El Método euleriano lagrangiano localizado adjunto para problemas no lineales: El caso de la ecuación de Richards

Transcripción

1 El Méodo euleriao lagragiao localiado adjuo para probleas o lieales: El caso de la ecuació de Richards Álvaro A. Aldaa y Vícor Arroyo Isiuo Mexicao de Tecología del Agua Paseo Cuauháhuac 853, Jiuepec, Morelos, 655 Mexico aaldaa@laloc.ia.x, varroyo@laloc.ia.x

2 ÍNDICE Aecedees Moivació Esudio de propagació de propiedades Liealiació Taylor-Fréche Forulació ELLAM Ejeplos uéricos Coclusioes

3 Aecedees () Méodos euleriaos para la solució de la ecuació de ADR lieal El error de rucado e el iepo doia la solució. No asegura coservació de asa global. U aálisis de Fourier idica excesiva difusió uérica y grades errores de fase. Las allas espacio-eporales debe ser excesivaee fias e probleas doiados por advecció. c - [ vc - D c] kc Cr<< (esabilidad) PeO() (resolució espacial, probleáico e probleas doiados por advecció) 3

4 Aecedees () Méodos lagragiaos radicioales (caracerísicas o odificado de caracerísicas) para la solució de la ecuació de ADR lieal Tiee dificulad para icorporar los érios difusivos. Mejora cosiderableee el error de rucado e el iepo. No asegura coservació de asa global. c - [ vc - D c] kc Hay dificulad e icorporar las codicioes de froera sobre odo cuado las caracerísicas iercepa las froeras. 4

5 Aecedees (3) Méodo euleriao-lagragiao localiado adjuo (ELLAM; Celia e al., 99, Herrera e al., 994) para la solució de la ecuació de ADR lieal Mejora cosiderableee el error de rucado e el iepo. Asegura coservació de asa global. Cualquier codició de froera se icorpora de aera aural cuado las caracerísicas iercepa las froeras. c - [ vc - D c] kc Cr> Pe> (aracivo para probleas doiados por advecció) 5

6 Aecedees (4) Forulació ELLAM ELLAM es u éodo de residuos poderados, aplicable a ecuacioes difereciales lieales del ipo siguiee: L ( u) f dode L( ) es u operador diferecial lieal; u, la variable depediee, y f, u ério idepediee. ELLAM iee su fudaeo e la ideidad siguiee (Herrera e al., 993): wl( u) ul ( w ) B( u, w ) dode w es ua fució de poderació, L*( ) es el operador adjuo de L( ) y B(, ) es ua fora bilieal apropiada. Usualee w se elige de odo que L*(w), lo cual siplifica la solució de la ecuació aerior. Cuado dicha ecuació se plaea e fora localiada, se geera u sisea algebraico de ecuacioes lieales, de secilla solució para valores discreos de u. 6

7 Aecedees (5) Ejeplo 7

8 Aecedees (6) Ejeplo (coiuació) 8

9 Aecedees (7) Ejeplo 9

10 Aecedees (8) Ejeplo 3

11 Aecedees (9) Ejeplo 4

12 Aecedees () Ejeplo 4 (coiuació)

13 Aecedees () Ejeplo 4 (coiuació) Solució e eleeo fiio ipo Galerki (Wag e al., 996) 3

14 Aecedees () Ejeplo 4 (coiuació) Solució e eleeo fiio ipo Perov-Galerki (Wag e al., 996) 4

15 Moivació () Los éodos euleriaos o fucioa bie e la presecia de gradiees fueres. ELLAM ha sido aplicado saisfacoriaee e la solució de probleas lieales de raspore doiados por advecció. ELLAM, coo cualquier oro éodo basado e la deeriació de operadores adjuos esá liiado a probleas lieales. Por ao, para solucioar probleas o lieales se debe de aplicar écicas de liealiació adecuadas. Esraegias ieraivas ipo Picard o de aproxiacioes sucesivas ha sido propuesas, si ebargo exise evidecia de que o rabaja de aera adecuada e la solució de la ecuació de Richards (Arroyo, 4). 5

16 Moivació () Aldaa y Arroyo (998) ha desarrollado y aplicado ua esraegia de liealiació basada e el uso de ua expasió Taylor-Fréche sobre u operador o lieal de ADR. El procediieo de solució via ELLAM se cosruye sobre la base de ua liealiació Taylor-Fréche a lo largo de las líeas caracerísicas. c v c x D c x k( c) c f ( x, ) La ecuació de Richards cosiuye u odelo adecuado para probar uevas eodologías para la solució de probleas alaee o lieales. 6

17 Moivació (3) La ecuació de Richards (ER), que describe el oviieo del agua e suelos parcialee saurados, es ua EDP alaee o lieal. Las écicas euleriaas aplicadas a su solució requiere el uso de allas exreadaee fias. Eso queda claro al expresar la ER e la fora de ua ecuació de advecciódifusió-reacció. Cuado hay u gradiee abrupo de coeido de huedad y, por ao, de carga de presió, la ER posee propiedades aálogas a las de de u problea doiado por advecció. ψ N(ψ) S(ψ) where : K'(ψ) ψ K'(ψ) S(ψ) ψ K(ψ) K'(ψ) K ; ψ ψ ψ S(ψ) θ ψ K(ψ) S(ψ) ψ ψ ; 7

18 Objeivo: Desarrollar ua écica de liealiació eficiee para la ecuació de Richards (EDP alaee o lieal) y verificar si ELLAM coserva sus veajas e relació co las écicas euleriaas. 8

19 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM () (aálisis de Fourier) Plaeaieo del problea: Cosidérese el siguiee problea lieal de advecció-difusió-reacció (ADR) de valor iicial puro: ( c) c v c x c - D x kc x (, ); Ω [, ] c( x, ) h( x) 9

20 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM () (aálisis de Fourier) Defíase los siguiees úeros adiesioales: κ K, exp( κ) γ κ α ( Cr Nc) D ρ ( úero de dispersió) x V Cr ( úero de Coura) x Cr Pe ( úero de Pecle de la alla) ρ Nc INT( Cr ) θ ( facor de peso para el iepo)

21 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM (3) (aálisis de Fourier) Represeació de Fourier de la solució aalíica: c( x, ) c( x, ) U U exp i( σ exp x ω ) ω ω( k) [ iσ ( x v) ( Dσ k) ] Facor de aplificació aalíico: ( G ) a exp exp [ iσ v ( Dσ k) ] [ ( Dσ k) ][ cos( σ v ) ise( σ v ) ] Módulo: ( r ) ( G ) exp[ ( Dσ k) ] a a Fase: φ aal a { I [( G ) ]/Re[( G ) ]} σ v a a

22 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM (4) (aálisis de Fourier) Represeació de Fourier de la solució uérica: c( x, ) c~ ω u j ω U u expi( σ ( σ ) j x ω u ) Facor de aplificació uérico: ( G ) Re( η) i I( η) ( AE)cos( σ x) ( BE) u Módulo: Fase: Re( η) ( ( FE)cos I( η) ( DE ( FE) se DE)cos[ σ x( Nc ) ] ( EE)cos[ σ x( Nc ) ] [ σ xnc] ( GE)cos[ σ x( Nc ) ] ) se[ σ x( Nc ) ] ( EE) se[ σ x( Nc ) ] [ σ xnc] ( GE) se[ σ x( Nc ) ] {[ Re( η) ] [ I( η) ] } / r u ( AE)cos( σ x) ( BE) φ u I( η) a Re( η)

23 3 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM (5) (aálisis de Fourier) Coeficiees para la fució de peso lieal. ( ) ( ) α θ ργ α α α ργ α α θ ργ α θ ργ 6 ργθ κ ργθ κ α α α α α α α ) ( 6 3 ) )(3 ( - 6 ) 3 )( ( - 3 GE FE EE DE exp 3 BE exp 6 AE ) )( (

24 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM (6) (aálisis de Fourier) Coeficiees para la fució de peso cosae. AE ρ exp( ) 8 κ 3 BE ρ exp( κ) 4 DE.5 EE.5.5 EE.5.5 FE.5.5 FE.5.5 GE.5.5 [.5 ( Cr Nc) ] DE ; para ( Cr Nc).5 [ ( Cr Nc) ]( [ Cr Nc).5].5[.5 ( Cr Nc) ][.5 ( Cr Nc) ]; [ ( Cr Nc) ] ; para ( Cr Nc).5 [ ( Cr Nc) ] ; para( Cr Nc) >.5 [ ( Cr Nc) ][.5 ( Cr Nc) ].5[.5 ( Cr Nc) ][.5 ( Cr Nc) ]; GE ; para( Cr Nc) >.5 ; para( Cr Nc) >.5 [ ( Cr Nc) ] ; para ( Cr Nc). 5 para( Cr Nc) >.5 para ( Cr Nc).5 4

25 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM (7) (aálisis de Fourier) Codició de esabilidad: r u Paráeros para la evaluació de la precisió: Relació de apliud R r r u a Error de fase Ω N φ u N φ aal ; Ω N a I( G Re( G ) ) u u π 5

26 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM (8) (aálisis de Fourier) ecuació de advecció pura 6

27 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM (9) (aálisis de Fourier) ecuació de advecció-difusió 7

28 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM ()-ejeplo Advecció pura Pulso cuadrado c v c x Caso Coservaivo x (,) ; Ω [, ] c(x,). c( x,) ; ; x (,) x (,) -.. x. c( -,) ; c(, ) 8

29 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM ()-ejeplo (coiuació) 9

30 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM ()-ejeplo Advecció-difusió-reacció. c v c x - c D x kc x (,5) ; Ω [, 5] c( x,) ; c(,) ; c (5,) x 3

31 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM (3)-ejeplo (coiuació) 3

32 Esudio de propagació de propiedades de ELLAM (4) El esudio de propagació de propiedades perie cocluir que: No exise diferecias apreciables al usar ua fució de peso cosae o ua de ipo lieal. La fució de peso cosae, propuesa por Herrera & Herrera (993), es preferible para probleas co coeficiees variables, o lieales y e úliples diesioes, ya que la evaluació de las iegrales que aparece vía ELLAM se siplifica, especialee cuado las caracerísicas choca co las froeras. 3

33 Liealiació () Expasió Taylor-Fréche Sea ψ~ ψ(, ) ψ(, ) ψ~(, ), << ψ i i i ~ψ(,) dode ψ (, ) ψ( ξ, τ), ξ τ vd τ ψ~ (, ) represea ua fució de correcció. ξ ψ (, ) i ψ(, ) es evaluada e u iepo previo, a lo largo de las líeas caracerísicas. v es defiida coo ua velocidad adveciva. 33

34 Liealiació () Expasió Taylor-Fréche Susiuyedo e la ecuació de Richards se obiee: N( ψ ψ~) N( ψ) dn(~; ψ ψ) O ψ dode: [ Kˆ( ψ)~ ψ] ψ ψ ψ~ ψ~ dn( ψ ~; ψ) S( ψ) K( ψ) Sˆ( ) ~ Kˆ ( ψ ) K ( ψ )( ψ / ) Sˆ( ψ ) S ( ψ) ψ / 34

35 Liealiació (3) Expasió Taylor-Fréche Despreciado los érios de O( ψ ), se obiee la siguiee ecuació lieal o hoogéea: o dn( ψ ~ ;ψ) N(ψ) ψ ~ ψ ~ K '(ψ) ψ K(ψ) ψ ~ S(ψ) S(ψ) Kˆ(ψ) (ψ) ˆ(ψ) ψ ~ N S S(ψ) S(ψ) Coo puede observarse la ecuació aerior iee la fora ADR, co velocidad adveciva dada por: v K'( ψ) ψ S( ψ) 35

36 Liealiació (4) Expasió Taylor-Fréche Se puede esablecer el siguiee algorio para ipleear la eodología expuesa: Hacer ψ ψ( x ξ, τ ) Solucioar Hacer ψ () dn(ψ ~ ) ψ ~ ψ ~ N(ψ) (priera ieració) Para j : hasa ( áxio úero de ieracioe s) Hacer ψ ψ ( j ) Solucioar dn(ψ ~ ) (j) Hacer ψ ψ ~ ψ ~ ( j N(ψ) - ésia ieració) Si ψ (j) ψ ( j ψ ( j ) ) oleracia, fi Coiuar 36

37 Forulació ELLAM () ELLAM cosidera la priera fora débil dn(ψ;ψ)-n(ψ), iegrádola sobre el doiio espacio-eporal e cora de la fució de peso, coo sigue: / 5 / 7 / 3 4 9/ * 4 T L ψ S(ψ) ~ K ˆ(ψ)ψ ~ ψ K(ψ) ~ Sˆ(ψ)ψ ~ w (, ) dd Froera de erada * 3 Cr * * 7/ Froera de salida T L ψ S(ψ) ψ K(ψ) K(ψ) w (, ) dd dode w es ua fució de peso. 37

38 38 Forulació ELLAM () Iegrado por pares, resula: T T T L T L L T T L L T L T L L L T dd w S dd w S w K w S dd w K K K dd w K K dd w S dd w S w K w S dd w K dd w K K dd w S ψ ˆ(ψ ) ˆ(ψ ) ˆ (ψ ) (ψ ) ψ (ψ ) (ψ ) ˆ (ψ )ψ ψ (ψ ) (ψ ) ) (ψ (ψ ) ~ ˆ(ψ ) (ψ ) ψ ~ (ψ ) ψ ~ (ψ ) ˆ(ψ )ψ ~ ) (ψ ~ (ψ ) ψ ψ

39 Forulació ELLAM (3) E el arco de ELLAM la fució de peso w(,) se elige de al fora que la cuara iegral de abos iebros se eliie. Por ora pare, aplicado la fórula de Gree a la seguda iegral de abos iebros ésas se coviere e iegrales de froera. Por ao, se obiee: T T T T Kψ ~ T L (ψ w) S(ψ) ~ dd ψ K(ψ) ~ ( L, ) (ψw ) S(ψ) dd ψ K(ψ) K(ψ) L L Kˆ(ψ)ψ ( L, ) Kψ ~ ψ K(ψ) K(ψ) T T ψ K(ψ) ~ (, ) w( L, ) d T L ψ K(ψ) ~ ψ K(ψ) K(ψ) (, ) w( L, ) d w dd T w(, ) d w dd w(, ) d L ( Sˆ(ψ) wψ) dd 39

40 Forulació ELLAM(5) Co el fi de obeer expresioes localiadas, el doiio de iegració espacio-eporal Ω [,L] [,T] se subdivide e subdoiios Ω j, de al suere que: Ω Ω j, j i-/ i/ Las fucioes de poderació correspodiees a cada subdoiio Ω j, w j, se elige de odo que se saisfaga las siguiees expresioes: w j w j Kˆ(ψ) w j S(ψ) Sˆ(ψ) w S(ψ) j e Ω i Las fucioes de poderació espacialee cosaes posee propiedades de propagació siilares a las lieales, por ao, w j se elige coo sigue: i- i-/ i i i Ω * i-/ * i i/ i Ω i * i/ X w j (, ) e de Sˆ ( ψ ) ~ d S ( ψ ) ;(, ) ora fora Ω i * i-/ * i * i/ 4

41 4 Forulació ELLAM (6) Toado e cuea el sopore copaco de w j, la ecuació a resolver se rasfora e: / / / / / / / / / / ψ ˆ (ψ ) ψ (ψ ) (ψ ) (ψ )ψ ˆ ), ( ψ (ψ ) (ψ ) ) (, ψ (ψ ) (ψ ) ) (ψ (ψ ) ψ ~ (ψ ) ), ( ψ ~ (ψ ) (ψ )ψ ~ ˆ ) (, ψ ~ (ψ ) ψ ~ ) (ψ ~ (ψ ) ), ( ), ( ), ( ) (, i i i i i i i i i i j j j L j o j j j L j j dd w S dd w K K K d L w K K d w K K dd w S dd w K d L w K K d w K K dd w S Esa ecuació puede ser resula a ravés de écicas esádar de iegració, coo la regla rapeoidal.

42 Ejeplos uéricos () Ejeplo Cosidérese u flujo de redisribució co flujo oal de Darcy ulo e la superficie, dode la colua de suelo iee ua alura de 5. E la base, la carga de presió es ula. La codició iicial es cercaa a la sauració. 5 ψ (, ).7 ; > θ r.5 θ.38 s ψs. ψ(,) K s./h S s q ψ K ; > 4

43 Ejeplos uéricos () Ejeplo (coiuació) EF (HYD) (.h,.) HYD FD (.h;.) - hr T-F ELLAM HYD T-F ELLAM - FD T-F ELLAM ( hr; ) T-F ELLAM (.5,.5) Pressure, hr Eleeo fiio y diferecias fiias o coverge a la solució para iepos largos T-F ELLAM coverge a la disribució hidrosáica para iepos largos. Deph, 43

44 Ejeplos uéricos (3) Ejeplo E ese caso se siula ifilració e ua colua de suelo de.5 de alura. La codició iicial es ua codició uifore de huedad e oda la colua que correspode a ua presió de 3 (suelo seco), la codició de froera e la superficie es ua codició ipo Dirichle co u valor de la presió de.. E la pare iferior () la codició de froera es abié ipo Dirichle co u valor de la presió de 3.. Los paráeros del suelo epleados so:.5 ψ (.5, ).; > θ r.5 θ s.38 ψ(,) 3. ψs. 4 K s./h ψ (, ) 3.; > S s 44

45 Ejeplos uéricos (4) Ejeplo (coiuació) Exaca FD (.h;.833 ) T-F ELLAM ( h;.5 ) EF ( h,.5 ) carga de presió, "exaca" T-F ELLAM EF T-F ELLAM EF , Las solucioes se presea para: h h 45

46 Ejeplos uéricos (5) Ejeplo 3 Ese ejeplo e dos diesioes correspode a ua ifilració de ua láia parcial de agua e ua colua de suelo de 5. x 5.. La codició iicial es ua codició uifore de huedad e oda la colua que correspode a ua carga de presió de.. θ r.5 θ s.38 ψs. 4 K s./h S s 46

47 Ejeplos uéricos (6) Ejeplo 6 (coiuació) 3 h Solució exaca h.5,.5h 47

48 Ejeplos uéricos (7) Ejeplo 6 (coiuació) 3 h Solució T-F ELLAM h.5, 5 h 48

49 Ejeplos uéricos (8) Ejeplo 6 (coiuació) 3 h Solució Picard ELLAM h.5, 5 h 49

50 Coclusioes Se ha deosrado la viabilidad de aplicar ELLAM a la solució de probleas o lieales e los que exise la propagació de frees co gradiees prouciados. Se ha realiado, por ve priera, u aálisis de Fourier para deeriar las propiedades de propagació de ELLAM. Gracias a eso, se ha deosrado que la fució de poderació espacialee cosae posee propiedades de propagació uy siilares que las de la fució de poderació espacialee lieal. La priera es preferible al aplicar ELLAM a probleas ulidiesioales y o lieales, pues facilia el raaieo de las iegrales espacio-eporales que surge al aplicar el éodo. Se desarrolló ua eodología de liealiació basada e ua expasió Taylor-Fréche a lo largo de las caracerísicas, co el objeo de aplicar ELLAM a ua ecuació diferecial lieal, y esar e posibilidad de deeriar el operador adjuo del operador diferecial origial. El éodo TF-ELLAM fucioa icluso e casos e los que el éodo de Picard-ELLAM falla. La eodología desarrollada ha sido probada co excelees resulados e la solució de la ecuació diferecial alaee o lieal de Richards. 5