Capítulo III. Beneficios por fallecimiento.

Transcripción

1 Capíulo III. Beeficios por falleciieo. Vereos las écicas acuariales que peria deeriar el coso de pagos que depeda del falleciieo de las persoas, coo ejeplos eeos la deeriació de pagos de prias de u seguro de vida o deeriació de gasos de fueral (pago de archa). Priero recordareos alguos cocepos fiacieros y después plaeareos diversas siuacioes (beeficios por falleciieo) que debeos odelar co écicas acuariales. Se describirá fucioes que se relacioa co el pago coigee ae la sobrevivecia de u idividuo que a la vez se relacioa co su uere. Esas fucioes esará e fució de la variable aleaoria () 3. Iroducció. Sea b el ipore requerido e u, dode se iviere durae años a ua asa aual i acuulable b(+i) así eeos b ( i ) o bie abié lo podeos poer coo v e δ co δ l(+i) + v δ se deoia fuerza de ierés.

2 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm Si δ fuera la fuerza de ierés al iepo, edríaos que: v ep δ ds s Para eero y co ua asa de ierés coverible i () (+i ) i + ( ) e δ abié se defie coo la asa de descueo a i d iv v + i Siepre será fudaeal eeder priero lo que queraos odelar a coiuació defiireos alguos cocepos que os ayudará para los diversos ipos de seguros que vereos e esa secció y que sólo ireos haciedo variaes. es la apliud del iervalo desde la epedició hasa la uere. Defiició 3. (Fució de ideizació). La fució de ideizació b será aquella que os ayude a plaear el beeficio que se obedrá Defiició 3.2 (Fució de descueo). La fució de descueo v es el facor de descueo del ierés desde el iepo de pago hasa el iepo de epedició de la póliza. Noa. Para la fució de descueo asuireos que la fuerza subyacee de ierés es deeriísica, es decir el odelo o icluye la fuerza de ierés de fora aleaoria. Defiició 3.3 Defiireos la fució del valor presee z ediae z bv z es el valor presee, a la epedició de la póliza del pago de la ideizació. 29

3 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm El iepo rascurrido desde la epedició de la póliza hasa la uere del asegurado es la variable aleaoria del iepo fuuro de vida del asegurado ().. Por lo ao el valor presee del pago a la epedició de la póliza es la variable aleaoria z b v 3.2 Seguro de eporal a años. Defiició 3.4 (Seguro eporal a años). U seguro de vida a plazo de años o ás coocido coo eporal a años proporcioa u pago sólo si el asegurado uere dero del plazo de años, de u seguro que coieza e su epedició. Si ua uidad se pagará e el oeo de la uere de (), eoces edríaos b > v v co Noa. Veaos que o es ecesario acoarlo co, ya que eso os lo daría b. v Z z bv > La esperaza del valor presee de los pagos o ejor coocido coo la pria ea úica para el seguro eporal a años co ua uidad pagadera al oeo de la uere de () se deoa por. : Noa: De eeos que idicará la eporalidad, idica la edad del idividuo y : el idica el orde de desaparició, dicho orde será de uilidad cuado se aeja 3

4 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm ás de u idividuo a la vez. Y _ arriba de sigifica pagadero al oeo de la uere (coiuo). sí eeos que E(Z) E( z ) : z ( ) f d v p µ d + v p µ ( ) d El j-ésio oeo de Z es igual a la pria ea úica de u seguro eporal a años para u oo de ua uidad pagadera a la uere de (), calculada a ua fuerza de ierés δj. E(Z j ) j ( v ) p µ d + δ j e p µ + d δ j e p µ ( ) d Eoces eeos que E(Z j )@δ E(Z )@jδ, es la fuerza de ierés al iepo. La aerior os idica la fuerza de ierés que iee la fució E( ) al iepo. Co lo aerior podeos calcular la variaza de Z, que sería igual a: 2 V(Z) ( ) 2 : : 2 : os idica u eporal a años para el oo de ua uidad pagadera a la uere de () co ua fuerza de ierés de 2δ. 3.3 Seguro de vida eera (seguro de vida vialicia). Defiició 3.5 (Seguro de vida eera o seguro de vida vialicia). U seguro de vida eera prevé u pago después de la uere del asegurado e cualquier iepo e el fuuro. 3

5 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm Si ua uidad se pagará e el oeo de la uere de (), eoces edríaos b v v co Noa. Veaos que o es ecesario acoarlo co, ya que eso os lo daría b. Z z bv v La esperaza del valor presee de los pagos o ejor coocido coo la pria ea úica para el seguro de vida eera co ua uidad pagadera al oeo de la uere de () se deoa por. Ejeplo 3.. Cosidereos la siguiee fució de desidad para, f() ( )( ),8 8 I Para ua fuerza de ierés δ obega. a) La pria ea úica de u seguro de vida eera. b) Su variaza c) El cuail.9. c) quí lo que os esá pidiedo es ecorar el valor z.9, al que P(Z z.9 ).9.9 P(Z z.9 ) P(v z.9 ) P( lv l z.9 ) lz P > lv.9 32

6 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm lz.9-8 l v Despejado eeos que: l z.9 8 l v z.9 v Seguro doal puro a años. Defiició 3.6 (Seguro doal puro). El seguro doal puro a -años proporcioa u pago al fial de -años solo si el asegurado sobrevive -años a parir de la eisió del seguro. Si ua uidad se pagará e u seguro doal puro a -años para (), eoces edríaos b > v v co Z z bv v > La esperaza del valor presee de los pagos o ejor coocido coo la pria ea úica para el seguro doal puro a años co ua uidad pagadera al oeo de la uere de () se deoa por. : Noa: De eeos que idicará que la eporalidad es priero, es decir, eso lo : que sigifica es, que si el iepo eria priero aes de que desaparezcas se paga. 33

7 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm sí eeos que : E(Z) E( z ) z f ( ) d v f ( ) d v f ( ) d v p El j-ésio oeo de Z sería E(Z j j j ) ( v ) f ( ) d v f ( ) d v j p Co lo aerior podeos calcular la variaza de Z, que sería igual a: V(Z) E(Z 2 ) E(Z) 2 v 2 p (v p ) 2 2 ( ) 2 : : 3.5 Seguro doal io a años. Defiició 3.7 (Seguro doal io). El seguro doal io a -años proporcioa u pago al falleciieo del asegurado e u periodo de -años o bie si al fial de -años a parir de la eisió del seguro el asegurado sobrevive. Si ua uidad se pagará e u seguro doal puro a -años para (), eoces edríaos b v v v > co 34

8 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm Z z bv v v > La valor presee acuarial es deoado e ese caso coo. : Coo e los casos aeriores es fácil deducir que: 2 V(Z) ( ) 2 : : Desde el plaeaieo del seguro eeos que sería claro que lo podeos poer coo la sua de u doal puro a -años y u eporal a -años, veaos cóo os queda eso:. Z3 Z Z2 v v > v > v > Z3 Z + Z2 sí eeos que : E(Z3 ) E(Z + Z2) + : : Co lo aerior podeos calcular la variaza de Z, que sería igual a: V(Z3) V(Z + Z2) V(Z)+ V(Z2) +2Cov(Z,Z2) Cov(Z,Z2) E(ZZ2) E(Z)E(Z2) 35

9 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm Pero eeos que ZZ2 2 V(Z3) ( ) ( ) 2 : : : : 2 : : 3.6 Seguro diferido años. Defiició 3.7 (Seguro de vida vialicio diferido -años). El seguro de vida vialicio diferido -años proporcioa u pago de u beeficio solo si el asegurado fallece después de - años a parir de la eisió del seguro. Si ua uidad se pagará e u seguro de vida vialicio diferido -años para (), eoces edríaos b > v v co Z z bv v > La valor presee acuarial para ese ipo de seguro se deoa por. E(Z) E( z ) z f ( ) d v p µ + d µ ( ) v p d Coo e los casos aeriores es fácil deducir que: 36

10 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm 2 V(Z) ( ) 2. Ejeplo 3.2. Cosidereos u seguro vialicio diferido 5 años co µ.4 y ua fuerza de ierés δ.. Calculeos a) E(Z) b) V(Z) c) FZ(z) Solució. a) 5 v p µ µ + sds δ ( ) d e e µ + d 5 δ e e µ µ µ d e µ + δ 5 5 5( µ + δ) l susiuir obedríaos b) V(Z) ( ) 2 µ2 e µ δ µ + δ 5( + 2 ) µ e µ + δ 5( µ + δ) 2 Susiuyedo eeos que V(Z).3 c) Para el úlio eeos que obeer P(Z z) Priero veaos que P(Z) P( ) eeos que v es ua fució decreciee así cofore crece eoces Z decrecerá, Para v < v 37

11 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm P(Z z) P(Z ) + P( < Z z) P( ) + P( < v z) P( ) + P lz > lv lz P( )+ - F lv eeos que la fució de disribució sería, Para z < ; FZ(z) Para z ; FZ(z) P( ) Y si < z < v ; FZ(z) P(Z z) lz P( )+ - F lv Para v z ; FZ(z) lv P( )+ - F l v Recordeos que F () q p e.4 ; Ya co eso susiuios y ecoraos lo que se os pide. 3.7 Seguro diferido años, eporal años. Defiició 3.8 (Seguro de vida eporal a años, diferido años). El seguro de vida eporal a años, diferido años proporcioa u pago de u beeficio solo si el asegurado fallece ere y + años después a parir de la eisió del seguro. 38

12 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm Si ua uidad se pagará e u seguro de vida eporal a años, diferido años para (), eoces edríaos b o > + < + v v co Z z bv o > + v < + La valor presee acuarial para ese ipo de seguro se deoa por. : E(Z) E( z ) : z ( ) f d + v p µ d + s+ s v s+ p µ + s+ ds v p v s p+ µ + s+ ds v p + : Noa: v p es el valor presee acuarial, se deoia facor de valor presee acuarial (VP) y coo podeos apreciar deoa u seguro doa puro a años, v p : E E es ua oació abié uilizada (e pesioes sobre odo). Coo e los casos aeriores es fácil deducir que: 2 V(Z) ( ) Seguros variables. 39

13 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm Hasa el oeo heos supueso que el beeficio obeido es de u solo peso (ua uidad), ahora supodreos que el beeficio varia a ravés del iepo. a) Seguro de vida vialicio co icreeo aual. Defiició 3.9 (Seguro de vida vialicio co icreeo aual). El seguro de vida vialicio co icreeo aual será aquel al que su beeficio se icreeará e ua uidad al ério de cada año a parir de la eisió del seguro y se pagará a la uere del asegurado. Para u seguro de vida vialicio supogaos que el beeficio se icreea e ua uidad cada año, para () uesro odelo quedaría co los siguiees eleeos. b [+] v v co Noa. [ ] es la fució áio eero. Z z bv v [+] El valor presee acuarial para ese ipo de seguro se deoa por ( I ). ( ) I E(Z) E( z ) z f ( ) d v [ + ] p µ + d 2 3 v + p µ d+ v + p µ d+ v + p µ d+ [ ] [ ] [ ] µ µ µ v p d+ v p d+ v p d+ 4

14 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm 2 : 3 : 2 : + + ( k+ ) k : b) Seguro de vida vialicio icreeado -veces al año. Defiició 3. (Seguro de vida vialicio co icreeos -veces al año). El seguro de vida vialicio co icreeos -veces al año será aquel al que su beeficio se icreeará e u año -veces a parir de la eisió del seguro y se pagará a la uere del asegurado. hora supodreos que el prier beeficio que recibirá será u beeficio de /, y de ahí se irá icreeado e / hasa coplear de esos cada año, es decir, que al prier año edreos u beeficio de / y de 2/ para el segudo año, para () uesro odelo quedaría co los siguiees eleeos. b [ + ] v v co Z z bv v [ + ] ( El valor presee acuarial para ese ipo de seguro se deoa por ( ) ) I. ( ( ) ) I E(Z) E( z ) z f ( ) d [ + ] v p µ + d c) Seguro de vida vialicio co icreeal isaáeo. 4

15 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm Defiició 3. (Seguro de vida vialicio co icreeos isaáeos). El seguro de vida vialicio co icreeos isaáeos será aquel al que su beeficio se icreeará a cada isae del iepo a parir de la eisió del seguro y se pagará a la uere del asegurado. Para obeer el isaáeo sería solo oar del seguro co icreeos al año oado. Es decir [ + ] li Nuesro odelo quedaría co los siguiees eleeos. b v v co Z z bv v El valor presee acuarial para ese ipo de seguro se deoa por ( I ). ( ) I E(Z) E( z ) z ( ) f d v p µ + d d) Seguro de vida eporal años decreciee. Defiició 3.2 (Seguro de vida eporal -años decreciee aualee). El seguro de vida eporal -años decreciee aualee será aquel al que oorgue u beeficio que si la persoa uere e el rascurso de los siguiees - años y recibirá u beeficio que irá disiuyedo e la isa proporció año co año a parir de la eisió del seguro. 42

16 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm El seguro proporcioará u beeficio a () de si uere e el rascurso del prier año, de e el segudo año y así hasa pagar e el -ésio año. Nuesro odelo quedaría co los siguiees eleeos. b [ ] < > v v co Z z bv ( [ ]) v < > El valor presee acuarial para ese ipo de seguro se deoa por ( D ). : ( ) : D E(Z) E( z ) z f ( ) d v [ ] p µ + d ( ) 2 ( [ ]) + ( [ ]) + + ( [ ]) v p µ d v p µ d v p µ d v p µ d+ ( ) v p µ d+ ( 2) v p µ d+ + () v p µ d ( ) : + ( 2) : 2 + : : ( k) k : 3.9 Seguros pagaderos al fial del año de la uere. 43

17 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm Los odelos de seguros visos aerioree cosidera el pago del beeficio de la sua asegurada de ua persoa de edad al oeo de su uere e base al uso de la variable (), ahora eplareos la v.a K [] dode K sería el úero de años fuuros copleos por () aes de su uere o el iepo de vida rucado de (). Noa. Recordeos que P(K()k) P(k () < k + ) P(k <() k + ) p p k k+ k p q + k k q k,, 2, a) Seguro de eporal a años. Si ua uidad se pagará al fial del año de la uere de () para u seguro eporal, eoces edríaos bk+,, 2,..., k vk+ v k + co k,,, Noa. Veaos que o es ecesario acoarlo co, ya que eso os lo daría b. K+ v K,, 2,..., Z z K+ bk+ v K+ K La esperaza del valor presee de los pagos o ejor coocido coo la pria ea úica para ese ipo de seguro eporal co ua uidad pagadera al fial del año de la uere de () se deoa por. : E(Z) E( z : K + ) k+ v P( K k) k+ v k p q+ k v q k+ k 44

18 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm k+ vq v q : + k 2 k+ : k+ + v v q : k k 2 k+ + v v q + v v p q : 2 k+ + + k k+ k+ + vp : v k p+ q+ + k + v p v q : + v p + : : 2 k + La variaza de Z, sería igual a: 2 V(Z) ( ) 2 : : b) Seguro de vida eera (seguro de vida vialicia). Si ua uidad se pagará al fial del año de la uere de () bk+ vk+ v k + co k,, co k,, Z z b v v K+ co k,, K+ K+ K+ La esperaza del valor presee de los pagos o ejor coocido coo la pria ea úica para ese ipo de seguro de ua uidad pagadera al fial del año de la uere de () se deoará por. E(Z) K k+ E( z + ) v P( K k) v q k+ k + v p : + 45

19 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm c) Seguro doal puro a años. Si ua uidad se pagará al fial del -ésio año e caso de que () sobreviva, eoces edríaos bk+, +,... k< vk+ v co k, +,. K+ v K, +, + 2,... Z z K+ bk+ v K+ K < La pria ea úica para ese ipo de seguro se deoa por. : E(Z) : v p q k + k v p d) Seguro doal io a años. Si ua uidad se pagará al fial del año e u seguro doal io a -años para (), eoces edríaos bk+ k,, 2, k+ v vk+,,..., v, +,... 46

20 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm K+ v K,,..., Z z K+ bk+ v K+ v K, +,... La valor presee acuarial de ese seguro se deoa por :. : E(Z) k+ v k q + v k p q+ k : + : e) Seguro de vida vialicio co icreeo aual. Para u seguro de vida vialicio supogaos que el beeficio se icreea e ua uidad cada año, para () uesro odelo quedaría co los siguiees eleeos. bk+ k + vk+ v k+,,.,,. Z z b v v K+ ( K+) K,,. K+ K+ K+ El valor presee acuarial para ese ipo de seguro se deoa por ( I ). ( ) I E(Z) E( K ) k+ k+ z + v ( k+ ) P( K k) ( + ) v k q k f) Seguro de vida eporal años decreciee. 47

21 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm El seguro proporcioará u beeficio a () de si uere e el rascurso del prier año, de e el segudo año y así hasa pagar e el -ésio año, y se le pagará al fial del año. Nuesro odelo quedaría co los siguiees eleeos. bk+ k,, 2,..., +, + 2,... vk+ v k+ co k,,, Z z b v K+ K+ K+ ( ) K+ v K K,,..., K, +,... El valor presee acuarial para ese ipo de seguro se deoa por ( D ). : ( ) : D E(Z) E( ) z ( ) k v q k+ k 3. Valores couaados. 3. Relació ere seguros pagaderos al oeo del falleciieo y al fial del iso año. 48

22 Maeáicas cuariales I Capíulo III. Beeficios por falleciieo. FES calá-mhm os represea el iepo rascurrido hasa que se produce la uere, K es el iepo fuuro rucado de vida y defiaos a S coo la v.a que represea la pare fraccioaria vivida e el año del falleciieo. Eoces eeos que K + S, y P( k < k +s ) P((K k),(s s)) kp k+sp kp sq+k Si cosideraos el supueso la ierpolació lieal o disribució uifore Es decir que K y S so idepediees P( k < k +s ) kp s q+k P(K k) P(S s) ( ) E( K S ) K+ S K+ S ( v ) E( v ) ( v ) E( + i ) E v v + E E ( ) ( i ) u du e u δ + du u ( ) δ δ ( ) e e δ δ i δ Y de fora geeral podeos ver que; ( z ) ( ) ( K S bv bk v + + ) E E E i E E ( ) E δ K+ S K+ S K+ ( bk+ v ) E( v ) ( bk+ v ) E( + i ) ( bk+ v ) 49