Métodos numéricos en relatividad

Transcripción

1 Métodos uéricos e relatividad Miguel Alcubierre Istituto de Ciecias Nucleares, UNAM Abril 005 Ídice 1. Itroducció. Aproxiacioes e diferecias fiitas.1. Coceptos básicos La ecuació de oda e ua diesió Aproxiacioes iplícitas y oléculas coputacioales Cosistecia, covergecia y estabilidad Estabilidad de vo Newa Sisteas de prier orde Métodos explícitos clásicos Métodos iplícitos: Crak-Nicholso Métodos de lieas: Crak-Nicholso iterado Referecias 18 1

2 1. Itroducció Las teorías de capo juega u papel fudaetal e la física odera. Desde la electrodiáica clásica de Maxwell, hasta las teorías cuáticas de capo, pasado por la ecuació de Schrödiger, la hidrodiáica, y desde luego la relatividad geeral, la oció de capo coo ua etidad física e si isa ha teido iplicacioes profudas e uestra cocepció del Uiverso. Los capos so fucioes cotiuas del espacio y el tiepo, y la descripció ateática de sus leyes diáicas se realiza e el cotexto de las ecuacioes difereciales parciales. Las ecuacioes difereciales parciales asociadas a teorías físicas so e geeral iposibles de resolver aalíticaete excepto e casos uy idealizados. Esta dificultad puede teer diversos orígees, desde la presecia de froteras irregulares, a la existecia de térios o lieales e las ecuacioes isas. Para resolver este tipo de ecuacioes e situacioes diáicas geerales resulta ievitable utilizar aproxiacioes uéricas. Existe uchas foras distitas de resolver ecuacioes difereciales parciales de fora uérica. Los étodos ás populares so tres: las diferecias fiitas [7], los eleetos fiitos [6], y los étodos espectrales. E este curso os liitareos a estudiar las diferecias fiitas por ser el étodo coceptualete ás siple y tabié por ser el ás coú e la relatividad uérica (auque o el úico, e particular los étodos espectrales ha coezado a gaar popularidad e los últios años [, 3, 4]).. Aproxiacioes e diferecias fiitas.1. Coceptos básicos Cuado uo estudia u capo e u espacio-tiepo cotiuo, se ve e la ecesidad de cosiderar u úero ifiito (y o cotable) de variables descoocidas: el valor del capo e todo puto del espacio y a todo tiepo. Para ecotrar el valor del capo utilizado aproxiacioes uéricas priero se debe reducir el úero de variables a ua catidad fiita. Hay uchas foras de hacer esto. Los étodos espectrales, por ejeplo, expade la solució coo ua cobiació lieal fiita de ua base adecuada de fucioes. Las variables a resolver so etoces los coeficietes de dicha expasió. U efoque distito es toado por las diferecias y los eleetos fiitos. E abos casos se reduce el úero de variables discretizado el doiio de depedecia de las fucioes, auque co distitas estrategias. La idea básica de las diferecias fiitas es substituir al espacio-tiepo cotiuo por u cojuto discreto de putos. Este cojuto de putos se cooce coo la alla o

3 Figura 1: Discretizació del espacio-tiepo utilizada e diferecias fiitas. red coputacioal. Las distacias e el espacio etre los putos de esta red o tiee porqué ser uifores, pero e estas otas asuireos que si lo so. El paso de tiepo etre dos iveles cosecutivos se deoia t, y la distacia etre dos putos adyacetes e el espacio x. La Figura 1 es ua represetació gráfica de la red coputacioal. Ua vez establecida la alla coputacioal el siguiete paso es substituir las ecuacioes difereciales por u sistea de ecuacioes algebraicas. Esto se logra aproxiado los operadores difereciales por diferecias fiitas etre los valores de las fucioes e putos adyacetes de la alla. De esta fora se obtiee ua ecuació algebraica e cada puto de la alla por cada ecuació diferecial. Estas ecuacioes algebraicas ivolucra los valores de las fucioes e el puto cosiderado y e sus vecios ás cercaos. El sistea de ecuacioes algebraicas se puede resolver de aera secilla, el precio que heos pagado es que ahora teeos uchísias ecuacioes algebraicas, por lo que se requiere utilizar ua coputadora. Para ver coo se hace esto e la práctica, cosidereos coo odelo la ecuació de oda e ua diesió. Esta ecuació preseta uchas vetajas. E prier lugar se puede resolver de aera exacta y la solució exacta se puede utilizar para coparar co la solució uérica. Adeás, la ayoría de las ecuacioes fudaetales e las teorías de capo oderas se puede ver coo geeralizacioes de diversos tipos de la ecuació de oda. 3

4 .. La ecuació de oda e ua diesió La ecuació de oda e ua diesió (e u espacio plao) tiee la fora: x 1 c t = 0, (1) dode es la fució de oda y c la velocidad de oda. Para ecotrar ua aproxiació e diferecias fiitas a esta ecuació coezaos por itroducir la siguiete otació para los valores de e la red coputacioal: := ( t, x), () Podeos ahora aproxiar los operadores difereciales que aparece e la ecuació (1) utilizado expasioes de Taylor de alrededor del puto (, ). Cosidereos, por ejeplo, el valor de e los putos (, + 1) y (, 1): +1 1 ( ) = + x + 1 ( ) ( x) + 1 ( 3 ) ( x) 3 +, (3) x x 6 x 3 ( ) = x + 1 ( ) ( x) 1 ( 3 ) ( x) 3 +, (4) x x 6 x 3 dode todas las derivadas debe ser evaluadas e el puto (t = t, x = x). A partir de estas expresioes es fácil ver que: ( ) x = ( x) + ( x) 1 Podeos etoces aproxiar la seguda derivada coo: ( ) x ( 4 ) +. (5) x ( x). (6) Que ta buea es esta aproxiació depede, desde luego, del taaño de la alla x. Si x es pequeño e el setido de que la fució varía uy poco e ua regió de ese taaño, etoces la aproxiació puede ser uy buea. El error ivolucrado e esta aproxiació es llaado error de trucació y coo veos e este caso su parte doiate resulta ser proporcioal a x, por lo que se dice que esta aproxiació es de segudo orde. 4

5 La seguda derivada de co respecto a t se puede aproxiar exactaete de la isa aera. De esta fora obteeos la siguiete aproxiació a segudo orde de la ecuació de oda: ( x) c ( t) = 0. (7) Podeos reescribir esta ecuació de fora ás copacta si itroducios el llaado paráetro de Courat : ρ := c t/ x. La aproxiació toa la fora fial: ρ ( ) ( +1 ) + 1 = 0. (8) Esta ecuació tiee ua propiedad uy iportate: ivolucra solo u valor de la fució de oda e el últio ivel de tiepo, el valor +1. Podeos etoces despejar este valor e térios de valores e tiepos ateriores para obteer: +1 = 1 + ρ ( ). (9) Por esta propiedad la aproxiació aterior se cooce coo aproxiació explícita. Si cooceos los valores de la fució e los iveles y 1, podeos usar la ecuació aterior para calcular directaete los valores de la fució e el uevo paso de tiepo + 1. El proceso puede luego iterarse tatas veces coo se quiera. Es evidete que todo lo que se ecesita para coezar la evolució es el coociieto del valor de la fució de oda e los prieros dos pasos de tiepo. Pero obteer estos datos es uy fácil de hacer. Coo se trata de ua ecuació de segudo orde, los datos iiciales icluye: f (x) := (0, x), g (x) := t. (10) t=0 El coociieto de f(x) evideteete os da el prier ivel de tiepo: 0 = f ( x). (11) Para el segudo ivel basta co aproxiar la priera derivada e el tiepo e diferecias fiitas. Ua posible aproxiació es: de dode obteeos: g ( x) = 1 0 t, (1) 1 = g ( x) t + 0. (13) 5

6 La expresió aterior tiee u icoveiete iportate. De la expasió e Taylor podeos ver fácilete que el error de trucació para esta expresió es de orde t, por lo que la aproxiació es solo de prier orde. Es claro que si coezaos la evolució co u error de prier orde, el segudo orde de todo el esquea se pierde. Si ebargo, es fácil resolver este problea. Ua aproxiació a segudo orde de la derivada teporal resulta ser: g ( x) = 1 1. (14) t El problea ahora es que esta expresió hace referecia al valor de al fució 1 que tabié es descoocido. Pero ya teeos otra ecuació que hace referecia a 1 y 1 : la aproxiació a la ecuació de oda (8) evaluada e = 0. Podeos etoces utilizar estas dos ecuacioes para eliiar 1 y resolver para 1. De esta fora obteeos la siguiete aproxiació a segudo orde para el segudo ivel de tiepo: 1 = 0 + ρ ( ) + t g ( x). (15) Las ecuacioes (11) y (15) os da ahora toda la iforació ecesaria para coezar la evolució. Hay u puto iportate que debe ecioarse aquí. Para reducir el úero total de variables a u úero fiito, tabié es ecesario toar ua regió fiita del espacio, coocida coo el doiio coputacioal, co u úero fiito de putos N. Resulta etoces crucial especificar las codicioes de frotera que deberá aplicarse a los extreos de la red coputacioal. Es claro que la aproxiació a la ecuació de oda (8) o puede ser utilizada e las froteras debido a que hace referecia a putos fuera del doiio coputacioal. Existe diversas aeras coocidas de ipoer codicioes de frotera para la ecuació de oda. Si ebargo, para sisteas ás coplejos, coo las ecuacioes de Eistei, la elecció de codicioes de frotera adecuadas y cosistetes es u problea o resuelto de gra actualidad [8, 9]. Para los objetivos de estas otas podeos olvidaros del problea de las codicioes de frotera y asuir que teeos u espacio periódico, de aera que la elecció de las codicioes de frotera será sipleete: 0 N. (16) Esta elecció, adeás de ser suaete siple, es equivalete a utilizar la aproxiació itera e todos lados, por lo que os perite cocetraros e las propiedades del étodo iterior úicaete, si preocuparos por los efectos que pueda itroducir las froteras. 6

7 .3. Aproxiacioes iplícitas y oléculas coputacioales E la secció aterior se itrodujero las ideas básicas de las aproxiacioes e diferecias fiitas utilizado la ecuació de oda e ua diesió coo ejeplo. La aproxiació que ecotraos, si ebargo, esta lejos de ser úica. E pricipio, existe u úero ifiito de foras distitas de aproxiar ua isa ecuació diferecial utilizado diferecias fiitas. Diferetes aproxiacioes tiee distitas propiedades. E la siguiete secció se ecioará cuales de estas propiedades puede hacer ua aproxiació ás útil que otra. E esta secció e liitaré a itroducir ua geeralizació de la aproxiació explícita que vios ates. Para hacer las cosas ás fáciles, itroducireos ua otació copacta para las diferecia fiitas. Defiios los operadores de prieras diferecias cetradas coo: δ x := 1 ( +1 1 ), (17) δ t := 1 ( +1 ) 1. (18) y los operadores de segudas diferecias cetradas coo: δ x := , (19) δ t := , (0) (Cuidado: Co esta otació (δ x ) δx ). Habiedo defiido estos operadores, podeos regresar a las aproxiacioes que hicios a los operadores difereciales que aparece e la ecuació de oda. Partiedo de uevo de las series de Taylor, es posible ostrar que la seguda derivada espacial puede aproxiarse de aera ás geeral coo: ( ) x 1 ( x) δ x [ θ ( +1 ] + ) 1 + (1 θ), (1) co θ u paráetro arbitrario. La expresió que teíaos ates, ecuació (6), puede recuperarse toado θ = 0. Esta ueva aproxiació correspode a toar proedios, co u cierto peso, de operadores e diferecias fiitas actuado e diferetes pasos de tiepo. E el caso particular e que θ = 1, la cotribució del paso de tiepo iteredio de hecho desaparece por copleto. Si utilizaos esta aproxiació para la seguda derivada espacial, pero ateeos la isa aproxiació que ates para la derivada teporal, obteeos la siguiete aproxiació e diferecias fiitas de la ecuació de oda: ρ δ x [ θ ( ) + (1 θ) ] 7 δ t = 0. ()

8 Figura : Moléculas coputacioales. Esta es ua posible geeralizació de (8), pero claraete o la úica, es claro que podeos jugar este juego de uchas aeras y obteer aproxiacioes aú ás geerales, todas ellas válidas, y todas ellas a segudo orde (icluso es posible igeiárselas para ecotrar aproxiacioes a cuarto orde o ayor). La aproxiació dada por () tiee ua ueva propiedad uy iportate: hace referecia o a uo, sio a tres valores diferetes de e el últio paso de tiepo. Esto sigifica que ahora o podeos resolver para e el últio paso de aera explícita e térios de los valores e los dos pasos ateriores. Debido a esto, a la aproxiació () se le cooce coo aproxiació iplícita. Cuado las ecuacioes para todos los putos de la alla, icluyedo las froteras, se cosidera a la vez, es posible resolver el sistea copleto ivirtiedo ua atriz o trivial, lo que desde luego toa ás tiepo que el ecesario para ua aproxiació explícita. Parecería etoces que o tiee igú setido cosiderar aproxiacioes de tipo iplícito. Si ebargo, e uchas ocasioes las aproxiacioes iplícitas resulta teer ejores propiedades que las explícitas, e particular relacioadas co la estabilidad del esquea uérico, cocepto que se discutirá e la siguiete secció. La diferecia etre ua aproxiació iplícita y otra explícita puede verse gráficaete utilizado el cocepto de olécula coputacioal, que o es otra cosa que u diagraa que uestra las relacioes etre los distitos putos utilizados e ua aproxiació e diferecias fiitas. La Figura uestra las oléculas coputacioales para los casos iplícito y explícito que heos cosiderado. 8

9 .4. Cosistecia, covergecia y estabilidad E la últia secció os topaos co quizá uo de los coceptos ás iportates de las diferecias fiitas: Existe, e geeral, u úero ifiito de aeras posibles de aproxiar ua isa ecuació diferecial. Esto sigue siedo cierto icluso si uo se restrige a cosiderar aproxiacioes co u iso orde de error. La ultiplicidad de posibles aproxiacioes os lleva iediataete a la siguiete preguta: Coo saber e que caso usar ua cierta aproxiació y o otra? Desgraciadaete, o existe ua respuesta geeral a esta preguta, por lo que uchas veces se dice que las diferecias fiitas so u arte ás que ua ciecia. Si ebargo, si existe guías que os perite escoger etre distitas aproxiacioes e ciertos casos. Estas guías tiee que ver co los coceptos de cosistecia, covergecia y estabilidad. Cosidereos ua cierta aproxiació e diferecias fiitas a ua ecuació diferecial. Cuado la alla se refia (es decir, cuado t y x se hace cada vez ás pequeños), uo esperaría que la aproxiació fuera cada vez ejor e el setido de que los errores de trucació se hace cada vez ás pequeños. Buscaos etoces que e el líite cotiuo uestra aproxiació se acerca a la ecuació diferecial origial y o a otra. Cuado esto ocurre localete se dice que uestra aproxiació es cosistete. E geeral, esta propiedad es uy fácil de ver de la estructura de las aproxiacioes e diferecias fiitas, y puede coprobarse casi a ojo. Las excepcioes iportates so situacioes e las que el sistea de coordeadas es sigular, dode ostrar cosistecia e el puto sigular puede o ser trivial. Por ejeplo, es coú que aproxiacioes e diferecias fiitas estádar falle e el puto r = 0 cuado se utiliza coordeadas esféricas. La cosistecia es claraete fudaetal e ua aproxiació e diferecias fiitas. Si falla, auque sea e u solo puto, iplica que o recuperareos la solució correcta de la ecuació diferecial. La cosistecia es solo ua propiedad local: ua aproxiació cosistete se reduce localete a la ecuació diferecial e el líite cotiuo. E la práctica, estaos realete iteresados e ua propiedad ás global. Lo que realete buscaos es que la aproxiació ejore a u tiepo fiito T cuado refiaos la alla. Es decir, la diferecia etre la solució exacta y la solució uérica a u tiepo fijo T debe teder a cero e el líite cotiuo. Esta codició se cooce coo covergecia. La covergecia es claraete diferete a la cosistecia: esqueas cosistetes puede fácilete o ser covergetes. Esto o es difícil de eteder si pesaos que e el líite cuado t se hace cero, u tiepo fiito T se puede alcazar solo después de u úero ifiito de pasos. Esto iplica que icluso si el error e cada paso es ifiitesial, su itegral total puede uy fácilete ser fiita. La solució uérica puede icluso divergir y el error de hecho resultar ifiito. 9

10 E geeral es uy difícil verificar aalíticaete si u esquea de aproxiació es covergete o o lo es. Nuéricaete, por otro lado, es uy fácil ver si la solució aproxiada coverge a algo (es decir, o diverge). Lo difícil es saber si la solució uérica coverge hacia la solució exacta y o a otra cosa. Hay otra propiedad iportate de las aproxiacioes e diferecias fiitas. Idepedieteete del coportaieto de la solució a la ecuació diferecial, debeos pedir que las solucioes exactas de las ecuacioes e diferecias fiitas peraezca acotadas para cualquier tiepo fiito T y cualquier itervalo de tiepo t. Este requisito se cooce coo estabilidad, e iplica que igua copoete de los datos iiciales debe aplificarse arbitrariaete. La estabilidad es ua propiedad del sistea de ecuacioes e diferecias fiitas, y o es otra cosa que el aálogo discreto de la codició de que u sistea de ecuacioes difereciales este bie plateado. Ua aproxiació iestable es iútil e la práctica. U resultado fudaetal de la teoría de las aproxiacioes e diferecias fiitas es el teorea de Lax (para su deostració ver, por ejeplo, la referecia [7]): TEOREMA: Dado u problea de valores iiciales bie plateado ateáticaete y ua aproxiació e diferecias fiitas a él que satisface la codició de cosistecia, etoces la estabilidad es codició ecesaria y suficiete para la covergecia. Este teorea es de gra iportacia pues relacioa el objetivo fial de toda aproxiació e diferecias fiitas, es decir, la covergecia a la solució exacta, co ua propiedad que es ucho ás fácil de probar: la estabilidad..5. Estabilidad de vo Newa U étodo geeral para probar la estabilidad de los sisteas de ecuacioes e diferecias fiitas se obtiee de la defiició de estabilidad directaete. Coezaos por escribir las ecuacioes e diferecias fiitas coo: v +1 = Bv, (3) dode v es el vector solució e el ivel de tiepo, y B es ua atriz (e geeral co uchos ceros). Es iportate otar que toda aproxiació e diferecias fiitas, icluso aquellas que ivolucra ás de dos iveles de tiepo (coo las que itrodujios para la ecuació de oda e las seccioes ateriores), puede escribirse de la fora (3) sipleete itroduciedo variables auxiliares. Coo el vector v se puede escribir coo ua cobiació lieal de los eigevectores de B, el requeriieto de estabilidad se reduce a pedir que la atriz B o aplifique iguo de sus eigevectores, es decir, que la agitud del ayor de sus eigevalores sea 10

11 eor o igual que 1. Dicho de otra fora, el radio espectral de B debe ser eor o igual a 1. El aálisis de estabilidad basado e la idea que heos expuesto es uy geeral, pero requiere del coociieto de los coeficietes de B e todo el espacio, icluida la frotera. Existe, si ebargo, u étodo uy popular de aálisis de estabilidad que, auque e pricipio solo os proporcioa codicioes ecesarias para la estabilidad, e uchos casos resulta tabié dar codicioes suficietes. Este étodo, itroducido origialete por vo Newa, esta basado e ua descoposició e Fourier de la solució. Para itroducir este étodo, epezaos etoces por expadir la solució de (3) e ua serie de Fourier: v (x) = ṽ (k) e ik x, (4) k dode la sua es sobre todos los vectores de oda k que puede represetarse e la alla. 1 Si ahora substituios esto e la ecuació origial (3) obteeos: ṽ +1 = G ( x, t, k) ṽ. (5) La atriz G se cooce coo atriz de aplificació. La codició de estabilidad ahora correspode a pedir que igú odo de Fourier se aplifique, es decir, el radio espectral de G debe ser eor o igual que uo. Esta es la codició de estabilidad de vo Newa. Es iportate recalcar que para poder utilizar este criterio de estabilidad se ha supuesto dos cosas: 1) Las codicioes de frotera so periódicas, pues de otra fora o se puede hacer la expasió e serie de Fourier, y ) Los eleetos de la atriz B so costates, pues de otra fora o se puede separar los diferetes odos de Fourier. Coo ejeplo del aálisis de estabilidad de vo Newa vaos a utilizar la aproxiació iplícita a la ecuació de oda que derivaos ates (ecuació ()): ρ δ x [ (θ/) ( Cosiderareos ahora u odo de Fourier de la fora: ) + (1 θ) ] δ t = 0. (6) = ξ e i k x. (7) Si substituios esto e la ecuació e diferecias fiitas ecotraos, después de u poco de álgebra, la siguiete ecuació cuadrática para ξ: A ξ + B ξ + C = 0, (8) 1 La eor logitud de oda que se puede represetar e la alla es claraete x, tabié coocida coo la logitud de oda de Niquist. Esto iplica que el valor áxio de cualquier copoete del vector de oda es π/ x. 11

12 co coeficietes dados por A = ρ θ [ cos (k x) 1 ] 1, (9) B = ρ (1 θ) [ cos (k x) 1 ] +, (30) C = ρ θ [ cos (k x) 1 ] 1. (31) La dos raíces de la ecuació cuadrática so, claraete: ξ ± = B ± (B 4 A C) 1/ A, (3) y la solució geeral a la ecuació e diferecias fiitas resulta ser: = [ ( Z + k ξ+ (k) ) ( + Z k ξ (k) ) ] e i k x, (33) k dode Z k + y Zk so costates arbitrarias. Por otro lado, del hecho de que A = C es fácil ostrar que: ξ + ξ = C = 1. (34) A Esta es ua propiedad uy iportate, iplica que si el sistea es estable para toda k, es decir, si ξ ± (k) 1, etoces ecesariaete será tabié o disipativo (los odos de Fourier o solo o crece, sio que tapoco se disipa). Para que el sistea sea estable debeos ahora pedir que: ξ + (k) = ξ (k) = 1. (35) Es fácil ver que esto ocurrirá siepre que: B 4 A C 0. (36) Substituyedo los valores de los coeficietes A, B y C e esta expresió obteeos la siguiete codició de estabilidad: ρ (1 θ) [ 1 cos (k x) ] 0. (37) Coo quereos que esto se cupla para toda k, debeos cosiderar el caso cuado el lado izquierdo alcaza su valor áxio. Si toaos θ < 1/ esto ocurrirá para k = π/ x, e cuyo caso la codició de estabilidad se reduce a: ρ 1/ (1 θ). (38) 1

13 Figura 3: Codició de estabilidad CFL. Para c t < x, el doiio de depedecia uérico es ayor que el doiio de depedecia físico (regió sobreada), y el sistea es estable. Para c t > x, la situació es la opuesta, y el sistea es iestable. Para el esquea explícito se tiee θ = 0, y la codició se reduce a la bie coocida codició de estabilidad de Courat-Friedrich-Lewy (CFL): c t x. (39) La codició CFL tiee ua clara iterpretació geoétrica: el doiio de depedecia uérico debe ser ayor que el doiio de depedecia físico, y o al revés (ver Figura 3). Si esto o fuera así, resultaría iposible para la solució uérica coverger a la solució exacta, pues al refiar la alla siepre habría iforació física relevate que quedaría fuera del doiio de depedecia uérico. Y, coo heos visto, el teorea de Lax iplica que si o hay covergecia el sistea es iestable. El argueto que acabaos de dar claraete solo se aplica a esquea explícitos. Esto se debe a que para u sistea iplícito, el doiio de depedecia uérico es toda la alla. E este caso o hay u argueto físico siple que os diga cual debe ser la codició de estabilidad. Para llegar a la codició de estabilidad (38), supusios que θ < 1/. Si, por otro lado, toaos θ 1/, debeos regresar a la codició geeral (37). Si ebargo, e este caso es fácil ver que la codició se satisface siepre. Esto sigifica que u sistea iplícito co θ 1/ es estable para todo valor de ρ, es decir, es icodicioalete estable. Esto os lleva a quizá ua de las leccioes ás iportates de la teoría de las diferecias fiitas: Los esqueas ás siples o siepre tiee las ejores propiedades de estabilidad. 13

14 3. Sisteas de prier orde E uchas áreas de la física es coú escribir las ecuacioes de evolució de u sistea coo sisteas de ecuacioes difereciales de prier orde. Debido a esto se ha dado u ayor desarrollo a los étodos uéricos para este tipo de sisteas. U ejeplo clásico de ua ecuació a prier orde es la llaada ecuació de advecció: t u + λ x u = 0, (40) dode λ es ua costate. Esta es siilar a la ecuació de oda e cuato a que represeta propagació a velocidad costate, pero e este caso la propagació es solo e ua direcció. Es iportate señalar que todo sistea de ecuacioes de evolució puede reescribirse coo u sistea a prier orde defiiedo las derivadas coo variables auxiliares, por lo que los étodos desarrollados para este tipo de sisteas so de aplicació geeral. Por ejeplo, e el caso de la ecuació de oda (1) podeos defiir las variables auxiliares: Π := t y Ψ := x. La ecuació de oda se covierte e t Π 1 c xψ = 0. (41) Este sistea, si ebargo, o es cerrado pues falta ua ecuació de evolució para Ψ. Esta puede obteerse recordado que las derivadas parciales couta. Podeos escribir etoces a la ecuació de oda coo el siguiete sistea a prier orde: t = Π, (4) t Ψ x Π = 0, (43) t Π 1 c xψ = 0. (44) 3.1. Métodos explícitos clásicos Existe uchos étodos explícitos clásicos para resolver probleas de prier orde. Toado coo ejeplo la ecuació de advecció (40), el étodo ás secillo sipleete toa diferecias cetrales para la derivada espacial y diferecias hacia adelate ( avazadas ) para la derivada teporal: u +1 j u j t + λ u j+1 u j 1 x = 0, (45) 14

15 de dode obteeos: u +1 j = u j λρ ( ) u j+1 u j 1, (46) co ρ = t/ x el paráetro de Courat. Este étodo se cooce coo el étodo avazado de Euler. Es claraete de prier orde por la diferecia teporal avazada. Peor aú, resulta ser iestable para cualquier valor de ρ y por lo tato iútil e la práctica. U étodo que resulta ser ucho ejor es el llaado upwid, es decir, e la direcció del flujo. Este étodo usa derivadas de u solo lado e la parte espacial: u +1 j = u j λρ ( u j u j 1), λ > 0 (47) u +1 j = u j λρ ( u j+1 u j ). λ < 0 (48) El étodo sigue siedo de prier orde, ahora por abas derivadas, pero resulta ser estable para λρ < 1 (debido a que icorpora cierta iforació sobre la causalidad). Nótese que el étodo depede del sigo de λ, por lo que si λ es ua fució de la posició que cabia de sigo e algú lugar debeos cabiar la aera de calcular la diferecia espacial e ese puto. Otra variate es el étodo de Lax-Friedrichs, que se atiee de segudo orde e el espacio y prier orde e el tiepo pero logra ser estable al toar u proedio e el espacio e el prier tério del étodo de Euler. u +1 j = 1 ( u j+1 + uj 1) λρ ( u j+1 u j 1 ). (49) Existe tabié étodos de segudo orde tato e el espacio coo e el tiepo que se obtiee a partir de la siguiete expasió e serie de Taylor: u(x, t + t) = u(x, t) + t t u(x, t) + ( t) = u(x, t) λ t x u(x, t) + λ ( t) t u(x, t) +... x u(x, t) +... (50) dode e el segudo regló se uso la ecuació de advecció para cabiar derivadas teporales por espaciales. Esto os lleva al étodo de Lax-Wedroff: u +1 j = u j λρ ( u j+1 uj 1) λ ρ ( + u j+1 u j + ) u j 1. (51) El étodo de Lax-Wedroff se parece al étodo de Euler salvo por ua correcció proporcioal a la seguda derivada que itroduce u tério disipativo. Esta correcció juega dos papeles pues hace a étodo de segudo orde y a la vez lo hace estable. 15

16 Ua variate del étodo de Lax-Wedroff es el étodo de Bea-Warig que utiliza diferecias ladeadas de segudo orde e lugar de diferecias cetradas: u +1 j = u j λρ ( 3u j 4u j 1 + λ j ) ρ ( u + u j u j 1 + ) u j. (5) Este étodo es tabié de segudo orde, pero solo es estable para λ > 0. Para λ < 0 debe usarse ua expresió siilar, pero cargada hacia el otro lado. Los étodos ateriores so uy utilizados todavía y se describe e uchos libros de texto (ver por ejeplo [5]). El problea pricipal radica e que o so fáciles de geeralizar a sisteas o lieales, y adeás e geeral tiee probleas cuado las solucioes se vuelve discotiuas. 3.. Métodos iplícitos: Crak-Nicholso Coo vios e las seccioes ateriores, los étodos iplícitos e geeral so ás estables que los explícitos. Existe u étodo iplícito uy coú para sisteas de ecuacioes de prier orde coocido coo el étodo de Crak-Nicholso. Este étodo o es otra cosa que la versió iplícita del étodo de Euler: u +1 j u j t + λ ( ( ) u +1 j+1 uj 1) +1 + u j+1 u j 1 4 x = 0. (53) Debido a la fora e la que está proediadas las diferecias espaciales e abos pasos de tiepo, el étodo o solo resulta ser estable para cualquier valor de ρ ( icodicioalete estable ), sio que adeás resulta ser de segudo orde e el espacio y el tiepo. El problea co este étodo está e que al ser iplícito es difícil de resolver, y para sisteas o lieales es sipleete iposible de utilizar Métodos de lieas: Crak-Nicholso iterado Existe ua clase geeral de étodos explícitos que se cooce coo étodos de lieas dode el objetivo es desacoplar las derivadas espaciales de las teporales. La idea básica es utilizar la difereciació que ás os guste para la parte espacial, y reescribir la ecuació de evolució coo: t u = Ôu, (54) dode el operador Ô es u operador e diferecias fiitas cuya estructura o os iporta. La ecuació aterior puede verse etoces foralete coo ua ecuació diferecial 16

17 ordiaria e el tiepo, y se puede resolver utilizado cualquier étodo para resolver ecuacioes difereciales ordiarias. De hecho, todos los étodos explícitos para ecuacioes de prier orde de las seccioes ateriores puede reescribirse coo u étodo de lieas. Los étodos de lieas o siepre so estables. Por ejeplo, si e la ecuació de advecció se usa diferecias espaciales cetradas y luego e la parte teporal se utilizad Ruge-Kutta de segudo orde, el étodo resultate es de segudo orde pero resulta ser iestable. Utilizar Ruge-Kutta de cuarto orde e la parte teporal y diferecias cetradas e la parte espacial es e geeral estable para uchos tipos de ecuacioes, pero o siepre. U étodo de lieas que ha gaado gra popularidad e los últios años e la relatividad uérica debido a lo geeral de su aplicació, icluso para sisteas o lieales, y a que e geeral resulta ser uy robusto (es decir, estable para uchas situacioes) es el llaado étodo de Crak-Nicholso iterado (ICN). Este étodo iteta resolver el étodo iplícito de Crak-Nicholso utilizado u étodo iterativo explícito que, de coverger, os llevará a la solució del problea iplícito. Este étodo puede escribirse de fora esqueática coo: u (1) j u (i) j u +1 j = u j + t = u j + t = u j Ôu j, (55) Ôu (i 1) j, i =,..., N (56) + t Ôu(N) j. (57) (58) De estas ecuacioes puede verse que el étodo cosiste e ua serie de pasos de prueba que aproxia cada vez ejor el valor de la fució al tiepo t + t/, para fialete utilizar esta aproxiació para dar u salto copleto hasta t + t. Es iportate hacer aquí ua observació. Lo que se busca, fialete, es ua aproxiació estable a la solució de la ecuació diferecial origial, y o ua solució al étodo de Crak-Nicholso. Es decir, o hace falta iterar hasta coverger a la solució de Crak- Nicholso, basta iterar hasta obteer ua aproxiació estable de segudo orde. Resulta que si uo utiliza el étodo ICN y se da solo u paso (N = 0), os reducios al étodo iestable de Euler. Si se da dos pasos (N = 1), la situació resulta ser equivalete a Ruge-Kutta de segudo orde que sigue siedo iestable. Si se da tres pasos (N = ) teeos ya ua aproxiació estable de segudo orde. Debido a esto el étodo ICN de tres pasos se ha vuelto el estadard e relatividad uérica. Alguos autores cueta iteracioes y o pasos, por lo que tres pasos correspode a solo dos iteracioes (N = ), y se refiere al étodo que heos ecioado coo ICN de dos iteracioes. 17

18 Otro puto iteresate es el referete a la codició de estabilidad. Podría pesarse que, ya que el étodo iplícito es estable para valores arbitrariaete grades de t, podría ser buea idea iterar hasta coverger y así poder toar pasos de tiepo uy grades. Si ebargo, esto o es así, pues es posible ostrar que las iteracioes solo coverge si λ t < x, y de otro odo diverge (ver [1, 10]). Referecias [1] M. Alcubierre, B. Brüga, T. Dralitsch, J.A. Fot, P. Papadopoulos, E. Seidel, N. Stergioulas, ad R. Takahashi. Towards a stable uerical evolutio of strogly gravitatig systes i geeral relativity: The coforal treatets. Phys. Rev. D, 6:044034, 000. gr-qc/ [] S. Boazzola ad J.-A. Marck. Pseudo-spectral ethods applied to gravitatioal collapse. I C. Evas, L. Fi, ad D. Hobill, editors, Frotiers i Nuerical Relativity, pages Cabridge Uiversity Press, Cabridge, Eglad, [3] L. E. Kidder ad L. S. Fi. Spectral ethods for uerical relativity. the iitial data proble. Phys. Rev. D, 6:08406, 000. [4] L. E. Kidder, M. A. Scheel, S. A. Teukolsky, E. D. Carlso, ad G. B. Cook. Black hole evolutio by spectral ethods. Phys. Rev. D, 6:08403, 000. [5] R. J. Leveque. Nuerical Methods for Coservatio Laws. Birkhauser Verlag, Basel, 199. [6] A. R. Mitchell. The fiite eleet ethod i partial differetial equatios. J. Wiley ad Sos, U.S.A., [7] R. D. Richtyer ad K.W. Morto. Differece Methods for Iitial Value Probles. Itersciece Publishers, New York, [8] B. Szilágyi, Roberto Góez, N. T. Bishop, ad Jeffrey Wiicour. Cauchy boudaries i liearized gravitatioal theory. Phys. Rev. D, 6:104006, 000. [9] B. Szilagyi, B. Schidt, ad J. Wiicour. Boudary coditios i liearized haroic gravity. Phys. Rev. D, 65, 00. gr-qc/ [10] S. Teukolsky. O the stability of the iterated Crak-Nicholso ethod i uerical relativity. Phys. Rev. D, 61:087501, 000. gr-qc/