Métodos de reducción de varianza

Transcripción

1 Métodos de reducció de variaza Clase ro 1 Curso 010 Métodos de reducció de variaza E la mayoría de las simulacioes, los experimetos tiee por obetivo obteer valores medios de los resultados que se muestrea (de sus distribucioes. El método utilizado es el de realizar varias replicacioes idepedietes. Cuato mayor sea la variaza obteida, mayor debe ser la catidad de replicacioes a realizar. 1

2 Replicacioes E el método de las replicacioes se eecuta corridas idepedietes, se estima el valor de la respuesta media, µ x = E(X y la Var(X. La meora obteida al realizar replicacioes, e lugar de ua, surge de: X i X = la reducció 1 Var ( X y Var ( X = Var ( X = obteida está dada por 1 Var ( X - Var( X = ( 1 Var(X Tasas costates El uso de tasas de arribo y/o estadías costates (determiísticas reduce cosiderablemete la variaza de las muestras obteidas como resultados. Usarlos co precaució, todas las características estocásticas del sistema puede perderse, al quizás obteer datos sobre o sub-evaluados. La icorporació de valores costates puede ser útil como forma de establecer cotas para las medidas buscadas.

3 Torretes comues Esta técica se usa para determiar diferecias etre resultados, cuado los iveles de los factores so cambiados. Si X i es el resultado de ua corrida respecto a u determiado ivel e Y i es el resultado respecto de otro ivel, etoces la diferecia etre las medias resultates de corridas para cada ivel, puede ser usada para estimar el valor esperado de la diferecia X Y E[ X Y ] Torretes comues Para reducir el úmero ecesario de corridas queremos miimizar la variaza de la estimació: Var( X Y = Var( X + Var( Y Cov( X, Y Si X e Y so idepedietes, etoces Cov( X, Y = 0. Observar que los resultados X i e Y i de la corrida i está empareados de tal modo, que se puede asumir que la diferecia etre ambos, se debe ada más que al cambio e el ivel del factor, etoces X e Y o so idepedietes Si la covariaza es grade, la variaza de la diferecia será mucho meor. 3

4 Torretes comues Esta codició es verdadera siempre que se use diferetes torretes de úmeros para cada distribució de los experimetos (si o, se puede itroducir correlació etre ellos. Solamete se cambia los iveles de los factores etre pares de experimetos. Por eemplo e el sistema del hospital se utiliza distitos torretes para los arribos, el tiempo de las estadías de los pacietes a operarse, a o operarse, tiempos de operació, tiempos pos-operatorios. Torretes comues Eemplo: cambiamos el factor úmero de camas; si lo aumetamos, etoces el largo de las colas y los tiempos de espera dismiuirá. Las tasas de arribos y los tiempos de las actividades se matedrá itocables etre ambos experimetos, así como las mismas etidades utilizará los recursos e el mismo orde. Del mismo modo podemos razoar co el factor tiempo de apertura de la sala de operacioes. 4

5 Torretes comues Si cambiamos u solo factor, etoces las diferecias etre experimetos es bastate determiada y los aálisis estadísticos etre resultados empareados so más maeables. E simulacioes más compleas y cuado se cambia más de u ivel, etoces los efectos e los resultados puede ser impredecibles. Torretes comues Otro problema surge al itetar repetir corridas de modo de comparar co diferetes coutos de úmeros pseudoaleatorios. Teer especial cuidado de o repetir igú torrete de úmeros ya que esto podría llegar a causar correlació etre los resultados de los experimetos. 5

6 Torretes comues E resume, el método de usar diferetes torretes para cada distribució, y utilizar torretes comues e experimetos utilizado distitos iveles e uo (o más factor(es, es u método efectivo para reducir la variaza e simulacioes de tipo comparativas. Observar que o facilita la iterpretació del aálisis estadístico y requiere de u gra úmero de torretes de úmeros pseudoaleatorios. Método atitético Este método se basa e las llamadas variables atitéticas y e la hipótesis de que si u torrete de úmeros pseudoaleatorios produce resultados de valores altos, etoces el torrete opuesto producirá resultados baos, por lo tato está correlacioados egativamete. Variables atitéticas se llama a dos coutos muy especiales de torretes (streams de úmeros pseudoaleatorios: u1, u, u3, u4, u5... y su complemetario (1-u1, (1-u, (1-u3, (1-u4... 6

7 Método atitético Si ua simulació se corre co dos torretes de úmeros atitéticos, realizado pares de corridas, el promedio de los resultados deberá estar más cerca del valor esperado que el promedio de corridas usado torretes de úmeros idepedietes. Esto es cierto e modelos pequeños y simples. No siempre se cumple e sistemas compleos dode por eemplo la salida de algua actividad es luego la tasa de etrada de otra, etc... Método atitético Es u método fácil de implemetar y puede ser utilizado para testear problemas secillos. Se eecuta pares de corridas (X 1 (1, X 1 (... (X (1, X ( X (1 es el resultado de la corrida usado el torrete u. X ( es el resultado de la corrida usado el torrete (1-u. 7

8 Método atitético Por ser X (1, y X ( muestras resultates del modelo, etoces E(X (1 = E(X ( = µ El total de replicacioes es. Los pares de resultados so idepedietes etre sí. (Cada par de muestras es idepediete de los otros. Como (X (1, (X ( está correlacioados egativamete etoces existe reducció de variaza, e modelos secillos. Método atitético Cosidero k = 1,..., corridas y los pares (X (1, X ( = 1,...,. (* X Cosidero Var por = X 1 X X ( = + = 1 X Var ( X so v.a. idepedie etoces = 1 Var ( X ( X ( = = [ X so i.i.d ] = 1 1 Var ( ( X + Var ( X + Cov ( X, X (* Var X ( = tes etre sí. 8

9 Método atitético Var(X 1 se estima co los valores obteidos co u y corridas. Var(X se estima co los valores obteidos co (1-u y corridas. La covariaza se estima co fórmula que veremos más adelate sobre las corridas. Método atitético La Var(X se puede estimar a partir de las corridas. Var ( X( Var = 1 1 ( X + Var( X + Cov( X, X Cov XY ( = X = X( Y Y( 1 1 9

10 Método atitético E Pascal_SIM las variables atitéticas se defie mediate la variable booleaa atithetic; se itroduce u segudo couto de torretes atitéticas a las 3 existetes. Cuado la variable atithetic = verdadera etoces se resta a 1 el valor de la fució rd (ver pág 154. E EOSimulator, puede crearse u geerador adicioal para geerar variables atitéticas. Método de variables de cotrol Este método trata (tambié de aprovechar la correlació etre variables para obteer cierta reducció de la variaza. Sea X la v.a. que represeta u resultado, supogamos que queremos estimar E(X = µ. Supogamos tambié que e la simulació hay otra variable que está correlacioada co X y que CONOCEMOS su E(Y = ν. Nota: Y = c e Davies y O Keefe. 10

11 Método de variables de cotrol Vamos a utilizar uestro coocimieto sobre Y E el setido de que va a acercar a X a su media µ (hacia abao o hacia arriba, reduciedo su variabilidad de ua corrida a otra. Por eso llamamos a Y variable de cotrol de X, la utilizaremos para austar X, es decir para cotrolarla parcialmete. Para ello debemos cuatificar el porte de ese auste. Eemplo: Y puede ser la variable aleatoria de los arribos e ua fila de espera. Variables de cotrol Sea a (k e Davies y O Keefe ua costate a determiar que tiee el mismo sigo que la correlació etre X e Y. (Y-ν es la desviació de Y co respecto de su media ν. Calculamos el valor cotrolado de X X c = X - a (Y-ν Si X e Y está correlacioados positivamete etoces a > 0, por lo que austaremos X, hacia abao si Y > ν, y hacia arriba si Y < ν. Si X e Y está correlacioados egativamete haremos lo opuesto. 11

12 Variables de cotrol X c = X - a (Y-ν, E(X = µ y E(Y =ν, etoces para cualquier a, E(X C = µ y Var(X C = Var(X + a Var(Y - a Cov(X,Y. o sea que la dispersió de X C es meor que la de X s.s.i a Cov(X,Y > a Var(Y. Variables de cotrol Lo importate de este método es elegir el meor valor de a (k e Davies y O Keefe, de forma de miimizar el valor de Var( X C. Calculado la derivada de Var ( X C e a, obteemos: avar(y - Cov(X,Y, igualamos a 0 para obteer el meor valor a = Cov (X,Y / Var(Y. 1

13 Variables de cotrol Var(X C = Var(X + a Var(Y - a Cov(X,Y. a = Cov (X,Y / Var(Y. Var ( Xc = Var ( X ( 1 ρ ρ = Cov(X,Y S(Y S(X = Cov ( X, Y Var ( X Var ( Y Variables de cotrol E la práctica esto o es ta fácil, ya que depede de la aturaleza de la variable Y, muchas veces o coocemos Var(Y. Etoces se puede utilizar u método alterativo para calcular "a" co los datos de la propia simulació. 13

14 Variables de cotrol Supogamos que realizamos corridas idepedietes para obteer las observacioes Y1, Y,... Y de Y, así como X1, X,... X de X. Sea X(, Y( los promedios obteidos y S Y ( la variaza estimada de Y e esas observacioes. Estimamos la covariaza y la costate a como: X X( Y Y ( = ( = 1 C XY 1 C ( a ( = XY S ( Y X = c ( X( a ( Y ( υ Variables de cotrol Qué variables usar como variables de cotrol, o es muy fácil de determiar. E u simple M/M/1 podríamos estimar X como la demora e cola y usar como variable de cotrol los tiempos de servicios (cuya tasa coocemos. E este caso se utiliza ada más que ua sola variable de cotrol. Pero la variaza de la estimació de ua respuesta se puede ver meorada utilizado más de ua variable de cotrol, se debe adaptar la fórmula a ellas (pág 156. E la elecció de variables de cotrol recordar que los tiempos de las actividades ifluye e los largos de las colas y tambié e el uso de los recursos implicados. 14

15 Variables de cotrol Si embargo las tasas de arribo solo ifluye e las primeras actividades por eso es coveiete: a. Idetificar aquellos factores que pueda estar correlacioados co las respuestas. b. Estimar la variaza y el promedio de cada factor, así como la covariaza etre ellos y la respuesta asociada. c. Austar la estimació de la respuesta mediate la poderació de las variables de cotrol. d. Este método es muy usado para realizar experimetos, ya que luego de haber calculado a y b se puede realizar muchas corridas cambiado iveles de factores e hipótesis. (pag. 157 X c = X + k C µ ( c Resume El uso de torretes comues de úmeros es usable e simulacioes comparativas. El método de variables atitéticas es útil e simulacioes simples. El método de variables de cotrol es útil e caso de realizar simulacioes para por eemplo explorar el efecto del uso de distitos datos o políticas e ua orgaizació. Cada uo de estos métodos se debe adecuar a la compleidad del sistema a simular. Por eso estudiar cuidadosamete cuáles so los beeficios obteidos, teiedo e cueta el trabao adicioal requerido para implemetar el elegido. 15