍ E ELECOMUICCIOE I iseas alógios Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez eparaeo de eleouiaioes FIE

2 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua EOÍ E ELECOMUICCIOE I GEELIE.... Couiaió, Mesajes y señales.... El sisea de ouiaioes Liiaioes e las Couiaioes Elérias....4 La odulaió y la odiiaió Modulaió azoes para odular Codiiaió Croología de la ouiaió eléria EÑLE EPECO Y FILO eñales C Coveioes para el aálisis esperal eñales periódias y series de Fourier eñales periódias eries de ourier Codiioes de overgeia y eóeo de Gibbs eorea de Parseval....3 eñales o periódias y rasorada de Fourier Ejeplo: Pulso reagular eñales siérias y ausales Ejeplo: Pulso ausal epoeial eorea de ayleigh de eergía elaió ere el doiio del iepo y la reueia uperposiió esplazaieo e el iepo Cabio de esala ualidad raslaió e reueia y odulaió Ejeplo: Pulso F iereiaió e iegraió Covoluió Ipulso y rasorada e el liie Fuió Esaló y igo Ipulso e el iepo....5 espuesa de u sisea y ilros espuesa al Ipulso e iegral de superposiió espuesa e el iepo de u sisea de prier orde Fuió de rasereia y aálisis e el doiio de la reueia espuesa e reueia de u sisea de prier orde álisis de diagraa e bloques isorsió de señal e rasisió Filro y ilrado Filros de uadraura y rasorada Hilber EL UIO Y U FILJE El uido uido ério y poeia dispoible uido Blao uido ério e u iruio C ho de Bada Equivalee de uido Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez ii

3 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua 4 COMUICCIÓ B BE eñales y uido uido adiivo y relaió señal a ruido rasisió de señal aalógia rasisió de u pulso e bada base o ruido isorsió de la señal rasiida Eualizaió isorsió ulirayeoria Copasió Ejeriios de disorsió Pérdidas de rasisió y deibeles e el sisea Gaaia de poeia Pérdidas de rasisió y repeidores rasisioes vía radio rasisió saelial Ejeriios de Pérdidas MOULCIÓ LIEL eñales y iseas Pasabada Coveioes para esajes aalógios eñales pasabada rasisió pasabada Ejeplo: eardo de Poradora y Evolvee Ejeplo Modulaió de doble bada eñal y espero M eñales y espero B Ejeplo oo de odulaió y aálisis asorial Moduladores y rasisores Moduladores de bada laeral supriida eñales y esperos B Geeraió de B eñales y esperos de VB Coversió de reueia, deeió y reepores Coversió de reueia Ejeplo: raspodedor eeió síroa eeió de evolvee MOULCIÓ EXPOECIL Modulaió de Fase y Freueia eñales FM y PM álisis Esperal FM y PM de bada esreha oo de Modulaió Ejeplo ho de Bada Esiaió del ho de bada Ejeplo: ho de Bada de FM Coerial Bada oerial de FM Poeia rasiida Ejeplo: rasisores y eepores Geeraió irea de FM Geeraió idirea de PM y FM... 7 Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez iii

4 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua eeió de Freueia Mulipleaió por divisió de reueia FM esereoóia UIO E MOULCIÓ Ierereia Ierereia de siusoides Filro de de-éasis y ilro de pre-éasis Ejeplos uido de Modulaió Lieal eeió siroa eeió de evolvee uido de Modulaió Epoeial uido de pos-deeió elaió señal a ruido e el desio Coparaió de los siseas de odulaió Veajas de la odulaió epoeial sobre la odulaió lieal esveajas de la odulaió agular sobre la odulaió lieal abla oparaiva IEIE IMPOE EFEECI BIBLIOGÁFIC Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez iv

5 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua GEELIE es de erar al esudio del sisea de ouiaioes y los proediieos que e él se lleva a abo, es eesario deiir que es el sisea de ouiaioes y uáles so los eleeos priipales que lo oora, adeás, orear oepos udaeales que se aeja a lo largo del doueo y que so la base de ua ejor opresió de los eas raados.. Couiaió, Mesajes y señales Couiaió: ió que perie rasiir u esaje, idea, pesaieo, orde u oro ipo de ioraió dirigido de ua eidad a ora. Mesaje: represeaió ísia de la ioraió produida por ua uee, los esajes puede eer varias oras y uees, pero puede disiguirse dos ipos básios, los esajes aalógios y los digiales. Los esajes aalógios esá represeados por señales oiuas que varía e el iepo, u ejeplo laro de ese ipo es las señales aúsias. Los esajes digiales esá represeados por ua seueia ordeada de síbolos seleioados de u úero iio de eleeos disreos.. El sisea de ouiaioes. eiiió: Eidad que aipula ua o varias señales para uplir ua uió, e oseueia erega ua ueva señal. El objeivo de u sisea de ouiaió es reproduir e el desio ua aepable replia de la ioraió proveiee de la uee de ioraió, e los siseas de ouiaió eise diversos eleeos ada uo o ua uió espeíia, si ebargo se debe resalar aquellos que por su uió dero del sisea so priordiales: El rasisor, el aal de rasisió y el reepor, si ebargo hay oros eleeos, llaados oaiaioes, que auque o so deseables, esá siepre presees. rasisor: se earga de adeuar la señal de la ioraió a las araerísias propias del aal de rasisió, adeás puede esar e apaidad de uliplear dierees señales para ser rasiidas y por ulio eregar la señal al aal de rasisió o la ayor iuidad al ruido posible, su osruió y uioaieo depede del ipo de sisea de ouiaioes, aalógio o digial. Caal de rasisió: es el eargado de llevar la ioraió desde el rasisor hasa el reepor que puede presearse de uhas oras: u par de hilos, able oaial, ibra opia y el aire. ea ual uere el aal de rasisió ese idue ua iera aidad de aeuaió que se ireea o la disaia, pero que puede ser superado o la uilizaió de u repeidor o apliiador. Oros probleas au ás serios so la disorsió, la ierereia y el ruido que ausa ua aleraió de la ora de la señal de ioraió. isorsió: es ua perurbaió e la ora de oda de la señal, ausada por ua respuesa iperea del sisea a la señal deseada, se diereia del ruido porque esa desaparee uado la señal se quia y se soluioa ediae eualizaió. Ierereia: Coaiaió o araerísias siilares a las de la señal, produidas por uees huaas, oros rasisores, líeas de ala esió o aquiaria, iruios de ouaió. La soluió es reduir al áio la ierereia heha por el hobre y respear las oras de disribuió de reueia. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez

6 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua esvaeiieo: osise e la disiuió o variaió de la iesidad de la señal e el reepor, oo produo de los abios aosérios o al ropiezo de la señal o obsáulos erresres o auáios. Para erear los eeos del desvaeiieo se aplia e las esaioes ua éia de diversidad que puede ser de espaio o de reueia. uido: se hae reereia a las señales aleaorias e ipredeibles, produidas auralee al ierior y eerior del sisea, esa señal se adiioa a la señal de la ioraió ausado ua pérdida parial o oal de esa. El ruido iero del sisea se debe a la aividad oleular, eplíiaee al oviieo de los eleroes que esá direaee relaioado o la eperaura del aerial oduor. Cuado la agiaió de los eleroes se eleva se produe u desbalae de argas que se auula e u ereo del oduor geerado variaioes e el volaje presee. Ese ruido se ooe oo ruido ério y relaioa ao los paráeros del oduor oo los del sisea. ode: K osae de Bolza=.38* -3 Joules/ºK E KB la eperaura e grados Kelvi B el aho de bada la resiseia equivalee a ravés de la ual se ide el ruido ério. Oro ipo de ruido iero se debe al paso de la orriee de eleroes ere dos ipos de aerial dierees, ese ruido se ooe oo ruido de pariió y se deie aeáiaee oo: I eib ode: e es la arga del eleró.6* -9 oulobs. I la orriee que luye a ravés de la juura e aperios. El ruido eerior puede dividirse e res grupos: uido Cósio: origiado ás allá de la aósera erresre (bada de a 3Mhz) uido aosério: ese ipo de ruido es geerado por las oreas y las desargas elérias, y su iesidad esá ilueiada por el esado del iepo, la loalizaió geográia y la hora del día. uido heho por el hobre: e los eaisos produores de hispas. Es iporae reordar las dierees odalidades o odos de rasisió que se puede llevar a abo e u edio de rasisió: iple: la rasisió de ioraió se hae e u solo seido. eidúple: se pude rasiir e abos seidos pero o siuláeaee úple oal: rasisió siuláea e abas direioes. úple oal/geeral: siilar al dúple oal, o la diereia de eviar a ua esaió pero reibir ioraió desde ora esaió. eepor: realiza los proesos iversos a los realizados e el rasisor oo la deodulaió y la deodiiaió, pero adeás apliia las señales para opesar la aeuaió del aal y ilra la señal para reduir el ivel de ruido presee. Eise oros eleeos eargados de overir los esajes o la ioraió e señales elérias bie sea de volaje o orriee e la pare rasisora y de reoverir esas señales elérias e esajes e ioraió oheree para el reepor, esos eleeos se ooe oo rasduores..3 Liiaioes e las Couiaioes Elérias urae el diseño de u sisea de ouiaioes o algua pare del iso, se debe erear dos lases de ipedieo, por ua pare se iee los probleas eológios, reiriédose al hardware, la regulaió, el aor eoóio, e. Y por el oro las liiaioes ísias udaeales ipuesas por el sisea, que so las Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez

7 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua que ialee idia lo que se puede o o alazar e el sisea. Esas liiaioes udaeales para la rasisió de ioraió so el aho de bada y el ruido. ho de bada: para la señal de ioraió el aho de bada hae reereia al barrido de reueias que oupa ua señal, e érios ás siples es la diereia ere las reueias áia y íia oeidas e la ioraió. Para el aal de ouiaioes es la diereia ere las reueias áia y íia que puede pasar por él. Ese debe ser lo suiieeee grade para que la ioraió pase si probleas. ho de bada de la señal ho de bada del aal deás el aho de bada para señales y siseas puede uilizarse oo edida de la veloidad de la rasisió de la ioraió. Por ejeplo uado ua señal abia rápidaee e uió del iepo, sus opoees de reueia o espero de reueia, se eiede sobre u aplio rago, eoes se die que la señal iee u aho de bada grade. e igual aera la habilidad de u sisea para seguir las variaioes de ua señal se releja e la respuesa a la reueia epleada o e oros érios e el aho de bada de rasisió. La relaió ere iepo y reueia es iversaee proporioal, si se eesia rasiir ua gra aidad de ioraió e u iepo uy oro es eesario eer a disposiió señales o gra aho de bada y u sisea o u aho de bada lo suiieeee grade para aoodar oda las señales. Los siseas elérios iee eleeos que alaea eergía y ese alaeaieo o puede abiar isaáeaee e oseueia los siseas de ouiaioes iee ua aho de bada iio que redue la veloidad de señalizaió. El ruido: el ruido ipoe la seguda liiaió debido a que el ruido geerado por el oviieo de los eleroes es ieviable, oo se eioó, diho oviieo geera orriees aleaorias y volajes llaados ruido ério. El ruido relaivo a ua señal de ioraió se ide e érios de la relaió señal a ruido (/), dode por lo geeral el ruido ério iee u valor pequeño oparado o el valor de la relaió señal a ruido, lo que hae que ese ruido sea despreiable, si ebargo, u valor bajo de / degrada la idelidad de la señal aalógia y produe errores e las ouiaioes digiales. El ruido ério rea probleas e ouiaioes de largas disaias debido a que la señal iee perdidas de poeia y su ivel es oparable al del ruido. oado las liiaioes de las ouiaioes, Harley y hao esableiero que la asa de rasisió del aal o puede eeder la apaidad del aal. Liiado el desepeño del sisea de ouiaioes a u aho de bada y relaió señal a ruido, dados. C Blog ( ) o C.3Blog ( ) 3 eiida oo la veloidad áia a la ual puede la rasiirse ioraió, si errores, a lo largo del aal..4 La odulaió y la odiiaió La odulaió y la odiiaió so proediieos realizados e el rasisor para lograr ua rasisió de ioraió, oiable y eiiee. Por ese oivo es iporae presar espeial aeió a esos proediieos. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 3

8 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua.4. Modulaió Las señales proveiees de las uees de ioraió o so adeuadas para rasiirse direaee al edio, por ede, debe busarse proediieos que peria adeuar la ioraió al aal de rasisió. Para el aso de la odulaió se ivolura dos ipos de señales: la señal oduladora, que o es ás que la señal de ioraió, y la señal poradora, eargada de llevar la ioraió de ora adeuada. e esa aera se puede deir que la odulaió es la aleraió siseáia de ua señal poradora de auerdo a la señal de ioraió y que adeás puede iluir odiiaió. La odulaió o es u proediieo elusivo de los siseas de ouiaió, e la auraleza del ser huao esá presee el proeso de odulaió ere la voz produida por las uerdas buales y la avidad bual (oviieos de la boa Hz). Méodos de Modulaió ebido a que el éio de u sisea de ouiaioes depede e gra pare de la odulaió, eise dierees éodos de odulaió, que geera dos grupos básios: Modulaió de oda oiua: poradora siusoidal Modulaió por pulsos: la poradora es u re de pulsos periódio Modulaió de oda oiúa Es u proeso adeuado para señales que varía oiuaee e el iepo, e los uales la poradora es ua oda siusoidal o ua reueia uho ayor que la de la señal oduladora. Por osiguiee el proeso de odulaió de oda oiua se osidera u éodo de raslaió de reueia e dode el espero de la señal de ioraió se lleva haia ua bada de reueias uho ás alas. U laro ejeplo es la rasisió de M, dode el espero de la señal de ioraió esá ere Hz y 5KHz y la poradora iee ua reueia de 6KHz, dado oo resulado u espero de la señal odulada ere 595 y 65KHz. Oros ejeplos so las odulaioes epoeiales o agulares. Modulaió por pulsos X os W p Es u proeso disoiuo o disreo, e el seido e que los pulsos esá presees úiaee e ieros iervalos de iepo, por lo ao la odulaió por pulsos es adeuada para esajes que por auraleza so disreos, si ebargo o ayuda del proeso ooido oo uesreo las odas oiuas puede ser rasiidas o poradoras pulsaes. Pero la odulaió por pulsos o realiza la raslaió de reueia eesaria para ua rasisió eiiee, alguos rasisores obia la odulaió por pulsos y la odulaió de oda oiua. X M PM p FM PM PPM P s.4. azoes para odular PPM o PWM La razó priipal para el epleo de la odulaió es adeuar la señal de ioraió al edio de rasisió, o obsae, eise oros beeiios y apliaioes de la odulaió: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 4

9 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Para ua rasisió eiiee: la rasisió de ioraió sobre ua gra disaia ivolura la uilizaió de odas eleroagéias, si o o edios guiados y la rasisió eiiee de esa depede e gra pare de la reueia de la señal, por esa razó es eesario aprovehar la raslaió de reueia proporioada por la odulaió. Para radiar eiazee ua señal eleroagéia es eesario aeas uyas diesioes esé oo íio e / de la logiud de oda, pero la señal de audio si odular iee opoees de reueia por debajo de Hz, que requeriría para su rasisió direa ua aea de íio 3K. Por ese oivo la raslaió e reueia perie la reduió susaial del aaño de las aeas, por ejeplo para la radiodiusió de FM oerial, uyas poradoras esá ere 88 y 8 MHz, eesia aeas de ás o eos 3. Para superar liiaioes de hardware: El diseño de u sisea geeralee se liia por el equipo dispoible, uyo rediieo reueeee depede de las reueias epleadas. La odulaió suele uilizarse para poer ua señal e aquella porió del espero de reueia, dode las liiaioes so íias, o dode las odiioes de diseño so ás áiles de uplir. Para reduir el ruido y la ierereia: Para obair el ruido y la ierereia se a uilizado varios proediieos ososos y que perjudia los equipos, ireear la poeia de la señal puede ser peligroso, si el ivel sobrepasa los líies de los edios de rasisió. i ebargo la odulaió ayuda a obair el ruido y la ierereia, pero ireeado la eesidad de aho de bada, por ejeplo la odulaió FM uya odiiaió se hae e la reueia y o e la apliud (i BW E ). Para asigar reueia: La raslaió de reueias uilizada e la odulaió, perie que la asigaió de poradoras a ieros proveedores para periir que e u seor deeriado eisa ás de u proveedor, por ejeplo de radio diusió o de elevisió (M BW Khz y FM Khz). Para uliplear: Es el proeso de rasisió de úliples señales por u iso aal, siuláeaee, eise dierees eaisos de ulipleaió: FM: uiliza odulaió de oda oiua para ubiar a ada señal e ua reueia poradora dieree y e el reepor se ilra la señal para reuperar la ioraió. M: uiliza odulaió por pulsos para rasiir dierees señales e isaes de iepo dierees..4.3 Codiiaió Es ua operaió de proesaieo de síbolos para ejorar la ouiaió uado la ioraió es digial o es la digializaió de ua oda oiua. La odiiaió rasora u esaje digial e ua ueva seueia de síbolos. Codiiaió de aal: es ua éia uilizada para iroduir redudaia orolada para ejorar la iabilidad del desepeño del aal ruidoso. Codiiaió para el orol de errores: éia de deeió y posible orreió de errores que ireea la oplejidad de los equipos y el aho de bada eesario..5 Croología de la ouiaió eléria Preliiary developes Vola disovers he priary baery; he aheaial reaises by Fourier, Cauhy, ad Laplae; eperies o eleriiy ad ageis by Oersed, pere, Faraday, ad Hery; Oh s law (86); early elegraph syses by Gauss, Weber, ad Wheasoe elegraphy Morse peres his syse; eiheil ids ha he earh a be used or a urre pah; oerial servie iiiaed (844); ulipleig ehiques devised; Willia hoso (Lord Kelvi) alulaes he pulse respose o a elegraph lie (855); rasalai ables isalled by Cyrus Field ad assoiaes. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 5

10 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua elephoy ousi rasduer pereed by leader Graha Bell, aer earlier aeps by eis; irs elephoe ehage, i ew Have, wih eigh lies (878); Ediso s arbo-buo rasduer; able iruis irodued; rowger devises auoai sep-by-sep swihig (887); he heory o able loadig by Heaviside, Pupi, ad Capbell Wireless elegraphy Heirih Herz veriies Maell s heory; deosraios by Maroi ad Popov; Maroi paes a oplee wireless elegraph syse (897); he heory o uig iruis developed by ir Oliver Lodge; oerial servie begis, iludig ship-o-shore ad rasalai syses Couiaio elerois Lee e Fores ives he udio (riode) based o Fleig s diode; basi iler ypes devised by G.. Capbell ad ohers; eperies wih M radio broadasig; rasoieal elephoe lie wih eleroi repeaers opleed by he Bell yse (9 5); ulipleed arrier elephoy irodued; E. H. rsrog peres he superheerodye radio reeiver (98); irs oerial broadasig saio, KK, Pisburgh rasissio heory Ladark papers o he heory o sigal rasissio ad oise by J.. Carso, H. yquis, J. B. Johso, ad.v. L. Harley elevisio Mehaial iage-oraio syse deosraed by Baird ad Jekis; heoreial aalysis o badwidh requirees; Farsworh ad Zwo~jkip ropose eleroi syses; vauu ahode-ray ubes pereed by umo ad ohers; ield ess ad eperieal broadasig begi. Federal Couiaios Coissio esablished aisial ouiaio heory ie develops a aheaial represeaio o oise; Weier, Kologoro, ad Koel ikov apply saisial ehods o sigal deeio Ioraio heory ad odig C. E. hao publishes he oudig papers o ioraio heory; Haig ad Golay devise error-orreig odes. 96 aellie ouiaio begis wih elsar I High-speed digial ouiaio aa rasissio servie oered oerially; ouh-oe elephoe servie irodued; widebad haels desiged or digial sigalig; pulse-ode odulaio proves easible or voie ad V rasissio; ajor breakhroughs i heory ad ipleeaio o digial rasissio, iludig error-orol odig ehods by Vierbi ad ohers, ad he develope o adapive equalizaio by Luky ad oworkers Widebad ouiaio syses Cable V syses; oerial saellie relay servie beoes available; opial liks usig lasers ad iber opis. 969 PE reaed (preursor o Iere 97 Moorola develops ellular elephoe; irs live V broadas aross lai Oea via saellie 99- igial ouiaio syses igial sigal proessig ad ouiaio syses i household appliaes; digially ued reeivers; dire-sequee spread speru syses; iegraed servies digial eworks (Is); high-deiiio digial elevisio (HV) sadards developed; digial pagers; hadheld opuers; digial ellular. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 6

11 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua EÑLE EPECO Y FILO E las ouiaioes elérias, las señales varía e el iepo, así oo el volaje y la orriee, si ebargo auque la señal ísia eise e el doiio del iepo, es ás oveiee rabajar las señales e el doiio de la reueia, eso es posible debido a que la uió e el doiio del iepo esá opuesa de u úero de opoees de reueia, que iee ua apliud y ua ase. La desripió de las señales e el doiio de la reueia es lo que se ooe oo Espero de la señal.. eñales C El aálisis de señales iplia el esudio aeáio de reueia, logiud de oda y el valor de volaje de ua señal, y oo esas debe ser variables e el iepo, puede ser represeadas por ua oda siusoidal, y auque o odas las señales so del ipo siusoidal, puede ser represeadas por ua obiaió de seos y oseos. E ese orde de ideas, la represeaió de ua oda C o reueia úia es: v os w ode es la apliud de la señal (.) w es la reueia e radiaes es la desplazaieo de ase. La euaió (.) represea ua señal repeiiva o ua úia reueia, llaada oda periódia, debido a que se repie rápidaee o eaaee la isa apliud y iepo de duraió. Esas señales se puede aalizar e el doiio del iepo y/o de la reueia, oúee se eplea raslaioes ere u doiio y oro. El periodo de repeiió es w uque esas señales o dura eeraee, para el aálisis de señales e esado esaioario se asue que si, uilizado u epoeial oplejo o asor, el ual juega ua papel uy iporae e el aálisis esperal. Uilizado el eorea de Euler: e j os jse Lo ual iplia que ualquier señal siusoidal puede ser represeada por la pare real del asor: os e[ e os w j ] e[ e j w ] (.) Esa represeaió asorial ailia el aálisis e el doiio de la reueia, ya que el ério ere orhees represea u veor que roa e el plao oplejo, o apliud, a ua veloidad y que e el isae =, ora u águlo o el eje real, dode esá la señal v. E ese ipo de represeaió solo so eesarios res eleeos: apliud, reueia y ase, de esa aera su represeaió e espero de líea esará dado por la euaió. y seria el osrado e la igura. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 7

12 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua.. Coveioes para el aálisis esperal E odos los diagraas esperales la variable idepediee es la reueia Los águlos de ase será edidos o respeo a las odas oseo, o lo que es equivalee, respeo al eje real posiivo, por lo ao las odas seo eesia overirse a oseo uilizado la ideidad. si w os w 9 La apliud siepre se oa oo ua aidad posiiva, uado aparee u valor egaivo, ese es absorbido por la ase. osw os w 8 Los águlos de ase se epresa e grados, auque oras aidades se eprese e radiaes. w( 7 - os 4-6 w( 7os os 4 si 4os 6-9 Ese espero se ooe oo espero de líeas uilaerales o de líeas posiivas y puede obeerse para ualquier obiaió lieal de señales siusoidales. deás eise ora represeaió esperal que ivolura reueias egaivas, que puede ser de ayor * uilidad, pariedo de la ideidad e[ z ] [ z z ], dode z represea ualquier aidad opleja, se iee que: j w j w j j w j os w e[ e ] e e e e, o esa represeaió se obiee el espero de doble líea.. eñales periódias y series de Fourier.. eñales periódias e die que ua señal es periódia, o periodo de repeiió, si para odo eero, se uple que: v v (.5) Esa euaió iplia que over la señal haia izquierda o dereha ua iera aidad de periodos, o odiia la ora de la señal. E oseueia ua señal periódia puede desribirse opleaee, desribiédose úiaee u periodo. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 8

13 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua suiedo que la odiió de periodiidad se uple, puede oarse la epasió e series de Fourier para desopoer a v e ua obiaió lieal de siusoides o de asores, lo ual perie la deiiió del espero de líeas de la señal. La epasió e series requiere que la señal ega ua poeia proedio iia. / El proedio de ua uió e odo oeo se deoa oo v ( y se deie oo: v( li v( d (.6) i la uió es periódia basa o reduir el aálisis a u iervalo ualesquiera o duraió eaa a segudos. e esa aera el proedio se redeie oo: v( v( d i v ( uese u volaje que araviesa ua resiseia, geera ua orriee i ( v( /, periiedo el álulo de la poeia proedio a parir de la poeia isaáea i ( v( [ v ( / ] i (, para el aálisis es eesario oralizar el valor de la resiseia a la uidad, de al aera que la poeia proedio de ua señal periódia ualquiera es: v( v( d (.8) Cuado la iegral eise se die que la señal iee ua poeia proedio bie deiida. deás abe aoar que la raíz uadrada del valor edio de poeia, es el valor rs de la señal... eries de ourier E ese proediieo se busa desopoer ua señal periódia e ua sua de oseos o lo que es equivalee e asores, dada ua señal de poeia v ( periódia, o periodo su epasió e series oplejas de ourier es: (.7) / v C e j j =,,. (.9) ode C v( e d (.) o Esos oeiiees so aidades oplejas que puede ser epresados e ora polar de la siguiee j arg C aera: C C e ode arg C es el argueo de C, de esa aera la euaió (.9) epade ua señal periódia de poeia, e ua sua de asores, dode el -esio erio esa dado por: j j C j Ce C e arg e (.) Ipliaioes esperales: dado esa represeaió se puede observar que los paráeros de deiiió de la serie so apliud, águlo de ase y las reueias, de esa aera el orrespodiee gráio e el doiio de la reueia seria u espero de doble líea. Para haer éasis e la represeaió esperal se deoa: C ( ) C dode C represea el espero de apliud oo uió de y arg C( ) represea el espero de ase. Esos esperos iee las siguiees propiedades:. odas las líeas esperales se euera igualee espaiadas, debe ser úliplos eeros de la reueia udaeal, o lo que es ejor, debe ser aróios de. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 9

14 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua. La opoee C es igual al valor proedio de la señal, dado que si se evalúa o =, se obiee: C C / / v( e o j v( d d v / / e j d j por lo ao los valores de C () puede hequearse ispeioado v (, lo que resula práio porque reueeee la iegraió da ua ora ideeriada. j argc 3. i v (, es ua uió real e el doiio del iepo, eoes C C * C e de dode se obiee que C ( ) C( ) y arg C ( ) arg C( ), se die eoes que el espero de apliud iee siería par y el espero de ase siería ipar, a ese eóeo se le ooe oo propiedad heriiaa. Cuado se rabaja o señales reales, se puede realizar u reagrupaieo de pares oplejos ojugados a eepió de C, eoes e j e j se v v C C C C e j os C j * e argc (.) La euaió represea la uió rigooéria de Fourier, la ual sugiere u espero uilaeral. Muy a eudo e la iegraió de C suele apareer ua iegral de la ora: Esa epresió aparee reueeee e el aálisis esperal, por ese oivo se deie la uió se X si X (.3) oros auores deie la uió saplig, al que a ( y) si(y) X Ejeplo: re de pulsos Cosidere la señal reagular de la igura, e la ual ada pulso iee ua apliud y ua duraió alular los oeiiees de Fourier se puede oar oo rago de iegraió el periodo eral. v / /, para e esa aera se iee que: C si( ) el oeiiee puede deeriarse el espero de agiud: C ) C si( ) Co =/4 se iee: C ( ) / e / d j e j j j e se ( Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez

15 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Y su serie de Fourier: v( os w osw os3w 4 3 Ejeriio:..3 Codiioes de overgeia y eóeo de Gibbs e ha viso la represeaió de uioes e series de Fourier, pero se debe oprobar que esa represeaió e eeo overge haia la uió origial, por ese oivo se deie ua serie de rierios de overgeia: Codiioes de irihle: para la epasió e series de Fourier i ua uió periódia v ( posee u úero iio de áios, íios y disoiuidades por periodo, y adeás es absoluaee iegrable, eoes la serie de Fourier eise y overge uioreee dode quiera que v ( sea oiuo. Esa odiió es suiiee pero o esriaee eesaria. i v ( es uadrado iegrable, eoes señal. v ( ) iee u área iia por periodo, equivalee a la poeia de la Bajo esas odiioes la serie overge e la edida e que si: j v Ce ( eoes: li v ( E oras palabras la diereia uadrada ere v ( y la sua parial (, desaparee oore se iluye as érios e la suaoria...4 eorea de Parseval Ese eorea relaioa la poeia proedio P, de ua señal periódia o los oeiiees de la serie de Fourier: P v( d v( v( * d e replaza v ( * por su serie de Fourier e ierabiado el orde de la suaoria y de la iegral se obiee: v ( d v * * j * j v Ce Ce Eoes * j P v( C e d y P v( e j d C * Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez

16 eoría de eleouiaioes I El eleeo de la suaoria es C obeiédose que * P C C C (3) Uiversidad del Caua Ese resulado es lo que se ooe oo el eorea de Parseval, que iplia que la poeia proedio de ua señal puede ser eorada o la sua del uadrado de las agiudes de las líeas del espero de la señal..3 eñales o periódias y rasorada de Fourier Ya se ha aalizado la represeaió e series de Fourier de señales periódias que dura iiiaee, pero que pasa o las señales o periódias uya duraió es relaivaee ora. Eoes si ua señal o periódia iee ua eergía iia, su represeaió e el doiio de la reueia es u espero oiuo obeido desde la rasorada de Fourier. Coo se rabaja o señales o periódias, o se puede hablar de poeia proedio debido a que la agiud iede a ero uado el iepo iede a iiio y por ede la poeia proedio abié iede a ero. E ese orde de ideas la eergía de ua señal esa deiida oo: E( v( d (4) i la iegral eise y overge a u valor dieree de ero o ideeriado, se puede deir que la señal iee ua eergía bie deiida y se le deoia señal o periódia de eergía. Esa es la odiió para que ua señal pueda represearse e el doiio de la reueia uilizado la rasorada de Fourier. Cuado ua señal uple las odiioes, puede alularse su rasorada de Fourier deiida oo: j V ( ) F [ v( ] v( e d (5) Y para reuperar la uió e el doiio del iepo se aplia la rasorada iversa de Fourier: j v( F [ V ( )] V ( ) e d (6) Las euaioes preseadas se deie oo iegrales de Fourier o par de rasoradas de Fourier, y se uiliza para el aálisis de ua señal e u doiio espeiio. Por oro lado aalizado las euaioes se puede observar que la uió V ( ) juega u rol siilar al de C ( ), por lo ao V ( ) es el espero de la señal o periódia v (. La diereia ere C ) y V ( ), radia e que V() es ua uió oiua deiida para odos los valores ( de y C ) esa deiida solo para reueias disreas. Por lo ao ua señal o periódia iee u ( espero oiuo e vez de u espero de líeas. Propiedades de las rasoradas:. La rasorada es ua uió opleja, eoes V ( ) es el espero de apliud y argv ( ) es el espero de ase.. El valor de V ( ) e = es igual al área ea de v (. V ( ) v( d Coparable o el valor de C(), que es el valor proedio de v (. 3. i v( es real eoes V ( ) V *( ) y V ( ) V( ) argv ( ) argv ( ), eoes se puede airar que la uió uple o la siería heriiaa. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez

17 eoría de eleouiaioes I.3. Ejeplo: Pulso reagular e oa a osideraió u pulso reagular uya deiiió esa dad por: Uiversidad del Caua / ( / ) Eso es u pulso erado e ero o u aho o duraió igual a, eoes se / deie v ( oo: v ( ( / ) y su rasorada de ourier esa dada por: V ( ) / / e j d se si oe que si =, V()= que es eaaee el área del pulso. El orrespodiee diagraa de agiud y ase es el siguiee: e puede observar que la ayor aidad de ioraió esa oerada e V ( ) /, debido a que V ( ) V() para V ( ) /, por lo ao se puede oar a / oo ua edida del aho esperal, por lo ao si u pulso iee ua duraió ora, eoes el aho de sus espero será aplio, e el aso orario si la duraió de u pulso es grade, su aho esperal será eor. Ese eóeo se ooe oo esahaieo reiproo y es válido ao para pulsos oo para señales dierees..3. eñales siérias y ausales Cuado ua señal iee siería e el doiio del iepo, su iegral de rasorada puede sipliiarse. Para el desarrollo de las propiedades de siería e el iepo se oa la variable w. Uilizado el eorea de Euler ua señal e el doiio de la reueia puede ser epresada de la ora: V ( ) V ( ) jv ( ) e o ode V e ) v( osw d e ipar de V ( ), si eer e uea a ( * por osiguiee V ( ) V ( ) jv ( ) V ( ) ( y V o ( ) v( sew d que represea la pare par e o. v, si v ( es real eoes: e V ( ) Ve ( ) y I V ( ) Vo ( ), Cuado v( es siéria e el doiio del iepo, se puede sipliiar la iegral: w ( d w( d w( d si w( es ipar la iegral es ero y si es par la iegral iee la ora: w ( d w( d La uió w( es válida ao para v( osw oo para v ( se w. i v( iee siería par eoes v ( v(, por lo ao V ( ) Ve ( ) v( osw d, porque v( osw es par y v ( se w es ipar. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 3

18 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua hora si v ( iee siería ipar, v( v( obeiedo que V ( ) jvo ( ) j v( sew d. E el aso e que v ( = para <, ua señal ausal de eergía, o esá relaioada a igú ipo de siería, j e ese aso el espero esá oorado por ua pare real y ua iagiaria, eoes V ( ) v( e d Esa iegral iee la ora de la rasorada de Laplae uilaeral s L [ v( ] v( e d, lo ual iplia que si v ( es ua señal ausal de eergía, V ( ) puede obeerse ediae la rasorada uilaeral de Laplae, abiado s por jw..3.3 Ejeplo: Pulso ausal epoeial e deie la uió pulso ausal oo: v( e b ( j b) ( j b ) e L [ v( ] e d eoes se iee que ( j b) b j obiee que el espero de agiud y ase: V ( ) de dode se b j V ( ) b 4 argv ( ) a b El espero de ase es ua líea suave que reorre los águlos desde 9º hasa -9º.3.4 eorea de ayleigh de eergía álogo al eorea de Parseval, el eorea de ayleigh relaioa la eergía E de la señal v (, o su espero V ( ). E V ( ) V ( )* d V ( ) d Eoes: iegrado el uadrado del espero de agiud sobre odas las reueias, da oo resulado la eergía oal. Por lo geeral el valor de la eergía se alula e el doiio del iepo de aera áil, si ebargo lo que brida V ( ) es la disribuió de eergía e el doiio de la reueia, que se deoia oo desidad esperal de eergía. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 4

19 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Para el pulso reagular se puede esableer que su desidad esperal es: / / E V ( ) d ( ) si d.9( ) dode la eergía oal del pulso es / /.4 elaió ere el doiio del iepo y la reueia E las seioes aeriores se ha heho u aálisis de las señales e el doiio de la reueia, si ebrago es eesario aalizar e los dos doiios a los que pereee la señal (iepo y reueia), por ese oivo a oiuaió, se da a ooer los eoreas uilizados para visualizar la relaió iepo reueia. - La oelaura para las rasoradas suele ser V ( ) F v( y v( F V(), pero para los eoreas se uiliza ua oaió ás opaa v ( V( ) que se ierprea oo u par de rasoradas..4. uperposiió Para la rasorada de Fourier se aplia de la siguiee aera. ea v a v ( a v ( ), eoes: F v( ] a F [ v ( ] a F [ v ( )] ( Geeralizado se iee que: k k k [ a v ( a V ( ) k k k Esableiedo que obiaioes lieales e el doiio del iepo, so epresadas de igual aera e el doiio de la reueia. Ese eorea es iporae uado o es posible aalizar ua señal, pero se ooe las señales idepediees que la opoe..4. esplazaieo e el iepo i ua señal es reardada iero iepo d, se produe ua ueva señal, uyo espero e reueia es siilar al de la señal origial, o u desase lieal de pediee. j d j d j d i v ( V( ), eoes v( ) V ( ) e adeás V( ) e V( ) e V( ) d Eoes u desplazaieo e el iepo de ua señal odiia la ase de su espero e reueia, pero o la agiud..4.3 Cabio de esala El abio de esala es u eóeo de opresió o epasió e iluso puede iverir la señal e el doiio del iepo, así que v (a es ua versió opriida de v ( si a es ayor que la uidad y epadida si a es eor a la uidad, y si a es egaiva la señal resulae esará iverida e el iepo de la epasió o opresió. Esa abio de esala geera u abio reiproo e el doiio de la reueia. v ( a V a a a eosrar que: si z a v( a v( ) eoes ) ( a a ) V ( ) j( a a ) V ( ) ( d Z( e.4.4 ualidad i se revisa o deeiieo el par de iegrales de la rasorada de Fourier, se puede observar que diiere e la variable de iegraió y el sigo del epoeial, el eorea die que dadas el par de rasoradas v ( V( ), eise ua rasorada z ( relaioada o V ( ) : z ( V ( ) Eoes F [ z( ] v( ) o lo que es equivalee V ( v( ) E ( ) Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 5

20 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua.4.5 raslaió e reueia y odulaió El eorea de la dualidad puede eplearse para geerar uevos pares de rasoradas, ese es el aso del eorea de la raslaió e el iepo: ( ) jw v e V ( ) o w Ese eorea es llaado eorea de la raslaió de reueia o odulaió opleja, pueso que al ulipliar ua uió e el doiio del iepo por el epoeial, su espero e reueia eperiea u desplazaieo de reueia hasa. La raslaió e reueia revela varios aspeos de la odulaió: Las opoees priipales de la señal esá oeradas al rededor de. pesar de que V ( ) iee bada liiada w, V ) iee u aho de bada w. Eoes la ( raslaió ha dupliado el aho esperal. V ( ) o uple o la propiedad heriiaa, pero iee siería respeo al eje rasladado a. Para eeos reales, o es posible ulipliar ua uió o la uió epoeial, si ebargo para la odulaió se uiliza ua uió del ipo oseoidal, que por el eorea de Euler puede ser epresada e érios de epoeiales, obeiedo el eorea de la odulaió: j j e e v ( os( w ) V ( ) V ( ).4.6 Ejeplo: Pulso F ada la uió z( ( ) osw, su espero apliado el eorea de la odulaió esa dado por: Z ( ) si( ) si( ) obeiedo:.4.7 iereiaió e iegraió Cieras éias de proesaieo de señal, ivolura diereiaió o iegraió, los eeos e el doiio de la reueia se apreia e ese eorea, Ese eorea solo puede apliarse uado se esá opleaee seguro de que la señal iee rasorada de ourier o es Fourier rasorable. El eorea idia que la diereiaió de ua uió se releja e el doiio de la reueia ulipliado la rasorada por el oplejo j, que se puede oprobar iviriedo el orde de la derivada y la iegral de la rasorada iversa de la uió. d d v( j V( ) d Para el aso de la derivada -esia se iee que: v( ( j ) V ( ) d Para ua uió deiida oo iegral el eorea de la iegral idia que si V ( ) v( ) d eoes: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 6

21 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua v( ) d V ( ) j La priera odiió de iegral asegura que la iegral ieda a uado iede a. La ispeió de ese eorea idia que la diereiaió reuerza los opoees de ala reueia, ieras que la iegraió los aeúa. Eise oro iporae eorea, que se desprede de la diereiaió, el ual idia que dado u par de rasoradas v( V ( ), eise oro par de rasoradas al que: v( ( j.4.8 Covoluió La ovoluió es de gra iporaia ere las herraieas aalíias e la igeiería de ouiaioes, debido a que es u bue odelo del proeso ísio que ourre e los siseas de ouiaió lieales, adeás ayuda a opreder la relaió eisee ere el doiio del iepo y el doiio de la reueia. ) d V ( ) d Iegral de Covoluió: La ovoluió ere dos uioes que depede de la isa variable, que para ese aso es el iepo se deie oo: v ( * w( v( ) w( ) d Cuado las señales so oiuas e el iepo la iegral suele ser áil de soluioar, los ioveiees se presea uado ua o las dos preseas disoiuidades, uado eso ourre es eesario uilizar el éodo gráio para dar soluió a ese ioveiee. Para visualizar ese eóeo es eesario ver u ejeplo: ea las uioes v ( e para << y w ( / para < <. La iegral idia que la uió v ( o se alera, pero la uió w (, iee u desplazaieo igual a λ, eoes: w ( ) ( )/ para < -λ <. Para graiar la uió w( ) e uió de λ, es eesario abiar la variable de reereia de w ( y graiar w ( ), poserioree desplazar la graia obeida a dereha uidades osiguiedo w [ ( ] w( ). e puede observar que para <, las señales o se raslapa, por lo ao la ovoluió es igual a, pero si se desplaza para u < <, las señales se raslapa, y los líies de la iegral so < λ <, eoes: e d e Para > las señales se raslapa eoes -< λ < e d e e ( ) Y el resulado obeido es: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 7

22 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua eoreas de la Covoluió: La ovoluió ivolura iporaes y úiles propiedades, que se deriva de la deiiió de la iegral y del aálisis gráio.. La ovoluió es ouaiva: v ( * w( w( * v(. soiaiva: v ( *[ w( * z( ] [ v( * w( ]* z( 3. disribuiva: v ( *[ w( z( ] v( * w( v( * z( Co las propiedades aes eioadas, se deie los eoreas de la ovoluió: v ( * w( V ( ) W( ) v ( w( V ( )* W( ) d [ v( * w( ] dw( v( * d d [ v ( * w( ] d v( d * w( d.4.9 Ipulso y rasorada e el liie Hasa ahora se ha aeido ua disiió ere dos lasiiaioes esperales: espero de líeas para represear señales de poeia oiuas y espero oiuo para represear señales de eergía o periódias, si ebargo, la disiió o es uy lara uado ua señal iee érios periódios y o periódios. Eso se resuelve iroduiedo ipulsos e el doiio de la reueia para represear opoees disreos de reueia. La oió udaeal de la rasorada e el líie perie la represeaió esperal de ipulsos e el doiio del iepo y de oras señales uya rasorada o eise e el seido usual. Propiedades del Ipulso Uiario: El ipulso uiario o dela dira, o es ua uió e el seido esriaee aeáio, ás bie puede osiderarse oo pare de ua lase espaial ooida oo Fuioes Geeralizadas o isribuioes y debido a eso se deie por ua regla dada, las propiedades de ( se deriva de la siguiee epresió: v ( ( d v() Fuera ode v ( es ua uió ordiaria y oiua e =, asigado bie sea v() o, a la epresió de la izquierda. Esa epresió abié puede apliarse al doiio de la reueia abiado por, si v ( = eoes: ( ) d ( d que puede ierprearse que ( iee u área uiaria oerada e u puo disreo y igua área e ora pare ( ( = si ). ( d ) epresea u ipulso de área e el puo d Por deiiió, el ipulso o iee sigiiado ísio o aeáio a eos que apareza dero de ua iegral, por ese oivo se presea las dos propiedades ás sigiiaivas: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 8

23 eoría de eleouiaioes I Modulaió: v * ( ) v( ) ( d d Uiversidad del Caua Muesreo: v ( ) d v( ) ( d d La diereia es que el uesreo oa u valor pariular, ieras que e la odulaió hay raslado de la uió oplea. Cooiedo que ualquier epresió que ivolure al ipulso deberá iegrarse, se puede uilizar relaioes de sipliiaió aes de realizar la iegral. v ( ( d ) v( d ) ( d ) y ( a ) ( a a Ipulso e Freueia: adas el par de rasoradas ( ), el espero e reueia de ua uió osae e el doiio del iepo es u ipulso e la reueia =. Geeralizado el euiado aerior, la apliaió direa del eorea de raslaió y odulaió da oo resulado: j j e e e jw ( ) y os( w ) ( ) ( ) i v ( uese ua arbiraria uió periódia, su serie de Fourier seria j v C ) e ( y su orrespodiee rasorada V C( ) ( ), lo ual idia que ualquier ojuo de espero bilaeral puede ser overido a u espero oiuo, periiedo represear esperos oiuos de señales periódias y o periódias..4. Fuió Esaló y igo La uió esaló se deie oo u ( y la uió sigo sg( ) La uió esaló iee varios usos e la eoría de Fourier, espeialee osiderado señales ausales, que ulipliadas por el u( edrá valor para. i ebargo la ala de siería rea probleas para eorar la rasorada e el líie, por ese oivo es ejor epezar o la uió sigo, La ual iee siería ipar. b La uió sigo es ua aso espeial de la señal de eergía z( dode v( e u( y z ( v( v( z( e b e b Eoes z ( iede a sigo uado b iede a ero. Luego se obiee que Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 9

24 eoría de eleouiaioes I j4 Z( ) jv o ( ) Para la uió sigo b ( ) rasoradas es: sg( j Uiversidad del Caua F [sg( ] j li Z( ) y el uevo par de b La uió esaló y sigo esá relaioadas por la siguiee epresió u ( sg eoes el par de rasoradas del esaló es: u ( ( ) j Covoluió del Esaló: La Covoluió de ua uió ualquiera o el esaló iee la ora: v ( * u( v( ) u( ) d v( ) d Por el eorea de la ovoluió se iee v ( * u( V ( ) ( ) eoes v( ) d V ( ) V () ( ) idia que el eorea de la j j iegraió es válido si V()=..4. Ipulso e el iepo La rasorada del ipulso e el doiio del iepo es ua osae (. pliado el eorea de desplazaieo e el iepo se iee que ( d ) e j d El ipulso e el doiio del iepo ayuda a deosrar que la rasorada iversa de ua uió es e eeo la uió e el doiio del iepo. ea v ( y V ( ) u par de rasoradas, eoes: V v e j j d e j ( ) F [ ( )] ( ) d = v( ) e d d v ( ) ( ) d v( * ( d Ora relaió iporae es la del ipulso y el esaló: ( d ) d u( d ) por lo ao d ( d ) u( d ).Cobiado al ipulso o el esaló y el eorea de la diereiaió, se puede d alular ieras rasoradas, ayudado a predeir el espero de ala reueia de ua señal. El éodo die que se debe derivar la uió e úliples oasioes, hasa eorar la priera disoiuidad. Eoes la siguiee derivada irá aopañada de ipulsos ), debidos a las disoiuidades de la derivada aerior d v( w( k ( k ) rasorado d k eorar V ( ) si se ooe W ( ) k ( k j k ( j ) V ( ) W ( ) k e de la ual se puede k d Ejeriio: v ( os.5 espuesa de u sisea y ilros E el oeo de ouiaioes elérias el sisea usualee podría ser ua red de dos pueros aejada por u volaje de erada ( que produe u volaje a la salida y (. Los eleeos de alaeaje Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez

25 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua y oros eeos ieros puede ausar que la ora de oda de salida sea dieree a la señal de erada. Pero si iporar lo que hay ieraee, el sisea se araeriza por ua relaió eiaió-respuesa ere la erada y la salida. E ese íe se hablará de los siseas que se ooe oo siseas LI (Liear ie Ivaria o siseas lieales ivariaes e el iepo, e los uales o hay alaeaieo de eergía. Para ese ipo de siseas la relaió erada-salida se euera uilizado la iegral de superposiió y la respuesa al ipulso..5. espuesa al Ipulso e iegral de superposiió ( isea k k y( k E ese sisea la salida y ( es obeida a parir de la erada (, esa relaió se represea oo: y ( F[ ( ] esa liealidad idia que el sisea obedee al priipio de superposiió, al que si: ( a ( ode a k es ua osae, eoes: y ( a F[ ( ] La propiedad de ivariaia e el iepo idia que las araerísias del sisea peraee ijas o el iepo, por lo ao, u desplazaieo e la erada produe uo e la salida: F ( )] y( ) k k [ d d La ayoría de siseas LI, esá opuesos por eleeos agrupados oo resiseias apaiores e iduores o oo eleeos espaialee disribuidos así oo las líeas de rasisió. El aálisis direo de esos siseas relaioa la erad o la salida oo ua euaió diereial lieal de la d y( dy( d ( d( ora: a... a a y( b... ab b ( dode a y b so oeiiees d d d d osaes que ivolura los valores de los eleeos, el úero de eleeos idepediees que alaea eergía deeria el valor de, que se ooe oo el orde del sisea. esaoruadaee esa euaió o deeria ua epresió direa para y (. Para deeriar ua euaió epliia de erada-salida se deie la respuesa del sisea al ipulso. h ( F[ ( ] Esa es la respuesa soliiada uado ( (, pero ua señal de erada oiua puede ser epresada oo ua ovoluió ( ( * (, eoes: y ( F ( ) ( ) d ( ) F[ ( )] d k El abio es periido e virud de la liealidad del sisea, y por la propiedad de ivariaza se iee que F [ ( )] h( ), luego y ( ( ) h( ) d y ( h( ) ( ) d h( * (, que se ooe oo la iegral de superposiió, la ual idia que la respuesa del sisea esá dada por la ovoluió ere la señal de erada ( y la respuesa al ipulso h (, el aálisis del sisea e el doiio del iepo eesia ooer la respuesa al ipulso del sisea y la habilidad para dar soluió al problea de ovoluió. Varia éias so epleadas para deeriar la respuesa ipulsiva de u sisea, a parir de euaioes diereiales o odelos aeáios, pero la aera ás eiiee es oar a ( = u( y alular la respuesa a la uió esaló. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez

26 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua dg( g ( F[ u( ] e dode h( Eso puede oprobarse haiedo uso de la relaió de la derivada d ere el ipulso y la respuesa al esaló y de la propiedad de la derivada de la ovoluió. d dw( [ v( * w( ] v( * ), luego: d d g ( h( * u( y dg ( du( h( * d d dg( obeiedo oo resulado h( * ( h( d.5. espuesa e el iepo de u sisea de prier orde Cosiderado el siguiee iruio: Ese iruio es u sisea de prier orde uyo oporaieo esá dado por la euaió diereial: dy( C y( ( El ierés e ese sisea es que el oporaieo de d ieras líeas de rasisió y ables, se desribe por edio de epresioes siilares. e la euaió diereial o desde el iruio, la respuesa al esaló esá dada por: g( ( e e h( C para <. / C / C u( ) u( e dode puede obeerse la respuesa al ipulso por la relaió de derivada., abe aoar que ao ( g oo h ( so señales ausales, debido a que la erada es e esa aera para eorar la respuesa para ua uió arbiraria de erada, se puede replazar h ( e la iegral de superposiió. Por ejeplo para el aso del pulso reagular se iee que: y( ( ( e e / C / C ) ) e ( ) / C.5.3 Fuió de rasereia y aálisis e el doiio de la reueia E el doiio del iepo a edida que el orde del sisea se ireea, se ireea abié la oplejidad para eorar ua soluió. E el doiio de la reueia se puede obeer ua respuesa ás lara del sisea uilizado lo que se deoia oo la Fuió de rasereia del sisea, obeida a ravés de la rasorada de Fourier de la respuesa al ipulso: j F h( h( e d H( ) esa deiiió requiere que la rasorada eisa, dado que si h ( es iesable (reiee o el iepo) H( ) o eise. Cuado h ( es real H( ) saisae la propiedad Heriiaa. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez

27 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua La ierpreaió de la uió de rasereia e el doiio de la reueia proviee de la iegral de j j superposiió ( h ( * ( ), o ua erada del ipo asor: ( e e ode la odiió de ( para odo, esá asoiada o las odiioes de esabilidad del sisea, por lo ao la respuesa de esado esable del sisea, esá dada por: y( h( * ( y( y( h( h( ) e ) e j e j j ( d e ) d j e j Llevado a la ora polar se iee y( y e y H ( ) j Y e j y argh ( ) y( H ( ) e j e j Uilizado asores ojugados y la superposiió, se iee: os( ) ( os( ) ( y e lo aerior se iee que: H( ) y argh( ) que represea la relaió de apliud del sisea (suele llaarse respuesa e apliud o gaaia) y el abio de la ase. Por osiguiee dada ua señal de erada o ( o espero X ( ), ediae el eorea de la ovoluió se iee que: y( h( * ( Y( ) H( ) X ( ) us esperos so los siguiees Y( ) argy( ) H( ) X ( ) argh ( ) arg X ( ) i ( e s ua señal de eergía, y ( abié lo será y del eorea de ayleigh se iee que: Y( ) H( ) X ( ) eoes E y H( ) X ( ) d Fialee se puede eorar H ( ) si eesidad de ooer h (, la priera opió es posible si se ooe la euaió diereial del sisea, se puede esribir la uió de rasereia oo ua relaió polioial: leraivaee puede obeerse la respuesa e esado esable, oo:.5.4 espuesa e reueia de u sisea de prier orde y( H ( ) dode ( j ( e. eoado el iruio de prier orde osiderado las ipedaias, o jw ( e se iee que: H y( ( ( ) de dode se iee que Z r Z Z y( / j H ( ) ( / j j C Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 3

28 eoría de eleouiaioes I H ( ) ode se deie u paráero del sisea j( / B) será: H ( ) arg H( ) ( / B) Uiversidad del Caua B, Las relaioes de apliud y ase C a B La relaió de apliud, iee u sigiiado espeial, relaivo a la propiedad de seleividad e reueia del sisea, al ual se le puede deoiar ilro pasa bajas debido a que o aea los opoees de baja reueia ( B ) y redue drásiaee las opoees de ala reueia ( B ), eoes el paráero B es la edida de las badas que pasa o el aho de bada. Para visualizar ejor esos oepos, se oa a oiuaió ua uió arbiraria, uyo espero iee oeido despreiable e W, se puede osiderar res opioes que depede del valor de B y W. i W << B, e ese aso el ilro deja pasar las opoees e reueia pueso que H( ) y arg H( ), de esa aera Y ( ) H( ) X ( ) X ( ) y y ( (.. i W B, Y ( ) depede de X ( ) y H( ) y se puede deir que la salida esá disorsioada porque diiere de la erada. 3. i W >> B, X ( ) se aproia a su valor e = eoes Y ( ) X () H( ) y la respuesa se aproia a la respuesa al ipulso. Ejeriio: epia el ejeplo aerior abiado la ipedaia Z, por la ipedaia resulado e érios de l / L y jusiique la deoiaió de ilro pasa alas. Z L jwl, y eprese el Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 4

29 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua.5.5 álisis de diagraa e bloques Los siseas de ouiaió o puede ser desrios por ua sola uió de rasereia, e la ayoría de los asos, esos siseas esá opuesos de úliples subsiseas desrios ada uo por ua uió de rasereia dieree. La uió de rasereia geeral esará desria por la obiaió de las uioes de rasereia de los subsiseas. Eise res obiaioes básias a parir de las uales se puede geerar siseas ás oplejos: Paralelo, Casada y eroalieaió. Paralelo: E esa oiguraió las uioes de rasereia iee la isa erada y sus respeivas salidas se sua para obeer por superposiió la respuesa del sisea geeral: Y( ) Y( ) [ H ( ) X ( ) H H ( ) ( )] X ( ) X ( ) H ( ) H ( ) H( ) H ( ) Fuió de rasereia de subsiseas e paralelo. Casada: E las oeioes e asada la salida de u subsisea es la erada del siguiee subsisea, por lo ao: Y( ) H ( )[ H ( ) X ( )] H( ) H( ) H ( ) Fuió de rasereia de subsiseas e asada eroalieaió: la araerísia de esa oiguraió es que la salida del sisea es reorada ediae la uió de rasereia de oro subsisea, para ser resada de la erada: Y( ) H ( )[ X ( ) ( ) Y( )] H( ) Y( ) X ( ) H( ) H ( ) Fuió de rasereia de subsiseas e reroalieaió H.5.6 isorsió de señal e rasisió U sisea de rasisió de señales es u aal elério, que elaza la uee ioraió o el desio, el ual puede ser siple e el aso de u par de oduores o basae oplejo oo los siseas ópios. i ebargo odos los siseas de rasisió, posee dos araerísias ísias eseiales: La disipaió iera de eergía, que ausa ua disiuió e los iveles de la señal, y el alaeaieo de eergía que puede ausar ua deoraió de la señal de salida. rasisió si disorsió La rasisió si disorsió iplia que la señal de salida iee la isa ora de la señal de erada, de aera ás preisa puede deirse que la señal de salida diiere de la señal de erada e la ulipliaió por ua señal osae y u reardo e el iepo iio. Maeáiaee, se die que se iee rasisió si disorsió si: y K( ) o K y d osaes. La ( d propiedad de los siseas si disorsió, se puede visualizar eaiado el espero de salida. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 5

30 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua d Y( ) F [ y( ] Ke jw X( ) e la deiiió de la uió de rasereia Y ( ) H( ) X ( ), por lo d ao H ( ) Ke jw. Que uesra que para que eisa ua rasisió si disorsió la respuesa del sisea debe ser osae e agiud y eer u desplazaieo egaivo lieal de ase, eoes: H ( ) K arg H ( ) d 8 El erio que aopaña a la ase se debe a que la osae K puede oar valores posiivos o egaivos. Cabe aoar que las odiioes requeridas para H ( ) so eesarias e aquellas reueias dode la señal de erada iee u oeido esperal sigiiaivo. Coo ejeplo, oado la desidad esperal de eergía de ua señal proedio de voz obeida desde laboraorio. La eergía de señal oa iporaia uado < <3, por lo ao u sisea que upla las odiioes dero de ese rago se osidera que realiza ua rasisió si disorsió. i ebargo la rasisió o ero disorsioes o puede oseguirse, se rabaja o aproiaioes. Puede disiguirse res ipos de disorsió: isorsió de pliud, que ourre uado H ( ) K. isorsió de Fase, uado arg ( ) 8 H d isorsió o lieal, que ourre uado el sisea esá opueso de eleeos o lieales. Los dos prieros se lasiia oo disorsioes lieales, desrios por la uió de rasereia de siseas lieales. Para el erer ipo, o eise uió de rasereia. isorsió lieal Haer reereia a ua disorsió de apliud o reardo asoiado o u sisea de rasisió lieal. E el doiio de reueia la disorsió de apliud, iplia que los opoees de reueia o iee ua proporió orrea. Eso se debe a que la agiud de la uió de rasereia, o es osae o los abios de reueia, por ese oivo suele llaarse isorsió de Freueia. Las oras ás oues de disorsió so la aeuaió eesiva de las opoees de ala o baja reueia o la ejora de las reueias alas o bajas del espero de la señal. Ora disorsió eos oú pero igualee olesa es la desproporioada respuesa a ua bada de reueias dero del espero. E el doiio del la reueia el aálisis de la disorsió es áil de visualizar, pero e el iepo ese eóeo es poo apreiable, por ejeplo la uió: ( os w / 3os3w / 5os w es ua represeaió la 5 señal uadrada si se aeúa a la iad los opoees de baja o ala reueia se obiee ua respuesa disorsioada. Coo se puede ver la aeuaió de las alas reueias redue la agudeza de la ora de oda. eñal de Prueba euaió de alas reueias euaió de bajas reueias La disorsió de apliud se debe a que H ( ) o se aiee osae uado varía o la reueia, si ebargo e los siseas reales se olera u iero grado de disorsió. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 6

31 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua hora uado la señal eperiea reardos o desplazaieo de ase o lieal, las dierees reueias eperiea dierees reardos e el iepo, geerado ua disorsió de ase y disorsió de reardo. Para ualquier desplazaieo de ase, el reardo e el iepo esá e uió de la reueia y puede esribirse oo arg H ( ) d ( ) o odos los águlos epresados e radiaes, de esa aera se obiee arg H ( ) que: d ( ) el ual es idepediee de la reueia si H ( ) es lieal o la reueia. Para la señal ( iada e la disorsió de apliud, ua disorsió de ase de -9 grados, odiia la señal hasa el puo de overirla e ua uió riagular. Para visualizar el ipao del reardo de ase e ua señal, se pare de ua uió de rasereia para u aal ualquiera, que puede ser epresada así: H ( ) e j( g ) j j g e e ode arg H ( ) g obeiédose d ( ) g / i la señal de erada al aal iee la ora ( ( osw ( sew, eoes por la propiedad de reardo e el iepo de la rasorada de ourier, la salida será reardada e g, pueso que puede ser iorporada a las señales seo y oseo, la respuesa del aal esa dada por: y( ( g )os[ w ( g ) ] ( g ) se[ w ( g ) ], dode se observa que arg ( ) w w de esa aera la respuesa del sisea edrá la ora: H g d y ( ( g )os[ w ( d )] ( g ) se[ w ( d )], eoes la señal poradora se rearda u d y la oduladora u g, el reardo e el iepo d orrespodiee al desplazaieo de ase de la poradora es llaado eardo de Fase del aal, e oasioes abié se deoia reardo de poradora. El reardo ere la evolvee de la señal de erada y la señal de salida g, es llaado reardo evolvee o de grupo del aal, e geeral d g. Los oepos eioados lleva a las odiioes bajo las uales u aal pasabada lieal es osiderado si disorsió, de esa aera, para poder reuperar la señal origial de ioraió el reardo de grupo debe ser osae, eoes: d ( ) g ode ( ) argh ( ) d isorsió o lieal E u sisea o lieal el sisea o puede desribirse o ua uió de rasereia, e lugar de ello los valores isaáeos de erada y salida, so represeados por ua urva y( = [(] o uió llaada araerísia de rasereia. Bajo odiioes de de señales pequeñas, es posible liealizar la uió de la ora: a pesar de que o eise ua uió de rasereia, es posible soluioar esa euaió uilizado la ovoluió: E los siseas lieales la señal de erada es liiada e bada ( < W) y la respuesa del sisea o podría eer opoees ás allá de la bada, pero e el aso de los sisea o lieales la salida iluye érios e o badas e W, 3W e., las uales puede eliiarse uilizado u ilro, pero queda el problea de las opoees que se raslapa e la bada de la señal origial, lo ual produe la disorsió lieal. La soluió es el iruio opresor-epador, al que: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 7

32 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua.5.7 Filro y ilrado E los siseas de ouiaió la preseia de ilros y iruios de ilraje, es basae oú y eesario, debido a que so los disposiivos eesarios para separar la señal de ioraió, de la ierereia, el ruido y disorsioes. Filro Ideal Por deiiió u ilro iee araerísias de rasisió si disorsió sobre ua o alguas badas de reueia espeíias, y repuesa ula para el reso. Bajo ese oepo la uió de rasereia para ilros jw ke d l u ideales esá dada por: H( ) e oro aso Los paráeros l y de bada del ilro: B u so las reueias de ore ierior y superior, respeivaee, que deie el aho u l La epresió para u ilro pasa bajas es siilar a la del ilro pasabada, o la diereia de l eoes el aho de bada va a ser iguala a la reueia de ore superior: B Para el aso del ilro pasa alas, las odiioes para la epresió so l y u, adeás eise oro ipo de ilro, llaado ilro rehaza bada e ual eise rasisió si disorsió para odas las reueias eepo para ua bada ideseada. i ebrago ese ipo de ilros so irrealizables, debido a que sus araerísias de rasereia o puede ser obeidas a ravés de u úero iio de eleeos. Por ejeplo, osiderado u ilro pasa bajas ideal, uya uió de rasereia esá dada por: jw d H ( ) Ke B La respuesa al ipulso esa dad por: h ( BK si B( d ) u oe que h( es la respuesa al ipulso, si ebargo h( iee valores dierees a ero e iepo eor a ero, lo ual idia que eise respuesa aes de haberse apliado la señal, a esos ilros ideales se les ooe oo aiipadores y la señal reibida se le llaa aiipadora, oo es obvio pesar, la realizaió de u ilro o ales araerísias es iposible, lo iso ourre para ilros pasa alas o pasa bada. i ebargo auque el oepo de los ilros ideales es algo iiio, proporioa u reeree eório que hae a los ilros reales aproiados a los ideales. Liiaió e Bada y iepo e die que ua señal es liiada e bada si uple que V ( ) para W, de igual aera se deie la liiaió e iepo: v( para y dode <. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 8

33 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua El oepo de ilrado ideal y liiaió e bada va juos, de al aera que al apliar ua señal a u ilro pasa bajas, e la salida se obedrá ua señal de bada liiada. Para ese ilro pasa bajo, la respuesa e iepo es la uió si que eise para odo iepo, eoes de aera geeral, ua señal de bada liiada proporioa ua señal que eise para odo iepo y vieversa. pesar que ua señal o puede ser liiada e iepo y e bada, se puede oar las aproiaioes de los ilros ideales, debido al despreiable oeido de ioraió que pose las opoees superiores a W. Filros eales: Para eeder las aproiaioes uilizadas para el diseño de ilros reales, y sus diereias o los ilros ideales, se debe oar la relaió de apliudes de u ilro real pasabadas, y opararla o el resulado del ilro ideal: e puede ver que para el ilro real H ( ) es basae grade pero o osae, debido a que e los puos de ore del ilro H ( ) es pequeña pero o ero. Esos puos de ore esá deiidos por la siguiee epresió: K H ( ) H ( ) a l, h, para que H ( ) o aiga a u ivel uy baja e l h. El aho de bañada de ese ilro se ooe oo poeia iad o de 3dB. E el ilro pasa bada osrado, se puede deiir res regioes, de paso, de rasiió y de bada deeida. Eoes para que u ilro se aproie a u ilro ideal, la regió de rasiió debe ser lo ás esreha posible y e las regioes de bada deeida la señal debe aer a / o /. El ilro esádar ás siple es el pasabajas de buerworh de orde, u iruio que oiee eleeos (apaiivos e iduivos), uya uió de rasereia para K= es: H ( ) P ( j / B) ode B orrespode al aho de bada de 3dB y P es u polioio oplejo, que pereee a la ailia de polioios de buerworh, deiidos por la propiedad: P ( j / B) ( / B), eoes: H( ) y por oseueia las prieras derivadas de ( / B) H ( ) so ero para y se die que H ( ) es áiaee plaa. La abla siguiee uesra los ilros de prier a uaro orde de buerworh, o p j / B Filros de = hasa =4 Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 9

34 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua U ilro de prier orde de buerworh, iee las isas araerísias de u ilro C pasabajas, que es ua aproiaió disae al ilro ideal, que ejora a edida que se auea eleeos del iruio, aueado el orde del ilro. Por ejeplo, la siguiee igura uesra la respuesa al ipulso de u ilro de erer orde y su orrespodiee espero. Cabe aoar que el espero de ase iee ua porió lieal e la regió de paso del ilro, que iplia u poo de reardo e el iepo y ua disorsió de reardo. Ua igura basae lara de la relaió de apliud e la regió de rasiió puede obeerse de los diagraas de bode, osruida graiado la agiud de H( ) e db ora, sobre ua esala logaríia. E la siguiee igura se uesra el diagraa de bode para u ilro pasabajas o dierees valores de. Para ese ilro se deie el puo de rehazador de bada e - db, la regió de rasiió para =, edrá u aho de 9B, ieras que para =, el aho de la regió de rasiió es de.5b. Eoes se puede apreiar que H ( ), se aproia a u ilro ideal a ediad que el valor de ree. Pero la respuesa e ase e la bada pasae es eos lieal, ausado que la disorsió de reardo oe valores iolerables. E siuaioes e que la disorsió de reardo es ua poeial preoupaió, los ilros de Bessel-hoso so ua ejor seleió, debido a que ellos proporioa u valor áio de disorsió lieal de ase, para u úero deeriado de, si ebargo iee ua regió de rasiió aha. Por oro lado los ilros igual rizado, oo los de hebyisheb y elípios, proporioa ua ejor aída e la regió de rasiió, pero u pequeño rizado e la regió de rasiió y ua disorsió o lieal sigiiaiva. Filro de buerworh de egudo Orde / jwc Z r / jwc jwc La igura uesra la ipleeaió de u ilro basabajos de segudo orde de Buerworh, uyo aho de bada es: B LC La uió de rasereia puede obeerse oo L Eoes H ( ) j LC jwl / w LC H ) C ( o Z Z C Z L Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 3

35 eoría de eleouiaioes I e auerdo a los polioios de Buerworh, se iee que H ( ) j B Uiversidad del Caua B, eoes para saisaer la epresió se debe uplir que: espuesa al ipulso y izado L B LC lo ual iplia que L C U pulso reagular, o ualquier ora señal o rasiioes abrupas, oiee opoees sigiiaivas de ala reueia, las uales puede ser aeuadas o eliiadas por u ilro pasabajas. El ilrado del pulso produe u eeo de aplaaieo que debe esudiarse e el doiio del iepo, oado oo erada del ilro u esaló, que represearía el borde del pulso. E érios de la respuesa al ipulso, la respuesa al esaló esa dada por: g ( h( ) u( ) d h( ) d, se ooe que la respuesa de u ilro pasabajas de prier orde es g( e B u( dode B es el aho de bada de 3dB. ebido a que el ilro pasabajas de prier orde o presea resriioes severas para la rasisió de alas reueias, eoes se puede aproiar al ereo del ilro ideal o gaaia uiaria y reardo ero, de esa aera se iee que: ode B. La priera iegral es igual a ½ pero la seguda g( Bsi( B ) d eesia alularse aeáiaee ediae la uió iegral del seo B g( si d si d abulada: si / i( ) d si d Eoes se obiee que: g ( i( B o B obeiédose la siguiee respuesa al ipulso: Es eesario oluir algo respeo al rizado, el ual es ua edida de la veloidad de la respuesa al ipulso de u ilro, usualee deiido oo el iepo r, ee g ( =. y g (. 9, para u ilro de prier orde el iepo de rizado es de aproiadaee.35/b y para u ilro ideal es de aproiadaee.44/b por lo ao se osidera que: r. B Para si se asue oo señal de erada al ilro u pulso de duraió τ o iiio e =, se iee que: ( u( u( ) y su respuesa por superposiió y ( g( g( ), Eoes: y ( i( B i( B( )) E la respuesa se puede observar que la señal iee ora reagular uado Bτ, ieras que para valores ieriores la señal se ve opleaee disorsioada. Eoes para poder rasiir de aera orrea u pulso, es eesario eer u bue aho de bada, al que: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 3

36 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua B ode irepresea la ás pequeña duraió de u pulso, si ebargo para deear el evío de i u pulso o edir su apliud, es suiiee o B. deás la deeió del pulso y de resoluió, i esá relaioadas o u iepo de reereia de posiió de pulso..5.8 Filros de uadraura y rasorada Hilber E los siseas de ouiaioes la rasorada de Fourier es uy iporae para desopoer ua señal e su oeido de reueia, si ebargo, eise oasioes e las que es ás oveiee desopoer la señal e su oeido de ase, para ese ipo de apliaioes se uiliza la rasorada de Hilber, la ual se irodue e ojuió a u ilro e uadraura. El ilro e uadraura es u iruio pasa odo, que desplaza las opoees posiivas de reueia ua ase de -9º y las opoees egaivas de reueia ua ase de 9º, de esa aera u desase de ±9 equivale a ulipliar por e j9 j, la uió de rasereia puede ser epresada e érios de la uió sigo: j H Q jsg j Y uilizado el eorea de la dualidad la orrespodiee respuesa al ipulso: h Q ( hora, apliado ua señal ( arbiraria a la erada del ilro, la señal de salida esará dada por: y( hq ( * ( y se deoia la rasorada de Hilber, deoada o ˆ(, eoes: ( ) ˆ ( ( * d Cabe aoar que la rasorada o ausa u abio de doio, se esa operado dos señales e el doiio del iepo y el resulado es ora e el doiio del iepo. Eoes el espero de la rasorada de Hilber será: F [ ˆ( ] ( j sg ) X ( ) El ojuo de los pares de rasoradas de Hilber, o es a eeso oo el de las rasoradas de Fourier, solo eise par u ojuo liiado de odelos de señal. e puede observar que h Q ( es ua uió o ausal y por lo ao el ilro e uadraura es ísiaee irrealizable, auque su oporaieo puede ser aproiado e ua bada de reueias iia e ua red real. uque la rasorada de Hilber opera elusivaee e el doiio del iepo, iee ua serie de propiedades basae úiles. suiedo ua uió real ( :. La uió ( y su rasorada de Hilber iee el iso espero de agiud. deás la eergía o poeia de la señal y su rasorada so iguales. Eso debido a que jsg para odo.. i ˆ( es la rasorada de Hilber (, eoes - ( es la rasorada de Hilber de ˆ(. 3. Ua señal ( y su rasorada ˆ(, so orogoales: ( ˆ( d Para señales de eergía y li ( ˆ( d para señales de poeia. rasorada Hilber de ua señal oseoidal Esa rasorada se euera sipleee apliado el oepo del desplazaieo de ase al ilro e uadraura, eoes si ( os( w ), eoes: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 3

37 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Xˆ ( ) jsg X( ) j [ ( ) ( )] sg [ ( ) ( )] Eoes j ˆ( se( W ) Ese par de rasoradas es basae uilizada para eorar la rasorada de Hilber de señales que osise e ua suaoria de siusoides. rasorada Hilber de u pulso reagular Cosiderado u pulso reagular reardado de la ora ( [ u( u( )], su respeiva rasorada de Hilber es: ˆ ( d Gráiaee se iee: La graia de la dereha represea el aso para /, e el ual las áreas se aela para, eoes: ˆ( d [l( l( )] ˆ ( l hay aelaió de área para o y ˆ( La obiaió de los dos resulados da oo resulado ˆ ( Ese resulado abié sirve para d l l /, y o Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 33

38 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua 3 EL UIO Y U FILJE 3. El uido Las señales elérias o deseadas suele ser geeradas por diversas uees, geeralee lasiiadas por las ierereias hehas por el hobre o por ruido geerado auralee. Coo se había eioado o aerioridad, el ruido heho por el hobre esá relaioado a oros siseas de ouiaió, siseas de igiió o hispa. Los ruidos geerados auralee so geerados por los eóeos aosérios, radiaió eera a la ierra, el ruido produido al ierior de los siseas. E la práia de la igeiería, el eeo produido por esos eóeos se ha iiizado y e alguos asos se ha eliiado, si ebargo eise alguas señales que o puede preverse y represea u líie udaeal para el desepeño del sisea. U ruido ieviable e las ouiaioes elérias se el ruido ério, geerado por el oviieo de los eleroes e u edio de oduió. 3. uido ério y poeia dispoible Para los propósios de la rasisió el ruido ério se osidera que es produido por el oviieo aleaorio de argas pariulares (usualee el eleró) e u edio de oduió. Para la eoría iéia, la eergía proedio de ua paríula a la eperaura absolua es proporioal a k, dode k es la osae de Bolza, eoes el valor del ruido ério debe iluir ese produo e su deiiió. Iiialee Johso y yquis, esudiaro el ruido e los resisores eálios, eoes uado ua resiseia de valor, esá soeida a ua eperaura, el oviieo aleaorio de los eleroes produe u volaje de ruido v ( ere ua par de eriales abieros. Cosiseeee o el eorea del líie eral v ( iee ua disribuió Gaussiaa o ério edio e ero y variaza: v v ( k ) 3h 3 Bolza=.38 J / K v ode esá dado e grados Kelvi, k osae de h la osae de Plak= 6.6 La preseia de la osae de Plak es el resulado de la eoría quáia, la eoría uesra que el proedio uadrado de la desidad esperal de ruido ério es: h Gv ( ) V / Hz, el ual para, iee la ora: h / k e Esa epresió se redue para las reueias bajas a: h k G v ( ) k k h Las dos epresioes oie la eergía orrespodiee al puo ero, el ual es idepediee de la eperaura o hae pare del ruido ério raserido a ua arga. oruadaee e el ejeriio de la igeiería o es eesario uilizar esas epresioes, debido a que la eperaura abiee o esádar es =9ºK (63ºF). i ebargo para el irarrojo esa olusió o es a aerada, por ese oivo para odos los propósios de aálisis la edia del uadrado de la desidad esperal de poeia de ruido es: G v ( ) k V / Hz 34 J Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 34

39 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Eso se uple siepre que h k, u problea o esa epresió es que predie ua variaza v uado G v ( ) es iegrada sobre oda reueia. i ebargo rara vez se rabaja o v porque v( es siepre objeo de ilraió e los iruios. Por ahora se uilizará esa epresió para deeriar el equivalee hevei de resiseia: E esa represeaió la resiseia de ruido es replazada por ua resiseia si ruido del iso valor, y el ruido es represeado por u geerador de volaje uadrado edio. El equivalee oro esá represeado de igual aera, o u geerador de orriee edia uadrada, dado por: G ( ) G ( ) / k i v / Por oro lado para o rabajar o los geeradores de orriee o volaje, es ás laro y rápido, desribir el ruido ério ediae la poeia dispoible, reordado que es la áia poeia que puede ser eregada a ua arga desde ua uee o ua resiseia iera dieree de ero. deás se aplia el eorea de áia rasereia de poeia e el ual la áia poeia es eregada uado la ipedaia de la arga es el oplejo ojugado de la ipedaia de la uee. Para el iruio aural se iee que: s ( / vs ( v Pa s 4s Uilizado el oepo de hevei, por oparaió se iee que la desidad esperal Gv ( ) para la resiseia de arga es: Ga ( ) k W / Hz 4 Eoes u resisor ério erega ua áia desidad de poeia de k / a ua arga adapada, si eer e uea su valor. 3.3 uido Blao deás de las resiseias érias, eise uhos oros ipos de uees de ruido que so gaussiaas y iee ua desidad esperal plaa sobre u aplio rago de reueias, siilar a u espero o odos los opoees de reueia e igual proporió, a ese ipo de ruido se le ooe oo ruido blao, haiedo aalogía a la luz blaa. El ruido blao es u odelo oveiee y basae eao e siseas de ouiaioes y la suposiió de u odelo Gaussiao perie que para las apliaioes e ouiaioes, pueda ivoarse las propiedades aes eioadas. Eoes la desidad esperal del ruido blao esá dada por: G ) / ( ode represea ua desidad osae e la oaió esádar. La osae ½ se iluye para idiar que la iad de la poeia esá asoiada o las reueias posiivas y la ora iad o las reueias egaivas. leraivaee represea la desidad esperal uilaeral. hora, pueso que la desidad esperal es ooida, la uió de auoorrelaió es obeida direaee ediae Fourier: j ( ) ( / ) e d ( e la epresió se puede observar que ( ), de esa aera, ualquier par de uesras de ua señal de ruido blao gaussiao so o orrelaioadas y esadísiaee idepediees. Esa apreiaió, aoplada o el espero osae de poeia, perie oluir lo siguiee: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 35 / ) ( )

40 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua - Cuado el ruido blao es osrado e el osilosopio, los barridos suesivos so siepre dierees uo de oro, auque se observe que la ora de oda es la isa, si iporar la veloidad de barrido que s e eplee, pueso que odas las asas de variaió de iepo (opoees de reueia) esá oeidas e igual proporió, siilaree si el ruido blao se lleva a u parlae siepre suea lo iso, algo oo ua aída de agua. El valor de depede de dos aores: El ipo de ruido y El ipo de desidad esperal, si la uee es u resisor ério, eoes la desidad del volaje uadrado edio y la orriee uadrada edia so: v 4k i 4k / ode los ídies idia el ipo de desidad. deás, por deiiió, ualquier uee de ruido ério iee desidad esperal uilaeral dada por G a ( ) k. Coo se había eioado, o odas las uees de ruido gaussiao so del ipo ério, e el seido e que la poeia geerada o depede de ua eperaura ija, o obsae se puede hablar de eperaura de ruido para ualquier uee de ruido blao (ério o o) deiiedo: G a ( ) k k Eoes, dada la eperaura de uee de ruido, se iee que: k, se debe reordar que esa eperaura de ruido o es ua eperaura ísia, por ejeplo alguos geeradores de ruido iee eperauras de 3 º K(5 º F), pero los disposiivos seguraee o siee esa eperaura. hora osidere u ruido blao gaussiao o desidad esperal G ( ) / apliado a u ilro LI que iee uió de rasereia H ( ), la respuesa de salida y( obeida debido al ruido gaussiao apliado sería: G y ( ) H ( ) y ( ) o F H ( ) y se obiee y y ( ) H ( ) d oe que la desidad esperal de ruido ilrado oa la ora de H ( ), eoes se die que la ilraió de ruido blao produe u ruido oloreado, o la reueia priipal oeida e el rago de paso del ilro. Para u ilro ideal pasabajas de gaaia uiaria y aho de bada B se iee que: G y ( ) y y ( ) Bsi B B e puede observar que el ilro pasabajas ausa que la salida de ruido ese orrelaioada sobre iervalos de iepo de alrededor de /B, eoes: y B Fialee se oluye que la poeia de salida es direaee proporioal al aho de bada del ilro. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 36

41 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua 3.3. uido ério e u iruio C Cosidérese el siguiee iruio C o ua resiseia a eperaura : eplazado la resiseia éria o su equivalee hevei se obiee u iruio e el ual, ua uee de volaje proedio uadrado G k V / Hz apliada a u ilro pasabajas C, o ruidoso. deás se ooe que la agiud de la uió de rasereia del ilro es H ( ) [ ( / B) ]. Por lo ao la desidad esperal de salida será: k G y ( ) H ( ) G ( ) Co B ( / B) C Y la rasorada iversa sería: ( ) k - B k - / C Be e C Eso uesra que el volaje de ruido ilrado, iee apreiable orrelaió e iervalo aproiadaee igual a la osae C del ilro. Eoes se puede deir que y ( es ua señal gaussiaa aleaoria si opoee d, dado que ( es gaussiaa de edia ero, y: e aera sorpresiva, se puede observar que ás adelae se epliará ese aso. y y () k C y o depede de auque sea ua uee de ruido ério, upoga ua eperaura de ruido igual a la eperaura abiee y ua apaaia de.μf eoes: y 4* volaje de ruido. / 7 4* 4 y el valor rs seria de aproiadaee.μv, que es u valor ípio de 3.3. ho de Bada Equivalee de uido El ruido blao pariularee iee ua poeia iia, para eaizar ese heho se desiga la poeia de uee proedio por =y y esribiedo la euaió de la ora: H( ) d H( ) d Coo la iegral de la uió depede solo de la uió de rasereia, se puede sipliiar la disusió de la poeia de ruido, deiiedo el aho de bada equivalee de ruido B. B H ( ) d H ( ) ode H ( ) a es la relaió de apliud e el puo eral (asuiedo que el a ilro iee ua opoee de reueia eral o apliud sigiiaiva). Por ao la reueia de ruido ilrado es: H ( ) a o B Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 37

42 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua e la epresió obeida se puede deir que el eeo del ilro se ha dividido e dos pares:. La seleividad relaiva de reueia, desria por B.. La gaaia o aeuaió de poeia, represeada por H ( ) a e esa aera B iguala el aho de bada de u ilro ideal, o la isa gaaia de poeia de ruido blao oo la gaaia del ilro e uesió. Eoes apliado esas euaioes al ilro previaee aalizado, la reueia eral del ilro es =, eoes H () y B d B ( / B) 4 C Ese resulado perie epliar porque y o depede del valor de la resiseia, dado que si se esribe y B (4k )(/ 4C), de esa aera si se ireea el valor de la resiseia, se ireea la desidad de ruido, pero se disiuye el aho de bada de ruido. Esos dos eeos se aela ere si hae que la desidad de poeia de ruido o depeda de la resiseia, e oseueia y k / C. Por deiiió el aho de bada ruido de u ilro ideal es el aho de bada real, pero para los ilros reales el aho de bada de ruido es ayor al aho de bada de 3dB, si ebargo uado el ilro se hae ás seleivo (ore ás deiido), el aho de bada de ruido puede aproiarse al aho de bada de 3dB. esuiedo, si y ( es el ruido blao ilrado o edia ero, eoes: y y H( ) B y H( ) Eso sigiia que dada ua uee de ruido blao, u valor proedio edido (o u volaje uadrado edio edido), puede leerse oo y B B, dode B es el aho de bada equivalee de ruido 4 COMUICCIÓ B BE 4. eñales y uido E los siseas de eleouiaioes la preseia del ruido es ieviable, las señales al aravesar u edio de rasisió se ve aeadas por los eeos del ruido blao adiivo, el eeo del ruido se esudia e u priipio para señales de bada base, que so aquellas que se rasie direaee al edio, si igú ipo de odiiaió o adeuaió. El resulado obeido e bada base se uiliza oo reereia oparaiva para los proesos de adeuaió de señal y su respuesa ree a la preseia de ruido. 4.. uido adiivo y relaió señal a ruido La oaiaió del ruido e la rasisió de señales, usualee iee u eeo adiivo e el seido e que el ruido se sua a la señal de ioraió e varios puos ere el siio de orige y el de desio. Para propósios de aálisis odo el ruido será oerado o uiiado e ua uee suada a la señal que igresa al reepor, de esa aera el sisea de ouiaioes orrespodiee será: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 38

43 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Ese diagraa eaiza el heho de que la pare ás vulerable al ruido es la erada del reepor, dode la señal rasiida iee el ivel ás bajo. deás las uees de ruido, presees e oros puos, puede ser reereiadas a la erada del reepor uilizado dierees éias. ebido a que el reepor es lieal, la obiaió a la erada dará oo resulado para el desio, la señal de ioraió as ua señal de ruido. Eoes, la señal que llega al desio es: y ( ( ( La poeia oal de salida es eorada proediado la epresió: y ( ( ( ( ( Para proediar esa epresió se raa la señal oo ua uió de uesra de u proeso ergódio y se hae dos suposiioes razoables sobre el ruido adiivo:. El ruido proviee de ua uee ergódia o edia ero y desidad esperal de poeia G ( ) ;. El ruido es ísiaee idepediee de la seña de ioraió y e oseueia o orrelaioado o ella. Bajo esas odiioes el proedio esadísio del produo ( ( es igual a ero porque ( y ( so ioherees. sí, el proedio de y ( será: y ( ( ( Lo ual iplia que ei se ua superposiió de la poeia de la señal y del ruido e el desio, realado la diereia ere la poeia de la señal deseada y la de ruido o deseado, iroduiedo la siguiee oaió: ( ( se iee que y( Luego la relaió señal a ruido, relaioa la poeia de la señal deseada o la poeia de ruido e deibeles: ( / ) / ( / ( Esa relaió provee ua iporae y úil idiaió sobre el grado de oaiaió que ejere el ruido adiivo sobre ua señal. Pero se debe oar que esa ierpreaió es válida siepre y uado el ruido saisaga las odiioes de ergodiidad e idepedeia ísia. e lo orario y ( debe iluir el produo de la señal y el ruido. La superposiió de la señal y el ruido es ua siuaió úil para el rabajo eperieal, porque o es posible apagar la uee de ruido para deeriar sola. Para eso se debe edir o la señal apagada y edir y (, o la señal eedida. Ua vez se ega esos dos resulados se puede alular ( / ) a parir de la relaió y / ( )/ ( / ) Coo se había aalizado previaee e siseas de ouiaioes se rabaja o el ruido blao o desidad esperal de poeia G ( ) /. i u reepor iee gaaia g r y aho de bada de ruido B, la poeia de ruido e el desio será g r B, oo iee disribuió Gaussiaa ese aso de ruido se ooe oo uido Blao Gaussiao diivo (WG). 4.. rasisió de señal aalógia La rasisió de ua señal aalógia e bada base se puede represear ediae u sisea o las siguiees araerísias: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 39

44 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua La ioraió geera ua señal ( que debe reproduirse e el desio, odelado la uee oo u proeso ergódio araerizado por ua señal de aho de bada W al que ua uesra de la señal ( iee oeido esperal sigiiaivo para W. El aal se asue si disorsió sobre el aho de bada del esaje, eoes K( ), para oerar el aálisis e los eeos oaiaes del ruido blao ( d oo ua edida de la relaió señal a ruido del sisea e el desio. La poeia proedio geerada por la señal puede represearse oo. ebido a que el aal o eesia eualizaió, el rasisor y el reepor sipleee aúa oo apliiadores, o ua iera gaaia que opesa las pérdidas geeradas e el aal de rasisió. e esa aera la poeia de la señal rasiida, la de la señal reibida y la del desio, esá relaioados por: g g E el sisea plaeado se uiliza u ilro pasabajas oo pare del reepor, el ual iee oo uió, dejar pasar la señal o la eor aidad de ruido posible, obviaee el ilro debe rehazar odas las opoees de reueia de ruido, que esá uera del aho de bada del esaje. La poeia resulae e el desio será g W dode W orrespode al aho de bada equivalee de ruido. Cabe aoar que la gaaia del reepor apliia ao la señal oo el ruido, por igual, por lo ao esa gaaia se aela uado se divide ere, luego: ( / ) / W / L g E deibeles la epresió iee la ora: log db db k W 74 ode 74 proviee de epresar la desidad esádar e ili vaios. log W Ese resulado arroja la relaió señal a ruido del desio, e érios de res paráeros udaeales del sisea: la poeia de la señal reibida, la desidad de ruido a la erada del reepor, y el aho de bada del esaje W. e puede ierprear el deoiador oo la poeia de ruido e el aho de bada de la señal, aes de igresar al apliiador, oseueeee ua señal o aho de bada grade se verá ás aeada por el ruido que ua señal de bada agosa. La siguiee abla, lisa alguos de los valores ípios de relaió señal a ruido, juo o el rago de reueia eesario para varios ipos de siseas de ouiaioes. El líie superior del rago de reueias es igual al aho de bada oial del esaje W, el líie ierior abié es rasedee para el diseño, porque uhos siseas de rasisió iluye rasoradores o apaiores de aople, que degrada la respuesa a bajas reueias. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 4

45 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua ipo de señal ago de Freueia elaió señal a uido (db) Voz esasaee ieligible 5Hz a khz 5 - Calidad eleóia de voz Hz a 3.kHz 5-35 Calidad de voz ipo radiodiusió M Hz a 5kHz 4-5 udio de ala idelidad Hz a khz Video 6Hz a 4.kHz La relaió señal a ruido e el desio, o depede de la gaaia del reepor, debido a que esa solo sirve para produir el ivel deseado de señal a la salida. i ebargo ( / ) será aeada por algua gaaia o pérdida que ere e juego aes que el ruido sea agregado, espeíiaee, al susiuir e la epresió de ( / ), se obiee: ( / ) / L W Eoes se puede apreiar que la relaió señal a ruido es direaee proporioal a la poeia de salida del rasisor e iversaee proporioal a las pérdidas de rasisió. Cuado los paráeros e la aerior epresió so ijos y la relaió señal a ruido es pequeña, se debe osiderara la uilizaió de repeidores para ejorar el desepeño del sisea. Pariularee se oa que el rayeo de rasisió se divide e seioes, ada ua de las uales presea u ivel de pérdidas L, si u repeidor apliiador o desidad de ruido se isera al ial de la priera seió, su orrespodiee relaió señal a ruido a la salida será: ( / ) / L W Por lo geeral los repeidores so diseñados para que opese las pérdidas ausadas durae el rayeo aes de llegar a él, ese aálisis olleva a osrar que si u sisea se oora de seioes de repeiió idéias (iluido el reepor), la relaió señal a ruido geeral sería: L ( / ) ( / ) L L W Coparado o la rasisió direa, ese resulado represea ua ejoría debido al aor L / L. Cabe reordar que los aálisis se ha realizado para siseas ideales, por lo ao las epresioes obeidas, so el líie superior de la relaió señal a ruido de u sisea de ouiaioes aalógias. i el aho de bada de ruido del ilro pasabajas es ligeraee superior al del esaje la relaió señal a ruido se verá aeada por aor W / B Ejeriio: osidere ua líea de rasisió o L=4dB= 4 y 5, e la ual se requiere audio de ala idelidad o u aho de bada W=kHz y / 6dB. eerie la poeia de rasisió. La poeia eesaria e rasisió se deeria uilizado la epresió: 74 log W db db db 74 log 5 Eoes db db 4 W db 64, ahora la poeia del rasisor 7 esará dada por: L 4 W 4 W Es ipesable apliar esa poeia a u able de rasisió, si ebargo se podría agregar u repeidor e la 7 iad, al que L 7dB (reordado que las pérdidas e u able so proporioales al aaño de ese), la ejora proporioada por ese repeidor será: 4 L L Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 4

46 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua 7 6 Lo ual ejora el requeriieo de poeia de seña rasiida 4 / 5 8W, u valor ás alazable, se podría oar ua poeia rasiida dero del rago de a W para asegurar los valores requeridos. epia el ejeriio aerior para el aso de rasisió de video o W=.4MHz y / 5dB rasisió de u pulso e bada base o ruido La rasisió de pulsos se diereia de la rasisió aalógia debido a que o se raa de reproduir ua ora de oda, sio de ideiiar el ivel de u pulso, el iepo de llegada o diserir de la preseia o o de u pulso, de esa aera el oepo de relaió señal a ruido e la rasisió de u pulso o iee uho sigiiado. Medida de u pulso o ruido e debe osiderar e prier lugar la edida de alguo de los paráeros de ua señal de pulsos reibida p( y que esá oaiada por ruido adiivo: ode Esa señal se supoe ás o eos reagular o ua apliud, ua duraió τ y ua eergía de E p, se ve aeada por u ruido blao o desidad esperal de poeia G ) / y edia ero. Ese ( pulso se reibe y se reueve el eeso de ruido, ediae u ilro seleivo, de gaaia uiaria y aho de bada B /, de esa aera la salida esará dada por: y ( p( ( Que represea ua variaió de ruido superpuesa a ua señal rapezoidal o / B Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 4 r i se desea edir la apliud del pulso, se debería oar u iepo a era al ero de la señal, obeiedo ua señal aleaoria: y ( ) ( ) ( a ), represea la agiud del error, eoes la variaza del error esará dada por: B u valor basae pequeño si se opara o. Por oro lado ooiedo que /, se puede esribir la variaza oo: Cualquier ilro o u aho de bada eor a /, redue la apliud de salida del pulso y la del ruido. La edida de la llegada de u pulso o su duraió, usualee se lleva a abo por la deeió del isae b, uado y ( ruza por u ivel ijo /. La perurbaió del ruido ), osrada e la igura, ausa u error E p a ( b de iepo-posiió. Por seejaza de riágulos se puede observar que: ( ) b r Eoes ubsiuyedo r y ( ) b r r a y adeás se iee que: r 4B B 4B E p B E P lo ual iplia

47 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua que puede haerse arbirariaee pequeña al haer B uy grade, ausado que el iepo de rizo se aproie a ero. Pero el pulso rasiido iee u iepo de rizo dieree de ero, deeriado por el aho de bada de rasisió B. Por lo ao 4B 4B Y el salo ás bajo será obeido o el aho de bada del ilro sobre será obeido o B /. E p B B e orase el salo ás bajo Ejeriio: supoga u pulso de irosegudos rasiido sobre u aal o Calule / y / uado: ( a) B / ( b)b B B 8 Hz y E / 5. p 4. isorsió de la señal rasiida E la seió.5.6 del segudo apíulo, se esudió las araerísias de la rasisió o disorsió deiiédose res ipos de disorsió: isorsió de pliud, que ourre uado H ( ) K. isorsió de Fase, uado arg ( ) j 8 H d isorsió o lieal, que ourre uado el sisea esá opueso de eleeos o lieales. E esa seió se aaliza la disorsió apliada a siseas espeíios: Coo prier ejeplo de la disorsió osidere la uió: ( os w / 3os3w / 5os 5 w hora supoga u sisea de rasisió que iee la siguiee respuesa e reueia: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 43

48 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Ese sisea saisae la odiió de rasisió si disorsió para las reueias ere khz y 3kHz, dode la respuesa e apliud es osae y la ase iee u reardo lieal. Para las reueias ieriores a khz y superiores a 5kHz se presea disorsió de apliud y para las reueias superiores a 3kHz se presea ua disorsió de ase. 4.. Eualizaió ( H ( ) Caal ( H eq ) Eualizador y( La disorsió lieal (apliud y reardo) es reuperable, a ravés de redes de eualizaió, oo la que uesra la igura e la ual se oloa u eualizador e asada o el aal disorsioado. Eoes la uió de rasereia del aal es H ( ) H ( ) H eq( ) y para que soluioar el problea de disorsió se debe uplir que H ) jw d ( ) H ( Ke, eoes la uió de rasereia del eualizador eq jw d Ke es: Heq( ) uplir o esa odiió es basae opliado y diíil de oseguir, si ebargo e H ( ) el eoro real se iee uy bueas aproiaioes. Ua de las éias ás aiguas de eualizaió para las líeas eleóias es la uilizaió de bobias de pupiizaió, u éodo ás reiee osise e la apliaió eualizadores de líeas de reardo o ilros rasversales: y( H H eq eq ( ) ( ) ( ( e ( e jw jw ) e e ( j w jw ) e jw ) Geeralizado M jw H ( ) ( e ) eq M e jwm 4.. isorsió ulirayeoria E los siseas de ouiaioes, e oasioes se reibe la señal direa, y úliples versioes de ésa, a ese eóeo se le ooe oo ulirayeoria, se la respuesa del sisea: y ( K( ) K ( dode el segudo ério orrespode al dupliado reasado de la señal, ahora: jw jw jw jw H ( ) K e K e K e ( ke ) dode k K / K y por lo ao las araerísias del eualizador so: jw j w Heq( ) ke k e si k se iee que: jw ke H eq ( ) ( e jw jw k k e ) e jw, que iee la esruura del eualizador viso previaee Copasió Para el aso de la disorsió o lieal dode se geera opoees de W, 3W, e, puede eliiarse dihas opoees uilizado u ilro, si ebargo el problea de las opoees que se raslapa e la Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 44

49 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua bada de la señal origial o puede eliiarse a áilee, para erear ese ioveiees se eplea u iruio opresor - epasor, al que: 4..4 Ejeriios de disorsió. La señal se4 a sido rasiida por u aal uya uió de rasereia produe ua salida se (4 ), euere la uió de rasereia del aal y graique el espero de agiud y ase e el rago de 3. Cosidere el aal de rasisió o H ) jw C ( ) ( os w e, uesre que y ( ( ( ) ( ), es deir la salida iluye u eo priipal y uo seudario. 3. iseñar u eualizador de líea de reardo para el aal del ejeriio aerior, o α=, Pérdidas de rasisió y deibeles e el sisea deás de la disorsió del aal, el sisea de rasisió puede ausar ua pérdida de poeia o uerza de la señal de salida, la ual puede epresarse e érios de perdidas de la poeia de rasisió. uque la apliiaió puede soluioar ese ioveiee, la preseia de ruido e el aal puede aear graveee la reepió de la señal Gaaia de poeia E u sisea LI si disorsió, o ua señal de erada de poeia proedio P i, la poeia de la señal de salida debe ser proporioal a la de la seña de erada, de esa aera, la gaaia de poeia de u sisea esá dada por g P ou / P (g o hae reereia a la respuesa al esaló, es u paráero i osae). Los siseas que iluye apliiaió iee valores grades de g, por oveieia esos valores de gaaia suele darse e deibeles: Eise dierees ipos de deibel: g db log eibel relaivo: ese valor es uilizado para relaioar pérdidas o gaaias de u sisea. Por ejeplo u sisea que odiia el ivel de ua señal que lo araviesa Para ese aso el valor de ( depede de las poeias de erada y salida P P ediae la siguiee relaió: G o L P P G log db o L log db G LdB o G vees P P L eibel absoluo: relaioado a u ivel deeriado. E siseas de rasisió los deibeles represea relaioes de poeia, por ese oivo la poeia de las señale puede ser epresada e deibeles, de la siguiee aera: P[ W] P dbw log y W dbwaio dbw P( Wa log Wa Miro odas dbwaio db P( W) log W Z=6Ω eleoia FM M Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 45 g P[ W] P db log W

50 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua P( KW ) dbkwaio dbk log KW E( V / ) db Waio / db log V / dbilivolio dbisoropia P( V) dbv log V Gaea dbi log G isoropia FM M y Móviles V (ierra, able, saélie) eas Las operaioes básias de los deibeles so la resa y la sua, alarado que o puede suarse valores absoluos ere sí, pero si u valor relaivo o u valor absoluo, eoes se iee que: log B log log B y log log log B B Eoes la poeia a la salida del sisea será P ou g db P i db, las señales e deibeles se uiliza por la baja poeia de las señales uilizadas, adeás ailia las operaioes, abiado los produos y divisioes por suas y diereias. Cosiderado u sisea o uió de rasereia H ( ), al ual se le aplia e la erada ua señal siusoidal de apliud, produe ua salida de apliud y H( ), o poeias oralizadas P / y Py y / H( ) P, esa poeia oralizada o es eesariaee igual a P i y P ou, si ebargo uado hay adapaió de ipedaias la relaió P / P es igual a P / P, eoes si ou i H ) jw ( Ke d se obiee que: g H( ) K E ese aso la gaaia de poeia se aplia abié a las señales de eergía e el seido e que uado el sisea o iee adapaió de ipedaias la gaaia de poeia es proporioal a K. deás la gaaia relaiva de poeia se deie oo: y ( ) log H( ) H db E ge, 4.3. Pérdidas de rasisió y repeidores Cualquier edio de rasisió presea pérdidas de poeia, ás que gaaia, al que P ou Pi y L / g P i / P ou, eoes la aeuaió e deibeles será L db g db log Pi / P dode ou Pou Pi / L y P oudb P idb L db Para el aso de las líeas de rasisió oo el able oaial, el par rezado, las guías de oda, la ibra ópia, la aeuaió es uió de la disaia, es deir a ayor disaia hay u reiieo epoeial de la aeuaió, luego: ( /) P ou P dode es la disaia alazada por el edio de rasisió y es el i ( /) oeiiee de aeuaió e db por uidad de logiud, eoes la aeuaió será L e vees y e deibeles L. db Para geeralizar, e la siguiee abla se uesra el oeiiee de aeuaió para alguos edios de rasisió y reueia de señal. y Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 46

51 eoría de eleouiaioes I Medio de rasisió Freueia L db/k Par de líeas abieras (diáero.3 ) Khz.5 Par rezado (alibre 6) Khz Khz 3 3Khz 6 Cable oaial (diáero ) Khz Mhz 3Mhz 4 Cable oaial (diáero 5) Mhz.5 Guía de oda reagular 55 Ghz 5 Guía helioidal (diáero 5) Ghz.5 Fibra Ópia 3.64Hz.5.44Hz.5.84Hz. Uiversidad del Caua Ejeplo: upoga ua señal rasiida por u aal de 3 kilóeros, o oeiiee de aeuaió de 9 9 3dB/K. Eoes L db 3 3 9dB y L proporioado ua poeia P ou P. i Para soluioar grades iveles de aeuaió, se uiliza los iruios apliiadores, por ejeplo la siguiee igura uesra u sisea de rasisió o ua salida apliiada y u repeidor apliiador iserado era de la iad del rayeo eió de Cable Eoes debido a su oiguraió e asada la poeia de salida será: e db la epresió es ás seilla de visualizar pliiador epeidor P g g ) ( L L ) ou eió de Cable ( 4 3 pliiador de alida P g g g g P o ou 3 4 i P i P g g L L 4 ou P i rasisioes vía radio La rasisió de señales por radio propagaió puede reduir el úero de repeidores eesarios y iee la veaja adiioal de eliiar los able largos, si ebargo es iporae aalizar las pérdidas que se iee e ua rasisió por líea de visa, que es el odo de propagaió ás oú e ouiaioes de larga disaia e reueias alrededor de los Mhz. Las pérdidas e el espaio libre se debe a la dispersió aoséria y esá dada por: pero usualee se epresa e érios de db, o la disaia epresada e Kilóeros y la reueia e Ghz, eoes: L 9.4 log la aeuaió ireea e ora epoeial segú el db Ghz log k logario de, de al aera que ireeado el rayeo e el doble, auea la perdida e 6 db. deás las aeas iee u eeo oalizador que aúa oo u apliiador e la edida que: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 47 L 4 4

52 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua GG P ou P G i y G so las gaaias de las aeas reepora y reepora, respeivaee. L La áia gaaia de ua aea para u área de aperura e es: G 4 / 4 / el área e e eeiva para aeas ipo hor o ipo plao es aproiada al área ísia rasisió saelial Para el aálisis de las perdidas e u sisea saelial, se oará oo ejeplo u sisea de elevisió rasoeáio o u saélie e la orbia geoesaioaria sirviedo oo repeidor (36K). El elae de subida esa a 6Ghz y elae de bajada esa a 4Ghz. Para el elae de subida las perdidas de espaio libre será L u 9.4 log 6 log db y para el elae de bajada se iee que L d.4 log 4 log dB 9 Para el aálisis del sisea opleo se debe eer e uea varios aspeos que se resala e la graia del sisea: E su oiguraió oo apliiador repeidor, proporioa ua poeia de salida de 8dBW, si la poeia de erada al rasisor es de 35dBW, la poeia reibida e el saélie será: 35 dbw 55dB 99.dB 99. dbw hora la poeia de la señal de salida del reepor será: 8 dbw 6dB dBW (.6 /) Y la poeia e Vaios P ou W 8.7 W Ejeriios de Pérdidas. U rayeo de 4 kilóeros de ua red ableada, iee ua aeuaió de,4db/k, se desea ua poeia de salida de 5W uado la erada es de W, se dispoe de repeidores que da áio 3dB de gaaia. eerie la aidad de repeidores eesarios para obeer ese valor de poeia e salida.. upoga u radio elae que rabaja a 3Ghz, o ua oberura de 4k y poeia de salida de 5W. eerie la relaió señal a ruido del sisea, si =6 o, la gaaia de las aeas osidérela de db. 3. E u sisea de ouiaioes la salida del reepor es de -3dB, si se sabe que el sisea iee ua poeia de ruido de db. eerie la poeia de la señal de ioraió reibida si ruido, y la relaió señal a ruido del sisea. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 48

53 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua 5 MOULCIÓ LIEL 5. eñales y iseas Pasabada Para realizar ouiaioes eeivas y eiiees sobre disaias apreiables, usualee es eesario uilizar ua poradora de ioraió de ala reueia. E oseueia es eesario apliar el oepo de la raslaió de reueia de las propiedades de Fourier, para señales de bada liiada. E siseas de rasisió a largas disaias, el oporaieo del edio es siilar al de u ilro pasa bada y las señales que viaja por esos edios debe eer u espero de bada de paso. Para aalizar los éodos y araerísias de las señales y siseas pasa bada es eesario esableer alguas oveioes. 5.. Coveioes para esajes aalógios La señal ( es u esaje o ua uesra de los esajes que puede geerar ua uee, la resriió que sobre esa se ipoe es que debe eer u aho de bada bie deiido W, es deir su oeido esperal sigiiaivo debe esar e W. Por oveieia aeáia las agiudes de la señal esaje será oralizadas eiedo (, ausado ua liiaió sobre la poeia proedio del esaje: ( ( represea señales de poeia o señales de eergía, depediedo de las irusaias. E oasioes el aálisis de ua ( arbiraria, suele orarse oplejo y asi iposible, para soluioar ese ioveiee se reurre a la uilizaió de u aso espeíio, el oo de odulaió: ( Cosw Co y W Ese oo de odulaió perie rabajar o esperos de líeas uilaerales y sipliia el álulo de poeias, adeás si se puede eorar la respuesa del sisea de odulaió para ua reueia, esa respuesa se puede geeralizar para ualquier reueia, eepo e el aso de o liealidad del sisea. Para desubrir los eeos o lieales poeiales puede uilizarse u ulioo de odulaió, oo: os w os w... o... para saisaer la oralizaió ( 5.. eñales pasabada Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 49 oado ua señal v bp ( uyo espero V bp ( ) iee araerísias pasabada oo lo uesra la igura, ese espero iee siería heriiaa porque v bp ( es real, pero V bp ( ) o es eesariaee siéria alrededor de, eoes se deie la señal pasabada por sus propiedades del doiio de la reueia: V ( ) W W Lo ual espeiia que la señal o iee oeido esperal uera de la bada de aho W erada e. El valor de y W es arbirario, siepre y uado saisaga la epresió aerior, adeás que W <. La orrespodiee ora de oda de la señal pasabada uesra ua siusoide de reueia, o abios leos de apliud y de águlo de ase, que puede esribirse oo: v bp bp ( ( os( w ( )

54 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua ode ( es la evolvee y ( es la ase, las dos e uió del iepo. La líea pueada es la evolvee la ual es deiida oo o egaiva (, uado eisa apliudes egaivas se absorbe e la ase agregado 8. La señal v bp ( puede epresarse oo u veor e el plao oplejo, uya apliud es ( y su águlo es w (. Pero el ério agular represea u esado de roaió e el seido orario a las aeillas del reloj a e uadraura. e esa aera se iee que: revoluioes por segudo y el ual puede ser supriido obeiedo la represeaió esaioaria del veor o el puo de parida. deás la represeaió asorial aural sugiere u uevo ipo de represeaió para (, oo la sua de opoees e ase y v bp uadraura, eoes se iee que: v i ( ( os ( y ( ( se ( ode v i orrespode a la opoee e ase y v q es la opoee v v bp bp ( ( v ( osw i v ( osw i v q v ( sew q v ( os( w Esa represeaió se ooe oo la desripió de poradora e uadraura de la señal pasabada y iee la veaja de eer ua represeaió e el doiio de la reueia relaivaee áil, dada por la rasorada de ourier y la apliaió del eorea de la odulaió. j V ) [ V ( ) V ( )] [ V ( ) V ( )] ode V i y q respeivaee. V orrespode a las rasoradas de Fourier de las opoees e ase y e uadraura, q 9º ) bp ( i i q q La desripió de la evolvee de la señal y su ase es: ( v ( v ( epresioes a las uales o se puede alular su rasorada de Fourier. i q ( vq ( ara v ( La represeaió e reueia V bp ( ), iee ua ipliaió iediaa para saisaer la odiió de señal de bada pasae, las uioes e ase y uadraura debe ser ales que Vi ( ) Vq ( ) para W. E oras palabras V bp ( ) esá osiuido por dos esperos pasabajas que ha sido rasladados y e el aso de V q ( ) desplazado e ase. Esa propiedad perie la deiiió e u espero pasabajas equivalee: V V lp lp ( ) ( ) [ Vi ( ) V ( bp jv ( )] q ) u( V lp es la porió de reueias posiivas de V bp rasladada al orige. E el doiio del iepo se obiee que: vlp ( [ vi ( jvq ( ] Eoes la represeaió asorial de v lp ( será: v ua señal pasabada, eoes su relaió o v bp ( es: )] lp ( e j (, si ebargo V lp represea la pare real de i Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 5

55 eoría de eleouiaioes I v v v bp bp bp ( ( ( e ( e e e[ v j[ w ( e lp ( e jw ( ] jw ] e j ( Uiversidad del Caua Ese resulado uesra la rasoraió pasabajas a pasabada e el doiio del iepo, ieras que e el doiio de la reueia se iee: * V ( ) V ( ) V ( ) bp lp El prier ério orrespode a las reueias posiivas y el segudo a las reueias egaivas lp 5..3 rasisió pasabada Co los oepos visos, ahora se pasa al aálisis de u sisea pasabada, al ual se le aplia ua señal pasabada, obeiedo ua señal pasabada de salida, oo lo uesra la igura: E el doiio de la reueia la respuesa del sisea sería: Y ( ) H ( ) X ( ) Pero e la ayoría de las oasioes es ás áil rabajar o la represeaió equivalee de espero pasabajo Ylp ( ) H lp ( ) X lp ( ) ode H lp ( ) H bp ( ) u( ) Eoes la represeaió sería: El paso de pasabada a pasabajas para ese sisea se hae apliado los oepos visos para señales pasabada. i se euera la soluió para Y bp ( ) la respuesa e el iepo puede y lp ( eorarse uilizado la rasorada iversa de Fourier, F [ Y ( )] F [ H ( ) X ( )] de dode se obiee que: yi ( e[ ylp ( ] y yq ( I[ ylp ( ] lp lp lp obeiedo la evolvee y la ase: y ( ylp ( y ( arg[ ylp ( ] oiuaió se uesra ua iporae apliaió de esa éia. bp y. bp bp 5..4 Ejeplo: eardo de Poradora y Evolvee Cosidere u sisea pasabada o relaió de apliud osae, pero desplazaieo de ase o lieal j ( ) ( ) sobre esa bada de paso H ( ) Ke para l u y su represeaió pasabajas: bp j ( ) H ( ) Ke u( ) para l u lp suiedo que las o liealidades de ase so relaivaee suaves, puede esribirse la aproiaió: ( ) ( ) dode ( ) d ( ) d Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 5

56 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Esa aproiaió proviee de los prieros érios de la epasió e serie de aylor de ). Para la ( ierpreaió de los paráeros y se oa ua señal de erada o ase ero al que bp ( ( osw y lp ( (. i el espero X bp ( ) ae opleo dero de la bada de paso del j ( ) j ( ) sisea, eoes: Y ( ) Ke X ( ) Ke X ( ) lp Ke lp j [ X ( ) e ] jw lp El segudo ério orrespode a lp ( desplazada u iepo, de esa aera jw y ( Ke ( jw lp lp ) Ke ( ) Eoes de la relaió pasabada-pasabajas, se obiee y K ( ) os w ( ) lp bp (. e ese resulado se puede oluir que es el reardo de poradora y es el reardo de evolvee del sisea. i es idepediee de la reueia, la evolvee o surirá disorsió de reardo. Ora araerísia iporae, es la relaió eisee ere la reueia eral del sisea y el aho de bada eesario, eoes oo regla se deie el aho de bada raioal: B.. E geeral se oa B., lo ual iplia que ahos de bada grades requiere poradoras de reueia grade Ejeplo Uilizado el aálisis e el doiio del iepo de u ilro pasabajas, euere y graique la respuesa de u sisea pasabada uya erada es bp os w u( y H bp /[ j( ) / B] para. B H lp hlp Be u( j / B y y y bp lp lp bp ( ( ( ( e[ u( e h lp ( * ( e e[ y lp lp ( B ( e jw ) u( jw ] ] B lp e ( ( B( e u( B ) d )osw u( 5. Modulaió de doble bada La odulaió de doble bada laeral iee dos ipos: la odulaió de doble bada laeral esádar, ooida oo M puro y la odulaió de doble bada laeral o poradora supriida o B (ouble ide Bad). Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 5

57 eoría de eleouiaioes I 5.. eñal y espero M La propiedad ás sigiiaiva de la odulaió M esádar es que la evolvee de la señal, iee la isa ora de la señal de ioraió. ada ua señal poradora de apliud, al odularla ediae ua señal esaje (, se obiee ua evolvee de la ora: ( [ ( ], dode la osae es el ídie de odulaió, uyo valor es siepre posiivo, de esa aera la señal odulada resulae esa desria por la siguiee epresió: ( [ ( ] os w Uiversidad del Caua Coo se puede observar la señal ( o iee variaioes de ase e el iepo, por lo ao su opoee e uadraura es ero y su opoee e ase es ( (. La igura de la dereha es u ejeplo de la odulaió M. La señal (a) represea el esaje que odula la poradora de ala reueia. La igura (b) represea la señal odulada o u ídie de odulaió eor a la uidad, adeás abe alarar que esa señal iee ua reueia ala que saisae las oveioes iiiales: W y i Cuado esas odiioes se saisae la ioraió puede reuperarse e reepió o ailidad, uilizado u iruio deeor de evolvee. El ídie de odulaió puede alularse al ooer el resulado de la odulaió: á í á El ídie de odulaió deeria el poreaje de odulaió y deeria si la odulaió se hae orreaee: % od Eoes para u poreaje de odulaió del % se iee que la apliud íia es y la áia apliud de la señal odulada es. Cuado el ídie es ayor a la uidad (igura ), se obiee ua iversió de ase y ua disorsió de evolvee e la señal odulada, produiedo u eóeo que se ooe oo sobre odulaió E el doiio de la reueia, se iee: X ( ) ( ) X ( ) í Coo se puede observar el espero de la señal M esá osiuido por u ipulso orrespodiee a la poradora y badas laerales siérias alrededor de la reueia de la poradora. La deiiió de doble bada laeral se debe a la preseia de las deoiadas bada laeral superior y bada laeral ierior, adeás esablee el aho de bada de la señal odulada: B W Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 53

58 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua oe que para rasiir ua señal bada base de aho de bada deiido, es eesario eer el doble de aho de bada para rasiir esa señal odulada e apliud. Oro paráero iporae para el aálisis y oparaió de M, es la poeia proedio rasiida ( de dode se obiee: ( ( [ ( ] osw Cuyo segudo ério iee proedio ero sobre la odiió W. sí si ( y (, eoes: ( ) P Psb P Psb P 4 El ério P orrespode a la poeia de la señal poradora si odular y Psb es la poeia de ua bada laeral, eoes la poeia de la señal odulada esá osiuida por la poeia de la poradora ás la poeia de sus badas laerales. Por oro lado la resriió de ( iplia que, luego P sb P y P Psb P sb 4 Que idia que de la poeia oal rasiida, a solo la uara pare orrespode a la ioraió. 5.. eñales y espero B El desperdiio de poeia de la odulaió M pura, se redue obeiedo ua odulaió del % y eliiado la opoee de poradora o odulada. Eoes la epresió de la señal odulada sería: ( ( os w Ese resulado se ooe oo Modulaió de oble Bada Laeral o Poradora upriida (B-C), e el doiio de la reueia se iee que. X ( X ( ) El espero edría la ora de M puro, si preseia de la poradora, por osiguiee el aho de bada sería B W. i ebargo, auque e reueia los esperos so siilares, e el doiio del iepo se obiee ua ora de oda dieree: Coo se puede apreiar la áia apliud de la señal odulada es y la íia es ero, y adeás la señal sure ua iversió de ase, que diiula su reuperaió. Eoes la evolvee y ase de la señal esá dadas por: ( ( ( ( 8 ( Eoes la reuperaió de la ioraió, requiere el ooiieo del abio de ase y o puede haerse o u siple deeor de evolvee. pesar de la diiulad que ivolura B, rae osigo u beeiio e uao al derrohe de poeia pueso que la poeia oal rasiida esará oerada e la poeia de las badas laerales. Psb E la práia los rasisores ipoe u líie a la poeia pio de la evolvee á. oado e uea ese valor áio para eaiar la relaió P sb / á Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 54, sobre áia odiió de odulaió se iee que:

59 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Para B o á y para M o á, la relaió arroja el siguiee resulado: / 4 Por lo ao aeiedo ijo á e iguales el reso de paráeros, se B Psb / á /6 M o puede deir que u rasisor B produe 4 vees la poeia de bada laeral produida por uo M Ejeplo Cosiderado u radio rasisor e el ual 3 kw y á 8kW. ea la señal esaje u oo de apliud, eoes / /. i la odulaió uilizada por el rasisor es B, la áia poeia de rasisió posible por bada laeral será la eor ere: P sb.5kw Psb á kw 8 Lo ual deie oo liie P sb kw i la odulaió es M puro, o, eoes se iee Psb á. 5kW. 3 e esa aera y debido a que el rago de rasisió depede direaee de la poeia del rasisor, la rayeoria de la señal odulada e M sería el 5% de la rayeoria de la señal odulada o B oo de odulaió y aálisis asorial ada ua señal esaje ( os w, la señal B iee la ora: ( os( w os( w ( os( w w ) os( w w ) Para la geeraió de M se iee que: ( osw os( w w ) os( w w ) us respeivos esperos posiivos se represea de la siguiee ora: Coo se puede observar e los esperos resulaes, esos puede represearse e ora asorial, lo ual perie eorar la evolvee y la ase, o los érios de poradora e uadraura, adeás posibilia el aálisis de la disorsió, la ierereia y oros eóeos. Para realizar ese aálisis se oa ua señal odulada M, o por oveieia de álulos. El diagraa 3 asorial orrespodiee se uesra e el graio superior de la igura. Ese diagraa se osruye suado los asores de las Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 55

60 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua badas laerales a la pua del asor de la poradora, dado que la reueia de la poradora es, los asores de las badas roa a ua veloidad, relaiva al asor de la poradora. El asor resulae de la sua de las badas laerales es olieal o la poradora, y ese asor sua es igual a la evolvee 3 osw upoiedo que u aal de rasisió suprie la bada laeral ierior (gráio ierior de la igura), ahora la evolvee esará dada por: ( ( 9 3 os w 3 os w 3 sew parir de esa apliud se puede eorar la disorsió de apliud y adeás se puede oar que ésa disorsió ha produido ua variaió de la ase e el iepo (. / Moduladores y rasisores Modulador Produo Para realizar la odulaió M, por lo geeral se uiliza el diagraa de bloques de la siguiee igura, oado oo reereia la euaió: ( [ ( ] os w que o es ás que la ulipliaro de dos señales aalógias. La ipleeaió de ese odulador se puede realizar o u ulipliador aalógio y u apliiador operaioal. Coo se puede oar e la ipleeaió, para geerar la señal M se uliplia las señales y al resulado se sua la poradora, oo es obvio, para geerar la señal B, solo se eesia realizar el produo. La ulipliaió eléria eesaria para realizar la odulaió, puede realizarse de dierees aeras, u diseño popular de iruios iegrados es el ulipliador de rasoduaia variable: E ese iruio, v es apliado a u apliiador diereial uya gaaia depede de la rasoduaia del rasisor, la ual varía o la orriee oal eiida. La erada v orola la orriee eiida por edio de u overidor de volaje a orriee. e esa aera la salida diereial es Kv v, osiguiedo la odulaió ás u eeo de gaaia. i ebrago abe alarar que los ulipliadores aalógios esá liiados a iveles bajos de poeia y reueias relaivaee bajas. Moduladores de Ley Cuadrada y Balaeado Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 56

61 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua La ulipliaió de señales de ala reueia puede oseguirse uilizado u odulador de ley uadrada oo el que uesra la igura: Ese diagraa e bloques represea el iruio odulador de ley uadrada, el ual puede ser ipleeado uilizado rasisores de eeo de apo oo eleeo o lieal y u iruio paralelo LC oo ilro. Para ese iruio se asue que la urva del eleeo o lieal se aproia a la urva de rasereia de ley uadrada, eoes: v a v a v ou i i así oado v i ( os w se iee: v ou a ( a ( a os w a a a ( osw ode se puede observar que el úlio ério de la epresió de salida orrespode a la odulaió deseada, o a y a / a por ese oivo se hae eesario ilrar la señal para eliiar las opoees ideseadas. La posibilidad de separaió se hae evidee graias a la represeaió esperal de la señal, dada por Vou ( ) F [ vou ( ] : Co u ilro erado e y aho de bada W, se puede obeer la señal deseada áilee, siepre y uado W. oe e la epresió iiial, que si a, se obiee B, que orrespode a la urva perea de ley uadrada: v a v esaoruadaee, los disposiivos de ley uadrada perea o so uy oues, eoes, para obeer la señal B, es eesario uilizar dos oduladores M arreglados e oiguraió balaeada, para aelar la poradora e la salida, esa oiguraió se ooe oo odulador balaeado. suiedo que los oduladores so idéios, al diereiar las salidas se obiee la señal B deseada. ou i 5.3 Moduladores de bada laeral supriida Los desperdiios de poeia y aho de bada de las odulaioes M y B so evidees, se osró oo al supriir la poradora e B se ejora la poeia de rasisió, pero aú queda el ioveiee de Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 57

62 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua dupliaió del aho de bada eesario e rasisió, ese problea se soluioa o las éias de odulaió B (Bada Laeral upriida) y VB(Bada Laeral Vesigial) 5.3. eñales y esperos B La odulaió de bada laeral supriida, abié ooida oo bada laeral úia, se osigue graias a la eliiaió de ua de las badas laerales de B geerado o el odulador balaeado. Eso es posible debido a que las badas laerales superior e ierior se euera esrehaee relaioadas por la siería alrededor de la reueia de la poradora, represeado ada ua el oeido oal de la ioraió del esaje. La igura represea ua aproiaió oepual de odulaió B, dode la señal B se aplia a u ilro de bada laeral que suprie ua de las dos badas laerales. La supresió de ua u ora bada laeral es idieree, porque oo se eioo o aerioridad, ada bada oiee la ioraió oplea del esaje. La igura uesra los dos posibles asos de odulaió B, el priero de ellos orrespode a la supresió de la bada laeral ierior y se deoia UB, el segudo es la supresió de la bada laeral superior, que se ooe oo odulaió LB. Por oro lado, se puede observar que el aho de bada de rasisió eesario es el iso de la señal e bada base, adeás la poeia rasiida se oera e la bada laeral rasiida, obeiedo: B W P sb 4 E el doiio de la reueia es seillo visualizar el eeo de la odulaió B, si ebargo e el doiio del iepo o es a evidee, por ese oivo se oa la odulaió de u oo siple para aalizar ese ipo de odulaió. Eoes la señal odulada que represea la señal B será: os( w w que represea ao la señal UB y LB. Esa epresió uesra que la señal B se euera desplazada de ( ) y la evolvee de la señal odulada es proporioal a. El aálisis para ua señal arbiraria ( se hae oado el ilro de bada laeral, oo u ilro pasabada al ual se aplia ua señal pasabada B ( ( osw y se obiee ua señal de salida B (, bp eoes oo se vio previaee, para dar soluió a ese sisea se aplia el éodo de pasabajas equivalee, oo ( o iee opoee e uadraura se iee que: bp ( ) lp ( X ( ) X( ) lp La uió de rasereia del ilro pasabada eesario para geerar UB debe ser: H lp H bp ( ) u( ) u( ) u( W ) Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 58

63 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Para geerar LB: H lp u( W ) u( ) H lp ( sg ) W hora se puede realizar el produo ere Las dos uioes de rasereia puede ser desrias por: H lp y X lp UB o LB: Y ) ( sg ) X( ) [ X( ) (sg ) X( )] ( lp 4 4 eordado el oepo de la rasorada de Hilber: X ˆ ( ) ( j sg ) X ( ) Eoes la rasorada iversa de Y lp ( ) es y [ ( jˆ( ] lp ( 4, produiedo el espero equivalee e bada base Fialee uilizado la rasoraió pasabada-pasabajas se obiee la respuesa para el sisea pasa bada: jw ( y ( e[ y ( e ] ( bp [ ( os w ˆ( sew ] Esa epresió represea la ora de oda de ua señal odulada B para ua señal arbiraria (. e puede observar que la señal odulada iee opoees e ase y uadraura: ( ( ˆ( ( i q Y la evolvee de la señal B esa epresada por: ( ( ˆ ( lp La ora de oda de esa señal e el doiio del iepo es opleja de realizar y uho ás aalizar la poeia pio de la evolvee, por lo ual, esos aálisis se eraa del aálisis de la odulaió de oo siple Geeraió de B Para el aálisis de odulaió B se oó ilros ideales, pero e la realidad se sabe que ese ipo de ilros es irrealizable y podría haber preseia de opoees ideseadas o aeuaió de opoees iporaes, aoruadaee e la práia la ayoría de señales iee u ivel pequeño o asi ulo e las reueias eraas a ero. Ua señal aural de audio o úsia o iee opoees eraas a ero, por lo ao su espero edría u espaio vaío era a ero y al odular ua poradora el vaió se raslada alrededor de la reueia de la poradora. Coo lo uesra la igura, geeralee la regió de rasiió del ilro o debe ser uho eor que el % del valor oial de la reueia de ore del ilro y ese valor esá deeriado por el aho del vaío esperal, por lo ao o, esa osideraió puede ausar la eesidad de ua poradora de uy ala reueia. Para esos asos se uiliza oduladores uli-eapas: Oro éodo para la geeraió de B se basa e el aálisis de la señal e érios oseoidales: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 59

64 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua ( [ ( osw ˆ( os( w 9 )] Esa epresió siguiere que la señal B, esá oorada por dos señales B o poradoras e uadraura oduladas por las señales ( y ˆ(, ese sisea se ooe oo éodo de abio de ase, el ual evia la eesidad de uilizar ilros de bada laeral, debido a que al igresar la señal B las badas laerales o deseadas se aela, geerado la señal B requerida. i ebargo la realizaió del ilro e uadraura o se puede llevar a abo, solo se puede obeer uy bueas aproiaioes, por ese oivo se uiliza úliples seioes e asada. La aproiaió geeralee ausa disorsió e las bajas reueias. Por ese oivo se geera u uevo ipo de geerador de B, ooido oo odulador de ejido. oado ( os o W, para el odulador de la igura, eoes se iee: ( v v dode v es la señal de la pare superior del iruio y v orrespode a la raa ierior. W oado las dos raas por separado, la erada al LPF superior es os os, la salida del ilro esa ulipliada por v W os ( ) obeiedo la señal de salida: [os W W W W ( ) os ( 4 La erada al ilro ierior es ) ] W W os se y su respeiva salida se uliplia o se ( ), para obeer [os W W W W v ( ) os ( ) ] 4 hora oado los sigos posiivos se iee W W [os ( ) ] os( w w ), que ( 4 orrespode a la señal UB, siilaree la señal LB seria ( os( w w ). La odulaió B iee beeiios a ivel de desepeño del sisea, que la uesra oo la ejor opió e odulaió de apliud, si ebargo el oso asoiado a la rasisió y reepió, es basae elevado, liiado su ipleeaió. Ejeriio: uilie oo erada al odulador de abio de ase la señal geera la odulaió. ( os y veriique que se eñales y esperos de VB Cosiderado señales de gra aho de bada uyo oeido esperal iee opoees sigiiaivas de baja reueia, oo es el aso de las señales de video, asíil y señales de daos de ala veloidad. La oservaió del aho de bada es ua araerísia iporae de la señal B, si ebargo su respuesa para señales o bajas reueias es deiiee, ieras que la respuesa de ua señal B es buea para las bajas reueias pero el aho de bada eesario es grade, eoes se hae evidee la eesidad de eorar u puo ieredio. Ese puo ieredio es la odulaió de bada laeral vesigial la ual se osigue a parir de B dejado pasar ua bada laeral oplea y ua pequeña pare de la ora bada laeral. La lave de VB es u ilro de bada laeral uya respuesa eaa o es ruial, pero se debe eer siería ipar alrededor de la reueia de la poradora y ua respuesa relaiva de ½: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 6

65 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua El ilro VB e la práia es u ilro o regió de rasiió de B W W Por lo ao oado la bada laeral superior se iee: H ) u( ) H ( ) ( ode H ( ) H ( ) y H ( ), por lo ao el aho de bada de la señal VB será: Cuado W, que es ua relaió oú e los siseas de ouiaioes, el espero se aproia al de B, y e el doiio del iepo se puede abié haer esa aproiaió, por osiguiee la epresió aeáia de VB, se presea oo ua odiiaió de la epresió deiida para B: [ ( osw q ( sew ] ode q ( es la opoee e uadraura del esaje deiida por ( jw q ( ˆ( (, o: ( j H ( ) X ( ) e d La variaió de β abia el espero ere B y B, de al aera que si β es uy pequeño e oparaió o el aho de bada, la señal odulada se aproia a la señal B y (. Para u β grade las señal se aproia a ua odulaió B y ˆ( (. La poeia rasiida o es áil de deeriar, porque oo se pude ver la odulaió VB es u puo ieredio ere B y B, por lo ao su poeia esará liiada por la poeia rasiida e esos ipos de odulaió: Coversió de reueia, deeió y reepores La odulaió lieal, oo se ha viso hasa ahora, geera ua raslaió e reueia del espero de las señales odulaes, e ese orde de ideas, la deodulaió e el puo de reepió iplia u raslado iverso de reueia, desplazado la señal de ioraió desde la reueia de la poradora hasa la reueia origial del esaje. Los deoduladores eargados de ese proediieo puede lasiiarse e dos ipos: los siroos y los deeores de evolvee Coversió de reueia es de aalizar los reepores o deeores es preiso esudiar rápidaee el proeso de oversió de reueia, que iiia o la ulipliaió de señales siusoidales, oado oo ejeplo ua señal B ( osw y ulipliádola o os, se obiee: w osw osw ( os( w w ) ( os( w w ) ( La señal resulae osise e la raslaió de la señal B e dos uevas reueias poradoras, debido a la sua y diereia de las reueias de las señales ivoluradas e la ulipliaió. Co el ilraje adeuado, la señal puede ser desplazada haia arriba o haia abajo de la reueia iiial, esos proesos se ooe oo up-overer o dow-overer, respeivaee. El disposiivo eargado de realizar ese proeso se ooe oo overidor de reueia o ezlador, el ual puede ser ipleeado oado oo base el siguiee diagraa de bloques: La ipleeaió de ese iruio sigue los isos lieaieos de los oduladores previaee aalizados, sus apliaioes o solo so los Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 6

66 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua reepores, adeás se uiliza e osiladores de reueia pulsae, divisores de reueia regeeraivos y aalizadores de espero Ejeplo: raspodedor U raspodedor repeidor siple, que provee dos aios de ouiaió ere dos esaioes e ierra, puede represearse o el siguiee diagraa. Los elaes de subida y bajada uilizados ípiaee e la bada C, iee reueia de poradora 6Ghz y 4Ghz, respeivaee, para eviar ua reroalieaió posiiva ere el rasisor y el reepor del raspoder. U overidor de reueia raslada el espero de la señal apliiada del elae de subida al apliiador pasabada del elae de bajada eeió síroa odos los ipos de odulaió lieal puede ser deeados o u deodulador produo, oo el que se uesra e la igura. La señal de erada es ulipliada o u geerador loal siusoidal y poserioree pasada a ravés de u ilro pasabajas, uyo aho de bada debe ser igual o ligeraee superior al aho de bada de la señal esaje. Para ese deeor se asue que el osilador loal (LO) se euera siroizado o la poradora ao e ase oo e reueia, de aquí el obre deeió síroa o oheree. Para el aálisis se epresa la señal de erada oo: ( [ K K ( ] os w K ( sew que puede represear ualquier ipo de odulaió lieal, o la orrea ideiiaió de los paráeros udaeales. l realizar el produo de la señal de erada o la señal geerada por el osilador loal se obiee: LO ( LO osw {[ K K ( ] [ K K ( ]osw K q ( sew } ado que W los érios de reueia doble so rehazados por el ilro pasabajas, eoes se obiee ua epresió udaeal: y ( K [ K K ( ] ode K orrespode a ua osae de deeió y la opoee C K K es la opoee de la poradora desplazada, siepre y uado la poradora esé presee e la señal reibida. Esa opoee puede ser reovida ediae u apaior o u rasorador a la salida del deeor. El priipal ioveiee de la deeió siroía es la siroizaió, para eso se rasie ua pequeña aidad de la poradora, para poder ser reuperada y uilizada oo Osilador loal e el reepor. q eeió de evolvee La ipleeaió de los deeores oherees, o suele uilizarse por la oplejidad de su osruió, adeás oo la odulaió ás epleada es M esádar, la ioraió viaja sobre la evolvee de la señal odulada, haiédose eesaria solo la deeió de esa, de ese oepo surge el eeor de Evolvee. El esquea priipal osrado e la igura, perie que u diodo oe la uió oo el eleeo lieal priipal. E Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 6

67 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua auseia de oros iruios el volaje v seria solo la versió reiiada de la señal de erada, pero el iruio C uioa oo u ilro pasabajas, respodiedo solo a las variaioes pio de la señal de erada bajo la odiió: W C Eoes se eesia que W para que la evolvee sea laraee deiida. Bajo esas odiioes C se desarga ligeraee ere los pios de la señal de erada y v se aproia a la evolvee de v i. Fialee C aúa oo u bloqueo de C para eliiar la preseia de la poradora o odulada. i ebargo ese bloqueo puede ausar ua disorsió e las señales o opoees de baja reueia, por lo ao el deeor de evolvee es iadeuado para la deeió de señales o opoees de baja reueia iporaes. E la igura se puede apreiar la reiiaió a la señal de erada y oo el apaior suaviza la señal, reuperado la evolvee, para ialee eliiar la opoee de la poradora y reuperar la señal de ioraió rasiida. Ejeriios:. Co ( os u( o graique la señal odulada e idique ual es la evolvee uado la odulaió es: M o µ<, M o µ> y B.. La señal ( si 4 es rasiido uilizado M o µ<, graique el espero de ( y euere B. 6 MOULCIÓ EXPOECIL E la odulaió lieal se hiiero evidees dos propiedades: El espero de la señal odulada, es básiaee el espero de la señal esaje rasladado alrededor de ua reueia poradora, adeás, la seguda propiedad relaioa el valor áio del aho de bada, el ual o eede el doble del aho de bada de la señal esaje e bada base. E orase la odulaió epoeial es u proeso o lieal, por osiguiee el espero odulado o se euera áilee relaioado o el espero de la señal odulae, asiiso, el aho de bada de rasisió es ás grade que el doble del aho de bada de la señal esaje. Esa variaió del aho de bada perie que la odulaió epoeial, a diereia de la odulaió lieal, pueda ejorar e deeriada irusaia la relaió señal a ruido del sisea. 6. Modulaió de Fase y Freueia E el esudio de la odulaió epoeial, se deie dos ipos de odulaió, la odulaió de Fase (PM) y Modulaió de Freueia (FM), odulaioes e las uales oo sus obres lo idia, aiee la apliud de la poradora osae y varía su ase o su reueia. 6.. eñales FM y PM Cosidere la señal oiua o evolvee osae pero o ase variae e el iepo, eoes se iee que: ( os[ w ( ] Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 63

68 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua ode se puede deiir el águlo isaáeo oal, oo: ( w ( y a parir de esa deiiió represear la señal oo u asor dado por: ( os ( j e[ e ( ] E esa señal odulada la señal de ioraió ( se euera oeida e (, obeiedo ua relaió o lieal ere ( y (, por ese oivo se deoia odulaioes agulares o epoeiales. Para el aso de la odulaió de Fase (PM), se iee ua ase isaáea igual a: ( ) ( o 8 º, obeiedo la siguiee epresió para la señal odulada: ( os[ w ( ] eñal PM Esa euaió desribe la variaió isaáea de ase o relaió a la señal esaje, la osae represea el áio desplazaieo de ase produido por (, que aiee la odiió de oralizaió (. La resriió de 8 º, que liia a ( al rago de ±8, es aálogo a la resriió de de M, por eso se deie oo el Coeiiee de Modulaió de Fase o esviaió de Fase. Para ejorar la ierpreaió de PM, se uiliza el diagraa asorial, represeado por u veor que ora u águlo (, oorado por u opoee roaioal w y u desplazaieo agular relaivo (, e oseueia, la asa de roaió del asor e ilos por segudo esá dada por: ( ( ( oaió e la ual el puo represea el opoee derivaivo e el iepo, dode ( ) d ( / d. ( se ooe oo la reueia isaáea de (, auque esa se ide e herzios, o debe oudirse o la reueia esperal, que es la variable idepediee del doiio de la reueia, porque ( es ua propiedad variable e el iepo de la ora de oda de ua señal odulada epoeialee. Para el aso de la odulaió e reueia (FM), la reueia isaáea de la señal odulada se deie oo: ( ( ode ( varia e proporió o la señal oduladora, la osae de proporioalidad se deoia desviaió de reueia, la ual represea el áio desplazaieo de ( relaivo a. El líie ipueso, garaiza que ( >, si ebargo siepre se desea que o el objeivo de oservar la auraleza pasabada de la señal (. Las epresioes aeriores uesra que ua oda FM iee ( ( y la iegraió produe la odulaió de ase: ( ( ) d Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 64 oado a al que ( ), se puede quiar el líie ierior y se iee: ( ) ( ) d Eoes la epresió de la ora de oda de FM seria: ( os[ w ( ) d ] l graiar la ora de oda la diereia o es a evidee, por ese oivo es eesario ehibir las diereias ere esos dos ipos de odulaió: Modulaió Fase Isaáea ( Freueia Isaáea (

69 eoría de eleouiaioes I PM ( ( FM ( ) d ( Uiversidad del Caua Esa pequeña diereia idia que o iruios iegradores o derivadores, puede pasarse de ua odulaió de ase a ua odulaió de reueia y vieversa. deás a oparaió de la odulaió lieal la apliud de la señal odulada es osae, por lo ao, la poeia proedio rasiida si eer e uea la señal esaje, sería: P 6. álisis Esperal La igura uesra los resulados obeidos al odular dos señales o esos ipos de odulaió, se puede observar que FM presea ua variaió de la reueia e proporió a la apliud de la señal oduladora, por su pare la señal PM abia la reueia, pero adeás u abio bruso e la apliud de las señal oduladora, geera así iso u abio radial e la ase y reueia de la señal odulada, esos abios o so a evidees al odular ua señal siusoidal. 6.. FM y PM de bada esreha El aálisis esperal de la odulaió epoeial se iiia o la deiiió de la poradora e uadraura visa e la odulaió lieal: ( ( os w ( sew dode ( os ( [ ( ] i q i y! 3 q ( se ( [ ( ( 3! ], ahora se ipoe la odiió de sipliiaió ( rad, eoes: ( ( ( i Epresioes que ailia eorar el espero X ( ) de la señal odulada e érios del espero de u esaje arbirario X ( ). Eoes se obiee: ode ( ) F [ ( ] ( ) j X ( ) X ( ) PM j X ( ) / FM Euaioes de las uales se oluye que si ( iee u aho de bada de esaje W, eoes ( será ua señal pasabada o aho de bada W. Pero esa olusió solo es válida sobre la 3 odiió de ( rad. Para valores grades de ( ), los érios (, (, o puede ser depreiados y puede ireear el aho de bada de (. Bajo esas odiioes se desribe el aso espeial de odulaió de reueia o ase de bada esreha (BPM y BFM). q ( ) 6.. oo de Modulaió Coo se vio para el aso de la odulaió lieal, el aálisis que proporioa la odulaió ediae u oo, ailia la opresió de los eeos de la odulaió. e igual aera la uilizaió de u oo de odulaió Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 65

70 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua perie la realizaió de u aálisis paralelo de las odulaioes FM y PM, o el reurso de adiir ua diereia de 9 e el oo de odulaió. sew PM ( osw FM Por lo ao de auerdo a la ora de la señal odulada se iee que Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 66 ( sew dode: Ese paráero sirve oo ídie de odulaió para PM y FM o u oo de PM odulaió. Ese paráero es igual a la áia desviaió de ase o reueia, y ( / ) FM es proporioal a la apliud del oo de odulaió. Cabe desaar que para FM, β es iversaee proporioal a la reueia del esaje, de esa aera la iegraió del os w da oo resulado sew / w La odulaió de bada esreha de u oo, requiere que, sipliiado la epresió: ( os w sew sew ( osw os( w w ) os( w w ) e aquí se obiee el espero de líea y el diagraa asorial para ua odulaió de bada esreha: e puede observar que el asor iverido de la bada laeral ierior geera ua opoee perpediular o e uadraura o relaió al asor de poradora. Esa opoee e uadraura es la eesaria para geerar FM o PM, el ual era u aso ideseado para las odulaioes lieales. hora para deeriar el espero de líeas para u valor arbirario del ídie de odulaió, se hae ua aproiaió a bada esreha y se iee que: ( [os ( osw se ( sew ] ( [os( sew osw se( sew sew ] Y auque ( o es eesariaee periódia, los érios os( sew y se( sew si lo so y ada uo puede ser epadido e series de ourier o os( sew J ( ipar ) par J ( ) osw. Obeiedo: j( se ) se ( sew J ( ) se w dode oa valores posiivos y J ( ) e d Los oeiiees J ( ) orrespode a las uioes de Bessel de priera lase, de orde y argueo. ubsiuyedo las epresioes aeriores e la epresió de la señal odulada, se obiee: ( J ( )osw ipar J ( )[os( w w ) os( w w ) ] par J ( )[os( w w ) os( w w ) ] leraivaee, se puede oar la propiedad J ) ( ) J ( ), de las uioes de Bessel para geeralizar ese resulado: ( ( J ( )os( w w ) Esa epresió represea ua oda o apliud osae, uya reueia isaáea varía siusoidalee (la ierpreaió asorial puede ayudar a visualizar de ejor aera ese oepo), observado ( se puede deir que: El espero de FM osise de ua líea de la reueia poradora ás u iiio úero de líeas de bada laeral a reueias de, odas las líeas so equidisaes. deás las líeas ipares de bajo orde

71 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua esá iveridas e ase relaivaee a la reueia de la señal poradora o odulada. El espero resulae sería: e puede oar que la apliud de las opoees se hae ada vez ás pequeña, hasa ser asi irreooibles uado, de aera geeral se puede deir que la apliud de ua líea a ua reueia esá dada por J ( ), de al aera que para obeer el espero, es eesario esudiar el oporaieo de las uioes de Bessel. E las siguiees gráias se uesra los resulados obeidos de la variaió de los paráeros y, que deie las uioes de Bessel: Fuioes de Bessel: ijo y variable variable y ijo. e esas graias eerge iporaes propiedades, apliadas a la odulaió:. La apliud relaiva a la líea de la poradora J ) varia o el ídie de odulaió, por lo ao ( depede de la señal odulae. e aquí, e orase o la odulaió lieal, la opoee e la reueia de la poradora de ua señal FM oiee pare de la ioraió del esaje. i ebargo esa opoee puede ser ula ( J ) =) uado =.4, 5.5, oo lo uesra la prier gráia. (. El úero de líeas de badas laerales que iee apliud relaivaee apreiable, depede de. Co << solo J y J so sigiiaivas, eoes el espero esará oorado por la poradora y dos badas laerales, pero si >>, el espero edrá varias badas laerales. 3. U grade, iplia u gra aho de bada, eesario para aoodar la eesa esruura del espero, oiidiedo o la ierpreaió ísia de ua gra desviaió de reueia. La siguiee abla uesra alguos valores de J ( ), uyo valor esa redodeado a dos iras deiales, los espaios e blao orrespode a valores ieriores a.. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 67

72 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua oiuaió se uesra el espero obeido a parir de la abla de las uioes de Bessel, oiiedo la iversió de ase. La pare a orrespode a u valor de ireeado ieras se aiee ijo y se aplia ao para FM oo para PM. La pare b, se aplia solo a FM e ilusra el eeo del ireeo de por el dereeo de, aeiedo líeas de bada laeral sigiiaivas e el rago ijo. Las líeas pueadas perie observar la oeraió de a edida que se hae grade. Para la represeaió asorial de ( es eesario regresar a la aproiaió de bada esreha. La evolvee y la ase, osruidas a parir de la poradora y el prier par de líeas de badas laerales so: ( sew ( sew [ osw ] 4 4 ( ara sew Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 68

73 eoría de eleouiaioes I e puede observar que la variaió de ase es aproiada a la deseada, pero hay ua variaió adiioal de apliud al doble de la reueia del oo de odulaió. Eso se orrige iroduiedo las líeas esperales de segudo orde, que roa a e relaió a la poradora, pero se irodue ua disorsió de ase. Esa a su vez se soluioa iroduiedo las líeas esperales de erer orde, pero uevaee se geeraría ua disorsió de apliud y se seguiría u ilo iiio. La igura represea u diagraa asorial de FM para u arbirario. Cuado odas las líeas del espero so iluidas, las parejas de orde ipar, iee ua resulae e uadraura o la poradora lo ual provee la odulaió de reueia deseada as la odulaió de apliud o deseada, la resulae de las parejas de orde par será olieal o la poradora, orrigiedo las variaioes de apliud. La pua se eiede por u aro irular que releja ua apliud osae. Uiversidad del Caua 6..3 Ejeplo Cosiderado la rasisió de la señal de FM de bada esreha ( os[ 5.5se ], para eorar la reueia isaáea ( se oa la derivada de (. ( ( [ 5.5( )os ] 5 os esde ( se puede deeriar 5 Hz, y ( os, a parir de eso eise dos aeras de eorar, por BFM o oo de odulaió se ooe que ( sew. sí ( os[ w ( ] de dode se obiee =.5. leraivaee puede alularse ediae: e ( se obiee que y, eoes: /.5 Luego el orrespodiee espero será oo el que uesra la igura, oado y /. 5 : 6.3 ho de Bada Coo se pudo ver, el espero de ua señal odulada epoeialee iee ua gra eesió, eoes la geeraió o la rasisió de FM puro, requiere u aho de bada iiio, idepedieeee de si la señal esaje es o o, liiada e bada. i ebargo, e la práia eise siseas FM o aho de bada iio que uioa uy bie, eso se debe a que las opoees que se euera alejadas de la señal poradora o iee iveles sigiiaivos y puede despreiarse. La disorsió geerada por la eliiaió de las opoees lejaas se opesa debido al ivel de las líeas esperales eseiales Esiaió del ho de bada La deeriaió del aho de bada de FM proviee de la aidad de opoees sigiiaivos del espero de la señal odulada, si ebargo ese paráero o es el úio, abié se debe eer e uea la oleraia o la aidad de disorsió que puede soporar ua deeriada apliaió. e aera geeral se puede aalizar los requeriieos de aho de bada de FM uilizado las opoees sigiiaivas para u oo de odulaió, debido a que ese aálisis proporioa ua aproiaió basae úil. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 69

74 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Las gráias del oporaieo de las uioes de Bessel idia que J ( ) ae rápidaee para / y pariularee si. suiedo que el ídie de odulaió es grade, se puede deir que J ( ) es sigiiaiva solo para /. Por lo ao odas las opoees esperales sigiiaivas esá oeradas e el rago de reueias. Por oro lado si el ídie de odulaió es pequeño eoes odas las opoees laerales edrá u valor pequeño e oparaió o la poradora, eoes J ( ) J ( ) uado, pero se debe oservar el par de badas laerales de prier orde, porque de lo orario o eisiría odulaió de reueia. e ese odo, o u ídie de odulaió eor a la uidad las líeas laerales sigiiaivas esará oeidas e el rago. ieizado uaiaivaee, odas las opoees que ega ua apliud relaiva J ( ) se osidera sigiiaivas, dode es u valor ere, y, de auerdo a ua apliaió espeíia. Eoes si J M ( ) y J M ( ), eise M pares de opoees sigiiaivas y M+ opoees iporaes que lleva la señal de ioraió. hora el aho de bada puede esribirse oo: M ( ) M ( ) B iepre que las líeas esé espaiadas y M depede del ídie de odulaió. e debe alarar que B o es el aho de bada oal de rasisió B, es el aho de bada íio eesario para la odulaió geerada por u oo de apliud y reueia espeíia. Para esiar el aho de bada de rasisió se debe alular el áio aho de bada requerido uado los paráeros de u oo so liiados y W, para esos propósios se requiere que: M ( ) eplazado ese paráero e la euaió de B, se iee que: B ( ) ( ) Para obeer el valor áio de esa epresió se debe oar y W, eoes e el peor de los asos el aho de bada requerido será: B ( W ) si oe que el orrespodiee ídie de odulaió es / W, pero ese o es su valor áio, es el que obia la áia apliud y la áia reueia, produiedo el áio aho de bada requerido, ualquier oro oo o y W edrá eor aho de bada auque el valor del ídie de odulaió sea ás grade. Erapolado los resulados obeidos para u oo de odulaió haia ua señal odulae arbiraria se deie la relaió de desviaió oo: W Que orrespode a la áia desviaió dividida ere la áia reueia de la señal odulae, luego, el aho de bada requerido para ua señal ( esará dado por: B M ( ) W Co el valor ereo de la relaió de desviaió se puede eorar Cobiado oveieeee esas relaioes se obiee: B W W B ( W) ( ) W Cooida oo la regla de Carso Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 7

75 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua i ebargo, la ayoría de los siseas FM auales iee <<, para los uales la regla de Carso subesia el aho de bada de rasisió, por ede ua ejor aproiaió para el diseño de equipos sería: B ( W ) ( ) W Epresió que se uiliza, por ejeplo, para deeriar el aho de bada de 3dBde apliiadores de FM. Físiaee, la relaió de desviaió represea la áia desviaió de ase de ua señal FM e el peor de los asos. Esa epresió para el aho de bada puede ser apliada a la odulaió de Fase replazado por la áia desviaió de ase de ua señal PM. e auerdo a eso, el aho de bada de rasisió de ua señal PM geerada o ua señal arbiraria ( será: B M ( ) W M ( ) o B ( ) W Que orrespode a la aproiaió equivalee de la regla de Carso, o la diereia que la desviaió de ase, es idepediee de W Ejeplo: ho de Bada de FM Coerial Ua esaió radial de FM e esados uidos esá liiada a ua desviaió de reueia de 75KHz y reueias odulaes de 3Hz a 5kHz. ada W=5kHz, la relaió de desviaió es =75kHz/5kHz=5 B (5 )5kHz khz adios FM de ala alidad iee ahos de bada eores a khz, o la regla básia de Carso, el aho de bada es subesiado a 8kHz. U oo odulae de apliud y reueia 5kHz, geera u 5, M ( ) 7 y B khz Ua señal de reueia 3kHz geera u ídie de odulaió de 5, que deeria u úero sigiiaivo de opoees (7), pero u aho de bada pequeño B 73kHz 6kHz Bada oerial de FM La FCC asigó ua bada de reueias de MHz al serviio de FM, oprede el rago ere 88 a 8MHz, Esa bada se divide e aales de y khz de aho, los uales oieza e 88.MHz, sigue 88.3MHz, 88.5MHz y así suesivaee. Para obeer u soido de ala alidad y oiable, la áia desviaió de reueia periida es 75kHz o ua reueia áia de señal oduladora de 5kHz. Co esos líies ipuesos, el ídie de odulaió que proporioa el ayor aho de bada es 5, obeiédose, segú las uioes de Bessel, 8 pares de opoees esperales sigiiaivas, y el aho de bada sería B (85kHz) 4kHz que esa 4Hz por eia del esipulado por la FCC, lo ual iplia que se olera u iero grado de ierereia de aal adyaee, lo ual o es u problea porque la bada de FM o se euera oupada opleaee, por lo geeral eise ua bada de proeió de khz a ada lado del aal asigado. 6.4 Poeia rasiida Coo se eioó previaee, la poeia de la señal rasiida puede deberse espeíiaee a la apliud de la señal poradora, si ebargo esperalee la poeia rasiida se divide ere las opoees sigiiaivas del espero. Cuado o eise odulaió eoes el ídie de odulaió se hae ero y la opoee sigiiaiva es J. eoes la poeia será: P J Pras Pariedo de ese oepo, para deeriar la poeia de ada opoee esperal esá dada por P J ( ) P eoes la poeia oal rasiida será la suaoria de la poeia de las opoees sigiiaivas: ras P ) oal ( J ( ) J ( ) J ( ) J 3 ( ) P ras Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 7

76 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua 6.4. Ejeplo: U rasisor FM iee ua poeia de salida de W, o u ídie de odulaió de., deerie la poeia de sus opoees esperales y la poeia oal de la señal FM. J.77, J.44 J.. J 3 Eoes la poeia de ada opoee será: P (.77) 5. 99W aálogaee P.936 W P.W y P. 4 W 3. La poeia oal de la señal FM será: error de 5W 6.5 rasisores y eepores P oal 5.95W (.936 ) W (.) W (.4 ) W. 5W o u 6.5. Geeraió irea de FM Coepualee, la geeraió de FM solo eesia de u osilador orolado por volaje, uya reueia de osilaió iee ua depedeia lieal al volaje apliado. Es posible odular u iruio osilador sioizado oveioal iroduiedo u eleeo de reaaia variable oo pare de u iruio resoae LC. i la apaiaia equivalee iee ua depedeia o el iepo, de la ora: C ( C C( y si C ( es lo suiieeee pequeña y lea, eoes el osilador produe ua señal: ( os ( ode C ( ( C( C C oado w / C y asuiedo ( C / C ) (, la epasió e serie bioial será: ( w [ ( C / C ) ( ] o ( ) ( C / C o / ) ( ) d Epresió que da oo resulado ua odulaió e reueia o ( C / C ), siepre que ( E la igura se uesra u iruio osilador sioizado, el ual uiliza u diodo varaor para oseguir C (, la erada al rasorador, F Choke (FC) y el bloqueo C, sirve oo aislador de las reueias bajas, las alas y los volajes C. La priipal desveaja o ese ipo de iruios es que la reueia poradora iede a desplazarse y para su esabilizaió es eesario realizar u orol por reroalieaió de reueia, por ese oivo la ayoría de oduladores uiliza el éodo de geeraió idirea Geeraió idirea de PM y FM E poas oasioes se uiliza la odulaió de ase para rasiir señales, si ebargo es iporae verla por res razoes. u ipleeaió es relaivaee áil La poradora puede ser replazada por ua uee de reueia esable, así oo u osilador orolado por risal. Iegrado la señal de erada al odulador de ase, se geera ua salida odulada e reueia. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 7

77 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua La siguiee igura uesra el diagraa esqueáio de u odulador de ase de bada esreha, obeido de la aproiaió: ( osw ( sew ) Esa aproiaió y su ailidad, depede de la odiió de ( radiaes y que la desviaió de ase o debe ser ayor a º, de lo orario se geera ua disorsió de la señal odulada. La geeraió de FM, requiere desviaioes ayores, eoes se uiliza el siguiee odulador de reueia de bada esreha: El iegrador y el odulador de ase osiuye el odulador FM de bada esreha, que geera ua señal BFM o reueia isaáea: ( ( ode es la osae de proporioalidad del iegrador. La desviaió de reueia iiial es /, y debe ireearse hasa el valor deseado, uilizado u ulipliador de reueia, el ual uliplia por la reueia isaáea, eoes: ( ( ) ode ( El proeso de ulipliaió aea el rago de variaió de reueia pero o la asa, la ulipliaió de u oo de odulaió, ireea la reueia de la poradora y el ídie de odulaió, pero o la reueia de odulaió. E oras palabras la apliud de las opoees esperales se ve alerada, ieras la separaió ere esas se aiee osae. Por lo geeral, el proeso de ulipliaió geera ua reueia de poradora uy superior a la deseada, debido a eso, se iluye u overidor de reueia que raslada el espero iao, a la reueia, geerado ua reueia isaáea ial: LO ( ( Fialee se uiliza u apliiador de poeia, debido a que los proesos geera iveles bajos eeió de Freueia U deeor de reueia o disriiador, produe ua salida de volaje que puede variar liealee o la reueia isaáea de erada, eise diversos iruios diseñados oo deeores de reueia, si ebargo ada iruio puede lasiiarse dero ua de esas uaro aegorías operaioales: Coversió M FM isriiaió de desplazaieo de ase eeió de rue por ero ealieaió de reueia o se aalizará los deeores de ase, debido a que rara vez es eesario deear la odulaió de ase y de serlo eesario, basa o iegrar la salida del deeor de reueia. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 73

78 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Coversió M-FM Pariedo del heho de que ualquier disposiivo o iruio, uya salida es la derivada e el iepo de la señal de erada, produe oversió FM a M, espeíiaee dada: ( os ( o ( ( ( ), eoes: ( ( se ( ( [ ( ] se[ ( 8 ] e esa aera, u deeor de evolvee, uya erada sea ( erega ua salida proporioal a ( (, a oiuaió se presea el diagraa eraído de la epresió obeida previaee: El iruio iee e la erada u liiador para reover algua variaió de apliud ideseada e la señal de erada, aes de que llegue al deeor de evolvee. Fialee se agrega u bloqueo de C para eliiar la opoee relaioada a la poradora. Para u oo de odulaió, las orrespodiees señales so: isriiador de esplazaieo de Fase Ese ipo de deeores ivolura iruios o respuesa lieal de ase, su priipio básio proviee de la aproiaió de la derivaió: v [ v( v( )] ( suiedo que es pequeño oparado o la variaió de v ( y ooiedo que para ua señal FM se iee que ( (, eoes: ( ( ) ( ( El ério ( ) puede obeerse o la ayuda de ua líea de reardo o lo que es equivalee ua red lieal de desplazaieo de ase. E la siguiee igura se uesra el diagraa e bloques de u disriiador de desplazaieo de ase, osruido o u iruio o reardo de grupo y reardo de poradora al que w 9, ooido oo deeor e uadraura. El desplazaieo de ase es proporioal a os[ w 9º ( )] se[ w ( )], la ulipliaió o os[ w ( ] seguida del ilro pasa bajas, erega ua salida proporioal a: se [ ( ( )] ( ( ) suiedo que es lo suiieeee pequeño al que ( ) ( ). Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 74

79 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Fialee: y ( K ( ode la osae de deeió K iluye a. pesar de esa aproiaió u deeor e uadraura provee ua uy buea liealidad y es osiderado u deeor de ala alidad, superior al oversor M-FM. 6.6 Mulipleaió por divisió de reueia El priipio de la ulipleaió se hae evidee e la siguiee igura: E ese sisea varias señales de erada se pasa por u ilro pasabajas o el objeivo de liiarlas e bada y poserioree odularlas idividualee o poradoras dierees, pariularee se iee B, pero ualquier ipo de odulaió de oda oiua puede ser epleada, iluso ua obiaió de esas. Eoes las señales so suadas geerado ua señal e bada base (, uyo espero se uesra a oiuaió: b La seleió adeuada de las poradoras perie que a ada ua de las señales rasiidas se le asige u espaio e el doiio de la reueia, por ese oivo a ese proeso se le ooe oo ulipleaió por divisió de reueia o sipleee FM. La señal X b ( ) puede ser rasiida direaee al edio o uilizar ua poradora de odulaió. Para la deeió de la señal FM y la reuperaió de las señales se sigue los pasos idiados e el diagraa: El deodulador reupera la señal e bada base b ( y las señales idividuales so separadas ediae u bao de ilros pasabada sioizados a las reueias de ada ua de las señales. El priipal problea de la ulpleaió suele ser la ulipleaió ruzada que puede ausar u aople ideseado ere esajes, para superar ese ioveiee se uiliza ua bada de resguardo que separa ua señal odulada de la ora FM esereoóia La rasisió radial de FM e u priipio se haía de aera ooóia, es deir que solo se dispoía de u aal de 5Hz a 5kHz para señales de ioraió de voz y audio, esas señales odulaba la poradora de al aera que el ojuo de boias e reepió reprodue eaaee la isa ioraió. El objeivo de la rasisió esereoóia es separar las reueias de ioraió de al aera que la señal puede dividirse espeialee e dos aales de audio de 5Hz a 5kHz: uo izquierdo y uo dereho, Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 75

80 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua eoes la úsia que se geeró e el lado izquierdo se reprodue e el lado izquierdo y la que se produjo e el lado dereho se reprodue e el lado dereho. El siguiee diagraa represea la geeraió de ua señal de bada base para rasisió de FM esereoóia, las señales de izquierda y dereha del audio so pre-eaizados y ezlados e ua red ariial que produe los aales de audio L ( + ( y L ( - (, la señal sua puede ser reuperada o u reepor ooóio, el erelazado es eesario para que el oyee ooóio o ese epueso a los salos de audio geerados e la rasisió esereoóia, eoes esa señal es iroduida a la señal bada base. La señal L ( - ( odula a ua poradora de 35kHz, se eplea odulaió B para preservar la idelidad e las bajas reueias y u oo piloo de 9kHz es agregado para la siroizaió del reepor. Eoes el espero resulae es: E ese espero hay ua opoee era eiqueada oo C, que orrespode a ua auorizaió para ouiaió subsidiaria que es ua odulaió por subporadora uilizada para rasiir audio iierrupidaee a susripores privados. Para la deeió o deulipleaió de FM esereoóio se uiliza u reepor o las siguiees araerísias: e puede oar oo el oo piloo se uiliza para reuperar la poradora, la señal suaoria se pasa direaee al eslador para ser llevada a u reepor ooóio y adeás uilizada para geerar el audio esereoóio. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 76

81 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua 7 UIO E MOULCIÓ 7. Ierereia e aera oral, la ierereia hae reereia a la oaiaió de ua señal que lleva ioraió o ua señal siilar, usualee geerada por el hobre. E radioouiaioes eso ourre uado la aea reepora deea o reoge dos o ás señales e la isa bada de reueia. Esas señales puede eer dierees proedeias, y uado alaza iveles elevados, puede ipedir la reuperaió del esaje. 7.. Ierereia de siusoides Cosidere u reepor sioizado a ua reueia, la señal oal reibida será: v ( os w i os[( w wi ) i ] El prier ério orrespode a la señal deseada oo ua poradora o odulada, ieras que el segudo ério es ua poradora iereree o apliud, reueia y águlo relaivo de ase. i i epreseado ese resulado e la ora de evolvee y ase se iee que: v( ( os[ w ( ] eiido se obiee: ( v v ( ara i / y i wi i se i os i (, Co esas epresioes se geera el diagraa orrespodiee, del ual os i ( e puede oar que la ierereia geera odulaió de apliud y odulaió de ase. E eeo si se iee: [ os( w )] v ( i i v ( ) se( wi i ) El ual se uesra oo u oo odulado a la reueia odulaió FM o PM o. i i o ídie de odulaió M o Por oro lado o se iee: v ( i [ os( wi i )] y v ( wi i e al aera que la poradora odavía iee la odulaió del oo, pero la ase orrespode a ua reueia de poradora desplazada, ás ua osae i. i hora uado se irodue la señal a u deodulador ideal de M, PM o FM, para el prier aso aproiado i, la salida del deodulador será: K ( Bajo la odiió de y ( K K sew osw osw i i i i i W, e oro aso el ilro pasa bajas de la salida del deodulador rehazará las i W. El ério osae para M puede reoverse o u bloqueo de C. Para el aso de FM, i proviee de la desviaió isaáea de reueia ( /. v M PM FM v v y y Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 77

82 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Esos resulados idia que ua pequeña ierereia e siseas de odulaió lieal o de odulaió de ase geera u oo de salida espurio, o apliud proporioal a i / idepediee de i. Pero e u sisea FM la apliud del oo es proporioal a. Coseueeee, FM será eos vulerable a la ierereia o-aal, e la ual las reueias de poradora so las isas, eoes i y ás vulerable a la ierereia de aal adyaee debido a que i. La siguiee igura uesra la apliud de la ierereia deodulada o relaió a i. i E la graia se apreia el ivel de ierereia que sure las señales oduladas, se puede observar que las señales M y PM eperiea el iso ivel de ierereia idepedieeee de la reueia de la señal iereree. Pero para la señal FM el ivel de ierereia depede de la reueia de la señal iereree. 7.. Filro de de-éasis y ilro de pre-éasis El heho de que la deeió de FM o ierereia se hae ás diíil o u valor de i uy grade, sugiere la eesidad de ipleear u éodo para ejorar le desepeño del sisea o ilros de pos deeió seleivos, llaados ilros de de-éasis. upoiedo que el deodulador se euera aopañado por u ilro pasabajas que iee ua relaió de apliud que deree gradualee por debajo de W. Eso des eaiza la porió de ala reueia e la bada del esaje y redue así los eeos graves de la ierereia. deás es eesario uilizar oro ilro que reueva las opoees residuales alrededor de W, de esa aera el reepor de FM esará opueso por u deeor de reueia, u ilro de de-éasis y u ilro pasabajas. Eoes debido a que el ilro de de-éasis aeúa las opoees de ala reueia del esaje, ausado disorsió e la salida, para orarresar ese eeo se debe oar edidas orreivas. Para orarresar la disorsió se debe agregar u pre-disorsioador o ilro de pre-éasis e el rasisor, después de geerar la señal odulada. Las uioes de rasereia de los ilros de pre-éasis y de-éasis debe esar relaioadas de la siguiee aera: H ( ) W pe H ( ) de Para geerar ua red de rasisió si disorsió se debe pre-eaizar el esaje después de la odulaió (dode la ierereia esá ausee) eoes se puede de-eaizar la ierereia relaioada o el esaje después de la odulaió. Ese ipo de ilro proporioa ua veaja siepre que las oaiaioes ieda a predoiar e ieras porioes de la bada del esaje. i ebargo el beeiio que proporioa a la odulaió de ase o lieal es uy pequeño debido a que la apliud de la ierereia deodulada o depede de la reueia. El ilro de de-éasis de FM, es usualee ua red de prier orde o uió de rasereia: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 78

83 eoría de eleouiaioes I H de ( ) j B de B de j B B de de Uiversidad del Caua ode el aho de bada de 3dB B de es osiderableee eor que el aho de bada del esaje. Pueso que la apliud de la ierereia se ireea liealee o i e auseia de ilraje, la respuesa del ilro de de-éasis a la ierereia es H ( ), gráiaee se obiee: de i e puede oar que al igual que e PM la respuesa oa u valor osae para B. Eoes FM es superior a PM ao e i de ierereia de aal adyaee oo e ierereia o-aal. E el rasisor, se ubia el ilro de pre-éasis, o uió de rasereia: Bde H pe ( ) j j B B de de B El ual iee poo eeo sobre las opoees de baja reueia, si ebargo e las alas reueias el ilro aúa oo u diereiador y el espero de salida será proporioal a X ( ) para Bde. Pero diereiar ua señal aes de odularla e reueia geera ua odulaió de ase, por osiguiee preeaizar es ua obiaió de FM y PM, o e oras palabras obia las veajas de ada ua ree a la ierereia. de 7..3 Ejeplos E la siguiee igura se uesra alguos de los iruios oeriales de FM para redes de pre-éasis y deéasis La osae de iepo C e los dos iruios es igual a 75µs, eoes pre-éasis iee ua reueia superior de ore de aera adeuada e el rago orreo del audio B de /( C). khz. El ilro de u ( r) / rc, usualee seleioado para ubiarse u 3 khz 7. uido de Modulaió Lieal Para aalizar los eeos del ruido sobre la odulaió lieal se debe oar el sisea básio que se uesra a oiuaió. Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 79

84 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua E ese sisea la señal odulada liealee es oaiada por ruido WG e la erada del reepor. U ilro pasabada de pre-deeió produe ua salida de la ora: v( ( ( o y, eoes. W B B ode se irodue el aor, para arar la diereia ere la relaió señal a ruido de ua señal W rasiida, uyo aho de bada es eor al aho de bada áio de rasisió. e esa aera se deie la áia relaió señal a ruido e el desio, de al aera que siepre que B W. El ruido pasabada puede epresarse e ora de uadraura: i q B odelos aeáios ideales. ( ( os w ( sew dode i q ). La operaió de deodulaió puede ser represeada por alguo de los siguiees y( v ( i ( v eeor síroo eeor de evolvee Esos odelos pre supoe ua perea siroizaió y ua uerza apropiada de la señal. El ério v v ( releja el bloqueo de C que hae pare de u deeor de evolvee. Eoes o esos odelos deiidos, la pregua que se busa resolver es que dada ua señal ( y u ipo de deeor, uál es la ora de la señal as el ruido e el desio? y si la señal y el ruido so adiivos, uál es la relaió señal a ruido a la salida del reepor? 7.. eeió siroa U deeor síroo ideal, erae la opoee e ase de la señal v (, si la odulaió es B ( ( os w, eoes: v( [ ( i ( ] os w q ( sew Por lo ao y( v ( ( (, de esa aera, si el ilro de pos-deeió se aproia a u ilro i pasabajas ideal o aho de bada W se iee: y ( ( ( i Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 8 e puede oar que eeivaee el ruido y la señal iee ua relaió adiiva y que la opoee e uadraura del ruido ha sido rehazada por el deeor. deás si la respuesa del ilro de pre-deeió iee ua respuesa reagular o aho de bada B W erada e, la salida de ruido puede oar la ora: i Eoes: G i ( ) ( / W ) el ual se uesra oo u ilro pasabajas o ruido.

85 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua hora ooida la ora del ruido e el sisea de deeió, se debe alular la relaió señal a ruido e posdeeió de la epresió de y ( oado el valor edio uadráio de la señal y el ruido: Eoes, oado esas oaioes se obiee: oado B W, W i Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 8 y B esa es la relaió señal a ruido B, óese que esa relaió señal a ruido orrespode a la relaió señal a ruido de ua ouiaió aalógia e bada base. Ese aálisis se puede adapar para el aso de ua señal M / ( [ ( ] os w e el ual se puede oar para sipliiar la epresió. i el deeor síroo iluye u bloqueador de C, eoes ( esá dada por y ( ( (, oado las siguiees osideraioes i i y y, pero osiderado la poeia de la poradora o odulada se iee ( ) /, de dode se obiee /( ), y la relaió señal a ruido será: El líie de esa relaió es dado que elaió señal a ruido M E la odulaió de u oo, / obeiedo ua / / 3, que se euera alrededor de 5dB por debajo de la relaió señal a ruido B o los isos paráeros. Pero ípiaee. oloado a M db por debajo de B. Para B se iee ( [ ( os w ˆ( sew ] o B W y / 4. El deeor rehaza las opoees e uadraura de la señal y el ruido, eoes: y ( ( hora / 4 ( i, debido a que ae e el ore del ilro de pre deeió ( ) iee la ora: e esa aera: G i ( ) ( / W ) y W Coseueeee: álogaee a B, B iee ua relaió siilar a la de u sisea e bada base. G i i relaió señal a ruido B Fialee para VB, si se osidera que la bada vesigial es uy pequeña e oparaió o W, los ilros de pre y pos deeió sería iguales a los de B. i ebargo la señal es e eseia la isa de M o oda la ioraió oerada e ua bada laeral, eoes: suiedo B W y esuiedo los aeriores aálisis se puede deiir las siguiees propiedades de la deeió síroa de lieal:. El esaje y el ruido so adiivos a la salida si ellos so adiivos a la erada del reepor

86 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua. i el espero del ruido de pre deeió es razoableee plao sobre la bada de rasisió, eoes e el desio el espero del ruido es eseialee osae sobre la bada del esaje 3. elaioado la poeia osuida e siseas o poradora, odos los ipos de odulaió iee el iso desepeño de ua rasisió e bada base, basádose e la poeia proedio rasiida y ua desidad de ruido ija. 7.. eeió de evolvee ebido a que M se deodula uilizado u deeor de evolvee, es eesario aalizar ual es la priipal diereia o la deeió síroa. la erada del deeor se iee: v( [ ( ] os w [ ( os w ( sew ] ode se a oado por ailidad u ídie de odulaió de, o ese resulado se puede osruir el orrespodiee diagraa asorial. oado ese resulado la evolvee y ase sería: q v ( a [ ( ] i ( Para ailiar el esudio, es eesario osiderar dos asos espeíios, que la señal sea uy pequeña o uy grade e oparaió o el ruido. Eoes, oado a Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 8 i ( v q { [ ( ], [ ( ] oparado o i ( y q (. Por osiguiee, la evolvee se puede aproiar a: ( [ ( ] ( v i } i { va a ser uy grade Lo ual uesra que la evolvee de odulaió debido al ruido es siilar a la odulaió de ierereia, u deeor de evolvee ideal reprodue la evolvee eliiado la opoee C, eoes se iee que: y ( v ( v ( i ( Que es eaaee lo que se obuvo o el deeor síroo, e oseueia la relaió señal a ruido e pos-deeió es igual a la obeida para M o deeió síroa. Ese resulado se uple bajo la odiió de, dado que / es proporioal a / B, es aálogo a deir que la />>. Eoes, uado el sisea proporioa ua / grade e pre-deeió, la deeió de evolvee iee la isa alidad del desepeño de u deeor síroo. E el oro ereo o / eor a la uidad, la siuaió es opleaee dieree, porque si ruido es doiae e ora siilar a la ierereia uere y se puede pesar que ( esa odulado a ( e lugar de ser lo orario. Para realizar el aálisis de ese aso, ( se represea e ora de evolvee y ase ( ( os[ w ( ], geerado el siguiee diagraa asorial: E ese diagraa el asor de reereia es el ruido debido a que el ruido es predoiae, de esa aera la evolvee es aproiada a la opoee horizoal, eoes: ( ( [ ( ]os ( v Eoes la señal de salida será: y ( ( ( os ( ode / q }, el

87 eoría de eleouiaioes I Uiversidad del Caua Obviaee la opoee priipal de salida es la evolvee de ruido (, adeás o eise u ério esriaee proporioal a la señal esaje (. uque la señal y el ruido so adiivos e la erada, el ério orrespodiee al esaje deeado es ulipliado o el ruido e la ora de os (, el ual es aleaorio y por lo ao el esaje es easarado y la ioraió se ha perdido. E esas irusaias la / o puede deeriarse. La pérdida del esaje por el bajo ivel de relaió señal a ruido e pre-deeió, se ooe oo Eeo Ubral y oa ese obre debido a que eise u valor de ( / ), ivel ubral, por eia del ual el easaraieo es despreiable y por debajo del ual el desepeño del sisea se deeriora rápidaee. Ese ivel de ubral o es úio, por lo geeral los eeos del ubral so íios si la ayoría del iepo. Eoes se puede deiir el ivel de ubral oo la ( / ) para la ual, o ua probabilidad de ourreia de uido de Modulaió Epoeial El odelo de aálisis es el osrado a oiuaió, o la esruura de pre-deeió reoada del odelo de M. ebido a la auraleza o lieal de la odulaió epoeial, el aálisis del ruido suele orarse opliado por ese oivo se iiiara el aálisis para la odiió de ( / ) >> para deeriar las araerísias del ruido e pos deeió y la relaió ( / ) e PM y FM uido de pos-deeió La pre-deeió iee la isa esruura uilizada e M, de esa aera la señal reibida será: ( os[ w ( ] ode ( ) ( o ( ( segú el ipo de odulaió, pero e los dos asos la apliud es osae, por lo ao: Esa relaió señal a ruido suele llaarse relaió poradora a ruido (C). El ilro pasabada de pre-deeió se osidera que iee ua respuesa B ideal o aho de bada B erado e espués de la eapa de pre-deeió, se pasa a la deeió que realiza el liiador y el disriiador. Co ua erada e el deeor de la ora v( ( ( ( os[ w ( ], el liiador suprie algua Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 83 v variaió de apliud represeada por (. Para eorar el ruido y la señal oeidos e v ( asorial, eoes: v( os[ w ( ] ( os[ w ( ] v v, se represea el ruido e su ora

88 eoría de eleouiaioes I Cuyo diagraa asorial uesra que: v ( ( a ( se[ ( ( os[ ( ( ] ( ] Uiversidad del Caua El prier ério de v( es la señal de ase, pero el segudo ério orrespode a la oaiaió e ivolura al ruido y la señal. Esa epresió es uy iiera y para oiuar o el aálisis es preiso realizar alguas sipliiaioes. La priera sipliiaió proviee de la odiió ( / ) >>, eoes ( la ayoría del iepo y se puede uilizar ese argueo para la uió agee iversa. Ua sipliiaió eos evidee igora a ( e la epresió, replazado ( ( o (, debido a que ( iee ua disribuió uiore sobre. Co esas sipliiaioes se obiee: se ( v ( ( ( o ( q ( E esa epresió se ha susiuido se ( q ( y / La epresió obeida uesra que la señal de ase y la ase equivalee de ruido so adiivas bajo la odiió de señal doiae, la epresió para el ruido, uesra que el ruido e ese aso depede de la opoee e uadraura y adeás que el ruido deree a edida que se ireea la poeia de la señal reibida. hora si se hae ( y osiderado el ruido resulae ( a la salida del deeor de ase, el espero de ruido e pos-deeió de PM iee la ora: G ( ) B B eñal que es plaa e / B / eede el aho de bada W del esaje, eos para el aso de BPM, eoes el reepor debe iluir u ilro de pos-deeió o ua uió de rasereia H ( ) que reueva el ruido uera de bada. i se aproia ese ilro a u ilro pasabajas ideal o aho de bada W, eoes la poeia de ruido e el desio será: W W G ( ) d PM Correspode a la pare osura de la igura W Cosiderado ahora el aso de u deeor de reueia o erada ( (, eoes la salida es la reueia isaáea de ruido: v ( ( q ( Eoes e pos-deeió se iee: G ( ) ( ) G ( ) q 8 B i uevaee se oa u ilro o araerísias ideales: W W G ( ) d W 3 3 FM E resue: Ig. Víor Fabiá Miraá Pérez 84