Análisis Matemático. CIENCIAS ECONÓMICAS Trabajos Prácticos

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1 Análisis Matemático CIENCIAS ECONÓMICAS Trabajos Prácticos 5

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3 PRACTICA PRELIMINARES Ejercicio.- Calcular b) : : 5 c) d) Ejercicio.- En cada caso, decidir si los dos números racionales son iguales y 6 7 y Ejercicio.- y 6 9 y. Escribir el número decimal correspondiente a: y 6 y b) Hallar un número decimal que aproime a c) Decidir si las siguientes epresiones son verdaderas o falsas ( significa "aproimadamente igual"),87 6,875 6, , 5, 5, 9,67 6 d) Hallar tres números que tengan raíz cuadrada entera. e) Hallar tres números que tengan raíz cúbica entera.

4 Ejercicio.- Decidir cuáles de las siguientes desigualdades son verdaderas: b) Ordenar de menor a mayor los siguientes números: , 8 c) Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco setas partes de la mitad de la pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero? Ejercicio 5.- Decidir, en cada caso, si las epresiones dadas son iguales 9 5 y 9 5 ab y a b ( a, b ) 8 y 5 y 5 5 b) 9 6 y 9 6 a b y a b ( a, b ) 6 y 6 a b y a b ( a, b ) c) a b y a b a b y a ab b 5 y 5 5 y 5 a b y a b a b y a ab b d) y y ( a, b, a b ) a b a b 5 8 y y a b a a b b y b ( a ) y ( a ) a a Ejercicio 6.- Desarrollar y y b) Escribir como producto de dos factores ( ( )( ) ) a 6 a 8 7 a a 5 9

5 Ejercicio 7.- Resolver las siguientes ecuaciones Ejercicio 8.- Calcular 5, 9 / 9 / 7 8 / 6 b) Resolver y simplificar 7 7 / 7 6 : 5/ 7 / 5 5 / / 5 / a a a a a a a a ( a ) / / 6 a Ejercicio 9.- Escribir en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a un rectángulo de base y altura y. i) El rectángulo es un cuadrado. ii) La base es el triple de la altura. iii) La base ecede en cuatro unidades a la altura. iv) La altura es 7 de la base.

6 v) El rectángulo tiene 8 cm de perímetro. vi) La diagonal del rectángulo mide cm. vii) El área del rectángulo es cm. b) Asociar cada enunciado con la epresión algebraica correspondiente: (I) Cinco menos que el doble de un número (A) a b (II) Cinco menos el doble de un número (B) a 5 (III) La diferencia de dos cuadrados (IV) El cuadrado de una diferencia (C) (D) a b a b (V ) La mitad de la suma de dos números (E) 5 a Ejercicio.- María tiene cuarenta y seis años y Juan, doce; dentro de cuántos años la edad de María será el triple de la edad de Juan? b) Una salsa de tomate se ofrece en dos tipos de envase, lata y tetrabrick. Las dimensiones de la lata son de 6cm de diámetro en la base y cm de altura, las del tetrabrick son 7cm y cm en los lados de la base y cm de altura. Cuál de los dos envases tiene mayor capacidad? c) Un automóvil km cuesta $8. Si se desvaloriza a razón de un % anual, cuál será el valor del mismo dentro de dos años? d) El costo de una mercadería es de $5. Cuál debe ser el precio de lista para que, en una promoción en la que se ofrece un % de descuento sobre el precio de lista, el comerciante gane un % sobre el costo? e) Una empresa se dedica a la compra y venta de inmuebles. Cierto día la empresa vende dos propiedades, cada una de ellas en $. Se sabe que con la primera propiedad ganó un % de lo invertido al adquirirla, en tanto que con la segunda, perdió un % de lo invertido. Cuál es la ganancia o pérdida neta para la empresa por la compraventa de las dos propiedades?

7 PRACTICA NUMEROS REALES Ejercicio.- Representar en la recta real los siguientes números reales 5 b) Ejercicio.- Representar en la recta real los siguientes subconjuntos de 5, / 5 b), / c) n / n 6 d) Ejercicio.- Representar en la recta numérica Todos los números reales mayores que. b) Todos los números reales menores o iguales que. / n,,,,,, n n c) Todos los números reales mayores que y menores o iguales que 9. d) Los intervalos,,,5 8, 8, 5,, 5, e) Las uniones de intervalos,.,,,,5 8,,8 f) Las intersecciones de intervalos,.,,,,5 8,,8 Ejercicio.- Decidir cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo, :

8 Ejercicio 5.- Representar en la recta numérica y escribir como intervalo o unión de intervalos / b) / c) / d) 6 / e) /8 f) 5 / g) 6 / h) / i) / j) / Definición: El valor absoluto de un número real a es a a a si a si a Ejercicio 6.- Representar en la recta numérica los siguientes conjuntos / 5 B / A / D / C / F / 5 E b) Escribir como intervalo o unión de intervalos y representar en la recta numérica los siguientes conjuntos / H / / 8 J / 8 5 G I c) Epresar los siguientes conjuntos en la forma { R / a r} o bien { R / a r} según corresponda, para valores de a y r adecuados. i) Los reales que distan del en menos de. ii) Los reales que distan del en más de. iii) Los reales que distan de / en menos de,. iv) 5, 6

9 v),, Ejercicio 7.- Hallar valores de a y b tales que a b a b. Definición: Un conjunto A se dice acotado superiormente si eiste un número real c tal que para todo a A : a c. Decimos que c es cota superior de A. Definición: Sea A R un conjunto no vacío acotado superiormente. El número real s se llama supremo de A si cumple con las dos condiciones siguientes: S ) s es cota superior de A. S ) Si c es cota superior de A entonces s c. Es decir s es la menor de las cotas superiores de A. Ejercicio 8.- Dados los siguientes conjuntos de números reales Decidir cuáles están acotados superiormente. b) Dar varias cotas superiores. c) Encontrar, si eiste, la menor cota superior, es decir, el supremo. A,7 B C,9 ;,99 ;,999 ; / E / D G, H,5 Definición: 9 F / 7 I,, Un conjunto A R se dice acotado inferiormente si eiste un número real d tal que para todo a A : d a. Decimos que d es cota inferior de A. Definición: Sea A R un conjunto no vacío acotado inferiormente. El número real i se llama ínfimo de A si cumple con las dos condiciones siguientes: I ) i es cota inferior de A. I ) Si d es cota inferior de A entonces d i. Es decir i es la mayor de las cotas inferiores de A. 7

10 Ejercicio 9.- Para los conjuntos del ejercicio anterior Decidir cuáles están acotados inferiormente. b) Dar varias cotas inferiores. c) Encontrar, si eiste, la mayor de las cotas inferiores, es decir, el ínfimo. Ejercicio.- Hallar, cuando eista, el supremo y el ínfimo de los conjuntos de los ejercicios y 5. Ejercicio.- Escribir como intervalo o unión de intervalos y hallar, cuando eista, el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos: / 5 B / / 6 9 D / 6 A C EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Escribir el conjunto A / intervalos. Ejercicio.- Escribir el conjunto A / intervalos y hallar, si eisten, el supremo y el ínfimo. como intervalo o unión de como intervalo o unión de Ejercicio.- En cada uno de los siguientes problemas marcar la única respuesta correcta Si A { R / }, entonces sup( A) e inf( A) 5 sup( A) y A no tiene ínfimo sup( A) y A no tiene ínfimo sup( A) e inf( A) b) Una cota inferior de A /5 5 5 es c) El conjunto A /,,, (, ) es igual a,,, (, ) d) El ínfimo del conjunto A { R / } es igual a 8

11 PRACTICA FUNCIONES Ejercicio.- Representar en el plano los puntos A, B, C, D, E, F, G, H, Ejercicio.- Representar en el plano todos los puntos que tienen abscisa. b) ordenada. c) abscisa de módulo. d) ordenada mayor que 5. e) abscisa y ordenada iguales. f) abscisa y ordenada menores que. g) ordenada mayor o igual que y abscisa menor que. h) ordenada entre y y abscisa entre y. Ejercicio.- Sea f ( ) Calcular f (5), f (), f ( ). b) Trazar el gráfico de la función. c) Hallar analítica y gráficamente los tales que i) f( ) ii) f( ) iii) f( ) 5 d) Trazar la recta de ecuación y. Decidir cuáles de los siguientes puntos pertenecen a dicha recta: A, B (,) C (,5) D, 9

12 Ejercicio.- Graficar las siguientes funciones lineales en un mismo sistema de coordenadas cartesianas: f, g 5, h b) f, g c) f, g, h Ejercicio 5.- Encontrar, en cada caso, una función lineal que satisfaga i) f (), f ( ) ii) f ( ) 5, f (85) 5 b) Calcular la pendiente de cada una de las rectas que son gráficos de las funciones lineales del inciso anterior. Ejercicio 6.- Hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por P, siendo i) P,, iii) P,, m m ii),5 iv) P, m P (, ), 5 5 m b) Encontrar la pendiente de la recta que pasa por P y Q siendo i) P,, Q, ii) P 5,8, Q 6,8 iii) P,, Q, iv) P,, Q, Ejercicio 7.- Hallar el valor de a para que la recta de ecuación y a 5 b) Hallar el valor de b para que la recta de ecuación y b,. pase por el punto pase por el punto,. Ejercicio 8.- Eiste una función lineal que responda a la siguiente tabla de valores? f ( ) / / /

13 b) Completar la siguiente tabla de valores sabiendo que y f ( ) es lineal. f ( ) / / / Ejercicio 9.- A partir de los siguientes gráficos Escribir la función lineal correspondiente a cada recta. b) Determinar el valor de la pendiente. i) ii) iii) iv) v) vi) Ejercicio.- Dada la recta que pasa por Para qué valor de a la pendiente vale 8?, y, a b) Para qué valor de a la recta corta el eje y en el punto,? c) Para qué valor de a la recta pasa por el punto,9?

14 d) Para los valores hallados en los incisos anteriores, calcular en qué punto las rectas cortan el eje. Ejercicio.- Determinar cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles decrecientes. Determinar cuál crece más rápidamente y cuál decrece más rápidamente., f, f, f Ejercicio.- Graficar las siguientes funciones f b) f c) f d) f 5 f Ejercicio.- Dadas las siguientes funciones f y g, determinar gráfica y analíticamente el conjunto A { R / f ( ) g( )} f( ), g( ) b) f ( ), g( ) Ejercicio.- Supongamos que la demanda semanal de un producto es de unidades cuando el precio es de $58 por unidad y de unidades con precio de $5 cada una. Hallar la función demanda p D( ), suponiendo que es lineal. b) Calcular D (75). Qué representa? Ejercicio 5.- Un fabricante de zapatos está dispuesto a colocar en el mercado 5(miles de pares) cuando el precio es $5 por par y 75 cuando su precio es de $5. Obtener la función de oferta p Oq una relación lineal, y graficarla., suponiendo que el precio p y la cantidad q tienen b) Se ha podido determinar que la ecuación de demanda de su producto es p D( q) q 8 Hallar la cantidad de pares de zapatos que debe fabricar para que la oferta coincida con la demanda (cantidad de equilibrio). Cuál es el precio (precio de equilibrio) del par de zapatos para esta cantidad? c) Graficar en un mismo sistema de coordenadas las funciones de oferta y de demanda e interpretar geométricamente el punto de equilibrio ( cantidad, precio ).

15 Ejercicio 6.- Una empresa vende un producto a $65 por unidad. Los costos variables por unidad en concepto de materiales y mano de obra ascienden a $7. Los costos fijos mensuales ascienden a $.. Encontrar la función de costo total y C( ) epresada en función de unidades producidas y vendidas. b) Encontrar la función de ingreso y I( ) precio unitario por cantidad, en función de términos unidades vendidas. c) Encontrar la función de utilidad (utilidad=ingreso total-costo total) Qué utilidad se obtiene si las ventas son de. unidades? d) Cuántas unidades se deben vender para tener una utilidad mayor que $6.? Ejercicio 7.- En cada caso, trazar el gráfico de la función cuadrática y hallar las coordenadas del vértice de la parábola que representa i) f ( ) ii) f ( ) iii) f ( ) iv) f ( ) v) f ( ) vi) f ( ) vii) f viii) ( ) f ( ) 7 Ejercicio 8.- Hallar los conjuntos de positividad y de negatividad, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, el máimo o mínimo de las funciones cuadráticas cuyos gráficos figuran a continuación: i) ii) iii) iv)

16 Ejercicio 9.- En las funciones del ejercicio 7 Determinar intervalos donde la función es creciente e intervalos donde es decreciente b) Cómo se comporta f( ) cuando tiende a más y a menos infinito? c) Determinar en cada caso el valor máimo ó mínimo de la función y dónde lo alcanza. Ejercicio.- Dada f ( ) hallar los tales que f( ) b) f( ) 6 c) f( ) d) f ( ) 9 e) f ( ) 7 f) f ( ) 9 Ejercicio.- Hallar, si eisten, el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos { R / } B A { R / } C { R / } D { R / 8 7} Ejercicio.- Cuando se produce una cantidad (en miles de toneladas) de una cierta mercadería dos productores reciben un beneficio mensual (en miles de pesos) de g ( ) 8, g ( ). Graficar ambas funciones de ganancia. b) Cuántas toneladas debe producir cada productor para obtener la misma ganancia? c) Para qué producción las ganancias obtenidas por el primer productor cuadruplican las del segundo? Ejercicio.- La función de demanda para el producto de un fabricante es p D( q) q, donde p es el precio (en pesos) por unidad cuando se tiene una demanda semanal de q unidades. Epresar el ingreso total I I( q) ( Ingreso total pq ) en función de la demanda. Hacer un gráfico de tal función. b) Calcular el nivel de producción semanal que maimiza el ingreso total del fabricante y determinar el ingreso máimo. Ejercicio.- Graficar en forma aproimada las siguientes funciones polinómicas i) f ( ) ii) f iii) f ( ) ( )

17 iv) f ( ) v) f vi) f ( ) ( ) Ejercicio 5.- Hallar el dominio de f y hacer un gráfico aproimado. Analizar en cada caso su comportamiento en el infinito c) f( ) f( ) b) f( ) d) f( ) Ejercicio 6.- Hallar el dominio de las siguientes funciones 5 f( ) b) 5 f( ) c) f( ) d) f( ) e) f( ) 8 f) f( ) Ejercicio 7.- Calcular f g y g f indicando el dominio en cada caso, g f ( ) c) f( ) g, b) f ( ) d) 5 g, f( ) e) f ( ) sen( ), g( ) f) f ( ) sen( ), Ejercicio 8.-, g g ( ) La función f ( ),8 epresa la temperatura en grados Fahrenheit conocida la misma en grados Celsius. Sabiendo que el papel arde aproimadamente a 5 F, a cuántos grados Celsius tendrá que eponer esta práctica para quemarla? b) Dar la función que permite, dada una temperatura cualquiera en grados Fahrenheit, obtener la misma en grados Celsius. Ejercicio 9.- La función de demanda de cierto artículo viene dada por p D( q),5q. Calcular la función inversa q D ( p). b) La función de oferta de cierto producto viene dada por p O( q),5q. Calcular la función inversa q O ( p). c) Interpretar el crecimiento o decrecimiento de las funciones obtenidas.

18 Ejercicio.- Hallar el dominio y representar gráficamente las siguientes funciones f b) f c) f d) f e) f f) f Ejercicio.- Hallar los que verifican 9 b) 5 c) 8 e) d) 7 5 f) 5 6 Ejercicio.- Calcular y dar el dominio de f :, f ( ) c) f :, f b) : f( ) f, d) : f, f( ) f( ) e) f :, f ( ) f) f :, f ( ) g) : 5, f, f ( ) 5 h) f :, f ( ) 5 Ejercicio.- Una empresa calcula que el costo de producción de unidades de un artículo de consumo, es igual, medido en pesos, a C( ) 5. Calcular a partir de cuántas unidades producidas, el costo de producción supera los $. b) La función de demanda de unidades de un artículo medida en pesos es igual a p D( ) 6 5, 7. Calcular para qué producción la demanda supera los $5. Ejercicio.- Graficar las siguientes funciones y hallar su imagen. Analizar en cada caso su comportamiento en el infinito. f ( ) e b) f ( ) e c) f ( ) e d) f ( ) e Ejercicio 5.- Calcular el dominio de las siguientes funciones, graficarlas y hallar su imagen. Analizar en cada caso su comportamiento en el infinito f ( ) ln b) f ( ) ln 6

19 c) f ( ) ln d) f ( ) ln( ) Ejercicio 6.- Dadas las funciones f ( ) e b) f ( ) e c) f ( ) e d) f( ) ln e) f ( ) ln f) f ( ) ln Decidir qué gráfico corresponde a cada una de ellas. b) En cada caso dar la fórmula y el gráfico de la función inversa. i) ii) iii) iv) v) vi) Ejercicio 7.- Para las siguientes funciones, hallar el dominio, los ceros y los conjuntos de positividad y negatividad f ( ) ln( ) b) f ( ) ln( ) c) f ( ) ln( ) d) f ( ) ln( ) 7

20 Ejercicio 8.- Resolver las siguientes ecuaciones: 5 e b) 5 ln e c) d) 8 e) 7 f) Ejercicio 9.- Hallar f ( ) e indicar su dominio: e b) f ( ) ln( 6) f ( ) d) f ( ) ln(5 ) e) c) e f( ) 5 7 e f) f ( ) ln f ( ) 5 Ejercicio.- Un capital C se deposita en un banco durante t meses a un interés del r % t r anual con capitalización mensual produciendo un monto M ( t) C.. Qué monto produce un capital de $. al 5% al cabo de un año? b) Qué monto produce al cabo de un año y medio? c) Cuánto se debe invertir para ganar $. en tres años al %? d) En cuánto tiempo se triplica un capital al 8%? Ejercicio.- Si la función eponencial M( )., representa un interés compuesto: Cuál es el capital inicial? b) Cuál es el interés? Ejercicio.- El número de habitantes de la República Argentina podría estimarse,t aproimadamente mediante la fórmula N( t) e millones de habitantes, donde la variable t indica el número de años transcurridos a partir del año. Siguiendo esta hipótesis Cuál será el número estimable de habitantes para el año.? b) En qué año habrán más de 5 millones de habitantes? c) En qué año se duplicará el número de habitantes del año.? Ejercicio.- La función de demanda de un producto viene dada por Qué cantidad se espera vender para un precio de $5 la unidad? p D e ( ) 5. 8

21 Ejercicio.- La función de demanda para un producto es, p D( ) e. Graficar aproimadamente esta función. b) Epresar en función de p. EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Escribir los siguientes conjuntos como intervalo o unión de intervalos y hallar, si eisten, supremo e ínfimo de los mismos. A / 5 B / C / 6 6 E / D / F / / ln( ) H / G I / J f / ( ) 6, donde f ( ) K [,6 ]/sen Ejercicio.- Un capital de $. se invierte a interés compuesto anual (con capitalización anual) del 6% Cuánto tardará en obtenerse un monto de $5.? Ejercicio.- El conjunto de positividad de una función cuadrática es el intervalo,, cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento? Ejercicio.- Graficar la función si 5 f( ) 5 si ó 5 a Ejercicio 5.- La función de demanda de un producto está dada por p D( q), y la q función de oferta por p O( q) q 6 ( p indica precio y q cantidad de unidades). Determinar el valor de a sabiendo que el precio de equilibrio es $5. Ejercicio 6.- Hallar el valor de a si se sabe que sup A 7, siendo A / a 9

22 Ejercicio 7.- En cada uno de los problemas siguientes, marcar la única afirmación correcta La ecuación de oferta de cierto producto es ofertada q en función del precio p es q p 5 ln 8 p O q e ln( p) 5 ln( p) ln(5) 8 8 ( ) 8 q 5. Entonces la cantidad b) La curva de oferta es p O ( q) q y la de demanda es p D( q) q ( q número de unidades, p precio). Entonces el mercado está en equilibrio cuando q 9 y p q y p q y p q 99 y p c) La función f ( ) ln(5 9) es positiva para en el intervalo e p5 8,,5,, d) El dominio natural de f ( ) ln( ) es,, (, ),,, e) El vértice de la parábola de ecuación y 5 es el punto,5, 5, 5,5 f) Si f( ) e 8 entonces su función inversa es f ( ) ln( 6) ln( 8) ln 8 e 8 g) Si f ( ) y g ( ) f g( ),5

23 PRACTICA LIMITES Y CONTINUIDAD Ejercicio.- A partir de los siguientes gráficos determinar, si eisten, f( ) f( ), y i) ii) iii) iv) v) vi)

24 Ejercicio.- Calcular los siguientes límites b) c) 5 d) 5 e) f) g) 5 h) 5 i) j) m) k) n) l) o) 5 Ejercicio.- Calcular los siguientes límites 7 5 b) 7 5 c) 5 d) 5 e) 6 f) ()( 5) g) 5 h) 5 i) Ejercicio.- Calcular los siguientes límites b) 5 c) d) 5 g) e) h) f) i) Ejercicio 5.- Calcular los siguientes límites 5 6 b) c)

25 d) e) g) ( )( ) h) 5 5 f) i) 5 j) 5 k) 5 l) Ejercicio 6- Calcular sen( ) b) sen c) sen Ejercicio 7.- Dados los siguientes gráficos, determinar los límites que se indican en cada caso. f( ), f( ), f( ), f( ) b) f( ), f( ), f( ) c) f( ), f( ) d) f( ), f( ), f( ), f( )

26 Ejercicio 8.- Calcular los siguientes límites 5 b) c) 9 d) 8 e) f) 5 g) h) 9 6 i) j) 5 k) 5 l) Ejercicio 9.- Hallar el valor de a para que a. Ejercicio.- Teniendo en cuenta que e calcular a, a b) 5 c) 6 d) 5 e) 6 f) 5 Ejercicio.- Teniendo en cuenta que / / d), a b) / / g) / e) e calcular c) 5/ f) / / 5

27 Ejercicio.- Localizar las asíntotas de las siguientes funciones y situar la gráfica respecto de ellas. d) g) f( ) 5 f( ) 6 f( ) 6 j) f ( ) ln b) e) h) 8 f( ) 6 f( ) 5 f ( ) c) f) e i) f( ) f( ) f ( ) e k) f ( ) ln l) f ( ) ln 7 / Ejercicio.- Hallar el dominio, las ecuaciones de las asíntotas y hacer un gráfico aproimado de las siguientes funciones f( ) b) f( ) c) f( ) d) 5 f( ) Ejercicio.- Comprobar las siguientes identidades, en todos los casos es un número real fijo: h h h b) h h h, Ejercicio 5.- La función de demanda de un producto viene dada por la fórmula p f ( q). Calcular a cuánto tiende el ingreso ( pq ) cuando la producción crece a q 5 más infinito. Ejercicio 6.- Hallar las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de las funciones f( ) b) f( ) ln c) f( ) 9 d) f( ) 8 5

28 Definición: Se dice que una función f es continua en el punto de abscisa a si f ( ) f ( a ). a En caso contrario se dice que a es un punto de discontinuidad de la función f. Ejercicio 7.- Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones. Decidir en cada caso si es posible redefinir la función en dichos puntos para que resulte continua. si f( ) si b) e si f( ) si c) si f ( ) 6 si si d) si f( ) si 8 Ejercicio 8.- Hallar el dominio y determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, decidiendo en cada caso si es posible redefinir la función en dichos puntos para que resulte continua. f( ) b) f( ) 8 c) f( ) 9 d) f( ) 5 Ejercicio 9.- Dadas las siguientes funciones hallar, en cada caso, el valor de a para que f resulte continua en el punto indicado f( ) si a 5 si en b) f( ) si / a si en c) f( ) si a 5 si en Ejercicio.- Hallar k para que la función resulte continua ln k si f( ) k si k si b) f( ) k si 6

29 Teorema de Bolzano Si f es una función continua en el intervalo [ ab, ] tal que f( a ) y f ( b ) tienen distinto signo, entonces eiste al menos un valor c ( a, b) tal que f( c). Consecuencias. Si f es una función continua en el intervalo [ ab, ] y no tiene ningún cero en el intervalo ( ab, ), entonces f no cambia de signo en dicho intervalo.. Si f es una función continua en el intervalo [ ab, ] y y (con a b) son dos ceros consecutivos de f, entonces (, ) es o bien un intervalo de positividad, o bien un intervalo de negatividad de f. Ejercicio.- Sea f ( ). Probar que f tiene un cero en el intervalo (, ). b) f tiene un cero en el intervalo (,5;,6). c) f tiene un cero en el intervalo (,5;,5). Ejercicio.- Hallar los ceros de la función f y determinar los intervalos de positividad y de negatividad f ( ) ( )( )( 5) b) c) f ( ) ( )( ) f ( ) ( )( ) d) f ( ) 5 e) 9 f ( ) f) f ( ) 8 g) f ( ) 6 h) f 6 ( ) i) f ( ) e j) f ( ) e e 5 k) f ( ) ln( 5) l) f ( ) e Ejercicio.- Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de un polinomio P cuyos únicos ceros son y, si se sabe que P( ), P(), P(). b) Sea f una función polinómica tal que f (6) 8, f (), f (), f () y sus únicas raíces son,, y 5. Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de f. 7

30 Ejercicio.- Sea f : una función continua que corta al eje en tres puntos (únicamente) y de la cual se conoce la siguiente tabla de valores: f( ) 5 Para cada uno de los ceros de f, hallar un intervalo de amplitud que lo contenga. b) Determinar, si es posible, el signo de f en cada uno de los siguientes intervalos,,,,,,,,,,,. c) Hacer un gráfico aproimado de f usando los datos obtenidos en y b). 8

31 EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Calcular ( )( 5) Ejercicio.- Se sabe que f ( ) e. Cuál es el ( ) f? Ejercicio.- Calcular los siguientes límites 5 b) c) d) / Ejercicio.- Hallar el dominio y las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones f 5 b) f / c) f ln( ) d) f e Ejercicio 5.- Hallar el valor de k R de modo que sea asíntota de la función 5 f( ). Para el valor de k obtenido hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de f k justificando con los cálculos correspondientes. Ejercicio 6.- De una función cuadrática P ( ) se sabe que P ( ) son los ceros de P ( ). Hallar el conjunto de negatividad de P ( ). y que y 5 Ejercicio 7.- Hallar el valor de a, sabiendo que a e. Ejercicio 8.- En cada problema, marcar la única opción correcta El b) El ) ln( es igual a 6 es igual a 6 e e e 9

32 c) Las ecuaciones de todas las asíntotas de 6 f( ) ( )( ) y, y, y, y son d) Sea f : (; ) R tal que k k f( ) si y f() k k. f es continua para k 6 e) El conjunto de negatividad de f ( ) ln( ) es, (, ),,, f) f es una función polinómica de grado, f (5), f (), f (7) 5, f ( ) 6. Entonces puede afirmarse que no hay un cero en el intervalo 6, (,7),, g) La función f( ) 5 es positiva en el intervalo, (5,7),,

33 Definición: PRACTICA DERIVADAS Si f es una función y un punto de su dominio se define la derivada de f en como cuando este límite eiste. f( ) f h f h ( ) ( ) h Ejercicio.- Usando la definición de derivada comprobar las siguientes fórmulas de derivación ( m b) m b) a b c a b ( ) c) d) Ejercicio.- Calcular la derivada de las siguientes funciones f ( ) 5 f ( ) f ( ) 5 f ( ) f ( ) 5 f6( ) f7( ) f ( ) 8 5 b) f 7 5 f f5 f7 e ln f9 e f 7 f f6 7 f8 sen( ) cos( ) f ln c) f f 5 6 f f5 e f f6 5 ln

34 f7 e ln f8 e e e f f9 sen sen cos sen d) f f 5 f7 ln e e f sen cos f f f 5 8 ln e ln e f f6 e ln f sen 9 Ejercicio.- Calcular la derivada de las siguientes funciones 5 f f f 7 f 5 f f 6 7 f e f e f e f f ln ln 8 9 f e f f f ln 5 f e f e e f 6 9 ln 7 f f ( ) cos(5 ) ln f sen e ln 5 9 f8 e f cos( ) f cos ln e Ejercicio.- Calcular la derivada de f f f 5 e f5 f f 7 ln f 8 f6 ln f 9 5

35 sen f Ejercicio 5.- Para las siguientes funciones hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa f ( ), b) f ( ), c) f( ), d) e) f ( ) ln( 7), ( ) ( 5) 9 f e, f) f ( ), Ejercicio 6.- Sea f ( ) ln( b ). Hallar el valor de b para que la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa tenga pendiente igual a. Ejercicio 7.- Dada f ( ) ln( 6), hallar todos los pertenecientes al dominio de f tales que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en (, f ( ) es igual a. Ejercicio 8.- Trazar el gráfico de una función continua f : (,) R que se ajuste a los datos de la siguiente tabla: 6 8 f( ) 5 f ( ) Aplicaciones: Función de Costo Marginal En Economía el adjetivo marginal se utiliza para indicar derivada. Por ejemplo, si C ( ) es la función de costo, el costo marginal es C ( ). Ejercicio 9.- Una empresa calcula que el costo de producción de unidades de cierto artículo de consumo está dado por C,5,. Hallar el costo y el costo marginal de producir 5, y 5 unidades. b) Comparar en cada caso con el costo de producir una unidad más. Ejercicio.- Una empresa encuentra que el costo por producir litros de un cierto producto químico está dado por C. Comparar el costo marginal de producir diez litros con el costo de producir el undécimo litro.

36 Ejercicio.- La demanda de unidades de cierto artículo de consumo viene dada por p. Hallar las funciones de demanda marginal, ingreso total e ingreso marginal. Ejercicio.- Para las funciones de ingreso total que se dan a continuación hallar el ingreso marginal, la demanda y la demanda marginal R b) R Ejercicio.- Una empresa calcula que para vender unidades de cierta mercancía el precio por unidad debe ser p 8, donde. Suponiendo que el costo de C,, hallar fabricación de unidades es La función de ingreso total y de ingreso marginal. b) La función de ganancia y de ganancia marginal. Ejercicio.- La función de demanda de un producto es p ( ) 5. Hallar la función de ingreso marginal y evaluarla en 5. b) Cuál es el ingreso adicional por vender una unidad por encima de 5 unidades? Ejercicio 5.- Las siguientes funciones representan la función de demanda para cierto producto, donde p denota el precio por unidad y las unidades. Encontrar en cada caso la función de ingreso marginal. 8 p ( ) b) p ( ) 75 5 Ejercicio 6.- Un fabricante determina que n trabajadores fabricarían un total de n unidades de un producto por día, donde n ( ). Si la ecuación de demanda para el n 9 9 producto es p 9, determinar el ingreso marginal cuando n 9. Ejercicio 7.- Cuando una empresa vendí a cierta mercancía a 5 pesos por unidad, había una demanda de unidades a la semana. Después que el precio aumentó a 7 pesos, la demanda disminuyó a 8 unidades por semana. Suponiendo que la función de demanda p es lineal, encontrar la función de ingreso marginal. Aplicaciones: Elasticidad de la Demanda Si p D( q) es la función de demanda de un producto, se define el coeficiente de elasticidad como Dq ( ) qd( q).

37 Se dice que la demanda es i) elástica, si ii) unitaria, si iii) inelástica, si Ejercicio 8.- Calcular la elasticidad de la demanda en los valores indicados, y determinar si la misma es elástica, unitaria, o inelástica. p D( ) 5, b) p D( ), 9 c) p D( ) 5e /, Ejercicio 9.- La función de demanda para el producto de un fabricante es Calcular la elasticidad de la demanda cuando se producen unidades. b) Decidir si la misma es elástica, inelástica o unitaria. p 6 Teorema del Valor Medio de Lagrange Si una función f es continua en ab, y derivable en f b f a fc. b a Consecuencias del Teorema del Valor Medio Teorema 5 ab,, eiste ca, b Si f es continua en un intervalo cerrado [ ab, ], derivable en el abierto (, ) en todo el abierto ( ab, ), entonces f es creciente sobre todo el cerrado [ ab, ]. Teorema Si f es continua en un intervalo cerrado [ ab, ], derivable en el abierto (, ) tal que ab y f ab y f en todo el intervalo abierto ( ab, ), entonces f es decreciente sobre todo el intervalo cerrado [ ab, ]. Corolario Si f es continua en [ ab, ], derivable en (, ) f es constante en [ ab, ]. ab y f para todo ( a, b), entonces

38 Ejercicio.- Dados los siguientes gráficos de funciones determinar En qué puntos no eiste la derivada de f. b) El conjunto f / c) El conjunto f / d) El conjunto f / e) Los máimos y mínimos de f. i) ii) iii) iv) v) vi) Ejercicio.- Para las siguientes funciones, hallar los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los máimos y mínimos relativos y hacer un gráfico aproimado f ( ) f ( ) 5 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 6 f ( ) f ( ) f ( ) 6 9 6

39 Ejercicio.- En cada uno de los siguientes casos, hallar el dominio de f, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los etremos locales. Hacer un gráfico aproimado de f. ( ) f e f e ( ) 5 f e ( ) ( ) ln 5 f ( ) e f ( ) f6 ln f ( ) ln 8 f ( ) 9 ln f ( ) ln 7 Ejercicio.- En cada uno de los siguientes casos, hallar el dominio de f, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los etremos locales y las asíntotas verticales y horizontales. Con los datos obtenidos hacer un gráfico aproimado de f. f ( ) 8 ( ) f 5 f7( ) f ( ) f ( ) 8 ( ) f5 e 8 ( ) f6 f ( ) ln( ) f ( ) ln( 9) 9 Ejercicio.- Trazar el gráfico de una función f que satisfaga simultáneamente las siguientes condiciones y decir para qué puntos f alcanza etremos relativos y decidir si son máimos o mínimos. ) f en (,8). ) f en ) f f 8.,, (8, ). ) f tiene una asíntota vertical en. 5) La recta y es asíntota horizontal en. 6) La recta y es asíntota horizontal en. b) ) Dom( f ) ) f en,, ) f en,, ) f.. en y en. 5) f tiene una asíntota vertical en. 6) f no tiene asíntotas horizontales. 7

40 Ejercicio 5.- Probar que la ecuación b), ( ) tiene eactamente una solución positiva. ln( ) e tiene eactamente dos raíces en el intervalo,. Ejercicio 6.- Estudiar la función dada en el intervalo indicado: Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos y absolutos f 6 en, b) f en,8 5 en, d) f 6 en. c) f, 5 e) f( ), f) f( ) e e,, Ejercicio 7.- Sea f :,6 una función derivable tal que el gráfico de su derivada f es el que se muestra Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Ubicar los máimos y mínimos locales de f. Ejercicio 8.- Una empresa calcula que para vender unidades de cierta mercancía el precio por unidad debe ser p( ) 8 donde. Suponiendo que el costo de fabricación de unidades es La función de ingreso total. b) La función de ganancia. C( ),, hallar c) El número de unidades para el cual la ganancia es máima. d) La ganancia máima. 8

41 Ejercicio 9.- La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es p( ) y la función de costo es C( ),, donde es el número de unidades. Determinar el nivel de producción en el que se maimizan las ganancias. b) Determinar el precio en el que ocurren las ganancias máimas. c) Determinar las ganancias máimas. d) Si el gobierno fija un impuesto de $ por unidad, cuál es el nuevo precio para la maimización de las ganancias? e) Si el gobierno impone una cuota por licencia de $ al fabricante, como un gravamen fijo independiente de cuál sea la producción, demostrar que el precio y la producción que maimizan las ganancias no varían. Verificar que las ganancias disminuirán. Ejercicio.- Un fabricante planea colocar un cerco en un área rectangular de almacenamiento de 8m adyacente a un edificio, utilizando a éste como uno de los lados del área que se debe cercar. La reja que corre paralela al edificio queda frente a una carretera y costará $ por cada metro instalado, en tanto que la reja para los otros dos lados cuesta $ por metro instalado. Encontrar la cantidad de cada tipo de reja para que los costos totales sean mínimos. b) Cuál es el costo mínimo? Ejercicio.- Para las siguientes funciones, hallar los intervalos de concavidad, de conveidad y los puntos de infleión f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 f 5 ( ) 6 f ( ) 6 5 ln f7( ) f e ( ) 8 ( ) f9 Ejercicio.- Trazar el gráfico de una función continua f que satisfaga simultáneamente las siguientes condiciones ) f ( ) ) f ) f / ) { / f }, 5) { / f }, 9

42 b) ) f () /, ) f ) f / (, ) ) { / f }

43 EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Hallar los valores de a y b para que y sea la recta tangente al gráfico de f ( ) a b,. en el punto Ejercicio.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de, para f en el punto de abscisa f ( ) ln(6 6), en b) 6 f ( ) 6e, en 9 Ejercicio.- Hallar los puntos de abscisa en los cuales la recta de ecuación y 5 es tangente al gráfico de f 7. Ejercicio.- Las siguientes funciones son funciones de costo de un producto. Hallar la función de costo marginal y el costo marginal para los valores dados de. C 7e, 5 ; 7 i) 7 ii) C e, 97 ; 97 Ejercicio 5.- La función de demanda de cierto producto es p D( ). Calcular el coeficiente de elasticidad para, y decidir si para este valor la demanda es elástica, inelástica o unitaria. Ejercicio 6.- Si R( q) 5q 5 q es la función de ingreso total cuando hay una demanda de q unidades de cierto producto, hallar la función de ingreso marginal. Ejercicio 7.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de sen( ) f( ) e en. Ejercicio 8.- La función de oferta de cierto producto es función de oferta marginal. p O( ). Hallar la Ejercicio 9.- La función de demanda de cierto artículo viene dada por ( ), p D q q donde p es el precio por unidad y q la cantidad demandada. Hallar q para que el ingreso marginal sea igual a.

44 Ejercicio.- Marcar la única opción correcta. Si f ( ) 5 y g ( ), entonces ( g f ) ( ) vale 5 7 ( 7) b) Si f a b ; f 5 y a, b a, 8 f entonces b a, ln( 7) b a, 8 b f c) La derivada de ln es f ( ) ln f d) La pendiente de la recta tangente al gráfico de es igual a 8 ln( ) en el punto de abscisa e) Si la ecuación de la recta tangente al gráfico de f( ) en es y entonces f () f) Si la función de demanda es D( ) 5, el ingreso marginal para 5 unidades es 7,5,5 5 5 g) El coeficiente de elasticidad de la demanda D es 5 y el coeficiente de elasticidad de la demanda D es,. Entonces D es elástica y D es elástica D es elástica y D es inelástica D es inelástica y D es elástica D es inelástica y D es inelástica Ejercicio.- Hallar a para que el valor mínimo de la función igual a 8. f a sea Ejercicio.- Hallar a y b para que f a b tenga un mínimo en,. Ejercicio.- Hallar a, b, c y d para que la función f a b c d tenga máimo en, y mínimo en, 6. Ejercicio.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de las funciones f f 8 b)

45 Ejercicio 5.- Sea f :[, ) continua en [, ) gráfico de su derivada f :, es y derivable en, tal que el Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Decidir, justificando la respuesta, si los puntos,, 6 y 8 son etremos locales de f. Ejercicio 6.- El gráfico dado corresponde a f ( ), la función derivada de f. Dar los intervalos de crecimiento, de decrecimiento y las abscisas de los etremos relativos de f. b) Decir si dichos etremos son máimos o mínimos. Ejercicio 7.- Hallar el valor de a para que la función relativo en. a f e tenga un etremo b) Para el valor hallado de a, decidir si este etremo es un máimo o un mínimo. Justificar. Ejercicio 8.- La ecuación de demanda correspondiente a cierto producto es p D( q) 65 q y la función de costo es p Cq,q 5q, siendo p el precio y q la cantidad de unidades. Determinar el precio para el cual las ganancias por ventas de ese producto son máimas. Ejercicio 9.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y de conveidad y los puntos de infleión de f e.

46 Ejercicio.- La función de ingreso por las ventas de q unidades de un producto es I q 6q 6 q Hallar qué cantidad hay que vender para que el ingreso sea máimo. b) Decir para qué valores de q el ingreso es creciente. Ejercicio.- Marcar la única opción correcta El máimo absoluto de f para [, ] se alcanza en b) La función f e es cóncava hacia arriba en el intervalo,,, c) La ganancia marginal es en el intervalo, G e. Entonces la ganancia es decreciente, 5,, 7, 5 d) La cantidad de raíces de la ecuación 5 es e) Si f e entonces f,, es creciente en, ( )( ), f) La función derivada de f es f. Entonces f tiene Un máimo en y un máimo en Un máimo en y un mínimo en Un mínimo en y un máimo en Un mínimo en y un mínimo en g) La recta tangente al gráfico de f en es y, entonces f es 5 Los datos no alcanzan para calcular f

47 PRACTICA 5 REGLA DE L'HÔPITAL POLINOMIO DE TAYLOR Ejercicio.- Calcular los siguientes límites 5 b) 7 6 c) 8 d) 5 e) 5 f) e g) ln ln h) e i) cos( ) j) cos( ) sen( ) k) sen(6 ) cos( ) l) sen( ) Ejercicio.- Calcular los siguientes límites ln d) e 5 6 e b) e) ln 5 ln c) e ln f) Ejercicio.- Determinar si la función una asíntota vertical en. f : dada por f ln tiene Ejercicio.- Calcular a de modo que e a Ejercicio 5.- Hallar las asíntotas de f 5 ln 5

48 Ejercicio 6.- Hallar a para que f sea continua en f( ) a ln 5, si, si Ejercicio 7.- Para las siguientes funciones, obtener el polinomio de Taylor de orden y de orden en los puntos indicados: f( ) e, en b) f( ), en c) f ( ) cos, en d) f ( ) ln( ), en e) f ( ), en f) e f( ), en Ejercicio 8.- Calcular el polinomio de Taylor Pde ( ) orden en y aproimar f( ) : f ( ),, b) f ( ) ln( ),,, c) f ( ) e,,, d) f ( ) sen( / ) cos( / ),, EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Calcular Ejercicio - Calcular Ejercicio.- Calcular Ejercicio.- Calcular ln( ) e sen e e ln e ln( ) cos 6

49 Ejercicio 5.- Calcular f 5 si f 5, si 5 5 e, si 5 Ejercicio 6.- Calcular f () si sen si f( ) si Ejercicio 7.- Sea : f definida como a ae f a, si, si Hallar a para que f Ejercicio 8.- Hallar. a e, si a R de manera que f 7, si sea continua en Ejercicio 9.- Hallar a de manera que cos sen f( ) a si si sea continua en. Ejercicio.- Hallar todos los a R que verifican a a Ejercicio.- Estudiar las siguientes funciones: Hallar dominio, ecuaciones de las asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máimos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y conveidad, puntos de infleión y hacer un gráfico aproimado e f f 9 e Ejercicio.- Hallar dominio, ecuaciones de las asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máimos y mínimos relativos y hacer un gráfico aproimado de h f g donde f ln y g. 7

50 Ejercicio.- Marcar la única opción correcta El b) El ln 6 6 e 5 5 es igual a es igual a c) Las ecuaciones de todas las asíntotas de f 5 5 ; 5 ; ; y ; y 5 ; y son 8

51 PRACTICA 6 INTEGRALES Ejercicio.- Hallar una función F( ) tal que i) F 5 ii) F 6 iii) F n iv) F 5 v) F vi) F vii) F n viii) F i) F e ) F sen i) cos F b) Es única la respuesta en cada caso? c) Observar que si F( ) y G ( ) son funciones derivables en, para todo ( a, b) entonces eiste C tal que F( ) G( ) C. ab tales que F G Ejercicio.- Hallar F( ) sabiendo que F 5 y F b) F y F c) F 5 y F d) F e y e) F cos y F / F 5 Ejercicio.- Calcular las siguientes integrales indefinidas 8d b) d c) d) g) d e) 5 7 d h) d k) j) d f) 5 d d i) d ( ) d l) 8 e d d 9

52 Ejercicio.- Aplicar el método de sustitución al cálculo de la siguientes integrales indefinidas 7 ( ) d b) d c) d) d e) d f) g) d h) d k) j) m) p) s) e d n) sen( ) d q) cos d sen d i) d l) ln d o) sen(ln ) d 5 d d ( )( 5) d e d ln d r) sen cos( ) d Ejercicio 5.- Aplicar el método de integración por partes al cálculo de la siguientes integrales indefinidas d b) d e) d) ln g) ( )ln d h) ln d k) j) m) cos d n) 5 ( ) d c) 5 ( ) d f) e d d 5 ( ) e d i) ( ) ln d l) ln d d sen d o) sen( ) d Ejercicio 6.- Calcular d b) d) ln d e) g) j) e 5 5 d c) ln d d f) d ln e d 6 h) d i) 9 5 d m) 5 o) cos d sen d n) 5 d 8 sen( ) d

53 R q q q Ejercicio 7.- Si la función de ingreso marginal es Hallar la función de ingreso total Rq. b) Hallar la función de demanda. Ejercicio 8.- En la fabricación de un producto los costos fijos por semana son $. La, 5,, donde Cq es el costo función de costos marginales es C q 5 q q total de fabricar q kilos de un producto por semana. Calcular el costo de fabricar toneladas en una semana. Ejercicio 9.- El único fabricante de un producto ha determinado que la función de ingreso marginal es R. Calcular la función de demanda. Ejercicio.- El costo marginal de producir unidades de una cierta mercancía es C, y el costo de producir dos unidades es de $. Cuánto cuesta producir unidades? Ejercicio.- La función de demanda marginal es D 6 5 de demanda, sabiendo que cuando el precio es de $5 se demandan toneladas.. Hallar la función Ejercicio.- La función de demanda marginal de cierto producto es D' Calcular la función de ingreso total sabiendo que si se demandan unidades, el ingreso total es $8.. Ejercicio.- Calcular las siguientes integrales definidas d) g) j) m) d b) d e) d h) d c) d f) 6 d i) ln d k) e d l) / sen d n) cos d o) /6 d d 6 e e d d sen cos( ) d Ejercicio.- La función de costo marginal de un fabricante es C q,6q 5. Si la producción es de 8 q unidades por semana, cuánto costará incrementar la producción a unidades por semana?

54 Ejercicio 5.- La función de ingreso marginal de un fabricante es C'. Si R está dado en pesos, obtener el cambio que se produce en los ingresos totales del fabricante si se aumenta la producción de a 9 unidades. Ejercicio 6.- Sabiendo que f d 5 calcular f b) Sabiendo que f d, calcular d. 5f 6 d. Ejercicio 7.- Establecer mediante integrales el área de las regiones sombreadas i) Y (,) f ii) Y f iii) g (-,) Y f (,) g 5 X X X iv) Y v) vi) Y f()= Y f g -b a b X a b c X X Ejercicio 8.- Calcular el área de la región encerrada por las curvas (sug.: hacer el gráfico) y ; y b) y ; y c) y ; y d) y ; ; y e) y e ; y e ; ; f) y ; y ; g) y ; y ; y h) y, y el eje 5

55 i) y sen y el eje para j) y cos, y el eje para Ejercicio 9.- Hallar el área de la región comprendida entre la curva tangente a esta curva en el punto de abscisa y y la recta Ejercicio.- Decidir sobre la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones El área de la región del plano itada por el gráfico de f d. eje y es f b) El área de la región del plano itada por el gráfico de es d d., la recta y el y el eje para c) El área encerrada por las curvas y e y d. es Aplicaciones: Ecedente del consumidor y del productor o fabricante Definición: El ecedente del consumidor es el área comprendida entre la curva de demanda y la recta p p q ( p Dq precio del mercado): EC D q p dq p D q Definición: El ecedente del productor o fabricante es el área comprendida entre la curva de oferta p O q y la recta p p q ( p Oq precio del mercado): EF p O q dq 5

56 Ejercicio.- La función de demanda para un producto es p Dq,5q, p es el precio por unidad para una demanda de q unidades. La función de oferta es p Oq,q. Determinar El punto de equilibrio. b) El ecedente de los consumidores cuando el mercado está en equilibrio. c) El ecedente de los fabricantes cuando el mercado está en equilibrio. Ejercicio.- La función de demanda para un producto es p D. La función de oferta es p O. Calcular el ecedente del consumidor y del productor cuando el mercado está en equilibrio. Ejercicio.- Calcular las siguientes integrales impropias: d b) 6 e) d f) ( ) d c) e d g) d d) ( ) d h) ln d e e ln d Ejercicio 5- Analizar la convergencia de las siguientes integrales impropias: d) 5 d b) e e d e) d c) ln d f) ln d d EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Calcular ( ) ln( ) d Ejercicio.- Calcular el ecedente del consumidor sabiendo que la función de demanda es p D q 5 q ( q indica cantidad de unidades, y p su precio unitario) y que el precio de mercado es $7. 5

57 Ejercicio.- Calcular el área de la región encerrada por la gráfica de 7 y. y y la recta Ejercicio.- La demanda marginal de cierto producto es D q q q. Hallar la función de demanda sabiendo que cuando se demandan 6 unidades, el precio unitario es $5. Ejercicio 5.- Hallar la función de costo sabiendo que el costo marginal es C q que cuando se producen unidades, el costo unitario es $5. 8q q 9 y Ejercicio 6.- Calcular d b) 9 cos( ) d c) sen( ) sen( ) d cos( ) Ejercicio 7.- Hallar el área de la región encerrada por los gráficos de las funciones y 6. y e Ejercicio 8.- Hallar el área comprendida entre el gráfico de: y sen y el eje y para / b) y sen y el eje para Ejercicio 9.- Sea R la región encerrada por los gráficos de y ; y ;. Hallar a R para que la recta a divida a R en dos regiones de igual área. Ejercicio.- Calcular d b) cos( ) sen( ) e ( e ) sen( e ) d Ejercicio.- El costo marginal de producir unidades de cierta mercancía es C, y el costo de producir una unidad es de $,. Encontrar la función de 5 costo, y lo que cuesta producir 9 unidades. Ejercicio.- Hallar el ecedente del consumidor de un artículo cuya función de demanda es 5q 5 pq, donde q indica miles de unidades, sabiendo que en el mercado mil q 6q 5 unidades cuestan $5. 55

58 6 Ejercicio.- La función de demanda marginal de un producto es Dq 8q 6 el ecedente de los consumidores sabiendo que el precio de equilibrio es $6.. Hallar Ejercicio.- Marcar la única opción correcta Si en la integral u e du e d se hace la sustitución u u e du u, se obtiene u e du u u ue du b) La función de ingreso marginal de un fabricante es Rq, entonces el cambio que q se produce en los ingresos totales cuando aumenta la producción de a 5 unidades es 8 apro. 96,566 c) El área encerrada por las curvas 9d 9d 9d 9d y 9 e d) Si f 5 d, entonces f y 9 es 9d 9d d es igual a 9d 9d 5 5 e) Si la región encerrada por las rectas y 7 ; y ; ; 5 queda dividida por la recta a en dos regiones de igual área, entonces a vale, 5,5 f) El ingreso marginal por las ventas de determinado producto está dado por q R' q. Si se sabe que el ingreso total es nulo cuando no hay ventas, entonces el q q e ingreso total Rq es igual a q ln ln ln q ln q q e q q e ln g) La función de demanda de un producto es p Dq 5 5 q ( q indica la cantidad de unidades) y el punto de equilibrio es 9 unidades,$9. Entonces el ecedente del consumidor es igual a qdq q dq 9 5 q 5 dq q dq h) El área de la región encerrada por las curvas y ; y 6 ; es 9 6 d 6 d 6 d 9 d 56

59 PRACTICA 7 SUCESIONES Y SERIES Ejercicio.- Para las siguientes sucesiones, escribir el término 5,,,, 5 b) 5,,,, 5 6 c),, 6, 8, d),,,,,, e), 5, 9,, 7, f),,,,, Ejercicio.- Escribir los cinco primeros términos de a n n b) an n c) an ; a n a n, n d) an a ; an, n Ejercicio.- Escribir el término general o término enésimo de las sucesiones,,,, 5 b) 5,,,, 5 6 c),, 6, 8, d) an ; a n a n, n an e) a ; an, n Progresiones aritméticas Una sucesión a, a,, a n, se llama progresión aritmética si cada término se obtiene sumándole al anterior una misma cantidad fija d llamada diferencia. Es decir a a d a a d a a d n n El término general de una progresión aritmética es a a n d n Ejercicio.- Decidir cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas 57

60 , 7,, 5, 9, b) 5,, 5,, 5, c) ,,,,, d),,,,, e), 97, 9, 9, 88, f) a, a n a n 5n Ejercicio 5.- En cada caso, hallar la progresión aritmética an que verifica: i) a 5, a 5 ii) a 8, a5 6 iii) a7, a 5 b) En una progresión aritmética a 5 y a6 5. Calcular a a8. c) Hallar una progresión aritmética sabiendo que a y que la suma de sus dos primeros términos es igual a. Ejercicio 6.- El alquiler de una casa de veraneo cuesta: $ el primer día, y $75 los restantes días. Cuál es el precio de n días de alquiler? b) Si se pagaron $.85, de cuántos días fue el alquiler? Ejercicio 7.- En un contrato, la penalización por demora en el cumpiento del mismo por alguna de las partes va en progresión aritmética, de $ si la demora es de un día, a $8 si la demora es de 5 días. Cuál es la penalización por días de demora? Progresiones geométricas Una sucesión a, a,, a n, se llama progresión geométrica si cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo r llamado razón. Es decir: a a r a a r a n a r n El término general de una progresión geométrica es an a r n 58

61 Ejercicio 8.- Decidir cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas,, 8, 6,, b).,,,,., c), 6,,,, d) ,,,,, e) 5, 5, 5, 5, 5, f) 9 7 8,,,,, 5 g), 6, 9,, 5, h) a, a n a n n Ejercicio 9.- En una progresión geométrica a 5, a 5. Calcular el término general a n. Ejercicio.- En cada caso, hallar la progresión geométrica a n que verifica: i) a 6, a6, ii) a, a 6 iii) a, 7 7 a 79 b) Calcular la suma de los diez primeros términos de las progresiones obtenidas 8 c) En una progresión geométrica a y a5. Calcular a a6. 8 Ejercicio.- Se toma una hoja de papel de cm de alto por cm de ancho y, mm de espesor. Calcular el área de la hoja. b) Se dobla la hoja por la mitad, Cuál es el área y el espesor? c) Se vuelve a doblar...si se pudiera doblar 5 veces (hacer la prueba de doblarla más de 8 veces), con cuál de las siguientes dimensiones sería comparable el espesor obtenido? Grosor de una guía telefónica ( cm ) Altura de una habitación ( m ) Altura del monte Everest ( 888 m ) Distancia de la Tierra a la Luna ( 5 mil km ) Distancia de la Tierra al Sol (, millones de km ) d) Luego de haber contestado, hallar las sucesiones que dan el área y el espesor en cada doblez. Estimar el área y el espesor obtenidos con 5 dobleces. 59

62 Ejercicio.- La población mundial es de unos 65 millones de habitantes. Se estima que crece a un ritmo del % anual. Escribir la población estimada para los próimos 5 años. b) Comprobar que se obtiene una progresión geométrica. De qué razón? c) Cuántos años tardará en duplicarse si se mantiene el mismo ritmo de crecimiento? Ejercicio.- El Banco BXT ofrece el % de interés mensual para depósitos de plazo fijo a días. Si se depositan $.5 y llamamos M n al monto al cabo de n meses, Calcular M, M 5 y M n. b) Comprobar que M n es una progresión geométrica. c) Calcular su razón. d) Cuántos meses hay que esperar para obtener un monto mayor a $.? Ejercicio.- Cuál es la tasa de interés mensual de un capital de $5., capitalizado mensualmente a interés compuesto, si al cabo de 6 meses se obtiene un monto de $6.7? Ejercicio 5.- Hallar el término general de cada una de las siguientes series: c) b)....5 d) 9 6 e) 5 f) 5 5 g) i) h) 9 6 j) 8 Ejercicio 6.- Le ofrecen el siguiente trato: Durante treinta días consecutivos recibirá cien mil pesos por día, con la condición de que en el mismo período tendrá que ir pagando un centavo el primer día, dos el segundo, cuatro el tercero, ocho el cuarto y así sucesivamente. Acepta el trato? Ejercicio 7.- Analizar la convergencia y calcular la suma de las siguientes series b) 5 6 n n n n c) n n n 6